FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA BOOLEANA

Postulados básicos
La descripción básica de la formulación del algebra booleana se basa en conceptos de la teoría de conjuntos, donde se define formalmente un algebra booleana como un conjunto matemático distributivo y complementado. Resumiremos aquí esta definición mediante un conjunto de postulados que sintetiza los elementos y propiedades básicos de un algebra booleana.

Postulado 1(definición)
Un algebra booleana es un sistema algebraico cerrado formado por un conjunto K de dos o mas elementos y los dos operadores • y +; de manera alternativa para cada a y b un conjunto K, a • b pertenece a K y a + b pertenece a K (+ se llama OR y • se llama AND).

Postulado 2(existencia de los elementos)
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Esta descripción grafica es posible, ya que el algebra de conjuntos es un algebra booleana en la que los conjuntos son los elementos del algebra, la operación de intersección corresponde a • y la operación de unión corresponde a +. En el diagrama de Venn, los conjuntos se muestran como contornos cerrados, es decir, círculos, cuadrados, elipses, etc. Los diagramas de Venn para los conjuntos a, b, a • b y a + b aparecen en la siguiente figura.
Podemos utilizar los diagramas de Venn para ilustrar los postulados.

Ejemplos de diagramas Venn

El diagrama de Venn es una herramienta muy útil no solo para visualizar los postulados ya representados, sino también los teoremas importantes del algebra booleana que describiremos a continuación.

Dualidad

El principio de dualidad es un concepto muy importante en el algebra booleana. En pocas palabras, el principio de dualidad establece que, si una expresión es valida en el algebra booleana, entonces su expresión dual también es valida. Determinamos la expresión dual remplazando todos los operadores + por •, todos los operadores • por +, todos los unos por ceros y todos los ceros por unos.

Determinar la expresión dual de a + (bc) = (a + b)(a + c)

Diagrama de ven para el postulado 5

Diagrama de Venn para el postulado 6

Al cambiar todos los operadores + por • y viceversa, obtenemos la expresión dual

a(b + c) = ab + ac

Al obtener el dual, no debemos alterar la posición de los paréntesis