Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes [pic]y [pic], y la medida de la hipotenusa es [pic], se establece que:
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Historia

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver …ver más…

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• De la semejanza entre ABC y BHC:

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Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
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Pero [pic], por lo que finalmente resulta:
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La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
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siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:
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[pic] obtenemos después de simplificar que:
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pero siendo [pic]la razón de semejanza, está claro que:
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Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:
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que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
[pic](I)
y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
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[pic] pero según (I) [pic], así que:
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y por lo tanto:
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quedando demostrado el teorema de Pitágoras.
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Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda