Diseño de engranajes que trabajan con distancia entre centros variable.

1.
Síntesis

3. Estado del arte de las transmisiones por
engranajes con variación de la distancia entre
centros.
4. Determinación de las propiedades
fundamentales de las curvas epicicloidales y evolventes de
círculo.
5. Selección de la curva que forma el
perfil del diente en engranajes con distancia entre centros
variable.
6. Sustitución del perfil de
trabajo del diente por arcos de círculos y análisis
de los parámetros cinemáticos
reales.
7. Referencias
Bibliográficas

8.
Resumen

1.
Síntesis

El trabajo trata la problemática de los
engranajes que trabajan con variación de la distancia
entre centros de operación, lo cual ha sido abordado por
otros autores, pero sólo se han obtenido resultados
parciales. Uno de los principales aportes consiste en enfocar el
análisis desde el punto de vista general
para cualquier relación de transmisión y
número de dientes, pues los trabajos consultados
están relacionados con el caso particular de las coronas
de los molinos de caña de azúcar,
que tienen relación de transmisión igual a la
unidad. Primeramente se hace un estudio de las posibles curvas a
utilizar en el perfil de trabajo de los dientes, se parte de la
formulación general de las curvas epicicloidales,
demostrándose que las evolventes forman parte de esta
misma familia. Se
desarrollan las expresiones para el cálculo de
los parámetros geométricos y se establece un
procedimiento
general para el análisis cinemático de estas
transmisiones, aplicable a todas las curvas analizadas. Se
desarrolla un nuevo procedimiento
para sustituir las curvas originales por arcos de círculo,
con el objetivo de
facilitar su aplicación práctica. Para los perfiles
formados por arcos de círculo se obtienen las expresiones
para determinar el factor de recubrimiento, el ángulo de
presión
y la línea práctica de engranaje.

2.
Introduccion

Los engranajes que trabajan con distancia entre centros
variables no
aparecen tratados con
frecuencia en la literatura
científica. En la práctica se encuentran
transmisiones dentadas que requieren trabajar con distancia entre
centros variables,
como son las coronas principales de los molinos azucareros, las
transmisiones de los cilindros de las máquinas
sobadoras y las galleteras de la industria
alimenticia, teniendo como característica común que todas
tienen relación de transmisión igual a la unidad, o
que requieran relaciones de transmisión diferentes de la
unidad, como es el caso de las coronas que mueven las cuartas
mazas que se le están adicionando a los molinos
azucareros.

Como se plantea anteriormente, en los libros de
diseño
de elementos de máquinas este tema no es tratado, y es una
urgencia de la industria
contar con un procedimiento que permita obtener los
parámetros geométricos y cinemáticos de este
tipo de transmisiones. Por tal motivo se comenzó
realizando una amplia búsqueda bibliográfica con el
objetivo de
conocer el estado en
que se encontraba este tema.

La búsqueda incluyó textos de Teoría
de Máquinas y Mecanismos, de Elementos de Máquinas,
especializados en engranajes, patentes, publicaciones
periódicas, etc. Como resultado se puede plantear que en
la literatura
especializada no se encuentra un método
general que garantice obtener todos los parámetros
geométricos y cinemáticos de las transmisiones
dentadas que trabajan con distancia entre centros variable. Por
ese motivo es que se desarrolla el presente trabajo.

3. Estado del
arte de las
transmisiones por engranajes con variación de la distancia
entre centros.

Desarrollo de las transmisiones por
engranajes.

Desde tiempos remotos el hombre se
ha preocupado por la transmisión del movimiento,
siendo las transmisiones por engranajes una de las más
utilizadas. En [12] se expone de forma cronológica una
serie de hechos históricos relacionados con la evolución de los engranajes. En la Tabla
1.1 se muestran algunos de los primeros científicos que
realizaron aportes a esta temática, la fecha aproximada y
el aporte fundamental realizado por ellos.

Tabla 1.1. Evolución de la teoría
de los engranajes.

Como se aprecia el tema de las transmisiones por
engranajes es tratado desde hace varios siglos, y en la
actualidad sigue siendo objeto de estudio de muchos
especialistas. Al respecto [14] plantea:

"A medida que aparecen nuevos problemas y
aplicaciones de los engranajes, las industrias
interesadas se enfrentan con la necesidad de desarrollar y
producir perfiles de engranajes los cuales resolverán sus
problemas
específicos. De esta manera el arte y la ciencia de
los engranajes está continuamente en proceso de
cambio".

Refiriéndose al desarrollo
futuro en el campo de los engranajes [12] plantea una serie de
vertientes en las que se deberá trabajar, dentro de ellas
se encuentra la del desarrollo de
nuevos perfiles a partir de los existentes "Nuevos perfiles a
partir de la evolvente, cicloides, Wildhaber-Novikov".

Engranajes con variación de la distancia entre
centros de operación.

Al analizar los textos que tratan sobre teoría de
mecanismos y máquinas y sobre la temática del
diseño de elementos de máquinas, se pudo constatar
que el tema de los engranajes que trabajan con distancia entre
centros de operación variable no es abordado. Solamente se
hace referencia a este tipo de transmisión en [17], y en
el mismo se dedica un pequeño epígrafe a este tema
en el que se brindan recomendaciones que se deben tener en cuenta
al realizar su diseño. Estas recomendaciones se pueden
resumir de la siguiente forma:

1. Garantizar que los diámetros exteriores sean
   tales que a las distancias entre centros de operación
   máximas, al menos se obtengan 1.1 pares de dientes en
   contacto.
2. Al producirse el alargamiento de los dientes, debe
   chequearse el ancho en la punta para evitar que se afinen
   más de lo permisible.
3. Debe existir suficiente huelgo de recorrido entre el
   diámetro exterior de cada rueda y el diámetro
   interior de la otra, debiendo tenerse en cuenta para las
   distancias entre centros mínimas.
4. Debe ser evitado el socavado en el diente de las
   ruedas con vistas a mantener las mejores características de resistencia.
5. Al bajar los diámetros interiores, debe
   chequearse el cubo de la rueda, es decir la zona entre el
   diámetro interior y el agujero del
   árbol.

Como se aprecia, las recomendaciones que se ofrecen son
de carácter
general y en ningún momento el texto se
refiere a los métodos
para obtener los parámetros geométricos,
cinemáticos y dinámicos de estas transmisiones. Sin
embargo este es uno de los aspectos más importantes como
se plantea en [49]: "La primera dificultad que aparece al
proyectar un juego de
engranajes reside en el hecho de que es necesario conocer todas
las dimensiones de los engranajes, así como la forma y
tamaño de los dientes, antes de que se puedan determinar
con exactitud las cargas y tensiones. Esto hace necesario estimar
el tamaño y la forma de los dientes de los engranajes,
utilizando métodos simplificados y luego comprobar esta
estimación".

La revisión realizada en otros documentos
arrojó como resultado que estas transmisiones, desde el
punto de vista general, tampoco son abordadas. Sólo se
encontraron referidos estos engranajes en varias publicaciones
cubanas [23, 24, 27, 28,29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 55, 56] y
una mexicana [20], estando en todos los casos relacionados con
las coronas de los molinos.

Tipos de perfiles de los dientes de
engranajes.

Partiendo de los planteamientos anteriores se puede
afirmar que la primera tarea es determinar la forma y
tamaño de los dientes de los engranajes, siendo
indispensable para ello seleccionar la curva que forma el perfil
de trabajo del diente. Al respecto en [25] se plantea: "La zona
de contacto o de trabajo de los dientes es sólo la
limitada por la curva de presiones; el resto del perfil no
actúa y puede tener forma cualquiera". En [59] se concluye
que:

"Un cierto género de
curvas ha merecido, por sus propiedades, la preferencia para la
ejecución del diseño del flanco de dientes de los
engranajes. Estas curvas son las cíclicas. En las que
distinguiremos cinco tipos a saber:

1. Epicicloide.
2. Cicloide.
3. Hipocicloide.
4. Pericicloide.
5. Evolvente de círculo."

Para tener una idea más exacta de las
características de las diferentes curvas se realizó
un estudio de los engranajes más usados en la
práctica, atendiendo al tipo de perfil, y valorando
fundamentalmente sus posibilidades de utilización en
transmisiones con distancia entre centros variable.

Engranajes con perfil cicloidal.

