Contabilidad analítica

Introducción

Este libro es un producto de investigación del
Grupo Pensamiento Contable de la Universidad Simón
Bolívar. La motivación principal de esta
investigación ha sido revelar la necesidad profesional del
contador público de saber resolver problemas del algebra
de matrices e ilustrar la representación de observaciones
sistemáticas contables en un espacio de estados,
relacionados con los procesos de toma de decisiones sobre
aspectos operacionales, financieros y administrativos de las
empresas.

La Contabilidad Analítica es aquella en la que
utilizamos fórmulas o expresiones matemáticas para
encontrar los resultados buscados. Según el estudioso
austro americano Richard Mattesich (1964), el padre fundador de
la contabilidad analítica lo es Gabriel Preinreich (1933)
por sus trabajos basados en interés compuesto, anualidades
y cálculos de valor presente para el cálculo de la
depreciación, amortización e
inversión.

La matemática actual se caracteriza por el
predominio del Algebra y se habla cada vez mas de la
algebrizacion de todas las ramas de la tradicional
matemática. En la actualidad, los desarrollos en el manejo
de la informática han otorgado mayor importancia al
algebra lineal o de matrices, llegando a convertirla en una
especie de teoría matemática de generalizaciones y
nuevos métodos de análisis, que provee eficaces
herramientas de análisis en todos los campos del saber y,
desde luego, en diversos problemas de la Contaduría, la
Administración y la Economía.

Igualmente mencionamos las aplicaciones de la
simulación y la modelación al desarrollo de la
finanza en la que se vinculan índices y razones
financieras como objeto matemático. Desafortunadamente, no
todos estos modelos admiten métodos analíticos para
la solución debido a que a veces su aplicación
puede resultar muy compleja. Cuando esto sucede, se hace uso de
técnicas numéricas, las cuales mediante una serie
de cálculos (iteraciones) conducen a soluciones
aproximadas que son siempre numéricas. En el caso de tener
que realizar múltiples iteraciones para la
obtención de la solución numérica, es
indispensable el empleo de computadoras.

La matemática siempre ha configurado un
importante complemento de la Ciencia Contable. Las matrices en
contabilidad ya eran conocidas en el siglo 19, pero el algebra de
matrices parece haber sido utilizada por primera vez en la
macro-contabilidad de Leontief (1951). En cambio, hay dos
áreas matemáticas del siglo 20 que hacen
polémico el uso de la expresión "analítica"
dada la naturaleza inductivo-empírica de su
aplicación. Estas son el diseño estadístico
de experimentos para la contabilidad y en particular para la
auditoria introducida por Laurence Vance (1950) y las hojas de
cálculo informatizadas para la contabilidad empresarial
propuesta por primera vez por Mattesich (1961).

A través del debate lógico y la
evolución epistemológica, la utilización del
muestreo y demás diseños estadísticos de
experimentos para la recolección de información, si
siendo apuntalados con elementos empíricos sacados de la
realidad en estudio y después de haberlos ubicado dentro
de determinado campo teórico son objeto de
comprobación empírica, han podido ser equiparados
como verdades relativas circunscritas a un ámbito
temporo-espacial determinado. Esto hace exigente la
formulación de un sistema de hipótesis comparables
entre ellas, manipulables para el establecimiento de la fuerza
determinadora y de la respuesta a su accionar, seguidas de su
validación o control para la eliminación de ciertos
efectos reactivos internos y/o sesgos externos.

En la década de 1970 la contabilidad
analítica enrumbó el descontento disciplinar que
generaba el marco de normas y principios erigido por asociaciones
gremiales privadas hacia intentos de axiomatizar la teoría
contable. De Alemania son conocidos los trabajos de Erich Kosiol
(1970, 1978) y de Marcel Schweitzer (1970, 1972). En Australia,
la búsqueda fue continuada por Murray Wells (1971, 1976) y
en Japón por Shizuki Saito (1972, 1973). En los Estados
Unidos se reanudó la discusión con la tesis
doctoral de Kenneth Orbach (1978). En Italia se manifestó
un interés similar en Pietro Onida (1970) y Guissepe
Galassi (1978) y desde España en Moisés
García (1970), José María Requena (1972) y
Eduardo Buenos (1978).

