DERIVADA
1.- Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica 2.- Derivadas laterales. 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.
Definición: Se llama derivada de una función f(x) en un punto x=a, y se representa df f ´ (a)  D f (a)  (a) , al siguiente límite (si existe): dx f ( x )  f (a ) f (a  h )  f ( a ) f  (a )  lim  lim xa h0 xa h Ejemplo: Halla la derivada de y  x 2 . A continuación, calcula la derivada en el punto x=2.

dx 2 ( x  h) 2  x 2 x 2  2 xh  h 2  x 2 2 xh  h 2 h( 2 x  h) y'   lim  lim  lim  lim h 0 h 0 h 0 h 0 dx h h h h  lim (2 x  h)  2 x h 0

dx 2 Entonces :  2x dx
En x = 2 la derivada es: 2(2)=4 Calcula la derivada de y  x 3

dx 3 ( x  …ver más…

La tasa de variación media (TVM), o cociente incremental, nos da una primera idea de la rapidez con que varía un fenómeno en un intervalo determinado. Se define como el cociente:

TVM a, b 

f(x)  f(x 0 ) f(x 0  h)  f(x 0 ) f(b)  f(a) f(x  Δx)  f(x) Δy     ba x  x0 h Δx Δx

es decir, nos dice cuanto variaría la función por cada unidad de variación de la variable independiente dentro del intervalo considerado suponiendo que esa variación fuese uniforme en todo el intervalo. La tasa de variación media coincide, evidentemente, con el valor de la pendiente de la recta que une los puntos de coordenadas (x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)).

El valor obtenido al calcular la T.V.M. de una función en un intervalo determinado no quiere decir que en todo el intervalo se haya mantenido ese porcentaje de variación; de hecho, no suele ser así. Además, lo que interesa normalmente es saber lo que ocurre en un punto determinado: la velocidad en un instante dado, la trayectoria que seguirá un disco al ser lanzado, el punto en que un proyectil alcanza su máxima altura, etc. Por tanto, el problema es estudiar la variación instantánea (T.V.I.) de la función en un punto determinado x0. Para ello lo que haremos será estudiar su variación en intervalos [x0, x] (o [x, x0]) cada vez mas pequeños