Con anterioridad a la evolvente se desarrollaron los
engranajes que tienen el perfil del diente formado por curvas
cicloidales. En [37] se plantea: "La más remota referencia
que se tiene de un estudio del problema del movimiento
uniforme por engranaje de dientes y su solución, data del
tiempo de Olaf
Roemer, célebre astrónomo danés,
quién en 1674 propuso la forma epicicloide para obtener el
movimiento uniforme". En la práctica la tendencia de los
engranajes cicloidales ha estado dada
por la combinación de las curvas epicicloidales e
hipocicloidales, y son ampliamente tratados en la
literatura especializada [5, 12, 14, 17, 22, 25, 37, 49,
59].

Obtención del perfil del diente.

En la Fig.1.1 se puede apreciar cómo se forma el
perfil del diente. Si se hace rodar sin deslizamiento la
circunferencia generatriz 2 (Rg2) por la parte exterior de la
circunferencia directriz (Rd) N – N, entonces el punto de
contacto P de esta circunferencia describe una curva epicicloide
E. Al rodar la circunferencia generatriz 1 (Rg1) por el interior
de la circunferencia directriz N – N, el punto de contacto
P describe una curva hipocicloide H. El rodamiento de las
circunferencias generatrices 1 y 2, se debe realizar de tal modo
que ambas circunferencias giren en el mismo sentido, por ejemplo
en sentido horario. La curva epicicloide E sirve para obtener el
perfil de la cabeza del diente y la curva hipocicloide H, forma
el perfil del pie del diente.

De forma general, todos los autores que tratan este tipo
de engranajes coinciden en que el diámetro de las
circunferencias generatrices para pares de ruedas individuales se
determina en base de la relación:

Rg1 = (0.35 … 0.5) Rd1

Rg2 = (0.35 … 0.5) Rd2

Para el diseño de series de ruedas se plantea
[5]: "Para una serie de ruedas dentadas, es decir para un
conjunto de ruedas, en el cual las ruedas pueden funcionar en
parejas entre sí, los radios de las circunferencias
generadoras Rg1 y Rg2 deben ser iguales y se encuentran a base de
la formula:

Rg1 = Rg2 = 0.5 Rmin Donde Rmin, es el radio de la
circunferencia primitiva de la rueda más pequeña de
la serie".

Fig.1.1. Formación del perfil cicloidal de un
diente.

En cuanto al coeficiente que establece la
relación entre Rg y Rd otros autores particularizan
más su uso, en [44] se plantea: "… en la industria
relojera se utiliza el perfil cicloidal con módulo m =
0.5, y para toda la construcción de maquinaria se recomiendan
módulos entre m = (0.35 ~ 0.4). Por módulo de la
curva cicloidal se toma la relación entre el radio generatriz
y el radio de la circunferencia directriz".

Ventajas y desventajas de estas
transmisiones.

En toda la bibliografía que trata
estos engranajes los autores coinciden al exponer las ventajas y
desventajas de su uso. Las primeras justifican el hecho de que en
la actualidad se sigan utilizando, fundamentalmente, en la
industria relojera y en la fabricación de bombas
volumétricas. Las desventajas se obtienen al compararlos
con los engranajes de perfil evolvente y justifican la
imposición de estos últimos en la
fabricación de ruedas dentadas.

Ventajas:

• El contacto se realiza siempre entre una curva
  cóncava y otra convexa, o sea entre epicicloide e
  hipocicloide, por lo cual la superficie de contacto es grande,
  la presión específica menor y el desgaste
  más uniforme.
• El número de dientes puede ser bastante
  más reducido que en las ruedas con perfil de
  evolvente.
• El deslizamiento es menor que en los engranajes de
  evolvente y la curva de presiones tiene mayor desarrollo, de
  donde resulta una mayor duración del
  engranaje.

Desventajas:

• La distancia entre centros ha de permanecer
  absolutamente fija, ya que cada punto del perfil de una rueda
  corresponde con otro punto del otro perfil, y a la menor
  dislocación se producen importantes alteraciones en su
  funcionamiento al dejar de cumplirse la ley fundamental
  del engranaje.
• El trazado es más difícil, puesto que
  intervienen dos curvas distintas en cada perfil.
• La intensidad de las presiones normales entre los
  dientes en contacto aumenta desde el centro a los extremos, por
  lo que tiende a desgastarse desigualmente.
• Aunque tengan igual paso, dos ruedas no pueden
  engranar si sus dientes no están engendrados por las
  mismas circunferencias generatrices.
• Las herramientas
  para la fabricación de estos perfiles son numerosas y su
  ejecución más delicada.

De la descripción realizada se deduce que este
tipo de transmisión no puede ser utilizada con el fin
propuesto en este trabajo, pues una de las desventajas
fundamentales de la misma es precisamente que no aceptan ninguna
variación de la distancia entre centros.

Engranajes con perfil evolvente.

Como se planteó anteriormente los engranajes con
perfil evolvente se impusieron a los cicloidales, y en la
actualidad son los más utilizados en los engranajes de uso
común.

Formación del perfil del diente.

En todos los textos en los que se trata el tema de los
engranajes se describe como se obtiene esta curva. En [15] se
describe basándose en la Fig.1.2:

"La evolvente de círculo se define como sigue:
Consideremos una recta que rueda sobre un círculo sin
deslizarse; un punto M cualquiera de la misma describe una curva
llamada evolvente del círculo considerado. Dicha curva
evidentemente no puede penetrar en el interior del
círculo"

Fig.1.2. Trazado de la evolvente.

De la misma forma, en la literatura especializada,
aparecen ampliamente tratados los procedimientos
para obtener los parámetros geométricos de los
mismos, por lo que no serán referidos en este
trabajo.

Ventajas y desventajas de los engranajes de
evolvente.

Al igual que en el caso de los engranajes cicloidales,
los autores que tratan los engranajes con perfil evolvente
coinciden en general al referirse a las ventajas y desventajas de
estos. Sobre este tipo de engranaje [14] plantea: "The fact that
the involute form of tooth has almost entirely superseded the
cycloidal form is in itself an indication that the involute form
is superior".

Ventajas:

• La distancia entre centros puede variar ligeramente
  sin afectarse sensiblemente el funcionamiento del engranaje.
  Sólo cambia con ello el ángulo de
  presión.
• El trazado es más sencillo por constar de una
  sola curva.
• La presión normal entre perfiles es constante
  por ser la línea de presiones una recta, de aquí
  resulta un desgaste uniforme.
• Una rueda cualquiera puede engranar con todas las que
  tengan su mismo módulo, si el ángulo de
  presión es el mismo.
• Las herramientas
  para su fabricación son mucho más reducidas,
  bastando con 8 fresas por módulo para todas las ruedas
  hasta el módulo 10 y 14 fresas si el módulo es
  mayor de 10.
• Su fabricación es mucho más perfecta y
  sencilla, ejecutándose modernamente por el método
  de generación continua, por el que se obtienen los
  perfiles prácticamente perfectos, con una sola
  herramienta.
• El trazado de las cremalleras es muy sencillo, ya que
  el perfil es una recta.

Desventajas:

• La superficie en contacto de dos dientes se reduce a
  una recta por ser dos curvas convexas, de aquí que
  después de mucho tiempo de
  funcionamiento, por el desgaste en la base, se parezca este
  trazado al cicloidal.
• El número mínimo de dientes es algo
  mayor que en las transmisiones con perfil
  cicloidal.
• El rendimiento es ligeramente inferior al perfil
  cicloidal por haber mayor deslizamiento.

Al comparar los engranajes con perfil del diente
cicloidal y evolvente [25] plantea: "Debido a la superioridad de
ventajas presentadas por el perfil de evolvente, es este el
universalmente adoptado para ruedas de fuerza, ruedas
cónicas, helicoidales y cremalleras, utilizándose
el perfil cicloidal cuando se requiere una marcha tranquila o un
pequeño desgaste en las ruedas interiores, piñones
de muy reducido número de dientes, relojería
etc.".

A partir del análisis sobre las transmisiones con
perfil evolvente puede decirse que es posible su
utilización para el diseño de engranajes que
trabajan con variación de la distancia entre centros. Como
se planteó anteriormente este tipo de perfil ha sido
utilizado para el diseño de coronas de molinos de
caña [50], pero las particularidades del mismo en su forma
común no permiten dar solución a todos los
problemas que se abordan en este trabajo.