De las publicaciones de Stephen Zeff (1982) y Adrianne
Slaymaker (1996) sabemos que toda esta pléyade de trabajos
influyó en la construcción del marco conceptual del
FASB (1978), aunque esta oleada continuaría en los
años 1980 y 1990 con los trabajos de los ingleses J.M.
Gutiérrez y G. Whittington (1997), del alemán Georg
Herde (1992), el japonés Yoshiaki Koguchi (1990), los
argentinos Eduardo Scarano, H.E. Avila y G. Bravo (1988) y del
brasileño Antonio Lopes de Sa (1995). Hasta aquí,
la historia de la contabilidad analítica. Ahora
suscintamente veremos cómo a la contabilidad le ha tomado
30 años para modificarse hasta su estado
actual.

Como es sabido, algunas fuentes de la información
tradicional son recursos estándares que se ofrecen en el
mercado, pero en muchos otros casos los demandantes de
información necesitan rebuscar ciertas fuentes especificas
que le puedan proporcionar el mayor valor agregado. Resulta por
ello inevitable que la información como producto y/o
servicio estará bajo investigación extensiva por
parte de los usuarios, debido a sus propias presiones acerca de
lo que vaya a hacer con la información y, la consecuencia
principal de este estudio personal habrá de ser la toma de
conciencia de esta dualidad de la información como valor
de intercambio y como valor de uso.

Theodore Mock (1973) planteaba que los sistemas de
información contables deberían basarse en el valor
del aprendizaje de la retroalimentación contable. Esto
significa que un sistema de información contable debe ser
avalado de acuerdo a su contribución al aprendizaje,
valoración y control de la información. Por su
parte, los trabajos de Michael Jensen y William Meckling (1976)
brindaron la oportunidad para que Joel Demski, Gerald Feltham,
Peter y Jhon Christensen y otros, reformularan la teoría
de la agencia en términos matemáticos más
rigurosos.

Así, vino la fusión de la teoría de
la información (en su marco probabilístico como la
búsqueda de la mejor información y en su otro marco
con énfasis en el valor de la información como
producto) y la teoría de la agencia (con su
orientación hacia el comportamiento gerencial) para ser
presentada en los trabajos de J. Christensen y Demski (2003) como
la "perspectiva de la contabilidad como información".
Además, esta perspectiva de la contabilidad como sistema
de información también hacía hincapié
en la distinción entre información pública y
privada y sus implicaciones sobre cada uno de los mercados
financieros.

Esta nueva configuración teórica de la
contabilidad, sobre todo para la contabilidad financiera va
soportada por muchos modelos estocásticos
(probabilísticos) y métodos numéricos
(iterativos) de gran rigor matemático que la alejan de la
contabilidad analítica. La tediosa construcción de
modelos de pertinencia aleatoria programable explica, por
sí solo, este largo periodo de
gestación.

Luego, P. Christensen y Feltham (2005) completan la
distinción entre el papel de la contabilidad
(información) como facilitador de decisiones (que afecta a
las creencias del decisor sobre la consecuencias de sus acciones,
como en la contabilidad financiera) frente a la contabilidad
(valor) como factor influyente en las decisiones (que condiciona
las acciones de un tomador de decisiones en su relación
con informes contables, como en la contabilidad
gerencial).

Se está viendo entonces, que la
investigación en economía de la información
aplicada a la contabilidad ha ido forzando el cambio desde un
enfoque de una contabilidad centrada en la valoración como
un proceso pragmático, hacia un enfoque predominantemente
de ciencia social en el que la contabilidad asume la
función del suministro de información útil
para una amplia gama de propósitos que generan distintos
juegos de principios y normas contables para los fines de cada
usuario (contabilidad financiera, contabilidad gerencial y
contabilidad tributaria).

