En este trabajo el
autor muestra un
método
para graficar el número trascendente Pi,
aproximándolo a un número racional de seis
decimales, que puede graficarse con regla y compás en una
hoja de papel A-4
1.- PI, ES UN NÚMERO TRASCENDENTE
Para resolver el famoso problema de "La Cuadratura del
Círculo" con regla y compás era necesario conseguir
una suficiente aproximación gráfica del
número Pi y más propiamente de la raíz de
Pi. Pero, como no se intentó tal aproximación el
problema quedó sin solución, por lo menos
aproximada. En un trabajo próximo presentaré la
aplicación de estos alcances a la "Cuadratura".
El número p es un
número irracional, es decir, un número fraccionario
cuyos decimales no tienen regularidad ni periodicidad conocida,
sino que van cambiando hasta el infinito.
Este número tan especial es el resultado de
dividir la longitud de una circunferencia entre su
diámetro.
En el acápite referente al número
p , el "Diccionario de
la Ciencia y
Tecnología" Ed. Planeta, España,
2001.dice: "Pi, (p ), Número
irracional trascendente definido como la razón entre la
longitud de la circunferencia y su diámetro (o entre el
área del círculo y el cuadrado de su radio). El
valor de
p es
3,141592653589793238…"
En el libro
"Matemáticas" de D. Bergamini (Libros Time.
USA, 1969) se lee que "La cantidad que representa (p ) ha sido calculada con más de cien mil
decimales, y sabemos que nunca resultará
exacta".
En la "Geometría" de J. E. Thompson, Uteha,
México
1961, también se lee que: "En un tiempo se
creyó que se podría determinar exactamente el valor
de p , mediante un número
finito de operaciones con
regla y compás, y los calculadores antiguos obtuvieron
valores
intentando la "cuadratura del círculo". Sin embargo, una
vez que se comprendió bien la verdadera naturaleza de
los límites y
de los inconmensurables, se vio en seguida que p no tiene valor decimal exacto y que, por lo
tanto, la cuadratura del círculo es
imposible".
Igualmente, en el libro "Las grandes corrientes del
pensamiento
matemático" de Francois Le Lionnais (Eudeba,
Argentina 1965) nos hablan de la insolubilidad del mencionado
problema de la Cuadratura del Círculo. Según el
matemático Émile Borel, miembro de la
Academia de Ciencias de
Francia
– en un artículo de ese libro- Dados dos
números irracionales a, b no podemos estar seguros que son
iguales si no se puede demostrar por un método
analítico, después de un número finito de
operaciones
Ejemplo
Borel, concluye que es imposible la cuadratura del
círculo "puesto que p no
puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica de
coeficientes enteros".
El sabio peruano Dr. Federico Villareal, al
comentar el trabajo del
Dr. Eusebio Corazao en 1906, dice casi lo mismo respecto
al número 
… "Está demostrado que es un número
irracional de segundo orden; es decir, que no es la raíz
de ninguna ecuación numérica de coeficientes
enteros, como sucede para la razón de la diagonal de un
cuadrado a su lado, o de los lados del cuadrado y
triángulo inscriptos. Respecto del número 
, solamente se le ha
expresado por series verdaderamente notables, pero nunca por una
fórmula finita real, sino usando las imaginarias, como la
debida a Euler, en que la unidad imaginaria elevada a la
unidad imaginaria es igual al número e elevado a
menos medio Pi". Es decir:
En su interesante página
web, el Dr. Juan Saba nos ilustra que: Legendre
(1794)… y I. Niven habían demostrado la
irracionalidad de Pi. "Liouville en 1844,
demostró la existencia de números trascendentes, o
sea de números reales que no son raíces de ninguna
ecuación algebraica de coeficientes racionales. Finalmente
en 1862. F. Lindemann demostró que Pi es un
número trascendente".
Con estas conclusiones, cualquier búsqueda para
acercarse a la solución del problema de antigua data, de
la Cuadratura, parecería absurda y condenada al fracaso.
Pero, también, son irracionales y transcendentes, no
importa de qué orden, los números 
,
, 
, e, 
(Nº de oro), y no por
ello dejamos de calcular las diagonales de los cuadrados o de los
rectángulos, y usamos, sin remilgos, los logaritmos
naturales. Pues, lo que hacemos, en la práctica, es pactar
una "aproximación racional" de esos números
limitando sus decimales a un número finito de cifras. Con
esta idea es que he desarrollado los métodos
gráficos que siguen; el primero con una
aproximación de un par de decimales, y el segundo con una
aproximación de seis decimales.