Engranajes con perfil composite involute de 14
½º.

Este sistema
también es ampliamente tratado en la literatura
especializada [9, 12, 14, 16, 17, 22, 37, 49, 52, 53, 59]. Al
respecto [53] plantea:

"En este sistema, la curva
del diente es una evolvente a una distancia corta a cada lado del
círculo primitivo pero en las porciones interior y
exterior del trazado es una cicloide… Este sistema se llama a
veces, erróneamente, Ç sistema de involuta de 14.5º
normalizadoÈ
, como antes se indicó, solamente una porción
de los dientes es de forma involuta".

Sobre este tipo de engranajes se plantea en [16, 37]:
"La línea de engrane del diente es más larga con el
sistema compuesto que con el sistema de diente de evolvente
pura".

Este tipo de perfil es empleado en el diseño de
coronas de molinos de caña [28, 45], aunque no aparece
desarrollado el procedimiento para determinar los
parámetros geométricos. En [45] se realiza una
comparación entre diferentes coronas clasificadas a partir
de su trazado. Entre éstas se encuentra la de perfil
composite involute, de la cual se muestra su
trazado en la Fig.1.3.

Fig.1.3. Trazado de las coronas con perfil composite
involute (sustituido por arcos de círculo).

Sobre las particularidades de las coronas
diseñadas con este perfil [28] plantea: "El perfil
COMPOSITE INVOLUTE permite una mayor variación de la
distancia entre centros, pero el contacto entre los dientes es
más irregular y las cargas dinámicas
mayores".

Como resultado de la comparación realizada en
[45], se concluye que el perfil composite involute garantiza una
mayor variación de la distancia entre centros de
operación que la mayoría del resto de los perfiles,
solo superado por el perfil FULTON. Por ese motivo se
profundizó en el estudio del perfil composite involute,
pues lograr variaciones de distancias entre centros grandes en
las transmisiones es uno de los objetivos
fundamentales del procedimiento a desarrollar.

Como se aprecia en la Fig.1.3 el trazado del perfil se
realiza a partir de tres arcos de circunferencia, siendo la zona
de trabajo del diente la correspondiente a la cabeza del mismo.
Según el trazado del perfil original [25, 37, 49, 53],
esta zona está formada por un pequeño tramo de
evolvente cerca de la circunferencia básica, y la mayor
parte del diente por una epicicloide.

Los engranajes en los cuales el perfil de trabajo
está formado por epicicloides, aparecen reflejados en la
literatura [12, 25], específicamente en [25] estas
transmisiones aparecen clasificadas como "engranajes de doble
punto". Por tal motivo se considera posible utilizar la curva
epicicloide para formar la zona de trabajo del diente y de esta
manera eliminar el inconveniente que representa trazar un
pequeño tramo evolvente utilizado en la composite
involute.

Sustitución del perfil de los dientes por arcos
de circunferencia.

Desde el punto de vista práctico, en muchas
ocasiones, es conveniente sustituir el perfil de los dientes en
los engranajes, por arcos de circunferencia. En [25] se
plantea:

"Se han ideado varias construcciones para sustituir
aproximadamente, mediante arcos de circunferencia, las curvas del
perfil, tanto cicloidal como de evolvente, obteniéndose
así curvas de trazado continuo, que aunque no son las
teóricas difieren poco de ellas, sobre todo teniendo en
cuenta que el dibujo de
estas habría de hacerse por puntos".

A continuación se hace un análisis
crítico de varios métodos desarrollados para este
fin.

Sustitución del perfil evolvente según
Grant.

Existen diferentes métodos para la
sustitución del perfil evolvente por arcos de
circunferencia. Dentro de ellos se destacan las tablas
prácticas ideadas por George B. Grant a principios de
este siglo, y que son conocidas como "odontógrafo de
Grant" [12].

El método en general utiliza coeficientes
tabulados, los cuales multiplicados por el módulo de la
rueda permiten obtener el valor de los
radios de los arcos de círculo y los centros de los
mismos. Los valores de
estos coeficientes se obtienen a partir del número de
dientes. El trazado para la evolvente es según se
representa en la Fig.1.4.

Fig.1.4. Sustitución de la evolvente según
método de Grant.

En este procedimiento el perfil de los dientes de las
ruedas que tienen Z < 37 dientes se realiza por dos arcos de
círculo. Los perfiles de ruedas con Z > 36 dientes se
forman por un arco. En la Tabla 1.2 se muestra un
extracto de las tablas de Grant para el perfil
evolvente.

Tabla 1.2. Extracto del odontógrafo de Grant para
la evolvente.

R1 = m × c

R2 = m × b

Sustitución del perfil cicloidal según la
"Technical scholl of Manchester".

Es muy poco exacto y su aplicación principal se
refiere a la representación de dentados, sin valor para
el trabajo
práctico del perfil. Consiste sencillamente en tomar sobre
la circunferencia primitiva, como centro un radio R para el arco
de cabeza y otro r para el pié, cuyos valores
son:

R = 1.25 t r = 0.75 t

Fig.1.5. Trazado de la "Technical scholl of
Manchester".

Otros métodos de sustitución de los
perfiles.

Método de Reuleaux.

Este método es aplicado a los engranajes
cicloidales solamente. En él se sustituye la zona
epicicloidal por un arco de circunferencia y la zona
hipocicloidal por otro, es decir el perfil queda formado por dos
arcos de círculo.

Como limitante, a este método se le plantea que
es aplicable a partir de la hipótesis de que los radios generatrices
son iguales Rg1 = Rg2 = 0.875 · t. El autor plantea "Si
además Rg1 ó Rg2 = 0.875 t, la rueda
correspondiente tiene 11 dientes, o sea que el número
mínimo Z de dientes en las ruedas cicloidales de flanco
recto es 11".

Método de Wills.

Se utiliza también para obtener un perfil
equivalente al cicloidal. Supone que el número de dientes
correspondiente a la rueda de flanco recto es 15 en lugar de 11
con lo cual Rg > 0.875 · t. "En este trazado los puntos que
determinan los radios de la curva del perfil se obtienen mediante
rectas (o curvas) que se cortan formando un pequeño
ángulo y por ello es poco exacto".

En la bibliografía consultada, para ninguno de
los métodos explicados anteriormente, aparecen los
procedimientos
usados para obtener los coeficientes que se proponen para
determinar los valores de
los radios y sus centros de trazado. En todos los casos la
sustitución por arcos es una aproximación de la
curva original.

Chequeos de resistencia.

Como se plantea en [49], después de que se
determina la forma y tamaño de los dientes de las ruedas,
es necesario comprobar las estimaciones realizadas en el proceso de
proyecto. Al
respecto [15] plantea:

"Debiera calcularse el engranaje desde los puntos de
vista siguientes:

• Resistencia a la rotura.
• Resistencia a la presión
  superficial."

En el caso particular de las coronas [20, 28, 58]
coinciden con el planteamiento anterior. Es decir que indican
estas fallas como las que se deben tener en cuenta al realizar
los chequeos de resistencia a estos engranajes. En [28] se
plantea:

"Este cálculo
tiene en cuenta la resistencia superficial y la resistencia a la
fractura"

Partiendo de estos criterios se puede plantear que los
chequeos de resistencia, al diseñar engranajes que
trabajan con distancia entre centros variable, se realicen en
función
de estas fallas.

Chequeo a flexión.

Los dientes de los engranajes que trabajan con
variación de la distancia entre centros tienen la
particularidad de ser más largos que los dientes de los
engranajes comunes, en [20] se plantea:

"Estos engranajes están diseñados para
permitir una variación importante en la distancia
operativa entre centros, es por ello que el diente tiene
proporciones especiales que lo hacen ser notablemente más
largo que los dientes comunes con perfil evolvente".

Por tal motivo el chequeo a flexión puede
adquirir singular importancia. Sin embargo, en el análisis
estadístico realizado en [28], se plantea como resultado,
que la fractura de los dientes representa menos del 2% de las
fallas que presentan las coronas de los molinos. El resultado de
este análisis coincide con las opiniones de varios
técnicos azucareros de experiencia, consultados al
respecto.