La mayoría de contadores (ya sean profesionales o
académicos) son básicamente conservadores y por lo
tanto son renuentes a abandonar la orientación de valores
profundamente arraigados, sin embargo, los contadores no pueden
abstraerse al fenómeno rampante de la globalización
que hace de las economías nacionales unas entidades cada
vez mas integradas en sistemas sociales abiertos e
interdependientes, sujetos a los mercados y a la
internacionalización financiera, lo cual en el campo
contable tiene mayor auge en la presentación de reportes
financieros y en la utilización de nuevas
tecnologías de la información.

Finalmente, debemos advertir que si bien el modo del
registro y análisis de los procesos contables de las
más grandes empresas son computarizados, allí se
hacen las mismas sumarizaciones periódicas de las cuentas
para la confección de los estados financieros (Mattesich,
1972). Y más aun, recordar que las tareas del
procesamiento de la información contable van mucho
más allá de la confección de los estados
financieros, pues también abarcan la competencia para
analizar, proyectar, simular y programar el comportamiento
contable de las empresas (Hillier & Hillier, 2010), todo lo
cual, se está refiriendo a la algebrizacion de la
contabilidad, es decir, a la contabilidad
analítica.

Los temas de que trata este libro se refieren
principalmente a la utilización del algebra de matrices en
la contabilidad, procurando enfatizar mayormente la oportunidad
de la modelación, antes que a su carácter de
linealidad. Los capítulos, sin que su lectura implique
secuencia metódica alguna, reciben nombres de aplicaciones
contables en vez de técnicas formales, como pudieron ser:
los métodos matriciales, la cadena de Markov, la
contabilidad matricial, el análisis financiero, los
sistemas circulatorios y los componentes principales.

En síntesis, este proyecto encarna un llamado
especial al Programa de Contaduría de la Universidad
Simón Bolívar, a ASFACOP (Asociación
colombiana de facultades de contaduría pública), a
ALAFEC (Asociación latinoamericana de facultades y
escuelas de contaduría y administración) y a los
diversos entes universitarios de planeación curricular de
los programas de Contaduría Pública de los
países en vías de desarrollo, entrar a considerar
la conveniencia de reprogramar cursos de Algebra Lineal y porque
nó, también de Ecuaciones Diferenciales, aplicados
a hechos y fenómenos contables en la currícula de
la carrera de Contaduría Pública.

Los
métodos matriciales en contabilidad

Definiciones y notación
básica

En muchos trabajos de Contabilidad el Álgebra de
Matrices es vital en el ejercicio de la profesión
contable, por ejemplo, para el tratamiento de flujos contables en
la Contabilidad de Gestión, la representación de
contribuciones en la Contabilidad de Costos, el Planeamiento
Financiero y en la Contabilidad Financiera. Es pues necesario
tener más conciencia de su aplicación en el
ejercicio profesional, para superar posibles inconsistencias
entre el valor formativo implícito de lo jurídico
normativo que se le ha brindado al perfil del Contador
Público y el grado de utilización de la
matemática.

Una matriz es simplemente un arreglo de números.
Estos arreglos pueden tener tres y más dimensiones, aunque
habitualmente trabajamos con matrices de dos
dimensiones

La dimensión de una matriz se determina
según el número de filas y columnas que posee.
Convencionalmente, una matriz de "m" filas y "n" columnas tiene
dimensión "m x n". A cada elemento aij corresponde una
fila i-ésima y una columna j-ésima. En general, una
matriz se representa por medio de letras mayúsculas en
negrita, es decir, A significa la matriz A, pero
también se utiliza la nomenclatura [aij]mxn o simplemente
[aij].

