Obviamente, el modelo cuantitativo de un centro
comercial tendría una expresión diferente en un
astillero, como el de una panadería lo tendría en
relación a una caja de cambios y este ante una boutique.
Habría también alteraciones en relación al
local, el paradigma de una fábrica de colchones
sería diferente entre un lugar y otro (basta citar a
título de ejemplo, algunos factores diferentes en esos
centros de actividades, tales como ambiente natural, condiciones
étnicas, organización social, madurez
política, tradición educativa, ética,
mercado, carga tributarias e intereses. El modelo teórico
seria el mismo, pero el cuantitativo se alteraría en
nuestros ejemplos referidos.
Un modelo cuantitativo debe ser considerado dentro de
probabilidades de acontecimientos que tipifican realidades,
poseyendo por tanto, un aspecto relativo. Los problemas de
incertidumbre, o sea la influencia del riesgo, que afligen al
movimiento patrimonial, obliga el buen sentido, apelando a las
probabilidades aplicables a los modelos cuantitativos (hecho
relevante en la Teoría del Sistema de Invulnerabilidades
del Neopatrimonialismo).
Criterios aplicables a los Modelos
Una hacienda requiere tener el patrimonio apropiado para
respaldar las capacidades de: pagar, ganar, contrarrestar,
sobrevivir, protegerse contra el riesgo, evitar el despilfarro,
asumir el tamaño apropiado y concordar con los agentes
transformadores.
En este punto, se hace exigible un análisis
acerca del modo de interacción e integración de
aquellos elementos promotores del fenómeno patrimonial, es
decir, se requiere establecer las "correlaciones funcionales" de
los componentes del rendimiento ante las demás funciones
patrimoniales en cada emprendimiento,
La aplicación de los medios patrimoniales de cada
sistema hacendal estructura funciones en las que intervienen dos
componentes:
Las necesidades propias y específicas que
erigen unas finalidades de satisfacción al
emprendimiento.Los medios patrimoniales o bienes que suplen las
utilizaciones del funcionamiento.
A cada uno de los agregados referidos debe operar una
comparación, como puede ser:
Así por ejemplo, en cuanto al caso antes
considerado, en el que el Modelo se centra en la
proposición:
Tendremos que la Ganancia Neta (Ik) como resultante del
subsistema, es a las Ventas (Y), estas que son necesarias como
recuperación de la inversión incrementadas por la
ganancia, así como las Ventas (Y) como medios para hacer
crecer la producción están para las inversiones en
producción (It), estos como necesidades para obtener el
resultado.
El modelo podría, también obtener otro
tipo de relación, como criterio, por ejemplo, una
resultante en razón (reciproca) de los medios (It / Y) y
estos en relación con la necesidades (Y / Ik), siempre
sobre la óptica holística o de las relaciones
lógicas patrimoniales de naturaleza esencial, dimensional
y ambiental. Depende de la lógica, la metodología
(como ya fue referido) de lo que se pretende encontrar para la
orientación del análisis, o sea, la
percepción que se pretende tener. De cualquier forma,
todavía lo sugerido obedece al rigor lógico de
comparar lo que se consiga con lo que se precisaba
conseguir.
Esta confrontación entre medios y necesidades
genera unos resultados que por naturaleza deberían ser
eficaces (Ea), es decir, los medios patrimoniales (m) deben
ejercer funciones competentes para anular las necesidades (n) de
cada subsistema hacendal.
Igualmente, las necesidades patrimoniales (Pn) se
renuevan después de cada satisfacción tendiendo a
derivar una nueva necesidad, estas tienden a infinito, o sea,
teóricamente, en notación
matemática:
Lo ideal es que se produzca una eficacia (Ea), esta que
ocurre cuando las necesidades patrimoniales (Pn) son satisfechas
(Pn =0) y que la continuidad de tal acontecimiento sea ilimitada,
resultando, de esto una prosperidad (Ps). En notación,
esto es:
La metodología de las
proporciones
Un modelo científico del sistema de funciones
patrimoniales convenientemente estructurado por razones y
proporciones de relaciones funcionales sistemáticas de
eficacia direccionada a la prosperidad, habría de estar
considerando como eficaz (que anula la necesidad) pasando a ser
instrumento de medición de una realidad a ser alcanzada
con base a identidades de relaciones entre hechos patrimoniales
seleccionados de liquidez, de producción, de ventas, de
ganancias, etc…
Es importante tener en mente que una resultante del
sistema de funciones patrimoniales muestra como ocurre una
relación entre los elementos patrimoniales que fueren
utilizados y como se comportarán para anular las
necesidades, lo que puede resultar en algo satisfactorio
(eficacia) o no satisfactorio (ineficacia).
En tratándose de la aplicación de las
proporciones como una opción metodológica, al
establecer relaciones directas entre una resultante y los medios,
el objetivo será siempre el conocimiento del
comportamiento de la resultante ante los componentes del sistema
y, todavía, será preciso evaluar lo que se consigue
con lo que se dispone de medios patrimoniales (funciones
ejercidas) de cara a las necesidades existentes; esto es, la
confrontación entre resultante de un sistema y sus
componentes (necesidades y medios) y un recurso racional de
medición de la "eficacia", del resultado, del esfuerzo
desempeñado, para anular lo que se precisaba y colmar los
fines pretendidos.
Obviamente, el paradigma referido estará tanto
más próximo a la realidad, cuanto más fueren
los campos de las relaciones dimensionales y ambientales
considerados en la construcción del mismo. En la
práctica, el incremento ocurrido en los elementos del
sistema de liquidez que se halla en una correlación
constante y obligatoria, sus combinaciones pueden dar lugar a
ciertas discrepancias que quiebran el rigor matemático
sugerido por el modelo.
La proporción que sugiere el Neopatrimonialismo
Contable, no se refiere apenas a razones exclusivas en cuanto a
magnitudes, sino que incluye otras consideraciones de orden
lógica de índole correlativa. Las proporciones
siguen la lógica de las identidades pero sobre un enfoque
de naturaleza holística, es decir, estas no se limitan
apenas al aspecto del tamaño en sí, sino con todo
lo que sobre ella influye.
Así, por ejemplo, en el Sistema de Liquidez (Dos
Santos, 2009), es preciso analizar:
Las deudas y desembolsos, como necesidades
patrimoniales de pagos,Recursos de caja, créditos por recibir,
provisiones de bienes destinados a la venta,
que son recursos financieros o medios para cubrir los
pagos y,
Lo que resulta de la confrontación entre
tales componentes del sistema.
La eficacia del sistema de liquidez en un determinado
tiempo implica la anulación de la exigibilidad pertinente
al mimo tiempo. Esto implica que la eficacia de la liquidez
ocurrirá siempre cuando las necesidades de pago pudieren
ser cubiertas, tempestivamente, por los medios de pago, sin que
ocurran variaciones anómalas entre los elementos en
comparación (como por ejemplo, un desnivel entre una
variación del cociente de liquidez y la variación
de exigencias en el corto plazo.
Así, por ejemplo, una resultante del sistema de
liquidez (RSL), es a las necesidades exigibles (Ex) en el corto
plazo, así como los medios disponibles y realizables (D +
R) están para las necesidades exigibles en el corto
plazo.
La resultante (liquidez) medirá relativamente lo
que se tiene que pagar (Exigibilidades), así como los
medios patrimoniales (Disponibles y Realizables) lo hace con su
comportamiento ante las necesidades pertinentes (Exigibles en el
Corto Plazo)
Una mirada sobre los estados eficaces del patrimonio
debe derivarse de aquella que considera los propósitos
idealmente deseables en cuanto al comportamiento de la riqueza.
