- Objetivo
- Contenidos- Conocimientos
previos - Desarrollo
teórico - Problemas propuestos con
respuestas - Preguntas de
razonamiento - Problemas
propuestos sin respuestas - Bibliografía
recomendada
El fenómeno más obvio y fundamental que
observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. El
viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que
corren, las hojas que caen. Prácticamente todos los
procesos
inimaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos
objetos. Para analizar y predecir la naturaleza de
los movimientos que resultan de las diferentes clases de
interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes
tales como los de momentum, fuerza y
energía. Si el momentum, la fuerza, y la energía se
conocen y se expresan en un modo cuantitativo es posible
establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los
movimientos resultantes.
La mecánica, es la ciencia del
movimiento, es también la ciencia del
momentum, la fuerza y la energía; de ella se derivan: la
cinemática, que estudia el movimiento sin
tomar en consideración las fuerzas que lo producen, y la
dinámica, que a diferencia de la cinemática,
fundamenta el estudio del movimiento en las leyes del
movimiento propuestas por Newton.
En este material instruccional se introducirá en
forma sucinta los movimientos clásicos que se asocian a la
cinemática: movimiento rectilíneo acelerado y no
acelerado, movimiento curvilíneo, movimiento
parabólico y caída
libre. Se presentará los conceptos de
aceleración tangencial, aceleración radial y
radio de
curvatura; todos ellos de manifiesto en los movimientos
circulares. Un apartado será dedicado a la
cinemática vectorial; aquí, el álgebra
con vectores se
empleará en la caracterización de los movimientos.
Se expondrá las leyes del movimiento de Newton, y la
manera como éstas se aplican al análisis de una amplia variedad de
movimientos. En determinadas situaciones se incluirá en el
análisis, fuerzas de rozamiento, en sus dos variantes:
fuerzas de rozamiento estático y fuerza de rozamiento
dinámico. Al final, se ofrecerá una
recopilación de algunos problemas que han formado parte de
las evaluaciones de cohortes precedentes.
Al término de éste módulo, el
estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para
aplicar los conceptos básicos de cinemática y
dinámica en la resolución de problemas
prácticos que involucren movimientos tanto en el plano
como en el espacio.
- Movimiento uniforme acelerado y no
acelerado. - Características cinemáticas de cuerpos
en caída libre. - Características cinemáticas de cuerpos
en movimiento parabólico. - Características cinemáticas de cuerpos
en movimiento circular. - Leyes del movimiento de Newton.
- Fuerzas de rozamiento: estático y
dinámico. - Cinemática vectorial: vector posición,
vector velocidad y
vector aceleración. - Cinemática vectorial: radio de curvatura en
movimientos circulares.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
- Multiplicación de vectores: escalar y
vectorial. - Álgebra matricial: matriz
adjunta y teorema del cofactor. - Cálculo infinitesimal: límite y
derivación de funciones
matemáticas. - Cálculo integral: integrales
definidas con límites
de integración. - Trigonometría plana.
- Descomposición rectangular de vectores:
Diagrama de
Cuerpo Libre (DCL).
1.1 Diferencia entre cinemática y
dinámica.
La cinemática, es un área de estudio de la
mecánica que describe el movimiento en
función
del espacio y el tiempo, sin
tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Por su
parte, la dinámica es un área de estudio de la
mecánica que describe el movimiento en cuanto al espacio y
el tiempo, considerando los agentes presentes que lo
producen.
En cinemática es de gran importancia definir un
referencial, el cual es un marco de referencia, cuya
característica principal es la de no estar acelerado.
Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad
constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un
marco inercial.
1.2 Velocidad y aceleración: ecuaciones
básicas.
La velocidad media de una partícula durante un
intervalo de tiempo t, está definida como la
razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo
(Figura 1).
(1)
Donde:
:
Velocidad media del móvil, m/s
:
Magnitud del desplazamiento del móvil, m
Intervalo de tiempo, s
Como el desplazamiento es una cantidad vectorial y el
intervalo de tiempo es una cantidad escalar, concluimos que la
velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo
de .
Figura 1. Una partícula que se
mueve en el plano x-y se localiza a través del vector
posición 
dibujado desde el origen del sistema
referencial inercial. El desplazamiento de la partícula
cuando se mueve de P a Q en el intervalo 
= tf – ti, es igual
al vector =
.