Observe que siempre se menciona primero el numero de
filas y posteriormente el número de columnas. La
aritmética matricial consiste de las mismas operaciones de
suma, resta y multiplicación, aunque siguiendo ciertas
condiciones especificas. La división en este caso no
está definida, sin embargo, más adelante veremos
cómo, en cierto sentido, la matriz inversa
A-1 puede verse como el divisor de la
operación aritmética de la
división..

Para ilustrar la manera de trabajar estas operaciones en
aritmética de matrices, partiremos del siguiente
caso:

La empresa Calcáreos del Caribe S.A
localizada en Puerto Colombia (Atlántico) ha ampliado sus
actividades de mercado a todo el país abriendo sucursales
en las ciudades de Bogotá y Cali.. Sus productos son Pisos
y enchapes de marmolina (I), Molduras y rosetas de yeso (II),
Carbonatos de calcio (III) y Caolines (IV), los cuales vende a
Bodegas de mayoristas de materiales de construcción,
Ferreterías de barrios y Constructores de edificaciones. A
partir de los siguientes datos correspondientes a las operaciones
del primer trimestre del presente año, la empresa desea
determinar:

• a) Número de unidades despachadas,
  por producto y por tipo de cliente

• b) Total de unidades entregadas por
  producto

• c) Valor de las ventas

• d) Nomina de ventas

• e) Costo de producción de las
  unidades vendidas

• f) Utilidades antes de
  impuestos

Tabla 1: Despacho de mercancías por ciudades, por
productos y por tipo de clientes

S. Pérez (2013). Esta
investigación

Tabla 2: Informe de mercancías siniestradas
durante el transporte

S. Pérez (2013). Esta
investigación

S. Pérez (2013). Esta
investigación

S. Pérez (2013). Esta
investigación

La departamentalización de la producción
está organizada por productos y servicios,
así:

Tabla N° 5: Costos de producción del
periodo

S. Pérez (2013). Esta
investigación

Tabla 6: Elementos de los CIF

S. Pérez (2013). Esta
investigación

El alquiler de maquinarias y la lubricación se
distribuyen según el número de Horas Maquina de
cada dependencia. La energía comprende las erogaciones por
fuerza motriz e iluminación. El costo del agua se
distribuye según el consumo de metros cúbicos y la
depreciación según el valor en millardos de los
activos depreciables de cada sección.

Tabla 6 (Continuación): Elementos de los
CIF

S. Pérez (2013). Esta
investigación

Las operaciones de suma y resta

Solución: Lo primero que debe hacerse es
organizar los datos en forma matricial:

Ahora, para hallar el total de unidades despachadas, se
debe efectuar la suma de las tres matrices, esto es:

D = S + B + C,

"La suma de matrices se efectúa mediante la
adición de los correspondientes elementos individuales".
En números, esto es:

De lo anterior, puede deducirse que solo pueden ser
sumadas matrices que tengan la misma dimensión. En
consecuencia, la suma y resta de matrices con dimensiones
desiguales, no está definida.

• a) Siguiendo con el problema, para conocer la
  cantidad real de los pedidos atendidos, de deben sustraer las
  unidades siniestradas que nunca llegaron a su destino, esto
  es:

P = D – X,

"La resta de matrices se efectúa mediante la
sustracción de los correspondientes elementos
individuales". En números, esto es:

Como puede deducirse, es posible sumar y restar
más de dos matrices de iguales dimensiones, simplemente
efectuando estas operaciones por pares, esto es:

[ (S + B + C) – X ] = [
(B + C) + (S – X)] = [ (S +
C) + (B – X)] = [ (S + B) +
(C – X)]

La multiplication de matrices

• b) Para conocer el valor de los ingresos por
  ventas, debemos conocer primero el número total de
  unidades PT realmente entregadas y posteriormente se
  debe multiplicar este número de unidades entregadas
  por el precio unitario p de venta.