Es natural que el aumento en medios patrimoniales productivos
haga crecer el volumen de producción y reducir los costos
unitarios con lo que se aumentara el margen de ganancia,
asumiendo la misma capacidad del mercado para adquirir los
aumentos de la producción.
En la Resultabilidad, por ejemplo, los medios
representan la sumatoria del costo del producto y el margen de
remuneración del capital aplicado, por una parte y, por la
otra, la necesidad, es el ingreso que permite recuperar el costo
y trae consigo el margen (De Souza, 2009). El costo conveniente
define la inversión de capital que posee las condiciones
para ofrecer productos competentes ante la concurrencia de otros
compradores y, también, soporta una tasa de
remuneración a la empresa que hace parte de la
formación de precios convenientes de venta. La eficacia
del subsistema de resultabilidades surge cuando se satisface la
necesidad del ingreso de modo que entrega a la empresa los
valores de recuperación de la inversión en costos y
cubren además, un margen satisfactorio de
remuneración del capital aplicado. Cada componente del
patrimonio hacendal presta diversas utilidades o servicios, es
decir, diversas funciones.
Aunque en el Sistema de Resultabilidad, un modelo para
la gestión eficaz del lucro sea por esencia, una
situación deseable de alcanzar, fundamentada en relaciones
ideales y, siempre, de naturaleza teórica, su
materialización o no, es algo que estará sujeto, en
todos los casos, a un número significativo de
variables.
En el caso de la previsión de la ganancia como
instrumento de gestión, suelen utilizarse modelos
contables construidos para tipificar el comportamiento pasado o
presente de determinada gestión. La consideración
del rendimiento referido a un plazo proyectado difiere de aquella
situación teórica aplicada en la
construcción de modelos de comportamientos necesarios para
explicar los movimientos presentes. Dado que la vida de las
empresas es el resultado de un sinnúmero de variables, las
prospecciones a muy largo plazo pueden conducir a modelos
inadecuados.
En consecuencia pues, cuando un análisis sigue un
paradigma, la opinión más adecuada sobre la
conducta de un patrimonio, se emite a partir de un régimen
comportamental esperado, pero también comparativo e
incluyente, debiendo expresar una plena capacidad de
satisfacción de todas las necesidades patrimoniales de la
empresa o de la institución, en carácter
permanente.
Hipótesis de una eficiencia
global
Las funciones patrimoniales operacionalizan los
movimientos de la riqueza. Como los medios patrimoniales ejercen
diversidad de utilidades, también despliegan "diversas
funciones", jerárquicamente subordinadas como naturalezas
de las necesidades (Nepomuceno, 2008), así:
Básicamente: las capacidades
de Pagar (liquidez), obtener ganancias (resultabilidad),
mantener el equilibrio (estabilidad), tener vitalidad
(economicidad)De forma auxiliar: Protegerse contra
los riesgos (invulnerabilidad), ser eficientes o producir
adecuadas utilidades (productividad)Como meta suplementaria:
dimensionarse de forma competente (elasticidad), contribuir
como agente para el entorno (sociabilidad)
Tales capacidades de los medios para generar
utilizaciones con las cuales satisfacer las necesidades son las
que justifican la existencia de cada uno de los sistemas de
funciones patrimoniales, susceptibles de asumir modelos de
eficacia (paradigmas de satisfacción de las necesidades en
cada uno)
Cada vez que se estudia una empresa, es necesario
analizar la eficacia de cada uno de los ocho sistemas de
funciones, esto es, medir su capacidad integral para funcionar
eficazmente. Una empresa puede tener buena capacidad de pago, y
no tener capacidad de lucro, puede tener capacidad de generar
ganancias o lucro y no tener capacidad de pago, puede que no
produzca desperdicios pero tampoco generar ganancias, o puede
estar lucrándose muy bien sin tener buena
productividad.
Un sistema de funciones eficaz, tiende a influir
positivamente sobre otros sistemas y, estos sobre otros, en un
régimen de reciprocidad y de integración.
Así, por ejemplo, si una empresa aumenta sus ganancias,
tiende a poseer más recursos para pagar al día, si
paga al día comienza a tener mayores posibilidades de
obtener mayores ganancias, mayores oportunidades de efectuar
compras y mayores oportunidades de contratar a personal mejor
calificado. A esa correlación de eficacias se le denomina
interacción perfecta.
Un modelo de sistema de funciones patrimoniales (S), por
tanto, debe considerar las razones existentes entre una
resultante del mismo (Rs) y las necesidades conocidas (para medir
una relación entre el efecto funcional y la capacidad
ejercida antes de la necesidad), debe también considerar
una correlación entre los medios (Pm) y las necesidades
patrimoniales (Pn).
Una expresión, pues, podrá ser:
La cual, en palabras, dice: "La resultante (RsSx) de un
sistema de funciones patrimoniales cualquiera es a las
necesidades patrimoniales pertinentes (PnSx) así como los
medios patrimoniales (PmSx) están para las necesidades
patrimoniales del mismo sistema".
La eficacia de cada subsistema contribuye a la global,
mediante su participación como sumando en la sumatoria de
todos. Cuando en determinado instante los subsistemas de
liquidez, resultabilidad, estabilidad, economicidad,
productividad, invulnerabilidad, elasticidad y socialidad sean
eficaces, así evidenciados por las resultantes de cada
uno, entonces también existirá la eficacia global,
representada por la sumatoria de todos los sistemas.
Como cada una de esas funciones es autónoma
(puede haber liquidez y no haber resultabilidad, puede haber
resultabilidad y no haber liquidez, etc.,) así la
totalidad eficaz puede representar una cualidad plena. El
comportamiento de sujeción de la resultante de cara a las
necesidades en cada sistema, tiene el mismo comportamiento de
sujeción de los medios en relación a las
necesidades, como lo tiene también, la sumatoria de las
resultantes de todos los sistemas para la satisfacción de
todas las necesidades.
Con el fundamento en todos estos argumentos
lógicos es posible estructurar una hipótesis de
modelo global, como representativo de una síntesis,
así:
Donde dice que: "la sumatoria de la Resultante (Rs) de
todos los Sistemas (S) es a la sumatoria de las necesidades
patrimoniales (Pn) pertinentes, así como la sumatoria de
los Medios patrimoniales (Pm) en todos los sistemas (S)
está para la sumatoria de las necesidades (Pn) lo que
implica la anulación de todas las necesidades, implicando
lógicamente, la Eficacia Total (EaT)"
O sea, habrá eficacia en cualquier centro de
actividades (una filial por ejemplo), si en un tiempo "x" (un
semestre, por ejemplo) la resultante del sistema así se
comporta. O sea, un aumento del cociente de liquidez (implica la
anulación del aumento del exigible ( (las deudas no
crecerán proporcionalmente), por lo tanto, ocurre una
eficacia especial (Eae):
Tal consideración equivale a la ocurrencia del
fenómeno de plena liquidez temporal pero no es el fruto de
apenas consideraciones cuantitativas, por incluir estas y
aquellas relaciones espaciales y temporales (Lopes de Sa, 2008).
Como puede verse, lo que establece el Neopatrimonialismo Contable
como objetivo no puede ser una simple división entre
magnitudes para encontrar relaciones, sino que más
allá de esto, interesa conocer todos los elementos que
influyen en las relaciones de los componentes patrimoniales de un
sistema específico, con base a la proporcionalidad que
implica una visión dinámica y
holística.
Así, pues, la evaluación de cada una de
las capacidades que sean ejercidas por los sistemas,
dependerá siempre de la consideración sobre una
utilización competente de los medios patrimoniales ante
las necesidades. Es posible pues, concluir que el papel de un
consultor contable ante el estudio de las funciones de una
empresa o institución debe partir del análisis de
cada sistema, pero con vistas a considerarla globalmente,
así como las circunstancias de los agentes causales que
modificaran los estados patrimoniales.
