Transformada de Laplace y Transformada Z

Introducción

El contenido a desarrollar en el siguiente informe
investigativo se basa en los distintos métodos de
transformada de Laplace y Transformada Z, es una herramienta de
gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de
problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las
ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas
simples del álgebra donde las soluciones pueden ser
obtenidas fácilmente. Cuando se habla de la transformada
de Laplace, generalmente se refiere a la versión
unilateral.

La Transformada Z convierte
una señal real o compleja definida
en el dominio del tiempo discreto en una
representación en el dominio de la
frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de
la variable del dominio, al igual que se podría
llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un
nombre más adecuado para la TZ podría haber sido
"Transformada de Laurent", ya que está basada en
la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo
discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo
continuo.

La transformada Z, al igual que otras
transformaciones integrales, puede ser definida como una
transformada unilateral o bilateral.

Transformada de
Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta de gran
alcance formulada para solucionar una variedad amplia de
problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las
ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas
simples del álgebra donde las soluciones pueden ser
obtenidas fácilmente.

La transformada de Laplace de
una función f(t) definida
(en ecuaciones diferenciales, o en análisis
matemático o en análisis funcional) para todos
los números positivos t = 0, es la
función F(s), definida
por:

• Propiedades de La transformada de Laplace

Tipos de
transformadas de Laplace

Se pueden distinguir dos tipos de
transformadas de Laplace: Bilateral y Unilateral.

• Transformada de Laplace Bilateral: Se define
  la transformada de Laplace Bilateral de una señal
  continua x(t) como:

Donde s es una variable compleja. En sí, la
transformada de Laplace bilateral de una señal continua es
una función analítica en cierto dominio, que se
denomina región de convergencia.

• Transformada de Laplace
  Unilateral: Sea x(t) una señal continua. Sedefine
  la Transformada de Laplace Unilateral de x(t)
  como:

Donde s es una variable compleja. En sí, la
transformada de Laplace Unilateral de una señal continua
es una función analítica en cierto dominio, que se
denomina región de convergencia.

Ejercicio de
transformada de Lapalace

EJERCICIO DE TRANSFORMADA DE LAPALACE A LOS CIRCUITOS
ELÉCTRICOS

Transformada
Z

La Transformada Z convierte
una señal real o compleja definida
en el dominio del tiempo discreto en una
representación en el dominio de la
frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de
la variable del dominio, al igual que se podría
llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un
nombre más adecuado para la TZ podría haber sido
"Transformada de Laurent", ya que está basada en
la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo
discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo
continuo.

La transformada Z, al igual que otras
transformaciones integrales, puede ser definida como una
transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una señal
definida en el dominio del tiempo
discreto x[n] es una función X(z) que
se define

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en
que x[n] está definida
únicamente para n = 0, la transformada
Z unilateral se define como

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral
es la función de generación de probabilidades,
donde x[n] es la probabilidad que toma
una variable discreta aleatoria en el
instante n, y la
función X(z)suele escribirse
como X(s), ya que s = z-1. Las
propiedades de las transformadas Z son útiles en
la teoría de la probabilidad.

TRANSFORMADA Z INVERSA

La Transformada Z inversa se
define

La TZ con un rango finito
de n y un número finito
de z separadas de forma uniforme puede ser
procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein.
La transformada discreta de Fourier(DFT) es un caso especial
de la TZ, y se obtiene limitando z para que
coincida con el círculo unidad.

Región de convergencia
(ROC)

La región de convergencia,
también conocida como ROC, define la región donde
la transformada-z existe. La ROC es una región del plano
complejo donde la TZ de una señal tiene una suma
finita.

• Propiedades de la Región de
  Convergencia:

La región de convergencia tiene
propiedades que dependen de la características de la
señal, x[n].

• La ROC no tiene que contener algún polo. Por
  definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que
  x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener
  convergencia, no puede existir ningún polo para
  ROC.

• Si x[n] es una secuencia de duración finita,
  entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o
  |z|=8.

• Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces
  la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde
  x[z].

• Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo,
  entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas
  cercano en x[z].

• Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va
  ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su
  interior y exterior por un polo.

Propiedades de la
transformada Z

• Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos
  secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z],
  entonces:

Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]

siendo a1 y a2 constantes
arbitrarias.

• Desplazamiento temporal. Sea X[n] una
  secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado
  cualquier entero n0>0, se tiene :

Ejemplo:

Considere la ecuación en diferencia
y[n]-1/2y[n-1]=d[n] y la condición inicial y[-1]=3.
Halle y[n] para n³0.

Solución

Tomando transformada Z a ambos lados de la
ecuación, y usando la propiedad de desplazamiento
temporal, se tiene:

Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]+y[-1]Z)=1

Por tanto,

Usando la tabla de transformadas, se tiene
que: y[n]=5/2(1/2)n

• Multiplicación por an. Si X[Z] es la
  transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de anX[n]
  está dada por X[a-1Z].

Demostración

En los teoremas anteriores, estamos suponiendo que
X[n]=0 para n<0.

Ejemplo

Halle la transformada Z de X[n]=anU[n].

Solución

Como la trasformada de U[n] es

• Diferenciación con respecto a
  Z. Si se deriva la expresión

Ejemplo

Sea y[n]=n(n+1)U[n], halle y[Z].

Solución

y[n] se puede escribir como y[n]=n2U[n]+nU[n]

Aplicando el teorema anterior se tiene:

• Teorema del Valor inicial. Dada una
  secuencia causal X[n] se tiene que

Ejemplo

Halle el valor inicial de una secuencia X[n] cuya
transformada Z es

Se puede observar que X[n]=U[n]

• Teorema del Valor final. Sea X[n] una
  secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el valor
  de X[n] a medida que n tiende a infinito
  se puede dar por la siguiente expresión:

siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n]
cuando n tiende a infinito.

La demostración se deja al lector.

Ejemplo

Halle el valor final de una secuencia X[n] cuya
transformada Z es:

Solución

Aplicando el Teorema del Valor final se
tiene:

• Convolución. La
  convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no
  es más que el producto normal de las transformadas Z
  de ambas secuencias, es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z]

En particular, si X[n] es la entrada de un sistema
lineal invariante con el tiempo y h[n] es la respuesta al
impulso, entonces se tendrá que:

Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z]

donde H[Z] es la transformada de h[n].

Para obtener la salida y[n] bastará hallar la
transformada inversa de y[Z] .

Ejemplo

Dadas las secuencias X[n]={1,3,-1,-2} y la respuesta la
impulso h[n]={1,2,0,-1,1}en un sistema lineal invariante con el
tiempo.

Hallar la salida y[n].

Solución

y[n]=X[n]*h[n]

Aplicando la propiedad de convolución se tiene
que:

y[Z]=X[Z]H[Z] donde

X[Z]=1+3Z-1-Z-2-2Z-3

H[Z]=1+2Z-1-Z-3+Z-4

Por tanto
y[Z]=1+5Z-1+5Z-2-5Z-3-6Z-4+4Z-5+Z-6-2Z-7

Por tanto, la secuencia de salida es:
y[n]={1,5,5,-5,-6,4,1,-2}

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace

http://neutron.ing.ucv.ve/electronica/materias/c2515/temas1_archivos/tema10.pdf

http://www.titounet.com/Material_Didactico/Transformada_Laplace_Diferenciales_Ejercicios_Resueltos.pdf

http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-circuitos/teoria-circuitos2

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/propiedadesTrans.html

Enviado por:

Sergio Tirado

DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

MATEMATICA APLICADA A LA INGENERIA
II

VIII-ELE-UN

Ciudad Bolívar, NOV.
2012-Venezuela