"la multiplicación de matrices solamente
está definida si en cada producto posible el numero de
columnas de la matriz de la izquierda, es igual al número
de filas de la matriz de la derecha" (Thierauf,
1995).

considerando, por ejemplo, el siguiente producto de
matrices, se observa que

"si el producto PT.p =
V es definido, siendo V denotado como [vij],
entonces cada elemento vij se obtiene mediante la suma de los
productos que resultan de la multiplicación del elemento
en la fila i-ésima de P por el correspondiente elemento en
la columna j-ésima de p".

Matriz traspuesta

"se llama matriz traspuesta (PT)
otra matriz obtenida mediante la trasposición de los
papeles entre las filas y las columnas de determinada matriz
original (P)".

"Las matrices compuestas por una sola fila o una sola
columna, reciben el nombre de vector fila o vector columna". "Un
vector traspuesto puede obtenerse mediante la
multiplicación de los vectores columna de la matriz
original (P), o de los vectores fila de la matriz original, por
un vector fila o columna (U) compuesto de "unos"" (Calafell,
1981)..

En consecuencia, conocida la matriz P, podemos
convertirlo en un vector fila mediante:

esto es, el vector número total PT de
unidades realmente entregadas se obtiene según:

Por lo tanto, el valor de las ventas en dinero de las
unidades vendidas esta dado según:

lo cual es susceptible de sumar, para
conocer el valor total de los ingresos por ventas:

[361.200.000 468.000.000 507.110.000 123.200.000] = $
1.459.510.000

• c) Para conocer el valor de la nomina por las
  ventas del trimestre por categorías de cargos,
  simplemente triplicamos el valor de la nomina total
  mensual.

En primer lugar, sumamos las nóminas mensuales
por ciudades, así:

Cantidad escalar

Ahora, recordamos que "en la aritmética
matricial, un numero simple o constante recibe el nombre de
"escalar".

"El producto de un escalar por una matriz es similar
al producto de una matriz cuadrada (a la izquierda) cuyo
número de columnas es igual al número de filas de
la matriz (a la derecha) y en la que todos sus elementos son cero
excepto los de la diagonal principal en la que todos los
elementos son iguales al escalar". Si "h" es un escalar y
H es una matriz, el producto h.H es otra matriz
dada según h.[hij].

En estas condiciones, tenemos que el valor en dinero de
la nómina del trimestre es:

Aquí, para efectos de comparación con los
otros rubros, se hace necesario convertir la matriz G en un
vector fila mediante la expresión:

De la que resulta el vector gasto total
Gt correspondiente a la nómina de
ventas:

lo cual es susceptible de sumar para conocer el valor
total nacional de la nomina de ventas.

[ 93.000.000 102.000.000 171.000.000 ] =
$ 366.000.000

• d) Para conocer el costo de producción
  de las unidades vendidas, tendremos que establecer el vector
  columna Do(1×4) de cuatro componentes para representar el
  total de los costos directos operacionales de cada
  departamento operativo y, similarmente, el vector columna
  Is(1×3) de tres componentes para representar el total de los
  costos indirectos de los departamentos de
  servicio.

La complejidad de la situación surge del hecho de
tener que hacer un prorrateo primario de los costos indirectos
entre los departamentos operativos y de servicios antes de poder
conocer los vectores Do e Is, lo cual se muestra en el siguiente
cuadro.

Obsérvese que para poder formar matrices de tres
columnas, como tres son los departamentos de servicio (calderas,
mantenimiento y calidad), hemos tenido que integrar las parejas
de columnas alquiler de maquinaria-energía y
lubricante-depreciación, como si en cada caso se tratase
una sola clase de costo. También, debe resaltarse que bajo
el método del prorrateo secundario, en una etapa
subsiguiente, la sumatoria (horizontal) de los costos
pertenecientes a cada departamento de servicio, tendría
que haber sido distribuida entre los departamentos operativos.
Por lo tanto, al proseguir bajo el método de la
partición basada en una consideración vertical de
las clases de costos en procura de construir una matriz F7x3, se
estaría denotando una transposición de las clases
de costo pertenecientes a los departamentos de
servicio.

