Matemagia: Magia y Matemática (página 2)

Hay un truco que suele ser conocido por mucha gente del
público, pero que es posible modificar para dejar
más asombrados a los que creen que lo saben.

Básicamente es lo siguiente. Tomamos 9 cartas
cualesquiera y se las muestra a una persona del público,
mientras vamos montando con ellas tres montones para que, sin
decírnoslo, elija una de las 9 cartas. Al acabar, nos
indica en qué montón ha quedado su carta elegida;
el mago coloca los montones uno sobre otro y vuelve a repartir en
tres montones enseñándolo al público y al
acabar le indican en que montón ha quedado ahora la carta.
El mago coloca los montones uno sobre otro y puede decir
cuál es la carta que el espectador había
elegido.

Si se tienen 21 o 27 cartas es necesario realizar una
vez más el reparto en tres montones, para colocar en su
lugar el sitio buscado.

En general, el truco se enseña de forma que el
mago coloca en cada ocasión el montón donde
está la carta elegida entre los otros dos, de esa manera,
la carta queda al final en el centro del mazo.

Yo prefiero utilizar sólo nueve cartas, porque
así el truco es más rápido y además,
modificando el orden en que se colocan los mazos, se puede
conseguir que la carta quede en el lugar que se quiera. En el
siguiente cuadro vemos cómo colocar el montón donde
está la carta buscada en cada reparto, según el
lugar donde queramos que quede.

Por ejemplo, si queremos que la carta quede en el lugar
8, como colocamos uno sobre otro los tres montones que hemos
hecho, necesitamos que la carta quede la penúltima del
último montón que coloquemos en ese reparto. Para
quedar la penúltima en el reparto, y como hay tres, quiere
decir que queda la segunda, tiene que provenir del segundo
montón colocado en el primer reparto.

Conseguir esto mismo con 21 ó 27 cartas
también es posible, pero mucho más complicado ver
el orden en que hay que colocar los montones en cada
reparto.

d) Completar a 10.

Para este truco se necesita una baraja española
de 48 cartas (con 8 y 9) o una baraja francesa de 52
cartas.

Supongamos que lo hacemos con la francesa. Se barajan
las cartas y se colocan boca abajo sobre la mesa 12 cartas. Se le
pide a un espectador que vuelva boca arriba cuatro de esas
cartas. Las restantes se recogen y se colocan debajo del
mazo.

A continuación, se van a completar con cartas del
mazo las cartas que están sobre la mesa. Se colocan frente
a cada una de las cuatro cartas, tantas cartas del mazo como
hagan falta para completar desde el número de esa carta
hasta

10 (las figuras se consideran que valen 10). Una vez
realizado, se suman los valores de las cuatro cartas que hay
sobre la mesa, y se sacan del mazo tantas cartas como el
resultado de esa suma. Sin mirarla, el mago dice en voz alta
qué carta es la última que ha puesto sobre la
mesa.

El truco consiste en que una vez colocadas sobre la mesa
las 12 cartas, el mago debe mirar sin que se note, qué
carta hay al final del mazo. Esa es la carta que va a descubrir
al final. El fundamento matemático es que cuando reparte
las 12 cartas sobre la mesa, le quedan en el mazo 40 cartas,
luego la carta vista es la número 40. Si ahora por cada
carta primero completamos a 10 y después quitamos tantas
cartas como indica el valor, realmente estamos quitando del mazo
en total 10 cartas por cada una de la mesa, es decir, en total
quitamos 40 cartas.

Ahora asignaremos los siguientes valores
numéricos a los palos de las cartas de una
baraja:

Del mismo modo, cada carta tiene un valor
numérico indicado por su número, donde la sota vale
8, el caballo 9 y el rey 10.

Ahora se pide que alguien piense en una carta y realice
las siguientes operaciones cabalísticas:

1. Multiplicar el valor numérico de su palo por
dos.

2. Sumarle tres.

3. Multiplicar por 5.

4. Sumar el valor de su número.

¿Cómo podemos ahora saber el valor y el
palo de la carta? Sugerimos realizar el experimento con un
ejemplo e inferir la ley que regula el resultado.

Adivinación de tres tiradas de un
dado

Se pide a un espectador que realice las siguientes
operaciones:

1. Lanzar un dado tres veces.

2. Multiplicar el primer resultado por dos.

3. Sumarle cinco.

4. Multiplicarlo por cinco.

5. Sumarle el segundo resultado.

6. Multiplicar por 10.

7. Sumarle el tercer resultado.

Al nombrar el resultado final, el matemago es capaz de
saber los resultados obtenidos en los tres dados.