Un concepto derivado
de la velocidad media, es la velocidad instantánea, la
cual se define como el límite de la velocidad promedio,
, conforme
tiende a
cero.
(2)
La velocidad instantánea es igual a la derivada
del vector de posición respecto del tiempo. La dirección del vector velocidad
instantánea en cualquier punto en una trayectoria de la
partícula está a lo largo de la línea que es
tangente a la trayectoria en ese punto y en la dirección
del movimiento. A la magnitud del vector de velocidad
instantánea recibe el nombre de "rapidez".
La velocidad media al igual que la velocidad
instantánea se expresa m/s en el sistema internacional;
Ft/s en el sistema británico (se lee pies por segundo), y
cm/s en el sistema c.g.s.
Dado que la velocidad de un móvil puede variar en
el tiempo, nació un concepto denominado
aceleración, la cual se define como la razón de
cambio del
vector velocidad, 
, en un tiempo transcurrido .
(3)
Donde:
Vf: velocidad final del movimiento,
m/s
Vi: velocidad inicial del movimiento,
m/s
tf – ti: intervalo de tiempo
trascurrido para que el móvil pase de Vi a
Vf.
Puesto que la aceleración promedio es la
razón entre una cantidad vectorial, , y una cantidad escalar,
, se concluye
que, 
, es una
cantidad vectorial dirigida a lo largo de .
Un concepto derivado de la aceleración promedio,
es la aceleración instantánea, la cual se define
como el valor
límite de la razón , cuando, , tiende a cero.
(4)
En otras palabras, la aceleración
instantánea es igual a la razón de cambio del
vector velocidad respecto al tiempo.
Es importante tener en cuenta tres situaciones donde un
móvil tiene una aceleración asociada: cuando la
magnitud del vector (la rapidez) cambia con el tiempo; como en un
movimiento acelerado en línea recta; cuando sólo la
dirección del vector velocidad cambia con el tiempo sin
que su magnitud varíe, como en un movimiento
curvilíneo; y por último, cuando tanto la magnitud
como la dirección del vector velocidad se modifican
continuamente.
La aceleración media, así como la
aceleración instantánea se expresan en
m/s2 en el sistema internacional, en Ft/s2
en el sistema británico (se lee pies por segundo
cuadrado), y cm/s2 en el sistema c.g.s.
El hecho de que un cuerpo se desplace con una
aceleración de 15 m/s2, implica que cada
segundo su velocidad aumenta 15 m/s. También pudiese darse
el caso de que un móvil ostente una aceleración
negativa, por ejemplo de – 8 m/s2, lo cual
indica que cada segundo su velocidad decae 8 m/s. Por
último, si un móvil tiene una aceleración
igual a cero, puede inferirse que: posee una velocidad constante,
o se encuentra en reposo.
1.3 Movimiento rectilíneo
uniforme.
Haciendo uso del cálculo
integral, se deducirán las ecuaciones cinemáticas
que gobiernan el movimiento unidimensional (significa que se da a
lo largo de una línea recta).
Como la aceleración de un móvil
está dada por: 
despejando dv, queda…
dv = a.dt la cual por integración,
resulta…
(5)
Asumiendo que la aceleración es constante a lo
largo del tiempo (movimiento con aceleración constante),
nos queda:
v = a.t + C1 (6)
Donde:
a: aceleración del móvil,
m/s2
t: tiempo, s
C1: constante de
integración,m/s
El valor C1 depende de las condiciones
iniciales del movimiento. Si se toma v = v0 cuando t =
t0 y sustituimos estos valores en la
ecuación 6, se tendrá…
v = a [0] + C1 despejando
C1…
C1 = v0 (7)
Por tanto, se obtiene la primera ecuación
cinemática (Ecuación 8), la cual relaciona la
velocidad del móvil con su aceleración.
v = vo + a.t (8)
Ahora considerando la ecuación que define la
velocidad instantánea: 
y despejando dx, nos queda:
dx = v.dt (9)
Integrando la Ecuación 9,
resulta…
(10)
No obstante, dado que según la Ecuación 8:
v = v0 + a.t, nos queda…
integrando…
(11)
Donde:
x: distancia recorrida, m
vo: velocidad inicial del móvil,
m/s
t: tiempo, s
a: aceleración del móvil,
m/s2
C2: constante de integración,
m
Para encontrar C2, se toma en cuenta la
siguiente condición inicial x = x0, cuando t =
0. Esto produce C2 = x0. En consecuencia,
se obtiene:
(12)
La Ecuación 12 relaciona: la velocidad inicial,
el tiempo y la aceleración del móvil con la
distancia por él recorrida.
