Didáctica de la matemática. Concepto de número, los sistemas de numeración
- Introducción
- Concepto de número
- Los sistemas de numeración
- Los problemas en la enseñanza
y el aprendizaje - Hacia una propuesta didáctica
- Evaluación
- Bibliografía consultada
La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio
ni del pensamiento racional, ni de la lógica, ni de ninguna verdad intelectual,
pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz.
Guy Brousseau
1.1
Introduciéndonos a la didáctica de las matemáticas
Sin querer
entrar en la discusión acerca del carácter de la didáctica y de la existencia o
no de las didácticas específicas, la concebimos como una disciplina en tanto
conjunto de saberes organizados, cuyo objeto de estudio es la relación entre
los saberes y su enseñanza. Queremos explicitar algunos supuestos.
Para ello
proponemos utilizar el “triángulo didáctico”, en tanto herramienta de análisis.
Constituido por 3 vértices: el saber, el docente y el alumno. El lugar que cada
uno de ellos ha ocupado en la enseñanza, define 3 tipos generales de
concepciones didácticas que han dado lugar a diversos métodos de enseñanza.
Aplicando
esta idea a la didáctica específica que nos preocupa, Guy Brousseau realiza la
siguiente caracterización: “a) la
didáctica como técnica: en tanto conjunto de técnicas y métodos que sirven
para lograr mejores resultados; b) la
didáctica empírico–científica: en tanto estudio de la enseñanza como
disciplina científica que planifica situaciones y las analiza junto a sus
resultados en forma estadística y c) la
didáctica sistémica: en tanto ciencia que teoriza la producción y la
comunicación del saber matemático en su autonomía de otras ciencias” (Villella, J. 1996).
Vamos a
partir de esta tercera concepción de la didáctica de la matemática como ciencia
autónoma, originada en Francia con la denominada “escuela francesa de la
didáctica de la matemática” del IREM, en los años ’70, cuyos precursores son:
Guy Brousseau, Yves Vergnaud y D. Chevallard entre otros.
La definen
como ciencia autónoma desde 2 postulados: i- la identificación e interpretación
del objeto de interés supone el desarrollo de un cuerpo teórico y ii- este
cuerpo debe ser específico del saber matemático y no provenir de la aplicación
de teorías desarrolladas en otros dominios (como ser la psicología, la pedagogía
u otros).
Explicitado
el punto de partida, justificaremos la enseñanza de este cuerpo de conocimientos.
Centrándonos en el número y los sistemas de numeración –tema que nos convoca–.
1.2
¿Por qué enseñar matemática?
En un breve
recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones para su enseñanza:
Villella (1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se enseñaba con un fin
meramente utilitario: dividir cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su
carácter era formativo, cultivador del razonamiento, complementándose con el
fin instrumental en tanto desarrollo de la inteligencia y camino de búsqueda de
la verdad.
Hoy podemos
hablar de 3 fines: formativo,
instrumental y social[2].
Teniendo en cuenta algunos contextos: de producción, de apropiación, de
utilización del saber matemático. Ya nadie discute acerca del carácter
democratizador y emancipador del conocimiento y dominio de esta ciencia.
1.2.1
¿Y del número qué?
Dentro de los
conocimientos matemáticos, el número fue el primero en desarrollarse en tanto
representación directa (o casi) de la realidad material (natural). Por ello
parece razonable comenzar por él.
Además
fundamentamos la necesidad de la enseñanza del número en tanto concepto
estructurante de la propia disciplina y del proceso de apropiación de saberes
matemáticos en el niño.
Queremos
recalcar que en tanto producto cultural, de uso social extendido, desde muy
temprano los niños y niñas se ven inmersos en ellos, ya sea escuchando
cantidades, precios, etc., por lo cual se hace imprescindible comenzar con su
enseñanza desde los niveles iniciales (preescolares) proyectándola a lo largo
de toda la escolarización. Esta noción se corresponde con la visión sistémica y
procesual que postula la escuela francesa y nosotros planteamos como una
imperiosa necesidad[3].
Por lo tanto
proyectar la enseñanza comenzando por el campo de los naturales, ya que es el
de más fácil conceptualización, requiere no desconocer ni ocultar la existencia
de otros campos numéricos dado que las niñas y niños “conocen” números no
naturales, evitando así la instalación de obstáculos epistemológicos derivados
de tal parcialización.
Desde esta
lógica comenzamos a introducirnos en la conceptualización del número por los
naturales, avanzando hacia los otros campos numéricos.
2
2.1
Hacia una definición de número
Es preciso
aclarar que no existe una definición única ni acabada. Si buscamos por ejemplo
en un diccionario veremos que se hayan diferentes acepciones que a su vez se
refieren a distintos atributos y aspectos. Igualmente intentaremos construir el
concepto. Partiremos de la historia, de la construcción humana del número,
luego definiremos diferentes contextos en que el número adquiere significado,
2.1.1
El número en la historia
Siguiendo a
Engels, puede considerarse al desarrollo del conocimiento como un proceso de
apropiación de la naturaleza[4].
