Movimiento
Armónico Simple
El estudio del oscilador armónico
constituye en Física un capítulo muy importante, ya
que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan
en la naturaleza y que han sido producidos por el
hombre.
El Movimiento Armónico Simple
(MAS) es un tipo de movimiento vibratorio causado por la
proyección de un Movimiento circular Uniforme
(MCU) en una recta lineal.
La proyección mencionada consiste en
tomar un diámetro cualquiera de la circunferencia de un
Movimiento Circular (MCU), y prolongar sobre esta recta
la componente vertical de la partícula. El movimiento
circular se reducirá a un movimiento de vaivén en
la recta.
El movimiento Armónico Simple, se le
llama SIMPLE porque proviene de un Movimiento Circular
Uniforme, el cual posee velocidad constante de
rotación. Si el movimiento circular NO tiene velocidad
constante (pudiendo ser acelerado o variado); la
proyección que genera forma el llamado Movimiento
Armónico Complejo (MAC), cuyo estudio es semejante al
primero pero teniendo en cuenta el cambio de la velocidad en el
tiempo aplicado en las diversas fórmulas del
mismo.
Una partícula describe un Movimiento
Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del
eje X, estando su posición x dada en
función del tiempo t por la
ecuación
Las características de un M.A.S.
son:
Como los valores máximo y
mínimo de la función seno son +1 y -1, el
movimiento se realiza en una región del eje X
comprendida entre -A y +A.La función seno es
periódica y se repite cada 2p, por tanto, el
movimiento se repite cuando el argumento de la función
seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un
tiempo P tal que w(t+P)+j=w
t+j+2p .
Cinemática de un M.A.S.
En un movimiento rectilíneo, dada la
posición de un móvil, obtenemos la velocidad
derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración
derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil
que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada
por la ecuación
Esta es la ecuación diferencial de
un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un
desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un
condensador, una temperatura, etc.
Puede comprobarse que la solución de
esta ecuación diferencial es
x=A sen(w t+j
)
Condiciones iniciales:
Conociendo la posición inicial
x0 y la velocidad inicial v0 en el instante
t=0.
CaracterísticasLa
velocidad de la partícula es mayor mientras
más lejos se encuentra de los puntos de retorno, siendo
máxima cuando cruza por el punto de equilibrio y
mínima (cero) en los puntos de retorno.La
aceleración de las partículas es mayor
mientras más lejos se encuentra del punto de equilibrio,
siendo máxima en los puntos de retorno y mínima
(cero) en el punto de equilibrio.
Posición, velocidad y
aceleración
Para calcular la posición de la masa
en función del tiempo habría que resolver la
ecuación diferencial anterior que relaciona la
aceleración con el desplazamiento.
Sin embargo, para simplificar vamos a dar
la solución. Derivándola dos veces se demuestra
fácilmente que satisface la Segunda Ley de
Newton.
La constante A que aparece en la
expresión anterior se denomina amplitud del
movimiento, y es el máximo desplazamiento de la
masa con respecto a su posición de equilibrio x =
0. Sus unidades en el SI son los metros (m).
El tiempo que tarda la masa en efectuar una
oscilación completa se denomina periodo (T), y
está relacionado con la frecuencia angular mediante la
expresión:
La velocidad y la aceleración de una
partícula que describe un movimiento armónico
simple se obtiene derivando la ecuación de la
posición en función del tiempo.
Posición, velocidad y
aceleración de una partícula que describe un
movimiento armónico simple. La fase en este caso es
cero.
Curva de energía
potencial
El módulo y el sentido de la fuerza
vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de
signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la
partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a
la izquierda.
En el origen la pendiente es nula, la
fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por
coincidir con un mínimo de la energía potencial es
de carácter estable.
Energía
Si no existe rozamiento entre el suelo y la
masa, la energía mecánica de esta última se
conserva. Ya se vio en el apartado de trabajo que la fuerza
recuperadora del muelle es una fuerza conservativa y se
calculó su energía potencial asociada, que es una
parábola:
En la siguiente figura se ha representado
la energía total, la energía potencial
elástica y la cinética para distintas posiciones de
una partícula que describe un movimiento armónico
simple.
La energía mecánica se
conserva, por lo que para cualquier valor de x la suma
de la energía cinética y potencial debe ser
siempre:
Dinámica de un
M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton
obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un
móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es
proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario
a éste.
