Resumen EDO - Control 1

´ Pablo Estefo C. [pestefo@ing.uchile.cl]

Cap´ ıtulo 1 y 2
EDO de Variables Separables
Sea y = g(t) , con g, h contnuas y h(y) = 0 h(y) H(s) G(t) y(t) y0

Ec. de Ricatti y = P (t) + Q(t)y + R(t)y 2 1◦ y1 soluci´n de la edo o 2◦ Definimos z = y(t) − y1 (t) → y = z + y1 3◦ Reemplazando y despejando z tenemos z − (Q(t) + 2y1 (t)R(t))z = R(t)z 2 (Bernoulli n = 2)

H(y) = G(t) + C ⇐ Con c.i. y = y(t) = =

h(s)ds g(t)dt t t0

g(t) y y(t0 ) = y0 h(y) t t0

h(s)ds =

g(t)dt

H(y) y0 = G(t)

−→ H(y(t)) = G(t) + H(y0 ) + G(t0 )
C

Cap´ ıtulo 3
Teo - Def {f1 (t), f2 , . . . , fn (t)} es l.i. ⇐⇒ Su Wronskiano asociado f1 ... fn f1 ... fn =0 W (f1 , f2 , . . . , fn ) = . . .. . . . . . …ver más…

. . , tα−1 eαt cos(βt) eαt sin(βt), teαt sin(βt), . . . , tα−1 eαt sin(βt)} 3◦ Aplicar anulador y calcular la nueva homog´nea e ∗ yh = p(D)y = 0 2 n αt αt n−1 αt

Tabla de Transformadas
L(1) L(tn ) L(eat ) L(sin(kt)) L(cos(kt)) L(sinh(kt)) L(cosh(kt)) = = = = = = = 1 s n! sn+1 1 s−a k s2 + k 2 s 2 + k2 s k s2 − k 2 s 2 − k2 s s>0 s > 0, s>a n≥1

Resumen EDO - Control 1

´ Pablo Estefo C. [pestefo@ing.uchile.cl]

Propiedades Operacionales
Teo Traslaci´n v1.0 o L(e f (t)) = F (s − a) (sup. q f admite TdL) at n

- P (s) = i=0 ai si = an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0 (pol.

caracter´ ıstico)

Def Funci´n Heaviside o U (t − a) = Teo Traslaci´n v2.0 o L(f (t − a)U (t − a)) = e−as F (s) Teo Derivadas de una Tansformada dn F (s) = (−1)n L(tn f (t)) dsn Teo Transformada de derivadas (s > C) L(f (n) ) = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f (0) − . . . − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0) O de forma m´s compacta: a n La ec. queda: P (s)Y (s) + Q(s) = G(s), con lo que, finalmente 0 si 0 ≤ t < a 1 si t ≥ a y(t) = L−1 G(s) P (s) Q(s) P (s)

− L−1

Producto de Convoluci´n o
Def f, g admiten TdL. t (f ∗ g)(t) =
0

f (τ )g(t − τ )dτ

Obs El producto de convoluci´n es conmutativo o Teo La Transformada del producto de convoluci´n es el o producto de las Transformadas L((f ∗ g)(t)) = F (s)G(s) L−1 (F (s)G(s)) = (f ∗ g)(t) Teo Transformada de una Integral t L(f (n) ) = sn F (s) − i=1 sn−i y (i−1) (0)