No obstante esos resultados, se considera que este
chequeo es necesario, sobre todo al diseñar nuevos
engranajes que tendrán diferentes dimensiones y
relación de transmisión, lo que conlleva a utilizar
diferentes números de dientes. Con este objetivo se
consultaron numerosos materiales,
entre los que se encuentran textos [38, 39, 51, 57] y
artículos en publicaciones científicas [1, 2, 6, 7,
8, 11, 13, 13, 18, 41, 58].

Como resultado de ese análisis se coincide con lo
planteado en [58]: "El cálculo de las tensiones en un
cuerpo elástico sometido a un sistema arbitrario de cargas
y de forma geométrica compleja, como es el caso de las
coronas, es una tarea difícil e inexacta utilizando los
métodos convencionales de cálculo".

En la actualidad el método de los elementos
finitos es ampliamente aplicado en los procesos de
diseño mecánico. Este método, aplicado a
coronas, es referido en [28, 32, 50, 57], brindando resultados
satisfactorios.

Chequeo a contacto superficial.

El chequeo a contacto superficial es otro de los
recomendados en la literatura especializada. Sobre este tema se
ha desarrollado un importante trabajo por un grupo de
especialistas de la Universidad
Central de las Villas y de la Universidad de
Oriente que aborda, particularmente, el caso de las coronas [3,
46, 47]. En estos trabajos se desarrolla un procedimiento para el
cálculo del coeficiente de fricción en las coronas
de molinos y se estudia su influencia en las tensiones de
contacto. Por tal motivo para la realización del chequeo a
contacto superficial se pueden utilizar los procedimientos
clásicos [10, 39] complementados con los resultados de
estas investigaciones.

Conclusiones del capítulo.

• No existe un procedimiento general para el
  cálculo de los parámetros geométricos y
  cinemáticos de los engranajes que trabajan con
  variación de la distancia entre centros de
  operación y cualquier relación de
  transmisión. Por tal motivo es necesario desarrollar un
  método que permita dar solución a los problemas
  con este tipo de transmisiones en la industria
  cubana.
• No existe, en la bibliografía consultada,
  ningún trabajo en que se haya realizado un estudio
  minucioso de las diferentes curvas utilizadas en los perfiles
  de los dientes de engranajes, atendiendo a sus posibilidades de
  variación de la distancia entre centros de
  operación.
• Las curvas para formar el perfil de los dientes en
  las transmisiones por engranajes con distancia entre centros
  variables, deben ser curvas convexas pertenecientes a la familia
  de las curvas cíclicas. Estas curvas deben garantizar el
  necesario alargamiento de los dientes en este tipo de
  transmisiones. Presentan mayores posibilidades de
  utilización las epicicloidales y las evolventes de
  círculo.
• Los métodos aproximados, utilizados para
  sustituir por arcos de círculo las curvas que forman el
  perfil de trabajo de los dientes de engranajes, pueden
  precisarse más utilizando las técnicas
  actuales de computación.
• Los dientes de los engranajes que trabajan con
  variación de la distancia entre centros deben chequearse
  a flexión y a contacto superficial. Para la
  realización del chequeo a flexión es recomendable
  el empleo del
  método de los elementos finitos. En el análisis a
  contacto superficial debe tenerse en cuenta la influencia de la
  fricción.

4. Determinación de
las propiedades fundamentales de las curvas epicicloidales y
evolventes de círculo.

Una de las conclusiones del Capítulo I plantea
que las curvas convexas con mayores posibilidades de
utilización como perfiles de los engranajes con distancia
entre centros variable son las epicicloidales y las evolventes de
círculo. Según las recomendaciones que se hacen en
ese propio capítulo para este tipo de engranajes, debe
procurarse aumentar el radio exterior, es decir, lograr un diente
más largo. En la bibliografía especializada
consultada solamente se tratan las curvas epicicloidales y
evolventes "comunes", en cuyos casos el aumento del radio
exterior está limitado por el espesor de la punta del
diente; y la disminución del radio interior no repercute
en la zona de trabajo, una vez que su valor es inferior al radio
de la circunferencia básica. Sin embargo, este
último aspecto cambia si se consideran las expresiones
generales de estas curvas en su formulación "alargada", lo
cual no ha sido estudiado por los autores consultados. Esta
formulación general tiene la ventaja de que incluye
también la posibilidad de estudiar las curvas "comunes"
como se verá en el desarrollo del
capítulo.

Antes de pasar a analizar estas curvas como perfil de
los dientes de engranajes resulta necesario determinar algunas de
sus propiedades como entidades geométricas. Dentro de
estas propiedades tienen vital importancia su forma
geométrica, los radios de curvatura en los diferentes
puntos y los centros de los círculos
osculadores.

Curvas epicicloidales.

La ecuación general de estas curvas, expresada en
su forma paramétrica según [42], puede escribirse
de la siguiente forma (ver fig. 2.1.):

(2.1)

Donde:

ro – Radio de la circunferencia
básica (directriz).

rg – Radio de la circunferencia
generatriz.

j – Angulo que forma
la línea que une el centro de coordenadas con el punto en
contacto de las dos circunferencias respecto al eje horizontal
(parámetro de la ecuación).

d – Distancia del punto que describe la curva,
medida a partir del borde de la circunferencia
generatriz.

Fig. 2.1. Curva epicicloidal.

Atendiendo a los valores de d
pueden darse los siguientes casos:

1. d = 0 Þ epicicloide común.
2. d >
   0 Þ
   epicicloide alargada (caso que se muestra en la Fig.
   2.1.)
3. d <
   0 Þ
   epicicloide acortada.

En [42] solamente se enuncian las expresiones generales
(2.1) y se clasifican, pero no se determina ninguno de los
parámetros mencionados anteriormente. En el resto de los
textos consultados, incluyendo los de Geometría
Analítica, no se hace mención siquiera a la
existencia de estas expresiones generales. No obstante, estos
parámetros pueden calcularse aplicando las ecuaciones
deducidas para cualquier curva plana.

El radio de curvatura de una curva plana, dada en
ecuaciones
paramétricas, se determina por la siguiente
expresión [19, 42, 43, 54, 60]:

(2.2)

Donde:

–
Primera derivada de las coordenadas con respecto al
parámetro de la ecuación.

–
Segunda derivada de las coordenadas con respecto al
parámetro de la ecuación.

En el caso de las curvas epicicloidales (2.1),
sería:

(2.3)

(2.4)

Sustituyendo (2.3) y (2.4) en (2.2) y agrupando
términos semejantes:

Donde:

Entonces:

(2.5)

Las coordenadas (m, n) del centro del círculo
osculador de una curva plana pueden calcularse de la siguiente
forma [19, 42, 43, 60]:

(2.6)

(2.7)

Sustituyendo las ecuaciones (2.1), (2.3) y (2.4) en
(2.6) y (2.7) respectivamente se obtiene:

(2.8)

(2.9)

Donde:

(2.10)

(2.11)

Curvas evolventes de círculo.

En [59] se plantea que si el círculo rodante
(circunferencia generatriz) se convierte en una recta, entonces
la curva epicicloidal da origen a la evolvente de círculo.
Esta afirmación, por simple inspección, parece
lógica,
pero en ninguno de los textos consultados se demuestra; menos
aún teniendo en cuenta su formulación general. Para
que se tenga una idea más clara de la relación o
parentesco de estas curvas, a continuación se
presentará esta demostración.

Para que la circunferencia generatriz se convierta en
una recta tendría que ser su radio de longitud infinita,
por lo que las ecuaciones de la evolvente deberán
obtenerse aplicando este límite a la expresión
general de la epicicloide (2.1); esto es:

Después de haber agrupado convenientemente
algunos términos y expresar el límite inicial como
la suma de dos límites
separados, el primero de ellos se puede determinar sin ninguna
dificultad:

En el segundo caso se trata de un límite
indefinido (¥
× 0), el cual se
resuelve expresándolo como una división y aplicando
posteriormente la regla de L’Hospital [42, 54,
60]:

Sumando los resultados de ambos límites, se
obtiene:

(2.12)

Nota: La ecuación de la coordenada y se obtiene
fácilmente aplicando el mismo procedimiento que se
siguió con la x.

Fig. 2.2. Curva evolvente de círculo.

Las ecuaciones (2.12) coinciden con las planteadas en
[42] como ecuaciones paramétricas generales de la
evolvente de círculo, lo cual puede verificarse con la
ayuda de la Fig. 2.2. La evolvente de círculo, de acuerdo
con el valor de la distancia d, se clasifica, al igual que la
epicicloide, en: común, alargada y acortada. La
demostración realizada permite afirmar que las curvas
evolventes de círculo son un caso particular de las curvas
epicicloidales, cuando el radio generatriz toma valor
infinito.