La opinión del consultor contable ante los
cambios en las variables
El juzgamiento global sobre la situación de una
empresa o institución a través de los elementos
contables, depende del examen de eficacia de todos los
subsistemas de funciones patrimoniales (Goncalvez da Silva,
2009). La eficacia global existirá cuando todas las
necesidades del emprendimiento estén satisfechas o
anuladas.
No basta que los medios superen las necesidades, es
necesario que tal hecho ocurra tempestivamente y con
armonía ante las variaciones entre los componentes del
sistema y la resultante de este.
Las variaciones que experimentan los elementos de las
formulas y axiomas pueden alterar la estructura y la
dinámica que sugiere un modelo contable pertinente. No se
trata de despejar las dudas, ni de validar las previsiones ni
verdades de los modelos contables, sino más bien de
conciliar de forma lógica las condiciones sobre las que
los mismos se aplican y como se armonizan sus
contenidos.
Definitivamente, la indagación sobre las razones
que promueven la ineficacia estructural o funcional del estado
patrimonial es una tarea de importancia crucial en la
opinión de un analista. La inflexibilidad no es buena
consejera cuando los fenómenos que se consideran son
plenos de complejidad, sujetos a innumerables variables y a cada
naturaleza de organismo en sus espacios y tiempos. La
afirmación sobre un estado patrimonial, un sistema de
funciones, lo mismo que un elemento aislado, requiere encontrar
razones que lo fundamenten
Observar que algo discrepa de un modelo es apenas un
indicio, para formar opinión a ser ofrecida por un
consultor. La obtención de cocientes, índices,
proporciones, estadísticas, etc., por si solos, no
representan una conclusión global, siendo apenas
instrumentos encaminados a satisfacer entendimientos que deben
sustentar opiniones. Los parámetros poseen la rara
importancia de producir imágenes de estados ideales pero
apenas muestran un reflejo sobre la realidad derivada del curso
de los elementos patrimoniales. Mas bien, ejerciendo más
profundas verificaciones sobre las desviaciones de los modelos
cualitativos nos acercaremos mas objetivamente a las causas. "Que
el modelo cualitativo como idea, haya sido o no materializado, es
un recurso que solo la ciencia puede ofrecer, exigiendo
conocimiento de naturaleza doctrinaria y
experimental."
Los constructos que fundamentan las proposiciones
lógicas de proporcionalidad constante para la eficacia del
rendimiento quedan condicionados en calidad y cantidad por las
restricciones sobre los entornos ambientales del patrimonio y de
los centros de operaciones, todo ello relacionado con lo que
pueda ocurrir sobre las causas o efectos a través del
tiempo. Esa es la razón para la complementariedad de la
causa y efecto de los fenómenos contables por la
dimensionalidad, otorgándole profundidad a la
percepción y tornando más eficiente el juicio sobre
lo acontecido.
En las empresas de ciclos de producción
prolongados (como la silvicultura, la construcción, etc.)
por ejemplo, la apariencia de la información contable
puede denunciar deficiencia transitoria, pero esta tiende a
revertirse cuando ocurre aquella venta que se encontraba en
proceso de formación o de producción. Igual
sucederá con una empresa en reorganización o en
modificación de líneas de productos o desarrollo de
nuevos locales comerciales.
Los errores indicados por las diferencias entre modelo y
realidad, pueden tener tanta ocurrencia en la estructura o
composición del patrimonio, cuanta en la dinámica o
proceso de movimiento de este. Las inversiones excesivas o
deficientes, los financiamientos excesivos o la falta de recursos
financieros, son fallas comunes que llevan al patrimonio a
desequilibrios de estructura. También, la lentitud en la
rotación de los inventarios, las deficiencias en las
cobranzas de los créditos a recibir, los procedimientos
errados en los métodos de producción aplicados,
pueden causar fallas de dinámica capaces de agravamiento
de las situaciones.
La filosofía del Holismo es un enfoque sobre la
continuidad de los emprendimientos que exige la
observación global de un todo sobre la óptica de un
movimiento armónico. "El método inspirado en el
holismo, exige la observación global de la riqueza
patrimonial a partir de la esencia (necesidad, finalidad, medios
patrimoniales y funciones), en todas sus dimensiones (causa,
efecto, tiempo, espacio, cualidad, cantidad) y ambientes
(internos y externos) que poseen influencia como fuerzas agentes
que mueven la riqueza".
La secuencia del trabajo técnico que
debería desarrollar un consultor contable habría de
ser:
1. Seleccionar modelos cualitativos
teóricos2. Cuantificar los modelos teóricos
elegidos dentro de la realidad3. Considerar las probabilidades en las
cuantificaciones4. Recopilar datos sobre las manifestaciones
pertinentes5. Comparar las cuantificaciones con las
realidades efectivas o evidenciadas6. Considerar los factores de mutaciones,
especialmente los agentes que producen las transformaciones
del patrimonio7. Establecer las variaciones de las
comparaciones y,8. Buscar conocer las razones de las
variaciones
El control de los
sistemas contables dinámicos
Habitualmente los sistemas contables son modelados con
mayor o menor eficiencia mediante el auxilio de las relaciones
financieras. Sin embargo, es posible modelar procesos contables
de infinitas maneras, como en el presente caso en el que
pretendemos emular sistemas físicos cuyos comportamientos
se proponen similares al de los procesos contables. Es decir, la
escogencia de los sistemas físicos que hayan de ser
emulados para el modelamiento de algún sistema de otra
naturaleza, depende del problema a resolver, del criterio del
analista y del intervalo de validez que se pretenda tener para el
modelo resultante.
Figura N° 1: Modelo circulatorio de
los procesos contables (Ejecutivos, Finanzas, 03/1977)
Definiciones y notación
básica
La reproducción artificial de fenómenos o
hechos físicos y su integración en una red de
procesos realizados en serie o en paralelo con otros
fenómenos es parte de los que se conoce como modelamiento,
simulación y control de procesos. El Control de sistemas
es la capacidad de ejercer restricciones o influencia directa
sobre un determinado proceso o red de procesos simulados para
hacerlos funcionar conforme a un plan. La siguiente figura
representa las características de un modelo circulatorio
de los procesos contables.
Un sistema dinámico es un conjunto de cantidades
que dependen del tiempo, los cuales identifican los objetos de
interés. Un modelo matemático de un sistema
dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que
representan la dinámica del sistema con bastante
precisión.
Todo modelamiento debe contar con suficiente
información como para poder tipificar las tendencias del
desempeño de los procesos y entonces poder proyectar su
dinámica. Por ejemplo, para el caso al que apuntamos sobre
control de las ventas a través del nivel de cartera o
viceversa, requerimos contar con el tipo de registro
estadístico que se muestra en los Anexos N°1 y N°
2, de los que se puede optar por tomar los promedios como
variables, o si es del caso, tomar los datos reales por
considerar que estamos ante un régimen de funcionamiento
en estado estable.
Para modelar el comportamiento de sistemas
dinámicos que varían con el tiempo, existen
diversas estrategias (Jiménez, 2003), entre ellas, las
más difundidas son:
a) Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) o
ecuaciones de diferencias (ED)b) Funciones de transferencia (FT)
c) Diagramas de bloques (DB)
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Una ecuación diferencial de un sistema
dinámico, es un modelo matemático que representa la
relación entre las variables de entrada del sistema y las
variables de salida, para una característica o estado del
sistema en particular, como una función del
tiempo.