La realidad natural se transforma en una realidad humanizada en función de las
distintas necesidades del Hombre y en esa transformación se genera
conocimiento. Es preciso que exista un primer “reconocimiento” del objeto
natural para luego insertarlo en la lógica de la actividad humana. Su
consecuencia es una divergencia cada vez mayor entre el procesamiento del
conocimiento cotidiano y las sucesivas elaboraciones conceptuales que se
traduce en abstracciones cada vez más complejas. Estos procesos no suelen
producirse en secuencia lineal porque están fuertemente condicionados por
inevitables dinámicas históricas y sociales propias de cada pueblo, de cada
sociedad.
Existen
distintas teorías acerca de cómo el Hombre generó y utilizó el número. Describiremos
este proceso a través de etapas: 1- distinción de uno y muchos; 2- necesidad de
recuento de pertenencias, que implica establecer una correspondencia uno a uno,
entre éstas y un conjunto de igual cantidad de elementos, cuyo representante es
el número cardinal correspondiente; 3- la necesidad de registro, creándose así
rótulos y etiquetas que posibilitan organizar las muestras de acuerdo al número
de elementos, apareciendo así el aspecto ordinal; 4- surgimiento de los
sistemas de numeración como herramienta para organizar aquellos rótulos que
permitieran otros usos del número y 5- acción del conteo, uso de la secuencia
ordenada de palabras número en correspondencia uno a uno de los elementos,
donde el último de los elementos nombra la clase a la cual pertenece (Villella,
J., 1996).
2.1.2
Contextos de significación
Nos basamos en
la distinción de diversas funciones del número como un elemento para
conceptualizarlo.
Existen varias
clasificaciones que no difieren en lo esencial, Brissiaud distingue dos
funciones principales: representar
(para comunicar cantidades o retenerlas en la memoria); y calcular (establecer una cierta relación entre cantidades).
2.1.2.1 Cuantificar y representar
(comunicar cantidades y retenerlas en la memoria)
Diferenciamos
dos formas de representar cantidades, las colecciones de muestra y las representaciones
numéricas.
Si bien ambas
utilizan el criterio de correspondencia uno a uno, esta relación se establece
de diferente manera.
La primera se
refiere a la construcción de una
colección de muestra para establecer dicha correspondencia que represente la
cantidad de elementos. Por ejemplo para representar los platos puestos en una
mesa se utilizan tantas piedritas como platos.
La segunda
representa la cantidad con el último elemento puesto en correspondencia uno a
uno. (Nótese que la diferencia radica en que con las colecciones, la cantidad
se representa con todos los elementos, mientras en la segunda sólo con el
último).
El segundo
tipo de correspondencia puede realizarse a través de “palabras–número”
(enunciación oral de la cantidad) o cifras (signo gráfico) (Brissiaud, 1993)[5],
requiriéndose para ello un sistema arbitrario de signos convencional y socialmente
establecido (histórico).
Aquí aparece
una primera dificultad en el proceso de conceptualización del número, distinguir
palabras–número y cifras, del número en sí en tanto representación arbitraria y
social de una cantidad. Por ejemplo, el número 18 está formado por dos cifras
(‘1’ y ‘8’) y se enuncia con dos palabras–número pero se trata de un solo
número.
Antes escribíamos
sobre las formas de representación de las cantidades, ahora nos referiremos al proceso de cuantificación.
Si bien
vulgarmente se utilizan indistintamente los términos contar y cuantificar, debemos
hacer una distinción. Cuantificar es asignarle una medida (cantidad) a una
magnitud (extensión), o sea, atribuirle valor a la extensión de una colección,
determinar la cantidad de elementos que tiene.
Se puede
cuantificar de manera directa o indirecta. Es decir, existen dos formas de
cuantificar.
Directamente
mediante percepción global (captación
directa y exacta de la cantidad, se realiza por lo general frente a cantidades
pequeñas), conteo (es un
procedimiento largo y exacto) o evaluación
global (se aplica a grandes cantidades y es aproximativo).
Indirectamente en ausencia del objeto o con
cantidades muy grandes, mediante el cálculo.
Obsérvese que
el conteo es uno de los procedimientos que permiten cuantificar. A continuación
caracterizaremos estos procedimientos.
2.1.2.2
Contar y calcular
Para comenzar
aclaramos que contar y calcular son maneras distintas de establecer relaciones
entre cantidades. Donde una de ellas se opone a la otra, en el sentido de que
al contar se establece una relación
entre elementos de una colección y palabras–número; mientras que al calcular se establece una relación
directa entre cantidades, sin pasar por la construcción de colecciones cuyos
elementos se cuentan.
Hay que tener
en cuenta que no se cuenta con un solo propósito, sino que se hace con varios
sentidos. Algunos de ellos son: comparar, ordenar, igualar, sumar y comunicar.
El proceso de
contar es complejo ya que requiere: i- conocer la serie numérica o parte de
ella, ii- establecer la relación biunívoca uno a uno entre los elementos a
contar y las palabras–número que se recitan iii- e identificar el último
término enunciado como representante de la cantidad.
Brissiaud
distingue la acción de contar–numerar
de la de enumerar de la siguiente
manera. Al contar–numerar simplemente se asigna a cada elemento del conjunto
una palabra–número que lo identifica. En tanto al enumerar, luego de
contar–numerar cada uno de los elementos, la última palabra–número representa
la cantidad de elementos de la colección, expresando así su cardinalidad.
