Definición y ejemplos de una ley de composición interna

Sea E un conjunto no vacio (E≠ ∅). Se denomina ley de composición interna u operación totalmente definida sobre E a toda función f:ExE→E. En otras palabras, una ley de composición interna definida sobre un conjunto E es toda función f que tiene como dominio el producto cartesiano ExE y como rango el conjunto E. Denotación: Para denotar que un conjunto E≠ ∅ esta dotado de una ley de composición interna T, escribiremos: E,T.

Notas: 1) La imagen fx,y, con x,y∈ExE, se llama “compuesto de x con y” y se denota por xTy, x⊥y, x+y, x-y, x∆y, etc., según sea la notación convenida para la ley correspondiente 2) Por abuso del lenguaje, en lugar de decir …ver más…

La función f:Q*xI→I / fr,i=r.i ∀r,i∈Q*xI, es una ley externa, esto es, la multiplicación de un racional por un irracional. Si E es el conjunto de los segmentos contenidos en un plano y W = N conjunto de los números naturales la función: f:NxE →E/fn,pq=npq, donde pq es un segmento del plano, es una ley externa; es decir, el producto de un natural por un segmento es una ley externa. Propiedades eventuales de una ley de composición externa Asociativa Sea E un conjunto provisto de una ley externa que presentaremos multiplicativamente, con conjunto de operadores W, y sea W,T, con T asociativa. Se dice que la ley externa es asociativa con respecto a la ley T si y solo si (∀α,β∈W)(∀x∈E): αTβx=α(βTx) Distributiva Sea E,T. sobre E se ha definido una ley externa cuyo conjunto de operadores es W. se dice que la ley externa es distributiva con respecto a la ley T si y solo si (∀α∈W)(∀x,y∈E): αxTy=αx T (αy) Estructuras algebraicas notables Sea G,T. Se dice que G posee estructura de grupo para la ley T si y solo si: i) ∀x,y,z ∈G:xTyTz=xTyTZ.