ELONGACIÓN "y":
La posición del móvil se indica mediante
la elongación "y" que es la distancia a que
está el móvil del origen, el cual está
ubicado en la posición central o de equilibrio. Por ello,
las elongaciones pueden ser positivas, negativas o cero. La
elongación será, por tanto, una función del
tiempo.
La posición de equilibrio no implica un
equilibrio estático o reposo sino un equilibrio
dinámico (equilibrio porque la fuerza resultante es cero).
Como veremos luego, el móvil pasa con su máxima
velocidad por esta posición de equilibrio.
AMPLITUD : "A"
En la máxima elongación o
apartamiento de la posición de equilibrio a que llega el
móvil.
El M.A.S. como proyección del M.C.U. sobre un eje
coordenado : El Movimiento Armónico Simple puede
entenderse como la proyección sobre un eje coordenado (en
este caso el eje "y") de un Movimiento Circular
Uniforme.
Suponemos que un móvil se desplaza con Movimiento
Circular Uniforme de período "T", frecuencia "f",
velocidad angular "w", y velocidad tangencial "V". Tiene
además aceleración centrípeta "aC". Todas
estas magnitudes son constantes en el M.C.U.
Si proyectamos en cada instante el móvil en
M.C.U. sobre el eje "y" obtenemos otro móvil que se mueve
con Movimiento Armónico Simple.
De manera que proyectando la posición lineal "S"
sobre el eje "y" llegamos a la elongación "y". Proyectando
la velocidad tangencial del M.C.U. sobre el mismo eje se obtiene
la velocidad del M.A.S. y haciendo lo propio con la
aceleración centrípeta se llega a la
aceleración del M.A.S.
Estas tres funciones son las ecuaciones horarias del
M.A.S. y como vemos son funciones sinusoidales del tiempo. A
continuación se grafican las mismas.
La elongación "y" varía según la
función seno del ángulo "q", ángulo
que recibe el nombre de "fase del movimiento". Dicho
ángulo de fase aparece en grados sexagesimales para mayor
simplicidad en el análisis, pudiendo también
expresarse en radianes. Los valores de "y" oscilan entre "+A" y
"-A".
La velocidad "V(t)" varía según la
función coseno de "q", oscilando sus valores entre "+wA" y
"-wA".
La aceleración "a(t)" varía según
la función "-seno", que equivale a la función seno
multiplicada por (-1), y por lo tanto su gráfica
corresponde a la de la función seno rebatida con respecto
al eje "x". Se dice que esta gráfica está en
"contrafase" con respecto a la función seno (en este caso
a la "y(t)"). Sus valores oscilan entre "w2.A" y
"-w2.A".
En el primer cuarto de oscilación (con "q" entre
0 y 90º) se observa:
El móvil parte de la posición de
equilibrio (y = 0) y su elongación va creciendo hasta
llegar a "y = A".
La velocidad que era máxima positiva en el
instante inicial, llevándolo al cuerpo a desplazarse hacia
la derecha, va disminuyendo hasta hacerse cero en el punto de la
máxima elongación. En ese momento el móvil
está en reposo, pero es sólo un instante pues luego
comenzará a moverse en dirección
contraria.
La aceleración que es cero en el instante
inicial, empieza a tomar valores negativos, lo que indica que se
opone al desplazamiento o elongación. Mientras mayor es
esta elongación, mayor es la aceleración negativa,
la cual se hace máxima cuando la fase es "q =
90º".
En el segundo cuarto de oscilación (con "q" entre
90º y 180º) se observa:
La elongación comienza a disminuir desde el valor
máximo "A" hasta cero, retornando el móvil a la
posición de equilibrio.
La velocidad que era cero, se hace negativa,
llevándolo al cuerpo a desplazarse hacia la izquierda. El
móvil se va acelerando hasta alcanzar la máxima
velocidad hacia la izquierda (negativa) al alcanzar la
posición de equilibrio.
La aceleración que era máxima negativa
(hacia la izquierda) lo "empuja" al cuerpo a moverse en esa
dirección, y va disminuyendo gradualmente hasta hacerse
cero en la posición de equilibrio con "q =
180º".
En el tercer cuarto de oscilación (con "q" entre
180 y 270º) se observa:
La elongación parte de cero y va
haciéndose negativa, pues el móvil se mueve hacia
la izquierda de la posición de equilibrio. Alcanza un
máximo negativo de "y = -A".