Por otra
parte, establecer relaciones entre cantidades a través del cálculo requiere mayores
niveles de abstracción: separarse del apoyo concreto utilizando formas
numéricas con cierto grado de simbolización (cifras, configuraciones estándar
como los puntos de los dados, etc.).
Se entiende
que existen diversas formas de calcular que permiten arribar a resultados. Si
bien no todas ellas son exactas, tienen valor en tanto resuelven distintas
situaciones. Por ejemplo el cálculo pensado, que no utiliza algoritmos, el
cálculo sistemático o algorítmico, probabilístico, etc.
El cálculo no
es el tema central de este trabajo, igualmente hacemos algunas referencias a él
en tanto interviene en el proceso de conceptualización del número.
2.1.3
Contexto ordinal y cardinal
Otra
distinción de contextos que le dan sentido al número, según la función que éste
cumpla es la de contexto ordinal y contexto cardinal.
Cuando se
pretende ordenar o seriar concentrándose en la posición de un elemento respecto
de otro nos referimos al contexto ordinal, y cuando la intención es representar
una colección de objetos por el valor de su extensión al contexto cardinal.
Al respecto es interesante el planteo de Brissiaud
al respecto, que destaca dificultades y confusiones que puede ocasionar el uso
de estos términos para designar procedimientos. Por ej. cuando se cuenta las
monedas que se tiene en el bolsillo el objetivo es definir la cantidad
–cardinal– y cuando se cuenta el número de oficinas en un corredor su objetivo
puede ser determinar en qué orden está la deseada –ordinal–. Por esta razón es
que se determina el contexto según se de protagonismo al número como cuantificador o como indicador de posición.
2.1.4
Campos numéricos
Hasta ahora
hemos tomado como referencia a los números naturales, mas existen otros campos numéricos: enteros, racionales,
irracionales, reales (la unión de racionales e irracionales) e imaginarios.
Cada uno de
ellos tiene un lugar en el desarrollo histórico del concepto de número íntimamente
ligado a problemas que fue necesario resolver. Así la mayoría de los
historiadores sostienen que los naturales fueron los primeros en aparecer, por
su aspecto cardinal (aunque algunos plantean que en realidad fue por el aspecto
ordinal).
Incluso la
extensión del campo ha seguido un proceso de expansión histórico, a medida que
fue necesario contar cantidades mayores (o menores). Así el cero recién aparece
en ciertas culturas más avanzadas[6].
Por ejemplo
frente a situaciones tales como restas en las cuales el sustraendo es mayor que
el minuendo (ej. 2-5), la operación no puede ser resuelta en el campo de los
naturales. Por lo que hubo que crear un nuevo campo, con nuevas propiedades.
Es importante
tener en cuenta que las operaciones que se encuentran definidas en más de un
campo, mantienen el nombre, pero no se definen de la misma manera. En el caso
de la división, en los naturales (llamada división natural) se define de N×N en
N×N, es decir, el resultado es un par ordenado (cociente y resto), 5/2=(2,1) y
no 2. En los reales se define de R×R en R, entonces 5/2=2,5.
Finalmente
siguiendo lo expuesto, tenemos que ante las limitaciones de cada campo para
resolver nuevos problemas a los que se vieron enfrentadas las distintas
culturas se hizo necesaria la conceptualización de nuevos campos (ej. para
resolver √-1, se creó el campo de los imaginarios (√-1=i), etc.).
Existen
diferencias entre las propiedades universales de los números y las leyes que
rigen los distintos sistemas de numeración. Entendidos estos como diferentes
conjuntos de representaciones y relaciones entre los elementos representados.
Son resultado de largos procesos históricos, derivando en representaciones
arbitrarias y socialmente aceptadas.
3.1
El sistema decimal
Este es el
sistema más popular, utilizado convencionalmente y objeto de estudio predominante
de la educación básica. Se trata de un sistema posicional y polinómico.
Una primera
consideración es que existe una gran diferencia que se constituye como problema
a la hora de apropiarse del sistema, que refiere a la numeración oral y la
escrita. La primera de ellas tiene una estructura aditiva (pensemos en los dieci, los veinti, etc.)[7],
en tanto la segunda es polinómica (y posicional)[8],
es decir el valor que representa cada cifra se obtiene multiplicando esa cifra
por cierta potencia de 10 (735=7×102+3×101+5×100=700+30+5).
Basándose en
la naturaleza polinómica del sistema, que se describió anteriormente, los niños
elaboran estrategias tanto para escribir los números, como para operar con
ellos.
De la
propiedad polinómica se desprenden algunas regularidades. Lerner y Sadovsky
(1997) detectaron su importancia en el proceso de aprendizaje, demostrando que
aparecen tempranamente y proponen algunas pautas de trabajo: “Cobran especial
importancia –además de los criterios para ordenar números– «leyes» como «los ‘dieces’
van con dos, los ‘cienes’ van con tres»; «después de nueve viene cero y el otro
número pasa al siguiente»; «hay diez números (de dos cifras) que empiezan con
uno, diez que empiezan con dos…»” (pág. 159).
A su vez, el
manejo de esta última regularidad por parte de los niños nos muestra la
importancia de trabajar con los llamados nudos
(potencias de 10 multiplicadas por determinado coeficiente, 10, 20, 100,
1000…).