Figura 2. Gráfica velocidad –
tiempo. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x
con aceleración constante, a. La aceleración
matemáticamente equivale a la pendiente de la
gráfica superior, el punto de corte con el eje de
velocidades, es la velocidad inicial del móvil.
La Figura 2, revela que la aceleración puede
calcularse aplicando la definición de pendiente, o
sea:
(13)
Cuando el movimiento es unidimensional, la velocidad
promedio en cualquier intervalo de tiempo es calculada como la
media aritmética de la velocidad inicial, v0, y
la velocidad final, v.
(14)
Donde:
:
velocidad media del móvil, m/s
vo: velocidad inicial del móvil,
m/s
v: velocidad inicial del móvil en cualquier
tiempo t, m/s
Según la Ecuación 8, v = v0 +
a.t; despejamos t…
(15)
Dado que la Ecuación 12 establece que:; se introduce la
Ecuación 15 en la Ecuación 12…
desarrollando, queda…
(16)
Donde:
v: velocidad final del móvil, m/s
vo: velocidad inicial del móvil,
m/s
a: aceleración del móvil,
m/s2
x – xo: distancia que recorre el
móvil al pasar de vo a vf,
m
Esta última fórmula establece la velocidad
como una función del desplazamiento.
1.4 Lanzamiento horizontal: ecuaciones
asociadas.
En éste tipo de lanzamiento el cuerpo está
sometido simultáneamente a la acción
de dos movimientos:
- Uno horizontal, con velocidad constante.
- Otro vertical, el cual es uniformemente
acelerado.
Estos dos movimientos hacen que el desplazamiento
resultante sea de una trayectoria parabólica,
además, ambos son completamente independiente uno del
otro, tal como lo demostró Galileo, mediante experimentos que
lo llevaron a enunciar su "Principio de la independencia
de los movimientos".
Figura 3. En este caso el disparo se hace
desde una altura "Y" como lo indica la figura con una velocidad
inicial 
, al
iniciar su caída estará sometido el proyectil a la
acción de dos movimientos: uno horizontal con velocidad
constante y otro vertical uniformemente acelerado hacia abajo
debido a la fuerza de gravedad.
En este movimiento, la componente horizontal de la
velocidad es de magnitud constante a través de todo el
recorrido e igual a, .
=
(17)
La componente vertical de la velocidad, 
, en un instante de tiempo
cualquiera viene dada por:
=
.t (18)
Donde:
vy: velocidad vertical del móvil,
m/s
:
constante de gravedad = 9,81 m/s2.
t: tiempo recorrido, s
Aplicando el Teorema de Pitágoras, es posible
determinar el módulo del vector velocidad en cualquier
instante, pues las componentes de la velocidad son ortogonales
entre si, en todo momento.
(19)
Donde:
vx: componente horizontal de la velocidad del
móvil, m/s
vy: componente vertical de la velocidad del
móvil, m/s
La dirección del vector velocidad queda definida
por la función tangente del ángulo
.
(20)
La ecuación de posición horizontal es la
misma del movimiento rectilíneo no acelerado, puesto que
la rapidez en este sentido es constante, escribiéndose
como:
x = v0.t (21)
La posición vertical se calcula como si el cuerpo
se moviese en caída libre;
(22)
Donde:
y: distancia vertical que el móvil se ha
desplazado, m
:
constante de gravedad = 9,81 m/s2.
t: tiempo recorrido, s
El signo negativo en la Ecuación 22, se debe al
vector gravedad, el cual esta dirigido verticalmente hacia el
centro de la
Tierra.
El desplazamiento total se obtiene aplicando el Teorema
de Pitágoras, pues el desplazamiento vertical y horizontal
son ortogonales entre si.
(23)
Donde:
x: componente horizontal del desplazamiento,
m
y: componente vertical del desplazamiento, m
La dirección del desplazamiento se obtiene
aplicando la definición de tangente.