La evolvente de círculo, en su formulación
general, tampoco es tratada en la bibliografía referida,
por lo que resulta necesario establecer las expresiones que
determinan su radio de curvatura y el centro del círculo
osculador. Esto se hace de forma análoga a las curvas
epicicloidales, partiendo de (2.2), (2.6) y (2.7).

Para la evolvente de círculo dada por (2.12), se
obtiene:

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

Donde:

(2.18)

Comparación entre las curvas epicicloidales y
evolventes de círculo.

A continuación se realiza una comparación
entre los diferentes tipos de curvas analizadas anteriormente, de
manera que pueda tenerse una idea más clara de su posible
empleo en los
perfiles de los dientes. Para facilitar la realización de
esta comparación, se utilizó un programa de
computación, creado a partir de las
expresiones generales desarrolladas anteriormente y que permite
obtener las curvas epicicloidales (2.1) y evolventes (2.12),
así como los lugares geométricos de los centros de
sus círculos osculadores (evolutas) a partir de las
ecuaciones (2.8), (2.9) y (2.16), (2.17)
respectivamente.

Comparación entre las curvas
epicicloidales.

Fig.2.3. Comparación entre las
epicicloides.

En la Fig.2.3 se muestra una epicicloide "común"
y otra "alargada". En ambos casos la curva se obtiene a partir de
la misma circunferencia básica (ro) y la relación
entre las circunferencias básica y generatriz es de 0.5.
Como se aprecia, la zona que se puede utilizar para formar el
perfil del diente es mucho más larga en la curva
"alargada" que en la "común". En primer lugar, en la
"alargada", se puede tomar un sector por dentro del radio
básico y, en segundo lugar, en la zona exterior al radio
básico es más abierta, lo que posibilitaría
poder utilizar
un radio exterior mayor.

Comparación entre las curvas
evolventes.

Fig.2.4. Comparación entre las
evolventes.

En el caso de las evolventes se procede igual que en las
epicicloides, es decir que se parte de una misma circunferencia
básica. Como se aprecia en la Fig.2.4, la evolvente
"alargada" parece garantizar también la obtención
de un diente con una zona de trabajo mayor que la evolvente
"común". La diferencia con respecto al caso de la
epicicloide está en que, en la zona exterior al radio
básico, la evolvente "alargada" es más cerrada que
la "común", por lo que esta última
permitiría un radio exterior mayor.

Comparación entre las curvas evolventes y
epicicloidales comunes.

En este caso también se mantiene la misma
circunferencia básica, en la epicicloide la
relación entre la circunferencia generatriz y la
básica es de 0.5. En la Fig.5 se aprecia claramente que la
epicicloide queda por dentro de la evolvente, y esto se cumple
para cualquier radio generatriz. Por tanto, puede afirmarse que
la evolvente "común" permite obtener dientes de mayor
altura que los de perfil formado por la epicicloide
"común".

Fig.2.5. Comparación entre la epicicloide y
evolvente comunes.

Comparación entre la epicicloide "alargada" y la
evolvente "común".

Teniendo en cuenta los resultados de las comparaciones
anteriores, es lógico comparar la curva epicicloide
"alargada" con la evolvente "común", pues son las
más abiertas de cada tipo y permiten utilizar por tanto un
mayor radio exterior. Como se aprecia en la Fig.2.6 la curva
epicicloidal "alargada" es más cerrada que la evolvente
"común", por lo que esta última permitiría
obtener el radio exterior mayor de todas las curvas analizadas.
Esto no significa, sin embargo, que se obtenga el diente
más largo pues como se ha explicado, las curvas
"alargadas" permiten prolongar el perfil de trabajo del diente
por dentro del radio básico.

Fig.2.6. Comparación entre la epicicloide
"alargada" y la evolvente "común".

Conclusiones del capítulo.

• El estudio realizado permite afirmar que las curvas
  evolventes de círculo pertenecen a la familia
  de las curvas epicicloidales, pues se obtienen a partir de
  éstas cuando el radio generatriz alcanza valor infinito.
  A tal efecto se desarrolló una demostración
  matemática, que no aparece en la
  bibliografía consultada.
• Las expresiones para determinar los radios de
  curvatura y los centros de los círculos osculadores de
  las formulaciones generales de las curvas epicicloidales y
  evolventes no aparecen explícitamente en la literatura,
  pero se obtienen sin dificultades a partir de las expresiones
  deducidas para todas las curvas planas.
• Las comparaciones realizadas entre las diferentes
  curvas, atendiendo a su forma geométrica, no permiten
  tomar una decisión en cuanto a qué curva
  será mejor para el perfil de trabajo en engranajes que
  operan con distancia entre centros variable. Por un lado, unas
  permiten utilizar un mayor radio exterior y por otro lado,
  otras permiten prolongar la zona de trabajo de los dientes por
  dentro del radio básico. Esto indica que debe hacerse un
  estudio de la influencia del tipo de curva en los
  parámetros geométricos y cinemáticos de la
  transmisión, y sobre esta base elegir la curva
  más apropiada.

5. Selección
de la curva que forma el perfil del diente en engranajes con
distancia entre centros variable.

Como se plantea en el capítulo anterior, no es
posible elegir la curva que forma el perfil del diente en los
engranajes con distancia entre centros variable partiendo
solamente de su aspecto geométrico. Por tal motivo resulta
necesario estudiar el comportamiento
de los diferentes tipos de perfil en el funcionamiento de la
transmisión. Para ello debe realizarse, en primer lugar,
el dimensionamiento de los engranajes, es decir, la
determinación de sus parámetros geométricos;
y en segundo lugar, analizar cómo influye esta geometría
en otros parámetros de la transmisión, como son: el
factor de recubrimiento, ángulo de presión,
velocidad de
deslizamiento, etc., conocidos como parámetros
cinemáticos. Haciendo una valoración integral de
todos estos aspectos podrá proponerse el perfil más
adecuado para estos engranajes.

Determinación de los parámetros
geométricos de los engranajes.

Para definir las dimensiones generales de la
transmisión se necesitan conocer ciertos datos de partida.
En el caso de los engranajes con distancia entre centros variable
los datos
son:

• Distancia entre centros máxima y mínima
  a que trabajará la transmisión (amax,
  amin).
• Relación de transmisión deseada
  (i1,2).
• Número de dientes de la rueda 1
  (Z1).

Número de dientes (Z1 y
Z2).

Como ya se dijo, producto de la
variación de la distancia entre centros que tiene que
garantizarse, los dientes de este tipo de engranajes son
más largos que los dientes comunes, por lo que aumentar
excesivamente el número de ellos conlleva a obtener
dientes muy delgados, lo que perjudicaría su rigidez y
resistencia. En la bibliografía [56] se plantea que el
rango permisible está entre 11 y 21 dientes,
obteniéndose los mejores resultados con 15, 16, 17, 18 y
19 dientes para relaciones de transmisión iguales a la
unidad, por lo que se toma un valor dentro de esos límites
para la rueda 1 y se calcula .

(3.1)

En caso de que el número de dientes calculado no
sea un número entero, se redondeará al más
próximo y se recalculará la relación de
transmisión obteniéndose su valor real.

Radio primitivo mínimo
(rmin).

En las transmisiones por engranajes con variación
de la distancia entre centros, los radios primitivos
varían a medida que varía esta distancia. Los
valores mínimos de estos radios se determinan por la
expresión:

(3.2)

Donde:

Z = Z1 para la rueda 1

Z = Z2 para la rueda 2

Radio básico (rO).

En los perfiles formados por las curvas comunes se
recomienda siempre que el radio básico (rO)
esté por debajo del radio primitivo [22], para garantizar
que el contacto siempre se realice en la zona de trabajo del
diente. En el caso de las curvas alargadas el perfil del diente
puede prolongarse por debajo de la circunferencia básica,
esto permite que el radio primitivo y el básico puedan
igualarse sin que ocurran dificultades. Para este análisis
siempre se tomará como referencia la distancia entre
centros mínima y por tanto, el radio primitivo
mínimo, ya que esta será la condición
más crítica.

rO = k1 ∙
rmin(3.3)

Donde:

k1 = (0.9 ÷ 1) … Factor del radio
básico. Este rango se propone sobre la base de lo
explicado anteriormente y procurando que el ángulo de
presión no sea excesivamente grande, lo que influye
negativamente en la eficiencia de la
transmisión. No obstante podrá precisarse
más adelante cuando se estudie su influencia en los
parámetros cinemáticos de la
transmisión.