Conocer el
sistema de numeración decimal implica entonces el manejo de un conjunto de
unidades de diversos tamaños, particularmente el 10, el 5 –éstos son las
cantidades de dedos una mano, configuraciones primarias– y los nudos exactos.
En los
sistemas posicionales el cero cumple una función esencial ya que cuando forma
parte de un número de dos o más cifras plantea, al mismo tiempo la ausencia de
elementos y la presencia de una posición (en 104, la potencia 102 se
multiplica por cero, pero a su vez marca que el 1 debe multiplicarse por 103).
Por ello constituye a su vez un problema y un elemento a trabajar (Lerner, D.,
1992).
Otro
importante elemento a tener en cuenta para el planteo didáctico es el que describen
Brissiaud, Lerner y Sadovsky entre otros, como resultado de observaciones
sistemáticas que les permitieron abstraer ciertas estrategias comunes que
aplican y desarrollan los niños cuando no se les circunscribe al cálculo
algorítmico.
Se trata de
las estrategias de descomposiciones y
recomposiciones derivadas de las propiedades del sistema mismo. Para
facilitar el “cálculo pensado”, se
ponen en acción estas estrategias, estrechamente vinculadas a la
conceptualización del sistema de numeración en una relación de
retroalimentación que tiene por eje al concepto de número. A continuación
detallaremos algunas de ellas.
Estrategia de igualación. Permite asociar una cantidad
a una adición de dos cantidades conociendo una de ellas. “Igualar con hueco”,
ej. el juego de “7=3+ u 8= +4”.
O =2+7”. De esta manera generan
esquemas que luego aplican en distintas situaciones, a su vez esto le permite
al docente trabajar distintos sentidos de una misma operación.
El niño desde
muy temprano maneja con cierta facilidad los “números dobles” (4+4, 3+3, x+x), así como las relaciones numéricas del 5 y el 10 con otro número (5+x, 10+x), esquemas que agilizan el cálculo mental, evitándoles el
reconteo (o sobreconteo).
El manejo de
algunas cantidades como unidades (como se mencionó con anterioridad), les
permite desarrollar estrategias para descomponer al momento de operar, tales
como la “vuelta al 5” y “vuelta al 10”. De esta manera utilizan “formas conocidas”. Un ejemplo: al
resolver 8+2 (mediante la “vuelta al 5”) descomponen el 8 en 5+3, para luego
sumar 2. Esto mismo se ve con el 10. También se aplica con otros nudos mayores,
lo que se describe como suma natural,
p.ej. 23+42 = 20+40+3+2.
De manera
análoga, en el “paso a la decena”, se
compone la decena a partir de la descomposición previa tomando como base el
número mayor y “formas conocidas”. Ej. 8+4 = 8+2+2, donde se descompuso el 4 en
2+2, de manera de aplicar la forma conocida 8+2=10.
Otra
estrategia que encontraron es el uso de operaciones
prefijadas, a las que otros autores denominan “tablas de sumar” (Brissiaud) u “operaciones
simples” (Kamii). Esta estrategia se constituye en una herramienta poderosa
como complemento de otras estrategias como descomponer y recomponer (si la
conocida es 8+2, entonces el niño puede calcular 8+4, como 8+2+2).
Reiteramos que
todas estas estrategias son poderosas en tanto no sean impuestas o enseñadas en
el sentido estricto. Sino detectadas, explicitadas, razonadas, colectivizadas y
puestas en aplicación.
3.2
El proceso de apropiación de la numeración
En toda acción
de planificación es importante conocer los procesos de aprendizaje que permiten
a los niños apropiarse y desarrollar conocimientos.
Siguiendo la
lógica de Emilia Ferreiro[9],
Delia Lerner dirigió una investigación (cuyo informe ya ha sido citado) acerca
de cómo los niños abstraen propiedades a partir de su contacto cotidiano con
los números.
Lerner y su
equipo constataron que construyen y manejan hipótesis principalmente para
comparar y ordenar, así como para pasar de la numeración hablada a la escrita.
Ellas se hacen visibles en expresiones como, “este es más grande, ¿no ves que
tiene más números?”, “el primero es el que manda”. La primera refiere a la
cantidad de cifras y su relación con la magnitud del número, ligada a la
naturaleza polinómica; la segunda a la posición de las cifras como criterio de
comparación.
Asimismo
destacan que la apropiación de la escritura convencional no sigue el orden de
la serie numérica. Los niños manejan primero los nudos y luego “rellenan” entre
ellos. No sin problemas dado que la numeración hablada es aditiva y no
polinómica (así transcriben treinta y cinco como 305).
En lo que sigue
describiremos otros obstáculos que se presentan en los procesos de aprendizaje
y de enseñanza, y la problematización como recurso.
4
Los problemas en la enseñanza y el aprendizaje
4.1
Obstáculos
Un primer
problema es de orden formal, el currículo para Escuelas Primarias, en tanto
parcializa el abordaje tanto de los números naturales, como de los distintos
campos numéricos (incluso dejando de lado los imaginarios) y establece un orden
cronológico que además no sigue el orden de inclusión de los campos según sus
propiedades[10]. También la
falta de conocimientos profundos por parte de los docentes.
Esto favorece
la instalación de ciertos obstáculos ontológicos,
epistemológicos y didácticos.
