Tema 1

Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Generales
Introducci´n o
La Modelizaci´n y Simulaci´n es una ´rea enorme de la ciencia pura y aplicada, a la o o a que intentamos aproximarnos en esta asignatura. Dadas las limitaciones, centraremos la materia a estudiar en los Modelos Matem´ticos basados en el uso de Ecuaciones a Diferenciales, y en particular estudiaremos con cierto detalle las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Esto permitir´ adquirir una formaci´n lo suficientemente s´lida como para a o o poder abordar en el futuro profesional, si fuera necesario, problemas m´s complicados, a como los derivados del uso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, o bien otro tipo de modelos no basados en ecuaciones diferenciales. En este primer …ver más…

o o Ejemplos:
• La ecuaci´n: y = y tiene como soluci´n general: y = Cex . o o • N (t) = Cekt es la soluci´n general de la ecuaci´n de Malthus. o o

Comentarios: • Las soluciones de una ecuaci´n diferencial no siempre se nos presentan en forma o expl´ ıcita, es decir, con la variable dependiente despejada: y = y(x). Muy frecuentemente la soluci´n aparece definida impl´ o ıcitamente por una ecuaci´n Φ(x, y) = 0, y o la soluci´n general otro tanto: Φ(x, y, C) = 0. o
Ejemplo: La soluci´n general de la ecuaci´n y = o o x2 + y 2 = C.
−x y

es la familia de circunferencias:

• Que la soluci´n general de una e.d.o. de primer orden dependa de una constante o arbitraria es intuitivamente muy sencillo de entender si se tiene en cuenta que para “eliminar” una derivada primera ser´ necesario realizar una integral indefinida, y, a por tanto, aparecer´ una constante arbitraria durante dicho proceso de integraci´n. a o De igual manera, la soluci´n general de una e.d.o. de segundo orden depender´ de o a dos constantes arbitrarias, y as´ sucesivamente. ı • Pueden existir soluciones de una e.d.o. que no sean particulares, es decir, que no puedan obtenerse a partir de la soluci´n general para un valor concreto de la o constante arbitraria, en ese caso reciben el nombre de soluciones singulares.
Ejemplo: La ecuaci´n (y − y)(y − x3 ) = 0 tiene como soluci´n general y = Cex , pero o o adem´s admite la soluci´n singular y = x3 , que no puede ser obtenida de la general para a o ning´n