La velocidad que era máxima negativa en la
posición de equilibrio, llevándolo al cuerpo a
desplazarse hacia la izquierda, va disminuyendo hasta hacerse
cero en el punto de la máxima elongación negativa.
En ese momento el móvil está en reposo, pero es
sólo un instante pues luego comenzará a moverse en
dirección contraria.
La aceleración que es cero en la posición
de equilibrio, empieza a tomar valores positivos, lo que indica
que se opone al desplazamiento o elongación, la cual es
negativa. Se trata entonces de un movimiento retardado. Mientras
mayor es esta elongación negativa, mayor es la
aceleración positiva, la cual se hace máxima cuando
la fase es "q = 270º".
En el último cuarto de oscilación (con "q"
entre 270º y 360º) se observa:
La elongación comienza a disminuir (en
módulo) desde el valor "-A" hasta cero, retornando el
móvil a la posición de equilibrio.
La velocidad que era cero, se hace positiva,
llevándolo al cuerpo a desplazarse hacia la derecha. El
móvil se va acelerando hasta alcanzar la máxima
velocidad hacia la derecha (positiva) al alcanzar la
posición de equilibrio.
La aceleración que era máxima positiva
(hacia la derecha) lo "empuja" al cuerpo a moverse en esa
dirección, y va disminuyendo gradualmente hasta hacerse
cero en la posición de equilibrio con "q =
360º".
Resumiendo :
1) Cuando la elongación es máxima
(positiva o negativa), la velocidad se hace cero y el
móvil está a punto de cambiar el sentido del
movimiento. En esos instantes la aceleración es
máxima y de signo contrario a la
elongación.
2) Cuando el móvil pasa por la
posición de equilibrio la elongación es cero,
la velocidad es máxima positiva o negativa y la
aceleración también es cero.
3) Se observa que la elongación "y"
está en contrafase con la aceleración "a", lo
que indica que la aceleración es recuperadora. Siempre
trata de volver a la posición de equilibrio al
cuerpo. Si la elongación es positiva (q entre 0 y
180º) la aceleración es negativa y si la
elongación es negativa (q entre 180º y 360º), la
aceleración es positiva.
La velocidad angular "w" del Movimiento
Circular Uniforme, que también está presente en las
fórmulas del Movimiento Armónico Simple, se
llama "pulsación" para este último
movimiento.
Otra forma que puede usarse para deducir las
fórmulas del M.A.S. es proyectar el M.C.U. sobre el eje
"x" (en lugar del eje "y" como hemos hecho).
Conclusiones
Conclusiones sobre
Cinématica del M.A.S:
-El M.A.S: es un movimietno
periódico en el que la posición varía
según una ecuación de tipo senoidal o
cosenoidal;
– La velocidad del cuerpo cambia
continuamente, siendo máxima en el centro de la
trayectoria y nuela en los extramos, donde el cuerpo cambia el
sentido del movimiento;
-Es un movimiento acelerado no
uniformemente. su aceleración es proporcional al
desplaziento y de signo opuesto a esta. Toma su valor
máximo en los extramos de la trayectoría, mientras
que es mínimo en el centro;
– Podemos imaginarlo como una
proyecci´no de un movimiento circular uniforme. El desfase
nos indica la posición del cuerpo del instante
inicial.
Conclusiones sobre la
dinámica:
-La fuerza elásica responsable es
siempre opuesta al desplazamiento y proporcional al
mismo.
_La frecuencia con la que vibra un cuerpo
que describe un M.A.S depende sólo de su masa y de la
constante elástica, mientras que es independiente
gráficamente de la vibración.
Conclusiones sobre la
Energía:
-La fuerza elástica que origina este
movimiento es conservativa. La energía otencial
elástica que lleva asociada es nula en el centro de la
trayectoría y máxima en sus extremos.
– La energía cinética
varíacontinuamente, siendo máxima en el centro de
la trayectoría y nula en sus extremos.
-Dado el carácter conservativo de la
fuerza elástica, la energía mecánica total
del cuerpo permanece constanbte a lo largo de toda la
trayectoría.
Bibliografía
-Diego Luis Feria Gómez,Centro Nacional de
Información y Comunicación Educativa, CNICE,
Proyecto Descartes (http://descartes.cnice.mecd.es)
-http://www.how-to-study.com/
-http://www.ditutor.com
-Apuntes del nivel secundario.
-http://www.Física.net
-http://matematica.laguia2000.com
Autor:
Mariel C
Trabajo Final .
Materia: Elementos de Física y
Matemática