Los ontológicos refieren a los procesos de
maduración y de las estructuras de conocimiento que posea y pueda desarrollar.
Los
epistemológicos refieren a errores que derivan del objeto mismo, por ejemplo el
trasvasado de propiedades de un campo a otro en el que no se cumplen (es
clásico el tratar a los racionales como dos naturales y mantener la idea de que
entre dos racionales no existe otro u otros, propiedad de densidad de los
racionales)[11].
Y los
didácticos son aquellos que introducen los maestros que no derivan de propiedades
del objeto de estudio. Tales como: que el resultado de una división natural es
atómico; que dividir achica o es sólo una resta abreviada; que multiplicar
agranda o es sólo una suma abreviada; no presentar a las fracciones y los
decimales como dos maneras de representar a un subconjunto de los racionales (ej.
0,5=1/2); no introducir el error al realizar mediciones o al trabajar
probabilidades; etc.
4.2
De los desafíos a la hora de pensar la propuesta didáctica
En este
apartado haremos una brevísima referencia a diferentes planteos que deberían
ser tenidos en cuenta a la hora de proyectar la propuesta didáctica.
Cualquier pretensión de enseñarle a un niño,
no debe desconocer la distancia que existe entre el saber o conocimiento
erudito (académico) y las posibilidades que tiene el sujeto de
conceptualizarlo. El proceso mediante el cual el saber académico se transforma
a efectos de ser enseñado se denomina “transposición
didáctica” y fue elaborado por Chevallard.
Este proceso
que implica simplificaciones, recortes, etc., expone al conocimiento a deformaciones
que pueden vaciarlo de contenido, poniendo en riesgo su significado. Cobra significado
aquí el concepto de “vigilancia epistemológica”[12] [AM1] .
La propuesta
analítica de criterios de adquisición de los conceptos de Vergnaud complementa
la de Chevallard en tanto la primera se ocupa del enseñar en cuanto al saber
que se enseña y ésta en definir qué es necesario para que un concepto pueda ser
aprendido.
Un concepto se
adquiere si: a) es operativo, es decir, si permite enfrentar una situación
nueva y resolverla con dicho concepto (el pensamiento es conceptual y obedece
simultáneamente a criterios prácticos y teóricos); b) se construye a lo largo
del tiempo, el concepto se aplica en distintos contextos y problemas,
permitiendo descubrir distintas propiedades del mismo; c) se distingue
significado de significante (concepto de su representación).
Explicitadas
estas consideraciones sobre la enseñanza y el aprendizaje, nos ocuparemos de
una estrategia didáctica profundamente fundamentada. La misma es esencia de la
didáctica de la matemática.
4.2.1
La problematización como estrategia didáctica globalizadora
Para dar
respuesta al análisis anterior, proponemos una posible metodología. El abordaje
de los diversos contenidos a enseñar a través del planteo y la resolución de
problemas. Charnay (1988) profundiza a este respecto revisando el lugar que
toma el problema en los tres modelos didácticos (desde las relaciones del
“triángulo didáctico”): el problema como
criterio del aprendizaje (modelo normativo), el problema como móvil (modelo incitativo) y el problema como recurso (modelo apropiativo).
Sostenemos que
el problema debe ser utilizado como elemento gestor del aprendizaje, sin
desmedro de los otros usos que se le pueden dar a dicho recurso (p.ej.
evaluación, utilización de conocimientos ya adquiridos en otros campos). Quizás
lo más importante sea tener en cuenta que el problema debe tener un fuerte
componente de obstáculo, siempre que el alumno se vea enfrentado a una
situación que no pueda resolver mediante la simple aplicación de un esquema
conocido (lo cual constituiría un ejercicio), estaremos frente a un “problema”.
El problema
por ser una herramienta didáctica que permite no sólo la reproducción de
conocimientos sino también la producción de los mismos, ejerce una acción
liberadora, por lo cual es una buena opción teleológica.
Al momento de
planificar una propuesta problematizadora existen al menos dos teorías que
permiten vehiculizarla. La teoría de las “situaciones
didácticas” de Brousseau y el planteo de Brissiaud.
Si bien hemos presentado a diversos autores de la
“escuela francesa”, es preciso mencionar que Brissiaud critica a las
“situaciones didácticas” en tanto estas se centran en el postulado piagetiano
acerca del modo en que se aprende. Proceso individual en que de la interacción
entre el sujeto y el objeto se logran adaptaciones sucesivas mediante los
conflictos cognitivos (cuando una estructura de conocimiento no alcanza para
comprender cierto fenómeno).
Éste en cambio
formula su propuesta didáctica a partir del “método
instrumental” de Vygotsky, planteando la necesidad de analizar los
distintos sistemas simbólicos y sus propiedades a partir de los cuales se
piensa la enseñanza. En tanto éstos constituyen herramientas de pensamiento
social e históricamente construidas (aquí se sigue a Vygotsky), no es natural
que el niño reconstruya individual o colectivamente el proceso que sus
predecesores siguieron para construir el conocimiento que se pretende aprenda.
