Estudio de funciones

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1. Hallar
el Dominio
2. Recta Tangente
3. Metodo de substitucion o cambio de
variables
4. Metodo de integración por
partes
5. Cíclicas
6. Calculo de areas
7. Tabla De
Derivadas
8. Regla de la
cadena

1. Hallar el
Dominio

Dominio

Lineal	DOM= REALES
Cuadrática
Polinómica
Exponencial
Raiz impar

Homográfica: y= f(x) g(x)¹ 0

g(x)

Logaritmo:

y= lnf(x) f(x)>0

Raiz PAR:

y= Ö
f(x) f(x)³
0

Calcular los Puntos Criticos

Se halla f´(x)
Se iguala f´(x)=0
Crecimiento Y Decrecimiento
(Bolzano)
Se despeja x = PC
Se toma el Dominio de
f´(x)
Se corta con los PC
Se le asigna un valor a
cada intervalo que se reemplaza en f´(x)

Extremos (máximos y
mínimos)

Criterio de f´(x)
Si en Bolzano:
crece/decrece= P Máximo
decrece/crece= P Mínimo

2. Recta
Tangente

f´(x)= pendiente de la recta tg
y= f´(x0 ) (x- x0 ) + f(x0 ) ó y= mx+b

Integral Inmediata

a)ò
[f(x)+g(x)-z(x)] dx =

b)ò
f(x)dx + ò g(x) dx – ò z(x) dx

a)Integro (+C)

3. Metodo de substitucion
o cambio de
variables

Si en tu ejercicio hay: (LEPRD)

a) Un Logaritmo u= al logaritmo

Una Exponencial u= al exponente
Una Potencia u=
a la base
Una Raiz u= a lo de adentro
Una División u= al denominador

Ejemplo:

ò 3×2 –
1
Ö x3 –
x

U= x3 –x
Identifico U (LEPRD)
Du= 3×2 –1 dx
Calculo el DU (derivo u) por dx
du = dx
3×2 –1
Igualo a 0
ò 3×2
– 1 du = ò 1 du
Ö u 3×2 – 1
Ö u
Sustituyo en la fórmula original:
ò 1 du =
(tabla) 2Ö
u +C
Ö u
Integro
Sustituyo

2Ö
u +C = 2 Ö x3 –x + C

4. Metodo de integración por partes

ò u.dv = uv
– ò
v.du

(ejercicio) (solución)

El problema es saber a qué llamar u y dv en el
ejercicio (ALPET)

Arcos

Logaritmo

Potencia

Exponencial

Trigonometrica

PARA U

Si tenés 2 potencias, u a la que tenga exponente
entero +

Ejemplo:

ò x2 ex
dx

Defino U(en este caso, la potencia)
U= x2
(derivo)
Du= 2x dx
Y dv

Dv= ex dx
(integro)
V= ex

uv – ò v du

x2 ex -ò ex 2x dx

(por propiedad, k
sale de la integral) x2 ex -2 ò ex x dx

No esta en tablas, vuelvo a integrar por
partes

Identifico u y dv

u= x (derivo) dv= ex dx (integro)

du= dx v= ex

x ex -ò ex dx

(en el resultado anterior)

x2 ex -2 [ x ex -ò ex dx] (integro)

x2 ex -2 [ x ex – ex ] + C

El numero de la potencia me indica cuantas veces debo
integrar por partes!!

5.
Cíclicas

Se forma con una exponencial o logarítmica y una
trigonométrica

Ej: ò
e2x cos 3x dx

Se resuelve por sustitución

U= e2x (regla de la cadena) dv= cos 3x dx

du= 2 e2x v= sen 3x

sustituyo dos veces

ò e2x cos 3x
dx= 3/13 1 e2x [sen 3x + 2/3 cos 3x] + C

Integrales de funciones
compuestas con raices

Ejemplo:

ò cos
Ö 2x+3
dx

Z= Ö 2x+3 dx
Sustituyo
Z2 –3= x2
Despejo x
Derivo

Z dz = dx

d) Resultado: ò cos z. z dz
(Partes)

u= Z dv= cosz dz
du= dz v= sen z
uv-ò v
du
z sen z -ò
senz dz
(Integro
z sen z+ cos z +C
Ö 2x+3 sen Ö 2x+3 + cos Ö 2x+3 + C

Integral definida. Regla De Barrow

ò a f (x) dx
= ½ F(b
x) ½ a =
f (b) – F(a) Û b>a
b b
ò
a f(x) dx = – ò a f (x) dx
b b
Ejemplo ò
1 ex dx
0 5+7 ex
(Substitución) u= 5+7 ex du= ex dx du = dx
7 ex
ò
1 ex du Þ
1 ò
1 1 dx Þ
1 ln u = ½ 1 ln (5+7 ex)½ 1Þ 1 ln (5+7 ex) –1 ln
12½ 1
0 5+7 ex 7 0 u ex 7 7 0 7 7 0

6. Calculo de
areas

Area = ò a techo-piso Þ ò a f(x) – g(x)
b b

Si en algún lugar cambian el techo o el piso
divido el area, resuelvo por separado y luego sumo Area total= A1
+ A2

