Formulación de Modelos de Programación Lineal

Elementos
básicos de un modelo matemático

Un modelo matemático es producto de la
abstracción de un sistema real, eliminando las
complejidades y haciendo suposiciones pertinentes; se aplica una
técnica matemática y se obtiene una
representación simbólica del mismo.

Un modelo matemático consta al menos de tres
elementos o condiciones básicas: Las Variables de
decisión, la Función Objetivo y las
Restricciones.

• Variables de decisión y
  parámetros

Las variables de decisión son incógnitas
que deben ser determinadas a partir de la solución del
modelo. Los parámetros representan los valores conocidos
del sistema o que se pueden controlar. Las variables de
decisión se representan por: X1, X2, X3,…, Xn
ó Xi, i = 1, 2, 3,…, n.

• Función Objetivo

La función objetivo es una relación
matemática entre las variables de decisión,
parámetros y una magnitud que representa el objetivo o
producto del sistema. Es la medición de la efectividad del
Modelo formulado en función de las variables. Determina lo
que se va optimizar (Maximizar o Minimizar).

La solución ÓPTIMA se obtiene
cuando el valor de la Función Objetivo es óptimo
(valor máximo o mínimo), para un conjunto de
valores factibles de las variables. Es decir, hay que reemplazar
las variables obtenidas X1, X2, X3,…, Xn; en la
Función Objetivo Z = f (C1X1, C2X2,
C3X3,…, CnXn) sujeto a las restricciones del modelo
matemático.

Por ejemplo, si el objetivo es minimizar los costos
de operación, la función objetivo debe
expresar la relación entre el costo y las variables de
decisión, siendo el resultado el menor costo de las
soluciones factibles obtenidas.

• Restricciones

Las restricciones son relaciones entre las variables de
decisión y los recursos disponibles. Las restricciones del
modelo limitan el valor de las variables de decisión. Se
generan cuando los recursos disponibles son limitados.

En el Modelo se incluye, adicionalmente de las
restricciones, la Restricción de No Negatividad de
las Variables de decisión, o sea: Xi =
0.

Por ejemplo, si una de las variables de decisión
representa el número de empleados de un taller, el valor
de esa variable no puede ser negativo. O también, si una
de las variables es la cantidad de mesas a fabricar, su valor
solamente podrá ser igual a cero ó mayor que cero,
o sea positivo; sería absurdo obtener como resultado que
se va a fabricar – 4 mesas.

La programación lineal es la
interrelación de los componentes de un sistema, en
términos matemáticos, ya sea en forma de ecuaciones
o inecuaciones lineales llamado Modelo de Programación
Lineal. Es una técnica utilizada para desarrollar
modelos matemáticos, diseñada para optimizar el uso
de los recursos limitados en una empresa u
organización.

El Modelo de Programación Lineal, es una
representación simbólica de la realidad que se
estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma con
expresiones de lógicas matemáticas, conteniendo
términos que significan contribuciones: a la utilidad (con
máximo) o al costo (con mínimo) en la
Función Objetivo del modelo. Y al consumo de recursos
disponibles (con desigualdades = ó = e igualdades =) en
las restricciones.

En el presente texto desarrollaremos Modelos
Matemáticos de Programación Lineal de:
Maximización y Minimización, los cuales
estarán indicados en la Función Objetivo del
Modelo.

Problemas de
aplicación para formular un modelo

1). Proceso de producción.- Una
fábrica produce dos tipos de productos: M y N, los costos
de producción de ambos productos son $3 para el producto M
y $5 para el producto N. El tiempo total de producción
está restringido a 500 horas; y los tiempos de
producción son de 8 horas/unidad para el producto M y de 4
horas/unidad para el producto N. Formule el Modelo
matemático que permita determinar la cantidad de productos
M y N a producir, y que optimice el Costo total de
producción de los dos productos.

Formulación del Modelo

En la formulación del modelo, podemos
ayudarnos con la representación del Problema mediante un
organizador gráfico o esquema:

• Definición de Variables

Se desea formular un modelo matemático para
determinar la cantidad que debe producirse por cada producto (M y
N), por lo tanto tendremos dos variables, representados por: x1 ,
x2.

Siendo: x1 = Cantidad a producirse del producto
M,

x2 = Cantidad a producirse del producto
N

• Función Objetivo

Como se tiene información de Costos de
producción de los productos M y N, el objetivo será
minimizarlos:

Luego la Función Objetivo será
Minimizar "C" igual al Costo total de producción del
producto M más el Costo total de producción del
producto N.