Partición matricial

Una partición es una de las partes resultante al
dividir una matriz en submatrices mediante el trazado de
líneas horizontales o verticales entre las filas o
columnas (Bronson, 1991). Obviamente es posible partir una matriz
de muchas formas diferentes según los lugares escogidos
para trazar las líneas separadoras. En el siguiente
ejemplo, la matriz F ha sido partida entre las matrices E4x3 y
J3x3

El artificio de la partición es de gran ayuda
en el tratamiento de matrices muy grandes. En primer lugar al
tener que multiplicar las matrices AxB, podemos partirlas en
submatrices C, D, E, F, G,
H, J, K que se comportan como si ellos
fuesen los elementos mismos. Por ejemplo:

En segundo lugar, si A y B ocupan demasiadas
posiciones de memoria por ser demasiado grandes mientras que
desde C hasta K quizás no lo sean, entonces se localizan C
y G en las memorias externas y se realiza el primer producto el
cual se almacena nuevamente en memoria externa; seguidamente D y
J son localizadas y se efectúa su producto. Luego se
localiza el producto CG y se suma con DJ y el resultado que es la
primera partición de AB se vuelve a almacenar en la
memoria externa y, el proceso continúa hasta su
terminación.

esto es: "El costo de producción de los
productos realmente entregados corresponde a la suma de los
costos directos (D) y los costos indirectos aplicados
singularmente a cada uno de los departamentos
operativos"

y también, de que: "Los costos indirectos
aplicados a los departamentos operativos son el resultado de una
asignación de los costos absorbidos del presupuesto (J) de
costos indirectos desde los distintos departamentos de
servicio".

o sea, en palabras: "los costos indirectos equivalen
a una cualquiera de las clases de costo más el resto,
compuesto del producto de la fracción restante
(xs) por la totalidad de dichos costos indirectos
aplicados (Ns)".

lo que también puede escribirse como:

lo cual significa que la diferencia entre la matriz
identidad y la matriz transpuesta equivale a la fracción
de una cualquiera clase de costo indirecto respecto del total, o
también al cociente entre las fracciones de una cualquiera
clase de costo asignado a uno cualquiera de los departamentos
operativos y la correspondiente del costo asignado a uno
cualquiera de los departamentos operativos perteneciente a
departamentos de servicio, ambas respecto a los costos indirectos
totales asignados. (Obsérvese que la asignación
fraccional horizontal "xs" de costos asignados pertenecientes a
los departamentos de servicio corresponde a una asignación
vertical traspuesta "yT" de las correspondientes clases de
costo).

El escalar unidad expresado en forma de matriz
también recibe el nombre de matriz Identidad. Por lo
tanto, en números, podemos escribir:

Matriz inversa

Sin embargo, más bien nos interesa
la expresión de la matriz inversa:

En términos aritméticos el inverso de una
fracción propia significa: el tamaño de la unidad
objeto de análisis. También, suele interpretase
como el número de veces que el denominador del denominador
contiene al numerador del denominador.

En algebra de matrices: "La matriz I, llamada
matriz identidad, es una matriz cuadrada que tiene números
uno ocupando cada posición sobre la diagonal principal (de
arriba hacia abajo) y al cero en todas las otras
posiciones".

"Una matriz cuadrada tiene una matriz inversa si y
solo si su reducción a la forma de "fila reducida"
mediante operaciones elementales de sus filas conduce a una
matriz que tenga unos en todos los elementos de su matriz
principal" (Bronson, 1991).

Las matrices reducidas a la forma de fila reducida, son
indispensables para la solución de ecuaciones lineales
simultaneas y también para elaborar algoritmos eficientes
utilizados en la ejecución de todas las operaciones con
matrices.

"La reducción de una matriz cuadrada a la
forma de fila reducida consiste en adicionar a una fila de la
matriz, otra fila de la misma matriz multiplicada por un escalar,
hasta que todos los elementos por debajo de la diagonal principal
sean cero y después, comenzando con la última
columna y desplazándose secuencialmente hacia la primera
columna, obteniendo ceros en todas las posiciones por encima de
la diagonal de los elementos unitarios".