Las variables son las dimensiones que muestran
cómo evoluciona el estado del sistema, es decir, son el
conjunto de menor tamaño posible de variables que
contienen la información necesaria para predecir la
evolución del comportamiento del sistema en forma
única. Cualquiera que sea la interpretación que se
adopte, debe tenerse presente que:
a. las variables pueden tener o no sentido
físicob. las variables pueden o no ser
mediblesc. para un mismo sistema dinámico, las
variables no son únicas, de hecho, se pueden definir
infinitos conjuntos de variables.
La forma genérica de una EDO es una
ecuación del tipo:
En la que y(t) es la variable de salida y u(t) es la
variable de entrada. El número entero "n" es la
máxima derivada de la salida y se denomina "orden" del
modelo. Un caso particular de gran utilidad para tratar gran
variedad de problemas se da cuando el sistema es lineal: En este
caso la EDO toma la forma:
en la que ai y bi son constantes y por lo tanto
describen un sistema lineal e invariante en el tiempo. Los
sistemas físicos se estudian muy eficazmente con el
auxilio de los sistemas de ecuaciones simultáneas. El
modelo matemático equivale a una o a un conjunto de
ecuaciones matemáticas que representan la dinámica
del sistema con exactitud.
La representación grafica de los estados
solamente es posible para sistemas lineales mediante un punto en
el espacio de estados. El espacio de estados se refiere al
espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas X1, X2,
…Xn están formados por las variables de estado. Si
consideramos solamente dos ejes de coordenadas formados por la
variables X1 y X2 , cada punto representa la intercepción
de los trayectos descritos por el sistema cuando se utilizan
simultáneamente estas dos variables. Si consideramos tres
variables (X1, X2, X3) aún es posible la
representación en tres dimensiones sobre el papel de los
trayectos del sistema, pero cuando el numero de variables es
mayor, ya no es posible la representación directa de las
emergencias de las variables por lo que muchas veces se acude a
la estrategia de la reducción de la dimensión del
sistema teniendo en cuenta la interrelación entre las
variables.
Si se necesitan m variables de estado para
describir por completo el comportamiento de un sistema
determinado, estas m variables se consideran los m componentes
del vector de estado x, que en notación se
representa del siguiente modo:
Por lo tanto, un vector de estado es aquel que determina
de manera única el estado del sistema x(t) para
cualquier tiempo t > to una vez que haya sido conocido
el estado en t = to y sea especificada la entrada u
(t) para t > to.
Para representar el sistema dinámico como un
espacio vectorial de las variables de estados, se definen las
variables de estado expresadas en función de la
función de salida:
por lo que el espacio de estados en su forma matricial
se compone de las siguientes dos ecuaciones lineales (Ogata,
1993) o linealizadas de primer orden:
X"(t) = A.x(t) + B.u(t)
Y(t) = C.x(t) + D.u(t)
en las que, por ejemplo, las matrices A, B C y D
cumplen:
Funciones de Transferencia
La modelación mediante ecuaciones diferenciales
lineales e invariantes en el tiempo conduce a modelos en el
espacio de estados para la descripción interna o, a
modelos de función de transferencia para la
descripción de la dinámica del comportamiento
externo. En lo externo, las relaciones (cocientes) entre salidas
y entradas de cada componente del modelo se operacionalizan
mediante las funciones de transferencias [G(s)].
Toda función de transferencia se puede
representar en variables de estado X1, X2,…Xn en el domino
del tiempo, siendo "n" el numero de estados igual al grado del
polinomio denominador. , sin embargo, a mayor grado surge la
necesidad de tener que eliminar las derivadas de la
función de entrada mediante sucesivas integraciones
estaría introduciendo errores y ruidos cada vez mayores e
inconvenientes.
Una de las aplicaciones más importantes de la
Transformada de Laplace es cambiar una variable de estado "X"
como función de entrada a otra función "s" en el
dominio de la frecuencia compleja. La
letra s representa una nueva variable, que para el
proceso de integración se considera constante, La gran
ventaja de las transformaciones de Laplace es que incorporan los
valores iniciales de las ecuaciones en la solución, con lo
que se obtiene una solución completa, es decir, la
solución general y sus valores iniciales.
En general, la función de transferencia de un
sistema lineal con coeficientes constantes invariantes en el
tiempo está dada por el siguiente cociente de
polinomios:
la cual se define como el cociente formado entre la
transformada de Laplace del polinomio de la salida
(función de respuesta) y la transformada de Laplace del
polinomio de la entrada (función de excitación),
suponiendo nulas (cero) todas las condiciones
iniciales.
El hecho de trabajar con funciones de transferencia,
simplifica en gran medida el manejo matemático de los
sistemas. El problema que surge entonces es que las variables de
estado se deben definir de tal modo que en la ecuación de
estado queden eliminadas las derivadas de u. Para ello contamos
con los artificios mostrados en la figura. Esta figura muestra la
simbología de los operadores de integración, en la
que la primera de ellas, expresa la aplicación de un
operador en un espacio de estado no lineal:
En los sistemas con derivadas de orden mayor, se deben
asociar las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO"s) con
operadores de integración (s-1) cuyas salidas son
consideradas como las variables que definen el estado interno del
sistema, es decir, cada operador funge de función de
transferencia, permitiendo que las ecuaciones diferenciales se
transformen en ecuaciones algebraicas lineales capaces de
distribuirse sobre sumas o restas y las operaciones
pertenecientes al dominio de la frecuencia compleja se convierten
en multiplicaciones simples..
Figura N° 2: Operadores de
integración
Así entonces, para un sistema lineal e invariante
con el tiempo (De la cruz, 2005) del que se conozca la
función de transferencia, podríamos
tener:
Por lo tanto, después de simplificar la
ecuación 2, del numerador podemos escribir:
e igualmente, el tratamiento del denominador de la
ecuación 2 arroja:
en las que se cumple:
Diagramas de Bloques
Para mostrar las funciones que lleva a cabo cada
componente del modelo, se utilizan los diagramas de bloque. Cada
bloque representa la función de transferencia que
relaciona las corrientes de entrada y salida. Es decir, un bloque
es un símbolo para representar la operación
matemática que convierte la señal de entrada en
salida y es por ello que la dirección siempre será
única e indicará el flujo causal con su efecto y
también el flujo de la información.
La figura muestra un diagrama de bloques del modelo de
un proceso circulatorio contable. Debe señalarse que el
diagrama de bloques de un sistema determinado no es único,
sino que es posible dibujar varios diagramas de bloques de un
sistema y, recíprocamente, muchos sistemas diferentes y no
relacionados entre si, pueden representarse mediante el mismo
diagrama de bloques. Todo dependiendo siempre, del criterio del
analista (Ogata, 1995).
Figura N° 3: Diagrama de Bloques del
Modelo circulatorio contable
Un diagrama de bloques tan complicado por tener tantos
lazos de retroalimentación puede ser objeto de
reordenamiento siguiendo las reglas del algebra de bloques. Sin
embargo, para nuestro propósito solo mencionaremos algunas
de estas reglas.
En esta figura, un punto suma está indicado
mediante un círculo con una cruz. El signo de más o
de menos en cada extremo de flecha indica si la señal debe
sumarse o restarse. Solo pueden sumarse o restarse cantidades que
tengan las mismas dimensiones y unidades de medición.
También, desde un punto ramificación parten las
señales que se dirigen a otros bloques o puntos
suma.
Cuando una salida se realimenta a un punto suma para
integrarse con la entrada expresada en la misma dimensión
y unidades, estamos frente a un sistema en lazo cerrado,
como lo muestra la siguiente figura en la que se cumple X2(s) =
G3(s).X3(s) e igualmente, X3(s) = X5(s) + X6(s):
Figura N° 4: Sistema en lazo
cerrado
Ahora bien, un lazo es abierto cuando la salida no tiene
efecto sobre la acción del control, es decir, cuando
existe alguna modificación de la corriente entrante antes
de encontrar la entrada del sistema. Generalmente, esta
función la efectúa un sensor [H(s), K(s) etc.],
configurando un nuevo elemento de realimentación,
encargado de medir la corriente entrante.
