Indice
1.
Duración
2. Convexidad
3. Uso de la Duración y Convexidad
para determinar la sensibilidad del Bono
4. Apéndice #1
5. Apéndice #2
6. Apéndice #3
7. Apéndice #4
La Duración es un indicador desarrollado por
Frederick Macaulay en 1938 pero que a partir de la década
de los años '70 cobró gran importancia en las
Finanzas
Internacionales manteniendo su vigencia hoy en día. Se
la utiliza en la valoración de Bonos de dos
maneras:
- Para determinar el plazo promedio del bono,
y, - Para determinar la sensibilidad del bono
En el primer caso el valor de la
Duración, expresada en años, indica el plazo por
vencer promedio del papel.
Hablamos de promedio porque los bonos poseen
algunos flujos de pago, cada uno con un plazo de vencimiento
distinto, en este caso la Duración arrojará los
años (o días) por vencer que en promedio presenta
el bono en mención. Cabe indicar que no es un promedio
simple sino un promedio ponderado, usando como ponderador al
Valor Actual
de cada flujo.
Lógicamente, si tenemos un papel con un
solo flujo por vencer el promedio sería su mismo plazo por
lo cual no es necesario hacer ningún cálculo,
sino que su Duración será el mismo plazo por
vencer.
La Duración, también llamada
Duración de Macaulay nos servirá, entonces, como un
criterio adicional al momento de elegir entre distintos bonos, ya
que nos dará una idea de cuán cercana está
la recuperación de lo invertido en ellos. Normalmente se
preferirá un bono con menor Duración.
La Fórmula de la Duración de Macaulay
es:
donde:
d = duración de Macaulay medida en años
VAt = Valor Actual Total del Bono, es decir, el
Precio
Sucio
VAi = Valor Actual del flujo i
pvi = plazo por vencer en días del flujo
i
Otro indicador es la Duración Modificada,
conocida en algunos textos como Volatilidad del Bono. Ésta
realmente no es sino un paso previo para llegar a la
Duración en Dólares, su fórmula
es:
donde:
dm = duración modificada
R = Rendimiento Efectivo Anual
Finalmente la Duración en Dólares, que se usa para
medir la sensibilidad del bono, será:
d$
donde:
d$ = duración en dólares
dm = duración modificada
VAt = Valor Actual Total del Bono, es decir, el
Precio
Sucio
La Duración en Dólares es la Primera
Derivada de la Función de
Precio.
Adicionalmente la Duración servirá para determinar
cuán sensible es el bono, es decir, cuánto puede
variar el Precio ante un cambio en el
Rendimiento deseado. Sin embargo hay que realizar unos
pequeños ajustes en el indicador (tal como se ha mostrado
previamente) hasta llegar a la Duración en Dólares
que es la que se usará para este propósito,
además de que necesitaremos adicionalmente calcular la
Convexidad.
Se mencionó que una utilidad de la
Duración era poder
determinar la sensibilidad del bono, utilizando
específicamente la Duración en Dólares. Sin
embargo el cambio en el
Precio ante una modificación en el Rendimiento, calculado
a partir de la Duración, no coincidirá con el
cambio real en el Precio del Bono. Existirá una
pequeña diferencia cuya explicación es matemática: la primera derivada no es
suficiente para medir el cambio por lo que a medida que se usen
más derivadas se
irá corrigiendo esa diferencia.
Por este motivo, se acostumbra a usar además la
segunda derivada para ganar exactitud y ésta precisamente
es la Convexidad.
Este indicador, expresado en años al cuadrado, es el otro
elemento a tomar en cuenta para medir la sensibilidad del Bono,
aunque realmente se usará en última instancia la
Convexidad expresada en Dólares.
La fórmula de la Convexidad es:
donde:
c = Convexidad
VAi = Valor Actual del flujo i
pvi = plazo por vencer en días del flujo i
R = Rendimiento Efectivo Anual
VAt = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio
Sucio
y la Convexidad en Dólares será:
c$
donde:
c$ = Convexidad en Dólares
c = Convexidad
VAt = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio
Sucio
La Convexidad en Dólares es la segunda derivada de la
función
de Precio.
3. Uso de la
Duración y Convexidad para determinar la sensibilidad del
Bono
Supongamos que ha invertido dinero en un
bono, el cual lo compró a un Rendimiento X, puede ser que
no se lo quede hasta el vencimiento sino que en algún
momento lo quiera vender. Claro, el problema será a
cómo lo venderá, lo cual dependerá de
cómo estén las tasas de
interés (rendimiento) del mercado en ese
momento.