Ante una
situación problema, no es necesario que el niño la resuelva primero utilizando
estrategias de “nivel inferior”, p.ej. contar todos los elementos de una
colección, para lograr progresivamente procedimientos de “nivel superior”. Como
en el caso de los hechos numéricos. Así es que se puede proveer directamente al
niño, mediante la intervención docente de ciertas herramientas sin obligarlo a
esperar a que las reconstruya.
Describiremos
sucintamente los diferentes tipos de situaciones didácticas que postula
Brousseau. Se trata de un tipo de organización del trabajo didáctico en el que
se realiza una intervención (“situación didáctica”) al planificar e instalar un
problema y luego se atraviesan tres “situaciones
a–didácticas” y una última “situación didáctica”.
Las características de las siutaciones a–didácticas
son: i- la no intervención por parte del docente en la relación entre el sujeto
de aprendizaje y el objeto de aprendizaje;
ii- la instalación de la necesidad de aprender en el niño (para superar
el obstáculo) y iii- la “sanción” como método de evaluación de los propios
aprendizajes.
Las fases
a–didácticas son: a) situaciones de acción, el alumno actúa sobre un medio
material o simbólico, poniendo en juego los conocimientos para resolver el
problema; b) situaciones de formulación, el o los alumnos deben representar
para poder comunicar la información que han obtenido/elaborado (cabe destacar
que para ello muchas veces deben modificar y/o ampliar su lenguaje),
permitiendo que los receptores puedan utilizar esa información y c) situaciones
de validación, en que deben debatir y convencer al resto de que sus afirmaciones
son verdaderas, y los receptores deben “sancionar” el grado de veracidad, aquí
entran en juego recursos como preguntas, pruebas empíricas, etc.
Por último
atendiendo a la necesidad social de validar el aprendizaje (conocimiento
construido) y que el niño reciba dicha validación, y asuma la significación
social del mismo, se instala una situación de institucionalización. En ella se
pretende relacionar el conocimiento producido con el culturalmente aceptado.
Durante las
fases a–didácticas el docente no interviene entre el sujeto y el objeto, sino
que lo hace para pautar y sostener el marco en que dicha relación se mantiene.
5
Hacia una propuesta didáctica
Siguiendo la
fundamentación de Vergnaud, en tanto concebimos el concepto como un ente
multifacético, proponemos se planifique de manera secuenciada atendiendo en
cada propuesta una propiedad o faceta del concepto que se desea enseñar.
Realizaremos algunas propuestas que ilustran qué conceptos consideramos indispensable
trabajar en los tres niveles para acceder al concepto de número y los sistemas
de numeración.
La evaluación
de conocimientos al comenzar el nivel es la primera tarea a emprender. Se debe
evaluar no solo los conocimientos alcanzados por los niños sino también las
estrategias que son capaces de desarrollar y las posibilidades de resolver
problemas.
Para ello el juego es un elemento de valor
didáctico. Al respecto existen varias posturas. Sostenemos que no se debe
quitar al juego su carácter lúdico y espontáneo. Es interesante que para poder
jugar satisfactoriamente el niño deba superar obstáculos, tal como cuando se
plantea un problema. Ahora bien el juego se transforma en recurso didáctico
cuando el docente lo propone sabiendo que para poder jugar el niño deberá poner
en acción ciertos conocimientos.
En cuanto al
abordaje por niveles, en el primero el niño debe aprender que el número tiene
dos contextos de significación, cardinal y ordinal, y sirve para contar y
calcular. Además debe manejar las decenas en tanto agrupación de unidades (en 1o)
y de centenas como agrupación de 10 decenas y 100 unidades (en 2o)[13].
Esto implica
proponer actividades en las que deba cuantificar y ordenar. Para trabajar
dentro del contexto cardinal el niño debe agrupar, comparar, aparear,
clasificar; manipulando objetos, utilizando el cuerpo, etc., permitiéndole
relacionar lo experimentado con representaciones de un mayor orden simbólico.
En relación a
los recursos didácticos presentamos la importancia de las colecciones de
muestra, el uso de los dedos, de constelaciones como elementos que facilitan la
comparación y la cuantificación.
Se puede
trabajar con: canciones en las que se recite parte de la serie numérica; juegos
y juegos cancionados en los que se represente parte de la serie numérica con
los dedos; cacerías de números (“buscar cosas que tengan…”); trabajar con el
número de la fecha representándolo con los dedos (¿cómo resolverlo luego del 10
de cada mes?); juegos de agregar; de quitar; ya sea de a uno o más elementos;
trabajar con los números de la clase (cuántos son, cuántos faltaron, cuántas
sillas necesitamos, cuántas mesas); utilizar el calendario; trabajo con dados,
tetraedros (numerados o con constelaciones), ruletas numéricas (con
constelaciones numéricas o signos arábigos).
En varios de
estas actividades se pueden plantear problemas, introduciendo “trampas
didácticas”, distractores.
Algunos de
estos recursos sirven también para trabajar en el contexto ordinal. Incluimos
algunos específicos: trabajar en coordinación con la construcción de la noción
de tiempo; seriar acciones; figuras; identificar una cantidad entre otras en
una serie numérica oral o escrita; ordenar una serie de números (que en un
segundo momento puede ser no correlativa).
Para descubrir
las funciones de contar y calcular, proponemos actividades y estrategias que
deben guiar la práctica a: descubrir regularidades, producir escrituras y otras
representaciones, así como interpretarlas, componer y descomponer números.