Por ejemplo, al referirnos al modelo circulatorio del
proceso contable de la Figura N°2, que expresa flujo de
efectivo, debemos tener en cuenta que las corrientes X5 y X6
significan "Contribución de la corriente respectiva a las
Utilidades" o sea, la porción de ganancias que a
través de X4 se vierten al sistema, por lo cual, se hace
necesario convertir el efecto utilidades que ellas conllevan, al
efecto ingresos, utilizando para ello el concepto de "margen de
utilidad (m)" de la siguiente manera:
Valor de la corriente de Ingresos (X4) = [Valor de las
corrientes contributivas (X5 + X6)] /m
El modelo circulatorio del proceso contable, mostrado en
la Figura N° 2, es un sistema en lazos sujeto a una
perturbación [P(s)], en el que se cumplen las siguientes
ecuaciones:
X1(s) = G2(s).X2(s)
X2(s) = G3(s).X3(s)
X3(s) = P(s) + X7(s)
X4(s) = X5(s) + X6(s)
X5(s) = K(s).X1(s)
X6(s) = H(s).X2(s)
X7(s) = G4(s).X4(s)
finalmente, las corrientes entrantes se integran
como:
P(s) + X7(s) = P(s) + G4(s). X4(s) = P(s) +
G4(s).[K(s).X1(s) + H(s).X2(s)]
X3(s) = P(s) + G4(s).[K(s).X1(s) +
H(s).X2(s)]
de donde despejamos:
X2(s) = G3(s).[ P(s) + G4(s).[K(s).X1(s) +
H(s).X2(s)]]
X2(s).[1 – G3(s).G4(s).H(s)] – G3(s).G4(s).K(s).X1(s) =
G3(s).P(s)
Un sistema de lazo cerrado es aquel donde la
señal de salida tiene efectos sobre la acción de
control. Por ejemplo, para hallar la función de
transferencia de la trayectoria directa de la perturbación
P(s) en la siguiente expresión:
[X2(s)] / [P(s)] = [G3(s).G4(s)] / [
X3(s).[1-G3(s).G4(s).H(s)] – G4(s).K(s).X1(s)]
cuando K = 0, tendremos una FT de la trayectoria directa
en lazo cerrado, esto es:
[X2(s)] / [P(s)] = [G3(s).G4(s)] / [
X3(s).[1-G3(s).G4(s).H(s)]]
En general, los diagramas de bloques y los
métodos gráficos permiten deducir sistemas de
ecuaciones de Entrada/Salida que resultan más apropiados
para los sistemas complejos.
A veces, gráficamente, la operación del
integrador pareciera más comprensible leyendo los
diagramas de derecha a izquierda.
La metodología a seguir para pasar desde una EDO,
o una FT, al DB se inicia partiendo desde de la salida y en forma
retrospectiva se van colocando tantos integradores "s-1" como sea
el orden del sistema. De este modo, la salida va antecedida por
"n" derivadas entre las que además de los bloques
integradores, se intercalan los bloques estáticos que
fueren necesarios y eventualmente derivadores antes de llegar a
la entrada del sistema. Por ejemplo, para la función de
transferencia dada según la ecuación 2, los
integradores utilizados, tal como se muestra en la Figura N°
5 son los siguientes::
X1 = s-1X2
X2 = s-1X3
X3 = s-1X4
Figura N° 5: Diagrama de bloques de
la función de transferencia dada por la Ecuación
2
Metodología del modelado de mediciones
físicas o de variables matemáticas
Figura N° 6: Metodología del
Modelado
Con el objetivo de simular un proceso se requiere el
disponer de un modelo representado por mediciones físicas
o por variables matemáticas con el que se pueda reproducir
un fenómeno natural en un medio controlado. La
metodología del modelado comprende:
CONCEPTUALIZACION
Dada la naturaleza compleja del control de los sistemas,
un sistema puede estar conformado por varios subsistemas
más simples interconectados, con base a simplificaciones
ya probadas en problemas similares, donde cada uno de ellos
contiene elementos cuyo comportamiento es estudiado por
diferentes disciplinas.
De acuerdo al criterio del autor, un sistema
hidráulico permite introducir simplificaciones ventajosas
para la simulación de la presión que ejercen los
niveles de cartera imponiendo regulaciones sobre la fuerza de
ventas para mantener el flujo del capital de trabajo necesario y,
también para simular el efecto de los niveles de
utilidades acumuladas y dividendos por pagar ejercen
regulación sobre la corriente de nuevas reservas que crean
los empresarios e inversionistas para mantener el flujo de
requerido de actividades.
Por su parte, un sistema mecánico permite buenas
simplificaciones para simular la ejecución del costo de
producción, los gastos de operación y la
distribución de dividendos por su marcada relación
con el efectivo disponible.
En los siguientes párrafos estaremos
refiriéndonos al diseño de un modelo de control del
proceso contable de la empresa Calcáreos del Caribe S.A.,
cuyos datos operacionales aparecen en el Anexo I al final del
presente capitulo, con el fin de disponer de un medio de control
capaz de mantener el proceso bajo condiciones de operación
deseables.
Se parte de la hipótesis de que el comportamiento
del sistema contable (prototipo) de la empresa Calcáreos
S.A. guarda similitud dinámica con el proceso circulatorio
(modelo) representado en el diagrama de la figura N° 1.
Igualmente, para su mejor explotación, se considera que
este modelo circulatorio puede dividirse en dos subsistemas
más simples interconectados, el primero, emulando un
sistema hidráulico compuesto por dos tanques
interconectados sin interacción sobre las respectivas
alturas del liquido en sus estados de régimen estable y,
el segundo, emulando un sistema mecánico
masa-resorte-amortiguador.
La similitud dinámica significa igualdad de la
relación entre las fuerzas dinámicas en puntos
homólogos del prototipo y del modelo. Según la
teoría de la similitud establecidas por Kline: "Si dos
sistemas obedecen al mismo grupo de ecuaciones y condiciones
gobernantes y, si los valores de todos los parámetros y
las condiciones se hacen idénticas, los dos sistemas deben
de exhibir comportamientos similares con tal de que exista una
solución única para el grupo de ecuaciones y
condiciones"
FORMALIZACION
Sistemas Hidráulicos
Objetivo: Representar, mediante la operación
de flujo y almacenamiento de liquido en un primer tanque, los
subsistemas de Cuentas por cobrar a clientes del modelo
circulatorio contable mediante ecuaciones de
estado.
Solución: El punto clave para la
representación del subsistema mediante ecuaciones de
estado es la selección adecuada de las variables de estado
y se lleva a cabo como sigue: El flujo o velocidad de las masas
liquidas pueden describir dos tipos de fenómenos, el flujo
laminar y el flujo turbulento. Los sistemas de flujo laminar
pueden expresarse mediante ecuaciones diferenciales lineales
mientras que un flujo turbulento debe expresarse mediante
ecuaciones diferenciales no lineales.
Las ventas periódicas ($/año) representan
el flujo de los sistemas hidráulicos, en cuyo
análisis es necesario considerar los tipos de flujo
laminar y flujo turbulento.. Al considerar la salida a chorros
del flujo a través de un tubo corto en la parte inferior
de un tanque, si el flujo es turbulento la relación entre
el flujo "V" (de las ventas anuales) en estado estable y el nivel
de liquido "B" (de la cartera al final del periodo) que impulsa
el liquido a salir, se obtiene mediante la
expresión:
V2 = K.B ecuación
3
de donde al derivar y sustituir se obtiene una medida
que en hidráulica se conoce como Resistencia (Rt) al flujo
turbulento:
Rt = dB/dV = 2B/V
Analíticamente, esta medida se define como: "el
cambio en la diferencia de nivel por unidad de tiempo
(variación periódica de la cartera) y depende
directamente del nivel actual del liquido (nivel de cartera) e
inversamente al flujo medio del liquido (ventas
periódicas)".