Entonces surge una pregunta ¿cuánto variará
el Precio del bono ante algún cambio en el Rendimiento? en
ese caso, realmente se está preguntando
¿cuán sensible es su bono? para medir la
sensibilidad del bono usamos precisamente la Duración y la
Convexidad
Conocemos ante todo que el Precio de un bono está en
función de su Rendimiento:
Para ser más específicos hablaremos del
Precio Sucio en Dólares, lo que es igual al Valor Presente
del papel, y del Rendimiento Efectivo Anual.
Tenemos que tomar en cuenta, además, que en una
función cualquiera:
la variación que sufrirá y cuando
ocurre un cambio en x estará dada por lo que se
conoce como Aproximación de Taylor:
Es decir, que multiplicaremos la variación en
x por la primera derivada, más la misma
variación en x elevada al cuadrado multiplicada por
la segunda derivada y por 1/2, más un término de
error (este último se omite en la práctica). Por
tanto, si usamos ese mismo criterio para la función de
Precio, reemplazando Rendimiento en x y Precio en y
, tendríamos que el cambio en el Precio (Valor Actual)
ante un cambio en el Rendimiento estará dado por la
siguiente expresión:
Así que lo que tenemos que calcular es la primera
y segunda derivada de la función de Precio, las cuales se
presentan a continuación:
donde:
R = Rendimiento Efectivo Anual
VAi = Valor Actual del flujo i
pvi = plazo por vencer en días del flujo
i
Si reemplazamos esas derivadas en la
expresión anterior, la de la Aproximación de
Taylor, el
cambio en el Precio quedaría expresado entonces de la
siguiente manera:
Con esta nueva expresión, entonces, podemos
estimar cuánto variará el Precio de un Bono cuando
ocurra algún cambio en el Rendimiento.
Ahora bien, al primer término entre
paréntesis (la primera derivada) se lo conoce como
Duración en Dólares y al segundo término
entre paréntesis (la segunda derivada) se lo conoce como
Convexidad en Dólares, cuyas fórmulas ya se
presentaron previamente.
Esos dos indicadores
son los que comúnmente se presentan en la información referente a cada Bono en
diversas publicaciones y vendors como Reuters o Bloomberg, porque
con ellos fácilmente se puede estimar cuál
será el cambio en el Precio ante un cambio en el
Rendimiento, es decir, su sensibilidad.
Vale indicar que algunos textos incluyen dentro de la
fórmula de la Convexidad el factor 1/2, sin embargo esto
no debería ser así ya que esa fracción
proviene realmente de la aproximación de Taylor y no de la
Convexidad en si.
Otro error común es que muchas veces se menciona al
resultado de la Duración en Dólares, tal cual, como
el cambio en el Precio cuando el Rendimiento Efectivo cambia en
un punto porcentual. Primeramente faltaría la Convexidad
para obtener un resultado más exacto, pero por sobre todo,
no sería cuando el cambio en el rendimiento es de un punto
porcentual sino de 100 puntos porcentuales (recordemos que en la
Aproximación de Taylor reemplazamos los cambios en el
rendimiento en tanto por uno).
Ejemplo práctico de aplicación de
Duración y Convexidad
Supongamos que nos ofrecen un Bono del Estado con un
Plazo total de 10 años y amortización al vencimiento. Se lo
emitió el 15 de febrero del 2002 y vence el 15 de febrero
del 2012. El interés
que paga el Bono es 6% anual fijo y se lo paga cada semestre. Lo
compramos el 15 de junio del 2003 con un Rendimiento Efectivo del
9%.
El Precio Sucio del Bono es US$ 8,521.94, expresado en porcentaje
es 85.2194%.
Nos interesa saber cuánto cambiará ese precio si
aumentamos el Rendimiento Efectivo del 9% al 9.3%, en este caso,
al hacer la nueva valoración el nuevo Precio Sucio
sería US$ 8,370.74, porcentualmente 83.7074%.
Si utilizamos la Duración y Convexidad llegamos a ese
resultado sin necesidad de valorar nuevamente el Bono:
La Duración en Dólares y la Convexidad en
Dólares iniciales son: US$ -51,013.48 y US$ 414,180.36
respectivamente.