Descubrir “leyes” del sistema numérico, promover el cálculo mental tal como se
describió anteriormente.
A este
respecto, reiteramos que es importante el uso de los dedos, de constelaciones
(configuraciones estándar).
En segundo
nivel el currículo introduce los números racionales[14].
En sus expresiones fraccional y decimal.
Es necesario
recordar cómo y por qué surge este campo de manera de poder problematizar y
secuenciar su enseñanza.
En primer
lugar no debemos olvidar que cada número racional tiene infinitas representaciones
fraccionales (ej. 2/5=8/20=2n/5n),
no todos ellos son decimales (es decir, no todas admiten ser representadas “con
coma”, con un número finito de cifras, p.ej. 2/3)[15],
a su vez no confundir las fracciones con los números decimales[16].
Cuando trabajamos con escalas, porcentajes, divisiones de número decimales (que
son un sub–conjunto de los racionales), estamos trabajando con fracciones
equivalentes (ej. “8 dividido 4” es equivalente a 2/1, 1/3=33%)[17].
Previa y
simultáneamente se debe trabajar con proporciones (desde 2o año, el
doble de…, la mitad de…), razones, equivalencias, porcentajes, escalas, la
fracción como relación parte–parte y relación parte–todo.
En el tercer
nivel se trabaja explícitamente el concepto de razón, proporción, se introducen
algunos números irracionales (aquellos que no admiten una representación
decimal, p.ej. ¶ –Pi–, √ y exponenciación). Por lo que es fundamental
relacionar la definición de estos conceptos con los anteriores. Por ejemplo, al
trabajar las razones, es importante hacer visible el hecho de que ya conocen
razones (una de las facetas de las fracciones).
Además es el
momento apropiado para analizar diversos sistemas de numeración (binario,
sexagecimal, etc.), dado que ya manejan suficientes elementos como para
realizar comparaciones y conversiones. Dicho contenido permite profundizar en
la construcción del concepto de número.
Cerrando este
apartado queremos plantear la necesidad de permitir la experimentación, incluso
más allá de los conceptos prescriptos para el nivel y grado. Esto, como ya
dijimos, permite abstraer propiedades y generalizar las experiencias de la vida
cotidiana.
6
Evaluación
En la
bibliografía actual sobre el tema se diferencia la evaluación inicial (o
diagnóstica), formativa y sumativa. Dado que no es el centro de este eje, nos
referiremos someramente a cómo se debería evaluar.
Coherentemente
con el planteo que venimos realizando, visualizamos la evaluación como un
proceso que permite situarnos en los procesos de enseñanza y de aprendizaje
tanto al momento de comenzar una secuencia, como durante su desarrollo y a
término. Su función es pues, la de detectar los conocimientos sobre determinado
concepto, su distancia con el concepto a enseñar y así diseñar los caminos
posibles y las correcciones sobre la marcha.
Se debe dar en
dos dimensiones: la evaluación del docente y la autoevaluación por parte de los
niños.
Nuevamente se
introduce el problema como recurso, dado que el planteo de situaciones en las
cuales los niños deben poner en juego sus saberes para resolverlas, va más allá
que la mera repetición de los mismos.
Para cerrar
queremos dejar claro que la intención de este artículo no va más allá del
presentar algunas de las reflexiones en torno al eje propuesto, articulando e
integrando diversos aportes. Por lo mismo no debe ser tomado sino como un
posible organizador para preparar el eje.
·
AA.VV. en revista QueHacer Educativo, números 28, 51,
53, 57, 58, 62, 63, Fondo Editorial QuEduca, FUM–TEP, Montevideo.
·
Bourdieu,
P., Chamboredon, J-C y Passeron, J. C. (1999). “El Oficio de Sociólogo”,
Siglo Veintiuno, Madrid.
·
Brissiaud, R. (1993). “El aprendizaje del cálculo. Más
allá de Piaget y de la teoría de conjuntos”, Visor, Madrid.
·
Brousseau, G. (1986). “Fundamentos y métodos de la
didáctica de la matemática”, trad. de su tesis de graduación, Facultad de
Matemática, Universidad de Córdoba.
·
Charnay, R. (orig. fr., 1988) “Aprender (por medio de )
la resolución de problemas”, en Parra y Saiz (1992).
·
Chevallard, D. (1991). “La transposición didáctica: del
saber sabio al saber enseñado”, Aique, Bs. As.
·
Gadino, A. (1990). “6 años ya es tarde”, Aula,
Montevideo.
·
Hack, I. (2002). “Aportes para la comprensión del
fenómenos de los números en la escuela”, mímeo, Montevideo.
·
Kamii, C. (1986). “El niño reinventa la aritmética”,
Visor Libros, España.
·
Kamii, C. (1992). “Reinventando la aritmética II”,
Visor Distribuciones, España.
·
Lerner, D. (1992). “La matemática en la escuela aquí y
ahora.”, Aique, Bs. As.
·
Lerner, D. y Sadovsky, P. (1997). “El sistema de
numeración: un problema didáctico.”, en Parra, C. y Saiz, I. (1997).
·
Panizza, M. (2003). “Conceptos básicos de la teoría de
situaciones didácticas”, en Panizza, M. (comp.) (2003).