"Una matriz reducida a la forma de fila reducida debe
satisfacer las siguientes cuatro condiciones:

• Todas las filas "cero" aparecen por
  debajo de las filas "distintas de cero" cuanto ambos tipos
  hacen parte de la matriz

• El primer elemento distinto de cero en
  cualquier fila distinta de cero es la unidad

• El primer elemento distinto de cero perteneciente a
  una fila distinta de cero, situado directamente por debajo
  (es decir, en la misma columna pero a partir de filas
  sucesivas) es cero

• El primer elemento distinto de cero perteneciente a
  una fila distinta de cero aparece en una columna posterior a
  la derecha del primer elemento distinto de cero de cualquier
  fila precedente.

Entonces, para invertir la matriz (1-yT),
nos valemos del siguiente procedimiento:

• Construimos una matriz aumentada, anotando una
  matriz identidad en partición horizontal al lado
  derecho de la matriz original

• Sumamos a la segunda fila la primera
  multiplicada por (0,10)

• Sumamos a la tercera fila la primera
  multiplicada por (0,10)

• Dividimos la segunda fila por
  (0,985)

• Sumamos a la primera fila la segunda
  multiplicada por (0,15)

• Sumamos a la tercera fila la segunda
  multiplicada por (0,165)

• Dividimos la tercera fila por
  (0,9322)

Hasta aquí, la matriz original ha adquirido la
forma de fila reducida, por lo tanto sabemos que se trata de una
matriz inversible, pues presenta una diagonal principal de solos
unos como elementos. Continuando entonces con el proceso de
inversión, tendremos:

• Sumamos a la segunda fila la tercera multiplicada
  por (0,3198)

• Sumamos a la primera fila la tercera multiplicada
  por (0,1980)

Por lo tanto, la matriz invertida
es:

Ahora, para obtener la distribución de cada clase
de costo en la formación del costo departamental, nos
valemos del producto:

que en números esto es:

De tal modo que la contribución
monetaria de cada clase de costo a la acumulación del
costo departamental estará dado según:

esto es:

En ocasiones, se hace necesario introducir factores de
corrección o ajustes para compensar los efectos de las
aproximaciones en trabajo con operaciones fraccionarias.
Finalmente, el costo total de producción vendrá
dado por la suma de los costos Directos más los Costos
Indirectos departamentales, esto es:

aquí, para efectos de comparación con los
otros rubros, se hace necesario convertir la matriz M en un
vector fila mediante la expresión:

lo cual es susceptible de sumar para conocer el valor
del costo de producción total:

[ 196.979.961 261.574.440 218.328.030
217.717.569 ] = $ 894.600.000

Ahora, siguiendo como
veníamos:

• e) Para conocer el valor de las Utilidades,
  primero hallamos la Utilidad Bruta y posteriormente la
  Utilidad Operacional, así¨:

UTILIDAD BRUTA = INGRESOS – COSTO DE
PRODUCCION

UTILIDAD BRUTA – GASTOS OPERACIONALES = UTILIDAD ANTES
DE IMPUESTOS

564.910.000 – 366.000.000 = $
198.910.000

El modelo de las
cadenas de Markov para la provisión de cuentas
incobrables

Definiciones y notación
básica

Aquí estamos tratando el problema de proveer una
adecuada provisión para cuentas incobrables. La esencia
del problema de las cuentas de dudoso cobro es estimar los flujos
netos futuros de realización de las cuentas por cobrar,
permitiendo incluir sistemáticamente la incertidumbre que
es inherente a todo problema de estimación.