2.- BUSCANDO UNA
APROXIMACIÓN RACIONAL PARA PI
2.1.- OBTENCIÓN GRÁFICA DE
p
(Primera aproximación con dos
decimales)
Para este efecto se sigue los pasos
siguientes:
- Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal
(eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto
(0,0). (Fig. 1.1). - Tomar un valor unitario arbitrario (un
centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la
recta X, en once partes. Dividir con el compás y la
regla los segmentos comprendidos entre (0,0) y (7,0); y (0,0)
y (11,0), para hallar los puntos (3.5, 0) y (5.5,
0) - Trazar las rectas auxiliares perpendiculares a X en
los puntos (2,0) y (4,0). - Con el compás en el origen, trazar arcos con
radios (3.5, 0) y (7, 0), hasta cortar las rectas
perpendiculares auxiliares en los punto b y
b’. - Unir b, b’ con el origen O y prolongar esta
recta oblicua. - Desde el origen con radios (1,0); (5.5, 0) y (11,0)
trazar los arcos que corten a la recta oblicua en los puntos
a, c y c’. - Desde estos puntos a, c y c’, trazar las
perpendiculares al eje X. Los puntos hallados serán,
od, ~p y ~2p . (Haciendo, paralelamente, el control
por el método analítico se encontró que
se trata de una aproximación de 1.2 milésimas
de centímetro) Dividir con el compás y regla el segmento
~2p para encontrar los
valores gráficos aproximados de los
números p y
p /2 (Fig 1.2).
ANALISIS DE LA OBTENCIÓN GRÁFICA
APROXIMADA DE p
De acuerdo con el procedimiento
gráfico planteado:
; es igual a 
Analíticamente, el segmento od, representa la
fracción:
; od= 0.571428571;
Valor que multiplicado por once será igual a:
6.285714286, o sea ~ 2 p .
Igualmente
, de donde 
.
, donde 
El valor gráfico de p
resulta siendo aproximadamente igual a 3.142857143.
Cifra a la que podemos sustraer el valor de p = 3.141592654, tomado de una calculadora
personal de
once dígitos, del modo siguiente:
~3.142857143 – 3.141592654 =
0.001264489
Esto nos muestra un error gráfico, por exceso, de
1.2 milésimas de centímetro.
Obviamente, para los alcances de la vista humana y
trabajando sobre una hoja de papel A4, con un juego de
reglas de escolar y un compás sencillo, esta primera
aproximación hallada es bastante cercana. La segunda
aproximación lo es aún más.
Otras proporciones encontradas por el autor para obtener
~ p son las siguientes:
2.2.- OBTENCIÓN GRÁFICA DE
p
(segunda aproximación con seis
decimales)
Para este efecto se sigue los pasos
siguientes:
1. Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal
(eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto
(0,0). (Fig. 1.2).
2. Tomar un valor unitario arbitrario (un
centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la
recta X, en doce partes.
3. Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y
(11.3, 0)
4.-Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el
punto (10, 0)
- Con el compás en el origen, trazar un arco
con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular (10,
0) - Unir el punto encontrado con el origen (O) y
prolongar esta recta oblicua.
7. Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que
corte a la recta oblicua
8. Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X.
El punto hallado será, aproximadamente el valor de Pi,
~p = 3.141592920 (Haciendo,
paralelamente, el control por el método analítico
se encontró que se trata de una aproximación de
2.68 * 10-7 de centímetro).
; Graficando esta proporción tenemos:
En la Fig. 1.2. La aproximación alcanzada para
p es hasta la sexta cifra decimal y su
exactitud en el papel dependerá de la precisión
gráfica de las cifras de la proporción, usando
sólo compás y la regla, como se ve en el
procedimiento gráfico para dividir la unidad en fracciones
(el error por exceso o resto será 3.141592920 –
3.141592652 de 0.000000268, es decir 2.6 diezmillonésimas
de centímetro ó 2.68 * 10-7).
Este procedimiento deriva del método del
holandés Metius que, con la
fracción:
355/113 = 3.1415929, alcanzó una
aproximación de 6 cifras decimales para p , aproximación que según la
monografía del profesor
venezolano Juan Saba Salas
(http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi),
lo había logrado calculando la media aritmética de
los numeradores y denominadores de las fracciones 377/120 y
333/106, valores aproximados encontrados con el método de
Arquímedes. Mi alcance es haber planteado esa
fracción (355/113 ) como proporción, para hacer
asequible su graficación en una hoja de papel
A4.
BIBLIOGRAFIA Y DOCUMENTACION
1.-"La Cuadratura del Círculo.
¡Sí, es posible!", Ing. Julio Antonio
Gutiérrez Samanez, Cusco –Perú, 2005,
(ISBN: 9972-33.239.X)
2.-
http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi)
del Dr. Juan Saba Salas.
4.- "Matemáticas" de D. Bergamini (Libros Time.
USA, 1969)
5.- "Geometría" de J. E. Thompson, Uteha,
México 1961,
6.- "Las grandes corrientes del pensamiento
matemático" de Francois Le Lionnais (Eudeba, Argentina
1965).
7.- "Diccionario de la Ciencia y
Tecnología" Ed. Planeta, España,
2001.
Nota.- El Dr. Eusebio Corazao Quintanilla,
publicó en 1905 el teorema siguiente:
"Todo polígono regular en medio proporcional
entre el círculo inscrito en él y su círculo
isoperímetro", con lo que facilitó la
solución del problema de la Rectificación de la
Circunferencia.
AGRADECIMIENTOS
-Al Diseñador Gráfico Rigoberto
Condori.
Autor:
Julio Antonio Gutiérrez Samanez
(Ingeniero Químico, nacido en Cusco, 1955,
escritor, investigador, ceramista y consultor en diseño
de productos
aetesanales. Es, también, dibujante técnico y
artista plástico
profesional)
Cusco, Perú
Abril 2006