Radio de la circunferencia generatriz
(rg).

En el caso de la curva epicicloidal es necesario definir
también el radio de la circunferencia
generatriz:

rg = k2 ∙
rO(3.4)

Donde:

k2 > 0 … Factor del radio generatriz. En
este caso no se propone un rango más estrecho porque no se
conoce con precisión la influencia de este factor, lo cual
deberá precisarse al determinar los parámetros
cinemáticos. Mientras tanto la restricción es
puramente matemática.

En las curvas evolventes de círculo no se tiene
en cuenta rg, pues como ya se dijo esta circunferencia
se convierte en una recta.

Alargamiento de la curva (d).

Con respecto a la magnitud de la distancia d
(alargamiento), no existe una limitación
específica. No obstante, para el aumento que se necesita
de la longitud de los dientes, es suficiente considerando
que:

d = k3 ∙ rO
(3.5)

Donde:

k3 = (0 ÷ 0.5) … Factor de
alargamiento.

Radio donde comienza la zona de trabajo
(rp).

En las curvas "comunes" el perfil de trabajo está
limitado, en su parte inferior, por el radio básico, pero
no ocurre así en el caso de las curvas epicicloidales y
evolventes de círculo "alargadas", resultando necesario
determinar este límite inferior. Por la forma que tienen
estas curvas no es aconsejable tomarlas desde el punto en que
comienzan, ya que el espesor del diente disminuiría
considerablemente en este punto y se haría muy
débil. Por este motivo se recomienda utilizar solamente
una parte de la zona que está por dentro del radio
básico, expresado de la siguiente forma:

rp = rO –
k4 ∙ d(3.6)

Donde:

k4 = (0 ÷ 1) … Factor de
utilización del alargamiento. En el rango propuesto no se
precisa la recomendación anterior, pues esto
también deberá hacerse cuando se estudie la
cinemática de la
transmisión.

Módulo (m) y paso (t).

El concepto de
circunferencia de paso está ligado al contorno de una
cremallera básica, inexistente en este caso. Algunos
autores optan por medir el paso (t) en la circunferencia
básica y determinan el módulo del engranaje (m) con
respecto a esta circunferencia [24, 25]. Esta misma idea
será aplicada en el caso que se analiza:

(3.7)

(3.8)

Espesor del diente (S).

En este tipo de transmisiones, donde se requieren
dientes más largos y por tanto una mayor profundidad de
encaje del diente, probablemente sea necesario disminuir su
espesor en relación con los engranajes tradicionales ya
que existe una mayor posibilidad de que ocurra el fenómeno
de interferencia. Teniendo en cuenta esta consideración el
espesor del diente por la circunferencia básica (So) se
puede determinar de la siguiente forma:

So = k5 × t
(3.9)

Donde:

k5 = (0.45 ¸ 0.5)… Factor del espesor del
diente. El rango se propone evitando una disminución
excesiva del espesor del diente, lo cuál lo
debilitaría. En [28] se propone k5 =
0.48.

El espesor del diente es necesario determinarlo
también en otras circunferencias diferentes de la
básica, como es la circunferencia exterior. Conociendo el
radio de la circunferencia (r), por la cual se desea determinar
el espesor del diente, se cumple:

r2 = x2 +
y2 (3.10)

Para las curvas epicicloidales (2.1) se obtiene al sumar
sus cuadrados:

(3.11)

Sustituyendo (3.10) en (3.11) y despejando, se
obtiene:

(3.12)

De forma similar se procede con las evolventes de
círculo (2.12):

(3.13)

(3.14)

Con el parámetro j se pueden calcular las coordenadas x, y a
partir de las expresiones (2.1) ó (2.12), en dependencia
del tipo de curva. De esta forma se determina el
ángulo g
(ver Fig. 3.1):

(3.15)

Fig. 3.1. Determinación del espesor del
diente.

El ángulo g O puede determinarse sustituyendo
rO en lugar de r, en (3.12) para las curvas
epicicloidales ó (3.14) para las evolventes. Luego por
(2.1) ó (2.12) se calcula x, y; en este caso
xO, yO, siendo:

(3.16)

El ángulo es el que encierra el semiespesor del diente por la
circunferencia básica y se determina:

(3.17)

De esta forma puede determinarse el espesor del diente
(S) por una circunferencia cualquiera de radio (r):

(3.18)

El espesor en la punta del diente (Se) se obtiene para r
= re. Para éste debe cumplirse:

Se ³ k6 × m (3.19)

Donde:

k6 = 0.16 … Factor del espesor
mínimo del diente.

Radio exterior (re).

El radio exterior (re) se determina mediante
la siguiente expresión:

re = rmin +
k7 ×
m (3.20)

Donde:

k7 = (1 ¸ 1.5) … Factor de la altura de la
cabeza del diente. En el rango propuestp se tiene en cuenta la
necesidad de alargar los dientes.

Radio interior (ri).

El radio interior (ri) puede calcularse de la
siguiente forma:

ri = rmin –
(k7 + k8) × m (3.21)

Donde:

K8 = 0.25 … Factor de holgura
radial.

Nota:

k6 y k8 podrían tomar otros
valores en engranajes con exigencias especiales. Los valores
señalados son usados en la mayoría de los
engranajes, incluyendo las coronas de molinos de
caña.

Determinación de los radios que forman el pie del
diente (R3 y R4).

Hasta este momento se han determinado las dimensiones
del perfil de trabajo del diente y el diámetro interior.
Ahora es necesario definir la forma en que se une ese radio
interior con la zona de trabajo para obtener la geometría
de todo el diente. Como se planteó en el Capítulo
I, según [25] esta parte del perfil "… no
actúa y puede tener forma cualquiera". Por tal motivo, y
tomando como base la experiencia de las coronas [21, 26, 40], se
decide trazar esta zona utilizando dos arcos de circunferencia R3
y R4 (ver Fig. 3.2). Estos arcos tienen que garantizar,
fundamentalmente, que no ocurra la interferencia en esta
zona.

R3 = k9
×
m (3.22)

Donde:

k9 = (1 ÷ 2)
… Factor del radio de empalme.

Fig.3.2. Arcos que forman el pie del diente.

El radio del fondo del diente (R4) debe cumplir la
condición de que sea tangente a R3 y a ri.
Tomando como referencia la Fig. 3.2 se pueden obtener las
siguientes expresiones:

(3.23)

Donde:

(3.24)

tP … paso por la circunferencia
rP.

SP … espesor del diente en
rP. Se determina según el procedimiento
descrito para obtener el espesor en cualquier circunferencia,
sustituyendo el radio r por rP.

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

Determinación de los parámetros
cinemáticos de la transmisión.

Después de dimensionar las ruedas de la
transmisión, como se ha explicado antes, deben
determinarse los parámetros cinemáticos más
importantes de la misma para poder
seleccionar la curva más adecuada para el perfil de estos
engranajes. Dentro de los parámetros a considerar se
encuentran: el factor de recubrimiento, el ángulo de
presión, la línea de engranaje, la velocidad de
deslizamiento relativo y velocidad angular de la rueda
2.

Factor de recubrimiento.

Para determinar el factor de recubrimiento es necesario
conocer los puntos extremos donde comienza y termina el contacto
entre una pareja de dientes. A partir de la Fig. 3.3 se pueden
obtener las expresiones para determinar la posición del
punto de contacto Q.

Dada la complejidad de las ecuaciones de las curvas
analizadas no existe un método que permita conocer
directamente la posición del punto de contacto, por lo que
se parte de la condición general que debe cumplirse, es
decir, que la normal común a los perfiles en contacto pasa
por este punto y une a los dos centros de curvatura
correspondientes a dicho punto. Para el ángulo
a se cumple
entonces:

Fig. 3.3. Esquema para la determinación de los
parámetros cinemáticos.