En los Anexos III y IV se hace la construcción de
estas ecuaciones. El problema que estamos tratando de resolver es
relacionar las siguientes dos derivadas:
(dB/dt) = Rt.(dV/dt)
En muchos casos prácticos, la Resistencia (Rt) se
determina gráficamente considerando las condiciones de
operación en la vecindad del punto P desde donde la
prolongación de la línea tangente a la
parábola (V2 = K.B) intercepta la ordenada en el punto
R(-B,0), es decir cuando el valor de la pendiente de la tangente
en el punto P sea igual a 2B/V.
Figura N° 7: Parábola abierta
hacia arriba (commons.wikimedia.org)
Sin embargo, aquí mencionaremos la manera de
obtenerla analíticamente. En el caso de ser la
parábola abierta hacia arriba, "cuando la
intersección de la recta tangente en el punto P(x1,y1) a
la parábola con vértice en el puno V(h,k) y foco
F(h, k+p), dada según la ecuación:
(x1 – h)(y – k) -2(y1 – k)(x – h) + (x1 –
h)(y1- k) = 0
pase por el punto R[h, -(k + p)], podemos
conocer la Resistencia".
O si la parábola es abierta hacia abajo, "cuando
la intersección de la recta tangente en P(x1,y1) a la
parábola con vértice en el punto V(h,k) y foco F[h,
(p – k)], dada según la ecuación:
(x1 – h)(y – k) -(p – y1 + k -D)(x – h) +
(x1 – h)(p – D) = 0
siendo:
pase por el punto R[h, (k + p)], podemos
conocer la Resistencia".
En general, la solución de problemas no lineales
es altamente complicada y se recurre a la linealización
del modelo en torno a un punto de trabajo P(x1, y1) y resolver el
problema del control con la técnicas de análisis y
diseño lineal de que se dispone. Bajo ciertas
suposiciones, casi siempre puede obtenerse un modelo lineal, sin
embargo, también surge un compromiso entre la simplicidad
del modelo matemático y la precisión de los
resultados que se obtienen con él.
Es un hecho el que al aumentar la complejidad del
problema aumenta la exactitud, pero también es cierto que
un modelo adecuado que cumpla con el principio de que "siendo
iguales otras cosas, los modelos simples son preferibles a los
complicados".
Se considera lineal a todo aquel sistema que se le pueda
aplicar el principio de superposición: "la respuesta
producida por la aplicación simultanea de dos funciones
excitadoras distintas, es la suma de las dos respuestas
individuales". Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a
varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez y
sumando los resultados. Igualmente, si en una
investigación experimental se encuentra que la causa y el
efecto son proporcionales entre si, el sistema se considera
lineal.
En la realidad, aunque muchas relaciones físicas
se presentan por ecuaciones lineales, no son así. De
hecho, los sistemas considerados lineales, lo son solamente en un
rango reducido, por ello si lográsemos mantener
pequeños los cambios en las variables dentro del rango
lineal, el sistema se considera lineal o linealizado.
Por ejemplo, una altura de líquido que dependa
del cuadrado de la velocidad, puede hacerse lineal para bajas
velocidades y cuadrática a altas velocidades. En estas
condiciones, un sistema hidráulico operando bajo
condición lineal, cuya entrada es v(t) y cuya salida es
b(t), podría escribirse como:
b = v. R ecuación
4
(análoga a la ley de Coulomb) en la que R es
denominada Resistencia al flujo. Esta relación indica que
"una pequeña variación (b) de la cartera alrededor
de la condición de operación lineal es proporcional
a una pequeña variación de las ventas
(v)".
Geométricamente hablando, la resistencia "R" se
calcula mediante el cociente:
También podemos establecer una comparación
de la rapidez de variación entre la operación
lineal versus la no lineal, alrededor de la condición de
operación lineal, según la
expresión:
en la que la constante C es denominada Capacitancia y se
puede definir como "el número de unidades de diferencia
entre los cambios de la velocidad turbulenta (Vt) y la velocidad
laminar del liquido (v) por cada unidad de cambio en la cantidad
de liquido almacenado (b) en la unidad de tiempo".
Refiriéndonos al primer término del
numerador, encontramos aquí que su conformación
como cociente de una serie de diferencias finitas es susceptible
de expansión en la forma de series de Taylor alrededor del
punto P(v1 , b1) en donde al dejar de considerar los
términos de orden superior al cuadrático,
permitirán escribir:
C1(db/dt) = Vt – [(b1- bi) /R1] y
más propiamente:
en la cual, el producto "R.C" es denominado "constante
de tiempo del sistema".
Figura N° 8: Subsistema
hidráulico del modelo de control contable asumido (Ogata,
1995)
Tal como ha sido supuesto, al no existir
interacción sobre las alturas de líquido debido a
la interconexión de los dos tanques, la función de
transferencia se calcula del mismo modo para cada uno de ellos.
Esto es, si a la expresión:
R1C1(db/dt) + (b1- bi) = R1Vt
aplicamos la transformación de Laplace, a ambos
lados de la ecuación, obtendremos:
[R1 C1(s) +1].b(s) = R1.V(s)
Ahora, considerando que "V" es la entrada y
"b" la salida, la función de transferencia
será:
si no obstante, se toma "v" como la entrada, siendo "b"
la salida, entonces escribiremos:
donde simplemente se ha dicho que: b(s) = v(s).
R
Sistemas Mecánicos
Objetivo: Representar el subsistema de Costos y
Gastos mediante ecuaciones de estado.
Figura N° 9: Sistema mecánico
masa-resorte-amortiguador (Ogata, 1995)
Solución: El punto clave para la
representación del subsistema mediante ecuaciones de
estado es la selección adecuada de las variables de estado
y se lleva a cabo como sigue:
a- se determina la ecuación diferencial
que representa al sistema dinámico y el grado de
esta:
Aquí, se nos viene a la mente la ecuación
diferencial de Ohlson para expresar el modelo llamado de la
utilidad limpia, aunque esta vez, a cambio de la utilidad y del
patrimonio, nos referiremos al efectivo disponible y a los costos
y gastos operacionales. Bajo la óptica del administrador
de un emprendimiento, no tiene discusión una
relación existente entre la ejecución del costo de
producción, erogación de gastos de operación
y distribución de dividendos respecto del efectivo
disponible. Sin embargo, lo extraño y por ello novedoso,
es que entre ellas también debería distinguirse una
presunta sumisión mecánica al vigor de la corriente
de los dividendos pagados, veámoslo.
a- Se eligen variables de estado y el grado de
relación entre ellas.
Intentaremos representar la relación costo de
producción-gastos operacionales-distribución de
dividendos, mediante el sistema mecánico
masa-resorte-amortiguador tal como el que se muestra en la
figura:
El efecto del desplazamiento (y) de la masa (m), con
relación al piso, tiene lugar con la fuerza aplicada
"m.(d2y/dt2)", la cual en el modelo representa al costo de
producción al que arbitrariamente le ha sido asignada
proporcionalidad con la segunda derivada de la corriente de los
dividendos. El amortiguador es un dispositivo lleno de aceite con
coeficiente de fricción (b) que opone al movimiento la
fuerza viscosa "b.(dy/dt)" que aquí representa a los
gastos operacionales al que le asignamos proporcionalidad con la
primera derivada de la corriente de los dividendos . El resorte
se estira o contrae en una oposición constante (k) a la
deformación mediante la fuerza elástica "k.(y)"que
representa a los dividendos pagados. La fuerza externa "u
(efectivo disponible)" es la entrada para el sistema y la
sumatoria de las fuerzas en equilibrio (función de "y") es
la salida.
