Números reales y sus propiedades.
(Notas redactadas por A. DIEGO y M. I. PLATZECK para el curso de Matemática General) Los números naturales 1, 2, 3, ... , han sido creados por el hombre para contar los objetos de conjuntos finitos, el número natural n es una medida de la cantidad de objetos de un conjunto. Pero es necesario medir o comparar también longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cantidades de calor, de electricidad, etc.. Para este tipo de cantidades sabemos decidir cuándo dos de ellas son equivalentes o iguales, mediante experiencias apropiadas. (Dos varillas que se pueden hacer coincidir son iguales en longitud, dos cuerpos que equilibran una balanza de platillos son iguales en peso, etc.). Se sabe además sumar dos cantidades de …ver más…

Por el b

⎛ a⎞ teorema de Pitágoras tendríamos que: ⎜ ⎟ = 12 + 12 = 2 ⎝ b⎠ Esto es un absurdo porque: El cuadrado de un número racional no puede ser 2. Veámoslo: Podemos suponer, simplificando los posible factores comunes del numerador y del a denominador, que es irreducible. b 2 ⎛ a⎞ Si fuese ⎜ ⎟ = 2 , resultaría que a 2 = 2b 2 , es decir que a 2 es un número par. ⎝ b⎠ El entero a no puede ser impar pues su cuadrado a 2 sería impar ya que:

( 2 k + 1) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1 = 2( 2 k 2 + 2 k ) + 1
En consecuencia: a es par, o sea a = 2q , pero entonces a 2 = 4q 2 = 2b 2 , lo que implica que 2q 2 = b 2 . De aquí resulta, como antes, que b es par, pues su cuadrado lo es. Concluimos a entonces que a y b son pares, lo que contradice la hipótesis de que es irreducible. b OBSERVACIÓN†: Se puede mencionar otra demostración de este hecho, que se basa en el “Teorema Fundamental de la Aritmética”, es decir, en el teorema que afirma que cualquier número entero positivo puede descomponerse como un producto de números primos, en una única forma, excepto por el orden de los factores. En efecto, si reemplazamos en la fórmula a 2 = 2 ⋅ b 2 , las expresiones de a y b como productos de factores primos, tomando, por ejemplo a = 2 k1 ⋅ 3 k2 ⋅ 5 k3 ⋅L , obtendremos que 2 2 k1 ⋅ 32 k2 ⋅ 52 k3 ⋅L = 2 2 r1 +1 ⋅ 32 r2 ⋅ 52 r3 ⋅L lo que es una contradicción, pues el primer miembro tiene una cantidad par de factores 2, mientras que el segundo miembro tiene