(24)
Un término ampliamente usado en movimientos que
se dan bajo un campo gravitatorio, es el tiempo de vuelo, el cual
es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta
tocar el suelo. Al tocar
el suelo el móvil ha recorrido todo la distancia vertical
"Y" (Figura 3), pudiéndose escribir de acuerdo a la
Ecuación 22:
despejando tv…
(25)
El alcance horizontal, es el desplazamiento total
horizontal que el móvil posee al cumplirse el tiempo de
vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal es
la misma del desplazamiento horizontal, pero con t =
tv
R = v0. tv(26)
A continuación se demuestra que la trayectoria
del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento
horizontal para cierto tiempo "t" viene dado por:
x = v0 . t despejando " t " nos
queda…
(27)
Por otra parte el desplazamiento vertical al mismo
tiempo "t" esta dada por la Ecuación 22…
; como el tiempo para
ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir "t" de la
Ecuación 27 en "t" de la Ecuación 22,
quedando…
(28)
Como v0 (velocidad inicial) y g
(aceleración de gravedad) son constantes se tendrá
que:
y = k.x2 (29)
En donde 
(término constante)
Como puede notarse, la Ecuación 29 corresponde a
la ecuación de una parábola, con lo que se concluye
que la trayectoria del movimiento es esencialmente
parabólica.
1.5 Lanzamiento inclinado: ecuaciones
asociadas.
Al igual que el lanzamiento horizontal, el proyectil
estará sometido a la acción de dos movimientos
(Figura 4):
- Uno horizontal con velocidad constante, es decir, la
componente horizontal de la aceleración es
cero. - Otro vertical con aceleración constante,
dirigida hacia abajo.
Figura 4. Al lanzarse un proyectil inclinados un
ángulo , con una velocidad inicial "vo", se
produce un movimiento en el cual se superponen dos movimientos
independientes: uno horizontal no acelerado, y otro influido por
la fuerza de gravedad, precisamente éste último
ocasiona que la trayectoria seguida por el móvil sea
parabólica.
Cuando el proyectil ocupa la posición P de la
Figura 4, un instante "t" después de haber sido lanzado,
la velocidad,
,
tendrá una componente horizontal,
, y otra vertical,
. La magnitud de la componente horizontal
de la velocidad se mantiene constante a través de todo el
recorrido y está dada por:
(30)
Donde:
vx: componente horizontal de la velocidad,
m/s
vox: componente horizontal de la velocidad
inicial, m/s
: ángulo de disparo, grados
La magnitud de la componente vertical de la velocidad en
cualquier instante está dada por:
(31)
Donde:
vy: componente vertical de la velocidad,
m/s
vox: componente vertical de la velocidad
inicial, m/s
g: aceleración de gravedad = 9,81
m/s2
t: tiempo, s
Dado que las componentes de la velocidad son ortogonales
entre si, la magnitud de la velocidad en cualquier instante viene
dada por:
(32)
El ángulo que el vector velocidad total forma con
el eje horizontal permite definir la dirección del
referido vector:
(33)
El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con
velocidad constante, por lo que el desplazamiento horizontal (x)
viene dado por:
(34)
El movimiento vertical lo realiza con aceleración
constante, 
,
dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación de
desplazamiento vertical, queda definida por:
(35)
El tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la
altura máxima [ymáx], es denominado
tiempo máximo. Observando la Figura 4, puede notarse que,
a medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad a
lo largo del eje y [
] hasta hacerse cero en el vértice de la
parábola descrita.
Según la Ecuación 31 y sabiendo que la
velocidad vertical en el punto de máxima altura es
cero.
despejando tmáx…
(36)
Por otra parte, la altura máxima la obtenemos
haciendo t = tmáx en la Ecuación 35,
quedandonos…
ahora, sustituimos de acuerdo a la Ecuación
36…
Nos queda 
desarrollando…
(37)
Donde:
ymáx: máxima altura que alcanza
el proyectil, m
vox: componente vertical de la velocidad
inicial, m/s
g: aceleración de gravedad = 9,81
m/s2
El tiempo de vuelo es el tiempo que trascurre para que
el proyectil vaya desde A hasta B (refiérase a la Figura
4).
(38)
Las fórmulas desarrolladas tanto para el
lanzamiento horizontal como vertical, no consideran el efecto
resistivo del aire, la
curvatura de la superficie terrestre, ni la variación
gravitacional.
1.6 Movimiento circular: ecuaciones
asociadas.
Ante de iniciar este apartado, se debe hablar del
desplazamiento angular; el cual se refiere a los grados, vueltas,
revoluciones ó radianes que el cuerpo se desplaza a lo
largo de la trayectoria circunferencial. Una revolución
es equivalente a 360º ó 2
radianes.