Areas trigonométricas, por cada
Õ cuento 1
area!!
Si no se cual es el techo y cual el
piso,

a) Igualo f(x)=g(x) b) Límites
por integración

Tips

Una funcion es
derivable si:

a) es continua b) es suave (don de hay picos no hay una
única tangente)

En los puntos de inflexión la
F´(x):

a) f´(x)= o b) NO TIENE max. ni min.

c) Puntos Críticos: NO existe la derivada pero si
la funcion (no F´(x)pero si F(x))

Mínimos/Máximos:

a) Absolutos b) Relativos

Si el dominio de la
derivada >0, en Bolzano usaré dichos valores.
Si la derivada es positivaÞ recta tg
+Þ
pendiente+= se grafica creciente
Si me falta el dato "y", resuelvo la
f(x).
Si se puede simplificar, entonces se podia hacer
factor común
Ln 0 no existe la exponencial es siempre
+
Derivada segunda para saber
máximos
Exponenciales: Nunca vale ceroÞ Es siempre
crecienteÞ
Nunca se anula. Su asíntota siempre está
en x=o
Uso el método de sustitución cuando hay
composición (una adentro de la otra)
Barrow= primitiva a – primitiva b
El gráfico de una raiz x es ½
parábola acostada
Cuando busco el techo y el piso (cual es mayor),
los límites de integración no importan los extremos
(los infinitos), hago bolzano solo en los
valores que de.
Con problemas
de velocidad:

Los gráficos de la pendiente negativa no tienen
sentido fisicamente

Si piden la aceleracion en el instante en que la
velocidad se
anula es F´(0) y reemplazo en la F´´(x) (va a
ser el valor +, el
– no tiene sentido)

El máximo es la segunda derivada

Que la velocidad=0 no significa que no haya
aceleracion

7. Tabla De
Derivadas

1)Suma de funciones:
y=f(x)+g(x)-z(x)Þ y’=
f’(x)+g’(x)-z’(x)

2)Producto y
Cociente:
y= f(x).g(x) Þ
y’= f’(x) g(x) + g’(x)f(x)
y= f(x)Þ
u = u’v –uv’
g(x) v v2

3)Potencias y Raices:

y=xn	y’=nxn+1		y=nÖ xm = xm/n	y’=m/n xm/n-1
y=Ö x	y’= 1 2Ö x		y=a xn	y’= -a.n xn+1

4)Exponenciales

y= ex	y’=ex		y=eax	y’=a eax		y=a x	y’= lnx
y= – ex	y’=-ex		y=ef(x)	y’= f(x) ef(x)		y= af(x)	y’= ln afxf’x

5)Logaritmos

y= ln f(x)

y’= 1 f’(x) f(x)

y= lnx

y’=1 x

6)Funciones Básicas

y=x

y’=1

y=k

y’=0

y= k.f(x)

y’=k.f’(x)

7) Trigonométricas

y= senx	y’= cosx		y=tgx	y’=sec2x		y=cosecx	y’= -cosecx cotgx
y= cosx	y’=-senx		y=secx	y’= secx.cotgx		y= cotgx	y’= -cosec2x

8) Inversas trigonométricas

Derivadas mas usadas:

y=arcsenx	y’=1	y=arcosx	y’=0		y= arctgx	y’=k.f’(x)
F(X)				F´(X)
K				0
X				1
X n				X n-1
1 x				-1 x2
senx				Cosx
cosx				-senx
tgx				1 cos2 x
ex				ex
ax				axlna
lnx				1 x

8. Regla de la
cadena

Cuando hay composicion:
Derivo lo de afuera y lo multiplico por la derivada de lo de
adentro

[F(g(x))]´= (f(g(x)))´.
g´(x)

Integral O Primitiva

Y= f(x)Þ Y’= F’(x)Þ ò F’(x ) dx =
f(x)

Ejemplo

Y´=3 x2
Y= x3 Y= x3
Y´=3 x2 DY=3 x2 dx dy= f’(x) dx

Tabla De Integración

ò f(x) dx	RESULTADO
ò DX (solo)	X + C
ò k f(x) dx	K ò f(x) dx
ò xn dx	Xn+1 + C n+1
ò nÖ x m dx = ò x m/n dx	Xm/n+1 + C m/n+1
ò 1 dx = ò x-n dx xn	X-n+1 + C -n+1
ò 1 dx = x	Lnx + C
ò 1 dx = x± a	Ln(x± a) + C
ò 1 dx Ö x	2Ö x +C
ò 1 dx = ò x-m/n dx Ö xm	X-m/n+1 + C -m/n+1
ò ex dx	ex + C
ò – ex dx	-e-x + C
ò eax dx	eax + C a
ò ax dx	ax + C lna
ò senx dx	-cos x + C
ò sen ax dx	-cos ax + C a
ò cos x dx	sen x + C
ò cos ax dx	sen ax + C a
ò cosec2 x dx	tgx + C
ò cosec2 ax dx	tgax + C a
ò cosec2x dx	– cotg x + C
ò cosec2ax dx	cotg ax + C a
+ò 1 dx Ö 1-x2	arcsenx + C
-ò 1 dx Ö 1-x2	arcosx + C
ò 1 dx 1-x2	arctgx + C
ò [f(x)+g(x)-z(x)]	ò f(x) + ò g(x) – ò z(x)

Autor:

Sonia Matarazzi