Matemáticamente la Función Objetivo
es:

• Definición de Restricciones

El tipo de recurso en el problema es el tiempo (puede
ser horas hombre u horas máquina). Formulamos la
restricción, colocando en el lado izquierdo de la
inecuación el consumo unitario de los productos M y N, y
en el lado derecho la cantidad disponible del recurso (500
horas).

Resumiendo tenemos el siguiente Modelo matemático
de Programación Lineal del Problema (un modelo con dos
variables y una restricción, estando listo para aplicar un
método de solución:

2). Líneas de Producción.- Un
empresario tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio, y quiere
fabricar dos modelos de bicicletas: bicicletas de paseo y
bicicletas de montaña, para venderlas en el mercado a S/.
200 y S/. 150 respectivamente cada modelo, a fin de obtener el
máximo beneficio. Para la bicicleta de paseo
empleará 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la
bicicleta de montaña usará 2 kg de ambos metales.
Formular el modelo matemático de programación
lineal, que permita determinar la cantidad óptima de
bicicletas a producir, para obtener el mayor beneficio
económico.

Formulación del Modelo

Representamos el Problema mediante un organizador
gráfico o esquema

• Definición de Variables:

Se desea determinar la cantidad de bicicletas a
producir por cada modelo (paseo y montaña), por lo tanto
tendremos dos variables.

Sean: x1 = Cantidad de bicicletas de paseo a
fabricar

x2 = Cantidad de bicicletas de montaña a
fabricar

• Función Objetivo

El objetivo del problema es maximizar los beneficios
económicos totales (Z) de los modelos de bicicletas
que fabricará el empresario.

Precio de venta de la bicicleta de paseo = S/.
200

Precio de venta de la bicicleta de montaña = S/.
150

Beneficio económico = Precio de venta unitario x
cantidad a fabricar

Beneficio económico total de bicicleta de paseo =
200 x1

Beneficio económico total de bicicleta de
montaña = 150 x2

Luego la Función objetivo será: Maximizar:
Z = 200 x1 + 150 x2

• Definición de Restricciones

Elaboramos una tabla de materia prima consumida (Acero y
Aluminio) por cada modelo de bicicleta (paseo y montaña) y
su disponibilidad:

Restricción del consumo de Acero en la
fabricación de bicicletas:

1 x1 + 2 x2 < 80

Restricción del consumo de Aluminio en la
fabricación de bicicletas:

3 x1 + 2 x2 < 120

Observación:

• El lado derecho de las restricciones, 80 y 120
  representa la disponibilidad en kg. de acero y aluminio
  respectivamente (materia prima).

• El lado izquierdo en las restricciones indica el
  consumo unitario de materia prima por cada modelo de
  bicicleta.

• Condición de no negatividad: La
  producción de cada modelo de las bicicletas pueden ser
  cero (0) o mayor que cero, o sea: x1, x2 = 0

Luego el Modelo matemático de Programación
Lineal (con dos variables y dos restricciones)
será:

3). Caso de toma de decisiones.- Suponga con los
datos del problema 2), anterior, si el empresario por
restricción económica decide hacer solo un modelo
de bicicleta. ¿Cuál modelo debe elegir? ¿Por
qué?

Las alternativas de fabricación se
desarrollan en las restricciones del Modelo matemático; y
la toma de decisiones se determina evaluando en la
Función objetivo las alternativas
obtenidas.

La decisión a tomar, por restricción
económica, es producir un solo modelo de bicicleta que
genere mayor beneficio al empresario. Luego desarrollamos las
alternativas evaluando en las restricciones del
modelo:

La toma de decisiones se realiza
evaluando en la Función objetivo las alternativas de
fabricación obtenidas por modelo de bicicleta. A
continuación se muestra el procedimiento a
realizar.

Toma de decisiones:

Como la Función objetivo es maximizar el
beneficio económico, generado por las ventas, tomamos la
decisión de fabricar solo bicicletas de paseo, por
ser el modelo que va generar mayor ganancia, equivalente a
S/. 8,000.

Observación:

Hemos demostrado la importancia de formular un modelo
matemático adecuado, ya que un error en la
formulación del Modelo, nos puede llevar a tomar una
decisión equivocada que puede generar graves consecuencias
para la empresa u organización.

Autor:

Humberto Ángel Chávez
Milla

INGENIERO INDUSTRIAL

Reg. CIP 27135

Docente Universitario

CHIMBOTE – PERU