Cuando se habla de la velocidad angular de un cuerpo, se
refiere a la variación del desplazamiento angular que
experimenta por unidad de tiempo. Se expresa en radianes/s o
bien, grados/s, revolución/s, o revolución/min
[conocida como RPM]. Si un cuerpo se desplaza un ángulo
"" radianes en un tiempo de "t" segundos, su
velocidad angular media 
[rad/s] se define por la relación:
(39)
Donde;
: velocidad angular promedia, rad/s
: desplazamiento angular,
radianes
t: tiempo, s
La frecuencia angular, expresa el número de
radianes que el cuerpo se desplaza en un segundo. La unidad de la
frecuencia en el Sistema Internacional de unidades es el Hertz o
s-1.
(40)
La aceleración angular [] de un cuerpo en
movimiento de rotación en torno a un eje es
la variación que experimenta su velocidad angular en la
unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo cuadrado. Si
la velocidad angular de un cuerpo varía de "wo"
a "wt" en rad/s en "t" segundos, resulta:
(41)
Donde:
aceleración angular,
rad/s2
t: velocidad angular final,
rad/s
o: velocidad angular inicial,
rad/s
t: tiempo, s
Las relaciones entre las magnitudes lineales y angulares
en el movimiento circular son:
S = .R (42)
Donde:
desplazamiento angular,
rad
R: radio de la circunferencia trazada, m
S: arco de circunferencia, m
v = w . R (43)
Donde:
v velocidad tangencial, m/s
R: radio de la circunferencia trazada, m
: velocidad angular, rad/s
a = . R (44)
Donde:
a aceleración tangencial,
m/s2
R: radio de la circunferencia trazada, m
: aceleración angular,
rad/s2
Las ecuaciones del movimiento de rotación
uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento
lineal. Sean vo y wo las velocidades
iniciales lineal y angular, respectivamente y, vt y
wt las correspondientes finales. En estas
condiciones:
wt = wo +
t (45)
s = wot + 1/2 t2
(46)
wt2 = wo2 +
2. (47)
Figura 5. Partícula que se traslada a lo
largo de una trayectoria circular.
Cuando un cuerpo está dotado de un movimiento de
rotación uniforme, aunque el módulo de la velocidad
es constante, la dirección varía constantemente.
Como la velocidad es una magnitud vectorial y, por tanto,
además de módulo posee dirección y sentido,
resulta evidente que en cualquier movimiento de rotación
uniforme existe una aceleración provocada por el cambio
continuo de dirección, dicha aceleración es
conocida como aceleración normal, central o radial (Figura
5). La dirección del vector aceleración es
perpendicular a la dirección de la velocidad y su sentido
es hacia el centro de la circunferencia (si no fuera así,
habría una componente de aceleración en la
dirección de la velocidad y el módulo de la
velocidad no se mantendría constante).
El módulo de esta aceleración central
aN que se denomina aceleración
centrípeta (también denominada: normal, radial o
central) es:
(48)
Donde:
an aceleración
centrípeta, m/s2
v: velocidad tangencial, m/s
R: Radio de curvatura, m
Otras expresiones equivalentes, a la Ecuación 48,
son:
(49)
(50)
Donde:
f frecuencia angular, Hertz
: velocidad angular, rad/s
R: Radio de curvatura, m
La Figura 5 muestra que
conforme la partícula se mueve a lo largo de la
trayectoria circular curva la dirección del vector
aceleración total, 
, cambia de un punto a otro. Este vector puede
descomponerse en dos componentes ortogonales; un vector
componente radial, 
, [el cual se explicó con detalle anteriormente], y
un vector componente tangencial, 
. Es decir, el vector aceleración total
puede escribirse como la suma vectorial de estos vectores
componentes:
(51)
La aceleración tangencial proviene del cambio en
la velocidad de la partícula. Su dirección es la
misma del vector velocidad lineal, y se define como:
(52)
O sea, la aceleración tangencial es equivalente a
la razón de cambio del vector velocidad tangencial. De la
Ecuación 48 y Ecuación 52, se infiere que un
móvil que describa un trayectoria circular siempre
poseerá una aceleración asociada, inclusive si la
velocidad tangencial fuese constante.
1.7 Cantidad de movimiento y las leyes de
Newton del movimiento.
En el campo de la ingeniería, cantidad de movimiento se
vincula con momento lineal. La cantidad de movimiento, se define
como el producto de la
masa de una partícula y su velocidad.