Aplicamos esos valores en la
expresión proveniente de la Aproximación de
Taylor:
Con esa variación estimada llegamos a un Precio
Sucio de US$ 8,370.76, porcentualmente 83.7076% muy cercano al
valor real (83.7074%).
En la práctica esa diferencia con el valor real es
aceptada, si se quisiera llegar a un valor mucho más
exacto, es decir, sin el término de error 
, se debería utilizar
la Aproximación de Taylor por completo, la cual
es:
Lo cual implica calcular la cuarta, quinta, sexta
derivada y así sucesivamente, agregando más
derivadas según se quiera ganar más
exactitud.
Cálculo de la Primera Derivada a partir de la
Función de Precio
Partimos inicialmente del concepto de que
se paga por un Bono siempre su Valor Actual. El Rendimiento que
desee ganar el comprador del papel será la tasa utilizada
para traer a valor presente los flujos de pago del Bono.
Teniendo claro este principio podemos afirmar que el Precio
está en función (depende) del
Rendimiento:
A continuación presentamos dicha
función:
transformamos primeramente los denominadores a
numeradores ajustando el exponente con signo negativo:
la primera derivada de esa función
sería:
Esta
primera expresión la llamaremos Expresión A pues la
volveremos a usar más adelante. A continuación
mostramos como vamos a simplificar dicha expresión para
obtener una versión más resumida:
Cuando se presenta el resultado de la Duración en
Dólares generalmente se omite el signo menos, pero siempre
hay que tenerlo en cuenta al momento de reemplazar el valor en la
Aproximación de Taylor.
Calculemos ahora la primera derivada en un caso numérico
concreto:
compramos un Bono cuyo Valor Nominal es US$ 3.000, su tasa de
interés es del 10% anual, el plazo es de 3
años, se paga el interés al
final de cada año y el capital al
vencimiento.
Compramos el Bono con un Rendimiento Efectivo Anual del 14%, 180
días después de transcurrida la fecha de
emisión.
El Valor Actual del Bono, entonces, resultará
de:
Calculemos ahora la derivada de esa
función
Nótese que en la última expresión
hemos separado cada numerador en dos factores: el flujo original
correspondiente y el factor de tiempo i. Esto
únicamente para que podamos comparar fácilmente la
expresión con la fórmula de Duración, en
donde el valor actual de cada flujo se multiplica por el plazo
por vencer. Resolviendo los cálculos respectivos
tenemos:
¬
este resultado será la Duración en
Dólares
Cálculo de la Segunda Derivada a partir de la
Función de Precio
Partiremos ahora de la primera derivada que fue calculada
previamente en el Anexo #1 (expresión A) la cual se
presenta a continuación:.
efectuamos la segunda derivación:
Ahora calculemos, al igual que hicimos en el Anexo #2,
esta segunda derivada a partir de un ejemplo numérico. Con
los mismos datos de la
compra del bono del Anexo #1 tenemos que la primera derivada
era:
la segunda derivada será:
Nótese que en la última expresión
separamos cada numerador en tres factores: el flujo original y
los dos términos que encierran el ajuste proveniente de la
segunda derivada (esto, con el objeto de comparar la
expresión con la fórmula de la Convexidad).
Continuando con los cálculos tenemos:
¬
este resultado será la Convexidad en
Dólares
Comprobación de la Duración en
Dólares
Recordemos lo que dijimos al principio, que la primera derivada
de la función de Precio era la Duración en
Dólares, entonces, si tomamos su fórmula y en ella
reemplazamos la Duración Modificada y la Duración
de Macaulay tenemos:
d$ , pero
recordemos que, aunque por lo general no se muestre el
signo menos, la Duración en Dólares
realmente es negativa porque se resta en la expresión
deducida a partir de la Aproximación de Taylor, por lo
tanto:
-d$ ,
reemplazamos ahora la Duración Modificada y
obtenemos:
-d$
,
reemplazamos ahora la Duración:
-d$
,
simplificando finalmente llegamos a:
-d$
, si
multiplicamos ambos por -1 entonces:
d$
, es
decir, la primera derivada !!
Comprobación de la Convexidad en
Dólares
Comprobemos ahora que la Convexidad en Dólares es igual a
la segunda derivada de la función del Precio. Partimos de
la fórmula de esta y reemplazamos la Convexidad con lo que
tenemos:
c$ ,
reemplazamos la Convexidad
c$
,
simplificamos términos semejantes y:
c$
, lo
cual es la segunda derivada !!
Autor:
Jean Paul Loffredo Cepeda