Los sistemas mecánicos se rigen por la segunda
ley de Newton. Si calculamos la sumatoria de las fuerzas en
equilibrio, obtenemos la ecuación del
movimiento:
Fuerza aplicada + Fuerza de
fricción + Fuerza elástica = Fuerza
neta
Costo de producción + gastos
operacionales + dividendos pagados = Efectivo
disponible
m.(d2y/dt2) + b.(dy/dt) +k.y = u
ecuación 6
Estos valores pueden estimarse mediante la
técnica de la regresión múltiple aplicada
sobre los datos del Anexo 7 para obtener la
ecuación:
0,418y"" -0,136y" + 0,966y = u –
40.730
Al tratar este problema asociado a la confección
del diagrama de bloques (Figura N° 3), luego de haber
despejado la derivada más alta y de haber definido las
variables de estado, se tiene:
y"" = – (b/m)y" – (k/m)y +
(1/m)u
X1 = y ;
X2 = X"1 = y" ;
X3 = X"2 = y""
se continúa con la utilización de
operadores integradores sobre esta ecuación para deshacer
integrales y pasar al dominio del tiempo mediante el tratamiento
con derivadas:
X1 = s-1X2
X2 = s-1X3
X3 = s-1X8
con lo que la ecuación se convierte
en:
s-1X8 = – (b/m).s-1X3- (k/m).s-1X2 +
(1/m).U
que interpreta fielmente el DB de la Figura
N° 3 con los sensores:
H(s) = b/m,
K(s) = k/m).
y se ha de tener en cuenta que cualquier otra entrada
"U" antes de su integración al sistema debe ser convertida
a la misma clase de unidades de medida mediante la
aplicación del factor (1/m). Debemos tener en cuenta que
las Ventas están valorizadas al precio de venta mientras
que los inventarios están valorizados al costo de
producción, lo cual exige que se haga homogénea la
información.
PARAMETRIZACION
Sistemas Hidráulicos
Objetivo: Representar, mediante la operación
de flujo y almacenamiento de liquido en un segundo tanque, el
subsistemas de Dividendos por pagar a accionistas del modelo
circulatorio contable mediante ecuaciones de
estado.
Solución: Haciendo consideraciones similares
sobre el segundo tanque, al establecer una comparación de
la rapidez de variación entre la operación lineal
versus la no lineal, alrededor de la condición de
operación lineal, tendremos:
la cual también puede escribirse como:
[(P1 – Pi) – pi)] + [(b1- bi) /R1] – (bi/
R2) y más propiamente:
(da1/dt)
Ahora, con base en un análisis estadístico
de regresión de los datos registrados en el Anexo III, ha
sido posible establecer la siguiente expresión
matemática:
V2 – 1,834842V – 0,083391 = – 3,125B ecuación
8
Esta es la ecuación representativa del flujo de
las ventas periódicas (V $/año) en estado estable y
el nivel de liquido "B" (de la cartera al final del periodo) que
impulsa el liquido a salir. Se trata de una parábola
abierta hacia abajo, con vértice en el punto V(0,917;
0,243) y foco F[0,917; (-0,781+0,243)].
La condición de operación lineal la
describe la línea tangente al pasar por los puntos
P(0,206; 0,134) y R[0,917; (0,781+0,243)], determinando los
siguientes parámetros:
Excepto (db/dt) que se obtiene mediante regresión
simple, la linealización restante de este fenómeno,
mostrada en el Anexo III, se obtiene a partir de la recta
tangente que corresponde a la ecuación lineal:
b = 1,2508v + 0,1236
ecuación 9
Ahora considerando al segundo tanque,
tendremos:
P2 – 0,005546P + 0,00000769 = 0,002277A ecuación
10
Esta es la ecuación representativa del flujo de
la corriente de nuevas reservas (P $/año) que crean los
empresarios e inversionistas para mantener el flujo de requerido
de actividades y el nivel "A" de utilidades acumuladas y
dividendos por pagar al final del periodo. Se trata de una
parábola abierta hacia arriba, con vértice en el
punto V(0,0028; 0,0301) y foco F[0,0028;
(0,0301-0,0005)].
La línea tangente al pasar por los puntos
P(0,0039; 0,0307) y R[0,0028; (-0,0005+0,0301)] determina
también los siguientes parámetros:
Excepto (da/dt) que se obtiene mediante regresión
simple, la linealización restante de este fenómeno,
mostrada en el Anexo IV, se obtiene a partir de la recta tangente
que corresponde a la ecuación lineal:
a = 0,9877p + 0,269
ecuación 11
Sistemas Mecánicos
Un sistema descrito por una ecuación diferencial
de estado, se puede representar siempre en variables de estado en
la siguiente forma:
x"(t) = A.x(t) + B.u(t)
y(t) = C.x(t) + D.u(t)
El modelo de un sistema de control en variables de
estado es una representación matricial de las ecuaciones
que rigen al sistema, o cual puede esquematizarse del siguiente
modo:
Figura N° 10: Modelo de un sistema de
control en variables de estado
Es claro que llegado a este punto, se entra al campo del
algebra de matrices. Partiendo de:
x"(t) = A.x(t) + B.u(t)
aplicamos entonces la transformación de Laplace
de la ecuación diferencial de estado para deshacer
derivadores:
sX(t) = AX(s) + BU(s)
con lo que obtenemos los valores característicos
de A que satisfacen (sI- A = 0)
(sI – A).X(s) = B.U(s)
y luego determinar la inversa de la matriz
característica: (sI – A)-1, esto es,
X(s) = (sI – A)-1.B.U(s) o sea:
cuya sustitución en la segunda ecuación,
arroja:
Y(s) = [C(sI-A)-1B + D].U(s)
y finalmente, para determinar la
función de transferencia, tendremos:
G(s) = C(sI-A)-1B + D
Ahora nuevamente en números. Por
ejemplo, siendo conocidos los elementos de las matrices A, B, C y
D, tendremos:
Otra manera de resolver el mismo problema, supone que
éste es un sistema lineal de condiciones iniciales iguales
a cero, en el que y(0) = 0, dy/dt (0) = 0 y que u(0) = 0, al que
aplicando la transformación de Laplace a ambos lados de la
ecuación arroja:
s2Y(s) = (1/m).U(s) – (k/m).Y(s) –
(b/m).sY(s)
reuniendo términos
comunes:
[s2 + (b/m).s + k/m] .Y(s) =
(1/m).U(s)
y finalmente, siendo "u" la entrada y "y"
la salida, la función de transferencia
sería:
RESOLUCION
Sistemas Hidráulicos
De acuerdo con las conceptualizaciones anteriores y con
base en la figura N° 6 sobre el subsistema hidráulico
del modelo, para cada uno de los tanques podremos
escribir:
Si definimos las variables de estado del siguiente
modo:
Para cada uno de los periodos bajo estudio de la empresa
Calcáreos del Caribe S.A. habrá que plantear
similares sistemas de ecuaciones. Obviamente, el paso final
sería hallar la solución general de las dos
ecuaciones diferenciales de primer orden para que con base en
ella expresar las variables de estado. Sin embargo, esta vez
dejaremos pendiente tal procedimiento.
Sistemas Mecánicos
Una vez construida la ecuación de estado, en este
caso con derivadas de orden mayor, se deben definir las variables
de estado, siguiendo la siguiente secuencia:
esto es:
Obsérvese que en este modelo no hay
recirculación (bypass), por lo tanto D = 0.
