1.1. La primitiva o antiderivada de una función.
En nuestra vida diaria al momento de ir a dormir desarreglamos nuestra cama, pero puedo volverla a tender, dejando la cama como estaba originalmente. Decimos que las dos son operaciones inversas. Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas: adición y sustracción, multiplicación y división, elevación a potencias y extracción de raíces, tomar logaritmos y encontrar antilogaritmos, y en este caso la operación inversa de la derivación es la antiderivación (Purcell, 1992).
Por definición: “Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F (x) =  (x) en I es decir, si F’(x)=f(x) para toda x en I. (Si x es un punto frontera de I, basta con que F’(x) sea la …ver más…

Entonces, desde la definicion de integral indefinida, obtenemos
 f’(g(x)) g’(x)dx = f(g(x))
Y poniendo u = g(x), obtenemos du = g’(x) y así

Ejemplo 1: evalúa la integral indefinida
Solución. Ponemos , y obtenemos:

Ejemplo 2: evalúa la integral indefinida
Solución. Ponemos , y obtenemos:

2.3. Métodos de integración por partes
Para este método tenemos que recordar la regla de la derivada de un producto
Si g(x) = f(x). h(x) entonces g’(x) = f(x). h’(x) + h(x). f’(x)
La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda función, mas, la segunda función por la derivada de la primera función.
(La demostración queda como ejercicio)
Si f(x) = (5x3 – 3x +5)(x2 + 2x -3) entonces
F’(x) = (5x3 – 3x +5) Dx(x2 + 2x -3) + (x2 + 2x -3)Dx(5x3 – 3x +5)
F’(x) = (5x3 – 3x +5)(3x + 2) + (x2 + 2x -3)(15x2 – 3)
F’(x) = 10x4 +10x3 –6x2 –6x +10x +10 +15x4 –3x2 +30x3 –6x – 45x22+9
F’(x)= 25x4 + 40x3 – 53x2 – 2x + 19
El mismo resultado hubiéramos encontrado, si en la función f(x), primero realizamos la multiplicación y luego diferenciamos la función, así:
F(x) = 5x5 + 10x4 - 18x3 - x2 + 19x -15
F’(x) = 25x4 + 40x3 – 54x2 – 2x + 19
Entonces, desde la definición de integral indefinida, tenemos que:

Y

En particular

(Podemos