(3.29)

Por tanto:

(3.30)

Del triángulo O1O2Q se
obtiene:

(3.31)

(3.32)

Combinando las expresiones (3.31) y (3.32) se puede
obtener:

(3.33)

(3.34)

Si se conoce, por ejemplo, l1 y
j 1 se puede
determinar j
2 de (3.33) y l2 despejando de
(3.32). Con l1 se puede también
determinar j de
la exprsión (3.12) ó (3.14) dependiendo del tipo de
curva que se analiza, en cualquiera de los dos casos basta con
sustituir r por l1. Con este j se determinan las coordenadas
del centro del círculo osculador m y n por las ecuaciones
(2.8) y (2.9) ó (2.16) y (2.17) respectivamente,
luego:

(3.35)

Con este mismo valor de j se determina el radio de curvatura
r1 por la expresión (2.5) ó (2.15) y
aplicando la ley de los
cosenos, se determina:

(3.36)

De forma idéntica se procede una vez determinado
l2 para obtener , r2 y g 2. Debe prestarse atención al hecho de que si las ruedas no
son iguales, entonces deberán utilizarse los valores de
sus parámetros geométricos correspondientes en las
expresiones citadas. Por otra parte, es prudente observar que,
aunque se conozca l1 no es posible conocer
directamente j
1, sino que este se obtendrá por
aproximaciones sucesivas hasta que se cumpla la igualdad
(3.30) con un error admisible. Aplicando métodos
numéricos computarizados este error puede llegar a ser
tan pequeño como se desee.

Ahora se puede hablar del punto donde comienza el
contacto. En este caso se sabe que el contacto debe comenzar en
la punta del diente de la rueda 2, es decir, cuando l2
= re2. Se procede de forma análoga al ejemplo
explicado anteriormente, pero partiendo de l2 y
j 2,
debiendo ajustarse este ángulo a partir de la igualdad
(3.30). Para el punto final del contacto se procede igual que en
el ejemplo, pues aquí l1 = re1. El
ángulo j
1 correspondiente al punto de inicio del
contacto se denominará j 1i y el correspondiente al punto
final j
1f, como se muestra en la Fig. 3.4.

Fig. 3.4. Puntos de inicio y fin del
contacto.

El factor de recubrimiento (e ) se puede determinar por la
relación que existe entre el ángulo que recorre una
línea fija en la rueda desde que comienza hasta que
termina el contacto en una pareja de dientes (ángulo de
engranaje) y el ángulo que encierra el paso. Esta
línea fija podría ser , entonces:

(3.37)

Donde:

…
ángulo que encierra el paso.

… g
e, g
i se calculan según (3.15), siguiendo el
procedimiento explicado, partiendo de los radios l1
final (correspondiente a j 1f) y l1 inicial
(correspondiente a j
1i).

Nota: Los ángulos j 1 y j 2 son positivos a la derecha
de la línea de centros y negativos a la izquierda. El
ángulo D
j 1
varía durante el engranamiento hasta llegar a
D j 1f (D j
1i = 0).

Angulo de presión.

El ángulo de presión es el
ángulo a
de la Fig. 3.3, puede determinarse directamente tomando una
de las dos partes de la expresión (3.29), una vez
conocidos los valores correctos de todos los parámetros
que intervienen en ella:

(3.38)

Línea de engranaje.

Con este procedimiento se puede determinar
también la línea práctica de engranaje
conociendo la trayectoria del punto de contacto Q, esto
es:

(3.39)

Velocidad de deslizamiento relativo.

Conociendo la velocidad angular de la rueda 1
(w
1), los ángulos j 1 y
j 2, las
longitudes l1 y l2, así como el
ángulo de presión a , es posible determinar la velocidad de
deslizamiento relativo. De la Fig. 3.5 se deduce:

(3.40)

Descomponiendo la ecuación vectorial (3.40) en
dos ecuaciones escalares al proyectarla en los ejes x,y se
obtiene:

Fig. 3.5. Determinación de la velocidad
relativa.

(3.41)

Del sistema de ecuaciones (3.41) se pueden calcular dos
incógnitas, que son en este caso v21 y
v2.

(3.42)

(3.43)

Donde:

…
velocidad del punto Q perteneciente a la rueda 1.

v2 … velocidad del punto Q considerado
en la rueda 2.

v21 … velocidad con que se mueve el
punto Q en la rueda 2 con relación al mismo punto en la
rueda 1 (velocidad de deslizamiento relativo).

Velocidad angular de la rueda 2.

Conociendo v2 por (3.43) se puede
determinar w
2:

w
2 = (3.44)

Análisis del comportamiento
de los parámetros cinemáticos en los diferentes
perfiles.

El resultado que se pretende alcanzar con este trabajo
está encaminado a lograr un diseño correcto de los
engranajes que trabajan con variación de la distancia
entre centros, por lo tanto es necesario conocer cuáles
son las exigencias de este tipo de transmisiones en la
práctica, teniendo en cuenta fundamentalmente la
variación de la distancia entre centros que demanda su
aplicación. En la introducción del trabajo se mencionan los
principales problemas que tiene la industria cubana con estos
engranajes, los cuales comprenden a las coronas de molinos de
caña y otras transmisiones con características
semejantes. En el caso de las coronas, los perfiles que
actualmente se fabrican, están hechos para variaciones de
la distancia entre centros de un 7% a un 8% de la distancia
mínima, y se pretende disminuir la gama de perfiles
existente, por lo que sería necesario aumentar este
porciento si fuera posible. En las máquinas sobadoras,
utilizadas en la industria alimenticia, el porciento de
variación es de un 9% a un 10% aproximadamente. Estas dos
aplicaciones tienen en común el hecho de que la
relación de transmisión es igual a la unidad pero,
en el caso de la transmisión utilizada para mover la
cuarta maza de los molinos, se exigen relaciones de
transmisión ligeramente superiores, llegando a alcanzar
valores de 1.3 aproximadamente. La variación de la
distancia entre centros en este último caso no ha sido
definida por el MINAZ, su amplitud total es de alrededor de un
28%, por lo que será necesario emplear también
varios juegos de
perfiles, preferiblemente la menor cantidad posible.

En los epígrafes anteriores se desarrollaron
todas las expresiones necesarias para obtener el dimensionamiento
de los engranajes que trabajan con variación de la
distancia entre centros, para ello se establecieron algunos
factores que influyen en el comportamiento de la
transmisión. Se desarrolló también un
procedimiento que permite calcular los parámetros
cinemáticos de estos engranajes. El uso de este
procedimiento es factible solamente con el auxilio de la
computación, por ello se realizó su
algoritmización y programación. Esto permitió evaluar
la influencia de cada uno de los factores y precisar sus valores.
Con el programa obtenido
se analizaron los cuatro tipos de perfiles que devienen de las
curvas analizadas, es decir, evolvente "común", evolvente
"alargada", epicicloide "común" y epicicloide "alargada".
Los mejores resultados se obtuvieron para la evolvente
"común" y para la epicicloide "alargada", por lo que se
explicarán más detalladamente. La principal
deficiencia de los dos casos restantes radica en que no permiten
alcanzar variaciones significativas en la distancia entre centros
por la tendencia a la interferencia y el establecimiento del
contacto por debajo de la zona de trabajo del diente.

El estudio se realizó para los números de
dientes recomendados en el primer epígrafe de este propio
capítulo según [28], es decir desde 11 hasta 21
dientes, con cuyas combinaciones se pueden lograr también
las relaciones de transmisión deseadas para el movimiento
de la cuarta maza. Durante este proceso se verificó
siempre que: el espesor en la punta del diente fuera igual o
superior al mínimo permisible, el contacto se produjera en
la zona de trabajo de los dientes, el factor de recubrimiento no
fuera inferior a 1.1 y no existiera interferencia entre los
dientes; esto último se logró simulando el
engranamiento de las ruedas. Bajo estas condiciones se analizaron
los parámetros fundamentales de la transmisión para
poder seleccionar el perfil más adecuado.

En el caso del perfil obtenido a partir de la evolvente
"común" se siguió la siguiente lógica:
para el factor del radio básico (k1) se tomaron
varios valores, y para cada uno de ellos se determinó el
factor de altura de la cabeza del diente (k7) que
mayor variación de la distancia entre centros permite, de
esta forma se pudo encontrar la mejor combinación para
cada número de dientes. Para el resto de los coeficientes
se tomaron los valores que se muestran a
continuación:

k2 … No se tiene en cuenta en la curva
evolvente.

k3 = 0 … Se trata de la evolvente
común.

k4 = 0 … Se trata de la evolvente
común.

k5 = 0.5 … Valor usado en las
transmisiones tradicionales.

k6 = 0.16 … Valor usado en las
transmisiones tradicionales.