·
Parra, C. y Saiz, I. (1992). “Los niños, los maestros y
los números”, Secretaría de Educación, MCBA, Bs. As.
·
Parra, C. y Saiz, I. (comps.) (1997). “Didáctica de
matemáticas. Aportes y reflexiones”, Piados Educador, Bs. As.
·
Pena, M. (2002). “¿Qué hago este año con las
matemáticas?”, en Revista de la Educación del Pueblo Nº 85, marzo–abril 2002, Aula,
Montevideo.
·
Ponce, H. (1999). “Enseñar y aprender matemática.
Propuestas para el segundo ciclo”, Ediciones Novedades Educativas, Bs. As.
·
Sadovsky, P. (1996). “Pensar la matemática en la
escuela.”, en Poggi, M. (comp.) colección “Triángulos Pedagógicos «Apuntes y
arpotes para la gestión curricular»”, Kapelutz, Bs. As.
·
Vergnaud, Y. (1993). “El niño, las matemáticas y la
realidad. Problemas de la enseñanza de la matemática.”, Trillas, México.
·
Villella, J. (1996). “Sugerencias para la clase de
matemática”, Aique, Bs. As.
Bibliografía recomendada
·
Chemello, G. (1997). “La Matemática y su didáctica.
Nuevos y antiguos debates”, en Iaies, G. “Didácticas especiales. Estado del
debate.”, Aique, Bs. As.
·
D’Amore, B. (1997). “Problemas. Pedagogía y psicología
de las matemáticas en la actividad de la resolución de problemas.”, Síntesis,
Madrid.
·
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). “El aprendizaje de las matemáticas”,
Edit. Labor – M.E.C., España.
·
Iaies, G. (comp.) (1998). “Los CBC y la enseñanza de la
matemática”, A.Z., Bs. As.
·
Ifrah, G. (1994). “Las cifras. Historia de la primera
gran invención” , Alianza, Madrid.
·
Nunes, T. y Bryant, P. (1997). “Las matemáticas y su
aplicación. La perspectiva del niño”, Siglo XXI Editores, México.
·
Panizza, M. (comp.) (2003). “Enseñar Matemática en el
Nivel Inicial y Primer Ciclo de EGB, Análisis y propuestas”, Paidós, Bs. As.
[1] Mtra.
Cecilia de la Peña y Mtro. Javier Alliaume Molfino
[2] Ver
Sadovsky, 1991 y Salvador, Guzmán y Cólera “Matemática”, Anaya, Madrid, 1991.
[3] Esto se
encuentra ya en gran parte de la bibliografía de referencia. Queremos destacar
que el maestro Alfredo Gadino planteó este tema en el debate nacional con su
libro “6 años ya es tarde”.
[4] Engels, F.,
“Dialéctica de la naturaleza”.
[5] Haciendo una
analogía con el planteo de Saussure, en el ámbito de la lingüística, podemos
decir que la colección de muestra se
asemeja al símbolo en tanto su referente guarda una correspondencia con el
significado, y el número se asemeja al signo ya que el vínculo con el referente
es arbitrario. Tan arbitrario como las cifras y las palabras número.
[6] Sobre esto
es preciso tener en cuenta que tanto los Egipcios, los Mayas, entre otras
culturas, utilizaban el cero, aunque culturas anteriores no.
[7] Sobre este
problema se puede profundizar en el informe de la investigación de Lerner y
Sadovsky (1997), y en Villella (1996).
[8] Un número de
n–cifras: anan-1…a1a0= an×10n+
an-1×10n-1+…+ a1×101+ a0×100.
Es decir, la posición de cada cifra determina la potencia a la que se eleva la
base, que se va acumulando.
[9] Cuando
investigó acerca de la reconstrucción de uno de los sistemas de representación,
la escritura, desde una perspectiva psicogenética (recordemos que fue alumna de
Piaget).
[10] Sobre este
tema existe un trabajo realizado por la Prof. Ingrid Hack, titulado “Aportes
para la comprensión del fenómenos de los números en la escuela”.
[11] Brousseau
se refiere a los obstáculos epistemológicos como “conocimientos adaptados”
[12] Bourdieu, P., Chamboredon, J-C y
Passeron, J. C. (1999). “El Oficio de Sociólogo”. Siglo Veintiuno,
Madrid, pp. 19, 27 y 14.
[13] Lo que no
implica desconocer la existencia de números mayores y trabajar con ellos.
[14] Sobre el
abordaje de los racionales, se puede ver Héctor Ponce, “Enseñar y aprender
matemática. Propuestas para el segundo ciclo”, Ediciones Novedades Educativas,
Bs. As., 1999
[15] Una
fracción decimal es aquella cuyo denominador es un múltiplo de 10
[16] Todo número
decimal es pasible de ser representado mediante una familia de fracciones
decimales.
[17] Es interesante
el planteo que hace Liliana Pazos, en “La Razón de las Fracciones”, Revista
QueHacer Educativo Nº 57, febrero 2003.
[AM1] Deberíamos ser más
precisos en la definición que hace Chevallard, ven cuanto a cómo se relacionan
los conceptos, o ¿por qué es tan importante hablar de esto?
Autor:
Mtra. Cecilia de la Pe?a
Mtro. Javier Alliaume Molfino
Montevideo, Uruguay