El momento lineal es una cantidad vectorial, pues es
igual al producto de una unidad escalar: masa, y un
vector,
(velocidad). Su dirección está a lo largo de,
, y tiene por
dimensión kg.m/s en el Sistema Internacional.
Si una partícula se mueve en una dirección
arbitraria, el momento lineal tendrá tres componentes a lo
largo de los ejes x, y, z.
(53)
(54)
(55)
Con la segunda Ley del
movimiento de Newton (las cuales se explicarán más
adelante) se puede relacionar el momento lineal de una
partícula con la fuerza resultante que actúa sobre
ella: "la tasa de cambio en el tiempo del momento lineal de
una partícula es igual a la fuerza resultante que
actúa sobre la partícula." Es decir:
(56)
Una de las leyes más importantes de la
mecánica, la constituye "La ley de conservación del
momento lineal", la cual establece:
"El momento total de un sistema aislado es igual en
todo momento a su momento inicial"
La ley de conservación del momento lineal, tiene
un sin número de aplicaciones, siendo una de la más
conocida el estudio de las colisiones (en el ámbito
físico engloba, los choques elásticos e
inelásticos).
En los párrafos anteriores se hizo mención
a las leyes del movimiento de Newton, éstas son los
pilares de la dinámica, pues a partir de ellas se generan
las ecuaciones dinámicas del movimiento de cualquier
sistema. A continuación se presentan dichas
leyes:
Principio de inercia
"Todo cuerpo permanece en estado de
reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme, a menos que
actúe sobre él una fuerza resultante no nula. Dicho
en otras palabras: para que un cuerpo posea una
aceleración debe actuar sobre él una fuerza no
equilibrada"
Principio de la fuerza
"Una fuerza no equilibrada aplicada a un cuerpo le
comunica una aceleración, de la misma dirección y
sentido que la fuerza, directamente proporcional a ella e
inversamente proporcional a la masa, m, del
cuerpo"
Principio de acción y
reacción
"A toda fuerza [acción] se le opone otra
[reacción] igual y opuesta. Es decir, si un cuerpo ejerce
una acción sobre otro, este último ejerce
también una acción, del mismo módulo y
dirección, pero de sentido contrario, sobre el primero.
Estas dos fuerzas, aunque opuesta, no se equilibran mutuamente,
ya que no están aplicadas sobre el mismo cuerpo. Las
fuerzas de acción y reacción siempre están
aplicadas a cuerpos distintos"
1.8 Estrategia a
seguir en la resolución de problemas usando las leyes de
Newton.
El siguiente procedimiento se
recomienda para abordar problemas que requieren la
aplicación de las leyes de Newton
(dinámica):
- Dibuje un diagrama sencillo y claro del
sistema. - Aísle el objeto cuyo movimiento se analiza.
Dibuje un diagrama de cuerpo libre para este objeto, es decir,
un diagrama que muestre todas las fuerzas externas que
actúan sobre él. Para sistemas que
contienen más de un objeto, dibuje diagramas de
cuerpo libre independientes para cada uno. No incluya en el
diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre
sus alrededores. - Establezca ejes de coordenadas convenientes para cada
objeto y determine las componentes de las fuerzas a lo largo de
estos ejes. Aplique la segunda Ley de Newton,
F = m.a, en la forma de
componentes. Verifique sus dimensiones para asegurar que todos
los términos tengan unidades de fuerza. - Resuelva las ecuaciones de componentes para las
incógnitas. Recuerde que se deben tener tantas
ecuaciones independientes como incógnitas para poder
obtener una solución completa. - Verifique las predicciones de sus soluciones
para valores extremos de las variables.
Es posible que al hacerlo detecte errores en sus
resultados.
1.9 Fuerza de fricción.
La fuerza de fricción, es una fuerza tangencial
que actúa en la superficie de contacto entre dos cuerpos y
que se opone al movimiento relativo de uno de ellos con respecto
al otro. Las fuerzas tangenciales son paralelas a las superficies
que están en contacto.
La fuerza de fricción se calcula:
(57)
De la ecuación 57 se desprende que la fuerza de
fricción es igual al coeficiente de rozamiento entre las
superficies involucradas multiplicada por el módulo del
vector normal. El coeficiente de rozamiento es un
parámetro adimensional que depende de la naturaleza de los
materiales que
friccionan entre si. El coeficiente de fricción toma
valores que se encuentran acotados entre cero (superficie
perfectamente rugosa) y uno (superficies perfectamente
lisa).