El proceso de creación de una provisión
para cuentas incobrables cumple un número finito de
estados simples y en condiciones estacionarias de
transición, muy similar al modelo matemático
conocido como Análisis o Cadenas de Markov. Si las cadenas
de Markov pueden ayudar a evaluar esta probabilidad, ellas
serán claramente pertinentes a este problema de
valoración contable (Shank, 1972).

El análisis de Markov es una técnica que
maneja las probabilidades de ocurrencias futuras mediante el
análisis de las probabilidades conocidas en el presente.
El análisis se basa en el supuesto de que el sistema
comienza en un estado o condición inicial y la
predicción de su ubicación en algún estado
futuro implica conocer las posibilidades del sistema o la
probabilidad de cambiar de un estado a otro (Thierauf, 1995).
Estas probabilidades pueden reunirse y colocarse dentro de una
matriz o una tabla. Esta matriz de probabilidades de
transición muestra la posibilidad de que el sistema cambie
de un periodo al siguiente.

Por lo general, los sistemas de cuentas por cobrar
clasifican las deudas o cuentas por cobrar de sus clientes en una
o varias categorías de estado, que se agrupan según
el grado de retraso de la cuenta más antigua que no se
haya pagado. Por supuesto las categorías o estados exactos
dependen de la política fijada por cada
compañía.

Considere el proceso de recolección de cuentas
por cobrar en un almacén por departamentos
hipotético.

S. Pérez, 2013. Esta
investigación

Un estado de un proceso o de un sistema es el conjunto
de condiciones que hacen posible su existencia en un momento
dado. Los estados son colectivamente exhaustivos a la vez que
mutuamente excluyentes. La primera propiedad nos permite listar
todos los estados posibles de un proceso o sistema, mientras que
la segunda propiedad supone la presencia de un estado
único en un momento dado.

Al igual que cualquier otro proceso de Markov, se puede
establecer una matriz de probabilidades de transición de
estos cuatro estados. Esta matriz reflejara la propensión
de las facturas a ser clasificadas entre las cuatro
categorías de cuentas por cobrar de un mes al
siguiente.

En cualquier periodo de tiempo, digamos un mes, una
factura puede encontrarse en alguno de estos cuatro estados. La
probabilidad de toda factura sobre algún artículo
comprado en este mes que haya sido pagada es de 100% o uno (700 /
700). Igual sucede si una factura no se paga en tres meses, pues
la compañía la declarara como cuenta incobrable y
la probabilidad de permanecerá en dicha categoría
para siempre es de 100% o uno (240 / 240), solo que en ambos
casos tal clasificación se hará de un tajo al final
de cada mes.

Es por ello que estas dos categorías (A y E), que
solamente son observadas a intervalos fijos y periódicos
de un mes, reciben el nombre de categorías absorbentes,
queriendo decir con ello que, la probabilidad hacia el futuro de
las facturas en tales estados es uno y la probabilidad de que se
encuentre en cualquier otro estado es cero.

TABLA 8: CAMBIOS EN EL NUMERO DE FACTURAS DEL
PERIODO

S. Pérez, 2013. Esta
investigación

No así ocurre con los otros estados que reciben
el nombre de transientes (o no absorbentes) cuyo camino a
través del cual se mueve durante su vida, desde la
categoría dos (donde comienza) a lo largo de uno o
más de los otros estados hasta finalmente alcanzar la
categoría uno o la cinco, es visto aquí como una
variable probabilística.

Si un cliente adeuda varias facturas, habrá la
tendencia a clasificar su cuenta a través de la factura
más antigua sin pagar, o sea que si tal factura tiene un
retraso entre uno y tres meses, automáticamente al cliente
se le considera ubicado en la categoría C, pero en
realidad, a medida que transcurre el mes, las facturas van siendo
reclasificadas hacia sus respectivas categorías dando
lugar a dos clases de registros, tanto a los registros
permanentes al final de cada mes de facturas provenientes de la
categoría anterior como a registros de intercambio
provenientes de las más diversas categorías en
reclasificación de las facturas de los clientes tan pronto
como alcance tal estado según la
antigüedad.