Obviamente, para cada uno de los periodos bajo estudio
de la empresa Calcáreos del Caribe S.A. habrá que
plantear similares sistemas de ecuaciones.
a- Se halla la solución general de la
ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes
constantes no homogénea que en este caso, se
dice:
La solución general "y(x)" de una ecuación
diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y
término u(x) variable es una combinación lineal de
dos tipos de soluciones, una solución complementaria "yc"
y una solución particular "yp", así:
y(x) = yc(x) + yp(x)
la solución complementaria es de la forma y(x) =
kerx, válida para u(x) = 0, mientras que la
solución particular satisface la ecuación no
homogénea [my"" + b.y" + k.y = u(x)],.
Como por regresión múltiple de los datos
del Apéndice 6, en escala gráfica, podemos hallar
la expresión:
u(e) = 0,002853 + 0,135862(E/106) –
0,041865[(E/106)2] ecuación 14
entonces asumimos que la solución particular "yp"
es también de la forma Ax2 + Bx + C, con lo que la
solución particular debe satisfacer la ecuación no
homogénea, así:
Sea: 0,418y"" – 0,136y" + 0,966y = u –
40.730 ecuación 6
de donde: y"" – 0,325y" + 2,311y =
[(u-40.730)/0,418] =
[[0,002853 + 0,135862(E/106) –
0,041865[(E/106)2]].106 – 40.730] / 0,418 de ecuación
14
por lo tanto: y"" – 0,325y" + 2,311y =
-90.614,833 + 325.028,708(E/106) – 10.000[(E/106)2]
si ahora decimos que:
yp = Ax2 + Bx + C
yp" = 2A + B
yp"" = 2A
entonces:
2A-0,325(2A+B)+2,311(Ax2+Bx +C) =
-90.614,833+325.028,708(E/106)-10.000[(E/106)2]
y finalmente, ecuacionando términos
semejantes, tendremos:
2,311Ax2 = -10.000[(E/106)2] esto es: x =
(E/106) y también: A = – 4.327,131
[-0,325(2A)+2,311B] = 325.028,708 o sea: B
= 139.425,776
2A – 0,325B + 2,311C = -90.614,833 de donde
C = -15.836,371
Por lo que la solución particular ha
de ser:
yp = -4.327 [(E/106)2] + 139.426 (E/106)
-15.836
la cual nos permitirá calcular y",
y"".
VALIDACION
Sistemas Hidráulicos
a) Conocidos los valores correspondientes de V
(ventas), podemos pronosticar valores reales de B (cartera),
o viceversa, mediante la ecuación:
V2 – 1,834842V – 0,083391 = – 3,125B
ecuación 8
Para pasar de la escala real a la escala gráfica
se procede del siguiente modo:
V: [(1.440.000 / 1.000.000) – 0,791048]2 =
0,421139
B: [(230.400 / 1000) – 122,943] / 1000 =
0,107457
b) La condición lineal de
operación del primer tanque establece:
c) Conocidos los valores correspondientes de P
(nuevos aportes de los empresarios) podemos pronosticar
valores reales de A (nivel de reservas y dividendos por
pagar) o viceversa, mediante la ecuación:
P2 – 0,005546P + 0,00000769 = 0,002277A
ecuación 10
d) La condición lineal de
operación del segundo tanque establece:
e) El anexo 6 muestra la solución al
sistema de ecuaciones del espacio de estados descrito por los
dos tanques. En este caso, los requerimientos de aportaciones
de los empresarios es mínima. El decrecimiento estable
(controlado) de la variación de cartera y de nuevos
aportes del último trimestre representan la base de la
proyección de cada siguiente periodo.f) El anexo 7 entrega la solución
general en cada periodo, de la ecuación diferencial
del sistema mecánico que representa una
estimación de los fondos aplicados al proceso para
atender costos, gastos y dividendos periódicos. A
partir del momento en que estos fondos superan la utilidad
antes de impuestos se trata de un proceso controlado que
otorga una buena base para la proyección de los
siguientes periodos.
Referencias
BRONSON Richard. Matrix methods: An introduction.
2ª Ed. San Diego: Academic Press. 1994. p. 503
CALAFELL, A. (1981). Teoría lineal de la
contabilidad. Revista española de financiación y
contabilidad, X(35), 283-298.
CUELLAR, G. (1987). Aplicación de la
teoría de grafos en la contabilidad. Recuperado el 9 de
Octubre de 2012, de
http://www.geocities.ws/memodrx/Aplicaci%F3n%20de%20la%20Teor%EDa%20de%20Grafos%20en%20la%20Contabilidad.pdf
CHURRUCA, E. (1981). Los modelos matricial y de
input-output y su aplicación al cálculo de costes.
Revista española de financiación y contabilidad,
X(35) 299-358.
DE SOUZA l. (2002). Contabilidade ao alcance de todos.
Curitiba: Juruá
DE LA CRUZ J.M. (2005). Control digital. Mexico:
ISA-UCM
DOS SANTOS. C. (2008/2009). Guia pratico para
elaboração do demonstrativo dos fluxos de caixa
(2ª reimpressão). Curitiba: Juruá.
GONZÁLEZ MARTIN Pilar, DIAZ DE PASCUAL Amelia,
TORRES LEZAMA Enrique y GARCIA, M. (1975) El paradigma de la
partida doble en la ciencia contable. Revista española de
financiación y contabilidad, IV(12 y 13),
341-364.
HILLIER, F. Y HILLIER, M.. (2010). Métodos
cuantitativos para administración. 3ª Ed.
México: McGraw Hill.
JIMENEZ Q. (2003). Control I. Universidad
Autónoma del Estado de Morelos.
LOPES DE SA. A. (2008) Consultoria e analise
contábil. Curitiba: Juruá.
LOPES DE SA. A. (2008/2009) Fundamentos da
contabilidades geral (1ª reimpressao). Curitiba:
Juruá.
LOPES DE SA. A. (2009) Tecnologia contábil
contemporânea. Curitiba: Juruá.
LOPES DE SA, A. (2010). Teoria da contabilidade. Sao
paulo: Atlas
MATTESICH, R. (2004). The rise and significance of
modern analytical methods in accounting. Energeia V. 2 N°
1-2, pp133-144.
MATTESICH R. (2005). A concise history of analytical
accounting. De Computis N° 2, Junio de 2005, pp.
123-152.
MATTESICH R. (1972). Accounting and analytical methods.
Houston: Scholar Book Co.
OGATA K. (1993). Ingeniería de control moderno.
Segunda edición, Capitulo 2. México: Prentice Hall
Hispanoamericana S.A.
PÉREZ GRAU Samuel. El neopatrimonialismo
Contable. En. Económicas CUC. Vol. 30 n° 30. (Dic.
2009). p. 139. ISSN: 0120-3932 .
PÉREZ GRAU Samuel. Modelo científico del
sistema de funciones patrimoniales. En: Económicas CUC.
Vol. 31 n° 31. (Dic. 2010). p. 10. ISSN: 0120-3932
.
RENDER F., STAIR R., HANNA M.. (2010). Métodos
cuantitativos para los negocios. 9ª Ed.. México:
Pearson- Prentice Hall.
ROSILLO Jorge. Fundamentos de Finanzas para la Toma de
Decisiones. Bogotá: UNAD. 2003. p. 429.
SHANK , J. (1972). Matrix methods in accounting. Boston:
Addison Wesley
THIERAUF R. (1995) Toma de decisiones por medio de I.O..
México: Limusa.
WARREN Carl., REEVE James., DUCHAC Jonathan.
Contabilidad Financiera, 11a Ed. México: Cengage Learning
Inc. 2011. p. 816.
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