Existen dos tipos de fuerzas de
fricción:
Fuerza de rozamiento cinético: es la
fuerza tangencial entre dos superficies cuando una de ellas se
desplaza sobre, y con respecto de, la otra.
Fuerza de rozamiento estático: es la
fuerza tangencial entre dos superficies cuando no existe
movimiento relativo entre ellas. La fuerza tangencial entre dos
superficies inmediatamente antes de que una de ellas comience a
desplazarse sobre la otra recibe el nombre de "fuerza
máxima de rozamiento estático".
1.10 Análisis cinemático –
vectorial del movimiento.
Conocido el vector posición del
móvil:
(58)
Para obtener el vector velocidad, se deriva con respecto
al tiempo el vector posición:
(59)
El vector aceleración se obtiene derivando el
vector velocidad respecto del tiempo:
(60)
El vector aceleración posee dos componentes
ortogonales entre si; la aceleración tangencial y la
aceleración normal:
(61)
O sea, el módulo del vector aceleración
normal, es equivalente al módulo del vector velocidad
elevado al cuadrado sobre el radio de curvatura en un tiempo
"t".
Otra manera de calcular la aceleración normal
es:
(62)
O sea, el vector aceleración normal es igual al
producto vectorial del vector aceleración y el vector
velocidad dividido entre el modulo del vector
velocidad.
La aceleración tangencial, siempre será un
vector tangente a la trayectoria descrita por la partícula
y se cuantifica por medio de:
(63)
O sea, la aceleración tangencial es igual al
producto escalar del vector aceleración y el vector
velocidad dividido entre el modulo del vector
velocidad
La aceleración normal y tangencial se relaciona
por medio del Teorema de Pitágoras, pues son de naturaleza
vectorial:
(64)
El radio de curvatura, el cual es la distancia que
existe desde el móvil hasta el centro instantáneo
de rotación se calcula de la siguiente manera:
(65)
Cuando el vector posición no es una
función del tiempo, sino una función de otra
función la cual a subes es una función del tiempo
se usa la Regla de la Cadena para resolver las ecuaciones
cinemáticas.
1.11 Nociones del movimiento relativo.
Un movimiento relativo, es el cambio de posición
que experimenta un móvil respecto de un sistema de
referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de
referencia. No se puede hablar de un sistema de referencia
absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que
pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el
movimiento tiene carácter relativo.
En la Figura 6 se muestran dos sistemas de referencia, S
y S’, que poseen un movimiento relativo de
traslación uniforme. Se trata de describir desde ambos
sistemas el movimiento de un punto P que se desplaza hasta
P’.
Figura 6. Partícula que se traslada a lo
largo de una trayectoria arbitraria y cuyo movimiento está
siendo descrito con relación a dos sistemas de referencias
con ejes paralelos.
Sea rPO el vector de posición
del punto P respecto al origen del sistema S;
rPO’ el vector de posición de este
mismo punto respecto al origen del sistema S’;
rP’O el vector de posición del
punto en P’ respecto al origen O;
rP’O’ el vector de posición
de ese mismo punto respecto al origen O’, y
rO’O el vector de posición de
O’ respecto a O. La relación que existe entre estos
vectores, tal y como se observa en la figura es:
rO’O + rPO’ =
rPO (66)
rO’O + rP’O’
= rP’O (67)
Por tanto;
rPO’ –
rP’O’ = rPO –
rP’O = r (68)
De acuerdo a la Ecuación 68, el vector
desplazamiento respecto al sistema de referencia S es el mismo
que el vector desplazamiento respecto al sistema de referencia
S’.
La relación entre la velocidad del punto respecto
al sistema S’, vPO’, la velocidad del
punto respecto del sistema S, vPO, y la velocidad
relativa de ambos sistemas, vOO’, es:
vPO’ = vPO –
vOO’ (69)
Como vOO’ es constante, si se deriva la
expresión anterior se obtiene:
aPO’ = aPO
(70)
La aceleración del punto es la misma en los dos
sistemas de referencia. Esto es lo que se conoce como principio
de relatividad de Galileo, según el cual todo sistema de
referencia que se mueva con velocidad constante es equivalente a
cualquier otro cuando se estudian las variaciones que tienen
lugar en el movimiento de un cuerpo.
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