K8 = 0.25 … Valor usado en las
transmisiones tradicionales.

k9 = 2 … Este coeficiente no tiene
influencia en los parámetros
cinemáticos.

En el Anexo 2 aparecen los resultados tabulados para
relación de transmisión 1, donde se relacionan los
factores k1 y k7, el factor de
recubrimiento a la distancia mínima e amin y
máxima e
amax, y el porciento de variación de
distancia entre centros alcanzado %amin (se toma como
referencia la distancia mínima). En el Anexo 3 aparecen
los resultados para relación de transmisión
superior a la unidad, donde el número de dientes de la
rueda motriz se mantiene constante Z1= 15 y el de la
rueda conducida (Z2) varía desde 16 hasta 19.
En todos los casos aparece escrito en negritas la
combinación que permite alcanzar una mayor
variación de la distancia entre centros.

Para el perfil obtenido de la curva epicicloidal
"alargada" fue necesario manejar una mayor cantidad de factores.
Después de analizar varios ejemplos, con la ayuda del
programa, se pudieron encontrar valores aceptables de algunos
coeficientes, los cuales se fijaron para variar posteriormente
los mismos que en la evolvente "común" (k1,
k7). Los valores de los coeficientes fijados
son:

k2 = 0.25 k3 = 0.08

k4 = 0.45 k5 = 0.49

k6 = 0.16 K8 = 0.25

k9 = 2.5

En el Anexo 4 aparecen los resultados para
relación de transmisión igual 1, y en el Anexo 5
para relación de transmisión superior a la unidad,
para iguales número de dientes que los analizados en la
evolvente "común". Aquí también aparece
escrito en negritas la combinación que permite alcanzar
una mayor variación de la distancia entre
centros.

Variación de la distancia entre centros en
función del número de dientes.

En la Fig. 3.6 aparecen las curvas de variación
de la distancia entre centros en función del número
de dientes, para los perfiles formados por la evolvente
"común" y la epicicloide "alargada". En ambos casos se
tomaron los mejores valores para cada número de dientes,
es decir, los que aparecen escritos en negrita en los anexos 2 y
4 respectivamente.

Fig. 3.6. Variación de la distancia entre centros
vs Z.

Como se puede apreciar, en el perfil formado por la
evolvente "común", la variación de la distancia
entre centros aumenta ligeramente con el aumento del
número de dientes, y en el perfil formado por la
epicicloide "alargada" ocurre lo contrario. Sin embargo, para los
números de dientes analizados, la variación que se
alcanza con la epicicloide "alargada" es siempre superior a la
que se logra con la evolvente "común", y esta misma
tendencia parece mantenerse para un número de dientes
superior a los analizados.

Variación de la distancia entre centros en
función de la relación de
transmisión.

Con la misma óptica
del análisis anterior, se tomaron los mejores valores para
relación de transmisión superior a la unidad de los
anexos 3 y 5 respectivamente. En la Fig. 3.7. aparecen las curvas
de variación de la distancia entre centros en
función de la relación de
transmisión.

Fig. 3.7. Variación de la distancia entre centros
vs i12.

En cuanto a la influencia de la relación de
transmisión, puede decirse que para ambos perfiles la
variación de la distancia entre centros disminuye al
aumentar la relación de transmisión. En los casos
analizados también los perfiles formados a partir de las
curvas epicicloidales permiten obtener los mayores
valores.

Angulo de presión y velocidad de la rueda
2.

En el caso de los perfiles evolventes "comunes" el
ángulo de presión para una distancia entre centros
dada es constante al igual que la velocidad angular de la rueda
conducida. Para el caso de una relación de
transmisión igual a 1, con ruedas de 17 dientes y un 4.5%
de variación de la distancia entre centros, tomando como
ejemplo la variante correspondiente a este número de
dientes en el Anexo 2, se obtiene un ángulo de
presión a
= 27.05°
. La velocidad angular de la rueda 2 es siempre igual a la
de la rueda 1.

En los perfiles formados por curvas epicicloidales
"alargadas" el ángulo de presión y la velocidad
angular de la rueda conducida son variables para una misma
distancia entre centros. Se muestra como ejemplo una
transmisión para las mismas condiciones que en el caso
analizado anteriormente con la evolvente "común", es
decir, relación de transmisión igual 1, ruedas de
17 dientes y un 4.5% de variación de la distancia entre
centros. Este ejemplo corresponde a la variante de igual
número de dientes en el Anexo 4.

Fig. 3.8. Angulo de presión () vs punto
de la línea de engranaje.

En la Fig. 3.8 y Fig. 3.9 puede observarse la
variación del ángulo de presión y de la
velocidad angular de la rueda 2 respectivamente, el
análisis se realizó para 25 puntos de la
línea de engranaje. En el caso de la velocidad angular de
la rueda 2, debe aclararse que ésta se obtuvo para una
velocidad unitaria de la rueda 1 (aquí no importan las
unidades, pueden ser r.p.m. ó rad/s). Cuando
w 1 sea
diferente de la unidad, entonces w 2 se obtiene multiplicando el valor
correspondiente en la gráfica por w 1.

En la Fig. 3.8. se observa que el ángulo de
presión varía a lo largo de la línea de
engranaje, pero esta variación se produce gradualmente y
en general se mantiene por debajo del valor alcanzado para
iguales condiciones del perfil evolvente. La velocidad angular
ploteada en la Fig. 3.9 refleja que su variación es muy
ligera y también de forma gradual, por lo que no se
producen grandes aceleraciones durante el movimiento.

Fig. 3.9. Velocidad angular
() vs punto de la línea de
engranaje.

Velocidad de deslizamiento relativo.

Para una distancia entre centros mínima igual a
100 unidades (por ejemplo cm), la velocidad relativa calculada
para 25 puntos de la línea de engranaje aparece graficada
en la Fig. 3.10 para ambos perfiles. En este caso también
se trabajó con relación de transmisión 1 y
ruedas de 17 dientes. La velocidad angular de la rueda motriz se
consideró unitaria (1 rad/s) y los valores de las
velocidades relativas que se muestran en la gráfica
están dados en unidad de longitud por segundo (por ejemplo
cm/s). Aquí también se puede multiplicar la
velocidad relativa correspondiente en la gráfica
por w
1, para obtener su valor real cuando
w 1 es
diferente de 1.

Fig. 3.10. Velocidad de deslizamiento relativo
(v12) vs punto de la línea de
engranaje.

Como se puede apreciar la velocidad de deslizamiento
relativo en los perfiles formados por la epicicloide "alargada"
no varía uniformemente como en la evolvente
"común", pero no hay una diferencia significativa entre
los valores que se alcanzan con una y otra curva.

Conclusiones del capítulo.

• Para el dimensionamiento de los engranajes que
  trabajan con variación de la distancia entre centros
  deben tenerse en cuenta algunos factores que no se consideran
  de igual forma en los engranajes tradicionales. El valor
  óptimo de todos los factores no puede prefijarse para un
  tipo de perfil dado, sino que éste depende
  también del número de dientes de las ruedas y de
  la relación de transmisión. Para cada
  aplicación en específico deberán
  determinarse los valores más adecuados de los factores,
  atendiendo fundamentalmente a la variación de la
  distancia entre centros que se necesita.
• Los perfiles de los dientes formados por la curva
  evolvente "común" pueden ser empleados en engranajes que
  requieran una variación de la distancia entre centros
  igual o inferior al 5% de la distancia mínima
  aproximadamente, para relación de transmisión
  igual a 1 o ligeramente superior. En este rango es aconsejable
  su uso debido a las ventajas que presenta este
  perfil.
• Los perfiles formados por la curva epicicloidal
  "alargada" permiten hasta un 10% de variación de la
  distancia entre centros, sin provocar la pérdida del
  contacto entre las ruedas (e > 1) y sin introducir grandes
  irregularidades en el funcionamiento de la trasmisión.
  No obstante, su empleo se realizará cuando el perfil
  evolvente común no permita alcanzar la variación
  de la distancia entre centros necesaria y preferiblemente en
  transmisiones que trabajen a bajas revoluciones para disminuir
  los efectos dinámicos.