Si queremos saber cuáles son los valores
obtenidos en cada una de las tiradas, basta resolver la
ecuación que se plantea con las operaciones anteriores.
¿Por qué es suficiente restar 250 al resultado
final?

Suma
constante

Se muestra un reloj de bolsillo y se pide a un
espectador que piense una hora cualquiera, de la una a las doce.
A continuación, el mago empieza a dar golpecitos en la
esfera del reloj con un lápiz sin orden aparente. A cada
golpecito el espectador debe ir contando de uno en uno, en
silencio y empezando por el número previamente pensado.
Así, si pensó en el siete, al primer golpe
contará siete, al segundo ocho, y así
sucesivamente.

En el momento en que llegue a veinte, debe parar e
indicarlo. Casualmente, o debido a los poderes magnéticos
de la magia, el lápiz en ese momento está apuntando
a la hora pensada al principio.

El método es elemental: si quieres descubrirlo,
piensa simplemente que el número de golpes dados
será igual a la diferencia entre 21 y el número
pensado. Esa diferencia será como mínimo de nueve.
Se trata pues de asegurar que, a partir de nueve, la suma entre
el número de golpes dados y la hora señalada sea
también veintiuno.

Par o
impar

Se indica a un espectador que saque unas cuantas monedas
de su bolsillo y las esconda en su puño. A
continuación el mago saca también unas monedas de
su bolsillo y muestra su puño cerrado.

El mago entonces anuncia que, a pesar de no saber la
cantidad de monedas que tiene el espectador en su mano, es capaz
de predecir lo siguiente:

"Si el número de monedas en la mano del
espectador es par, al juntarlas con las del mago, el total de
monedas será impar; si, por el contrario, el número
de monedas del espectador es impar, la suma de sus monedas con
las del mago será par."

Al hacer la comprobación se observa la exactitud
de la predicción del mago.

Para que la predicción sea correcta, el mago debe
sacar una cantidad impar de monedas. La suma de dos cantidades
impares es par y la suma de un número par y otro impar es
impar.

Curiosidades
aritméticas

Algunos hechos curiosos también pueden
presentarse como efectos mágicos. Es bastante conocido el
siguiente:

Se pide a alguien que elija su número preferido
de una cifra, llamémosle N. A continuación se le
pide que multiplique el número 12345679 por 9N.

La sorpresa que produce el resultado (el número
preferido repetido nueve veces) puede achacarse a la
numerología pero la belleza del resultado es consecuencia
de la divisibilidad de

111111111 por 9.

Hay muchísimos trucos de magia con cartas que
usan, de una forma u otra, alguna propiedad matemática, a
veces tan simple que parece mentira que el truco pueda pasar
desapercibido.

Uno de los más famosos es el que sigue a
continuación:

El juego de las
21 cartas

Se comienza por separar 21 cartas de una baraja. Un
espectador coge la baraja, elige una carta, la devuelve al mazo y
mezcla. El mago toma la baraja y coloca las cartas sobre la mesa,
boca arriba, en tres montones, la primera carta es la primera del
primer montón, la segunda será la primera del
segundo montón, la tercera en el tercer montón, la
cuarta sobre el primer montón, la quinta sobre el segundo,
y así sucesivamente. Una vez colocadas todas las cartas,
el espectador debe indicar únicamente el montón en
donde está su carta. Después se recogen todas las
cartas, tal como están pero colocando el montón de
la carta elegida entre los otros dos montones.

Se vuelve a repetir el proceso anterior una segunda vez
y, por último, una tercera vez, siempre de la misma forma
y preguntando cada vez en qué montón está la
carta elegida.

Después de todo lo anterior, el mago es capaz de
anunciar la carta elegida por el espectador.

Como el resultado final es siempre el mismo, para
descubrir el método basta con realizar las operaciones
indicadas y buscar el lugar que ocupa la carta elegida.
Casualmente, o quizá debido a cierta ley
matemática, la carta elegida ocupará el lugar
undécimo a partir de cualquier extremo.

La pregunta es: ¿Por qué funciona siempre
el truco?

Y otra pregunta, un poco más general:
¿Podría hacerse el mismo truco cambiando el
número de cartas o el número de
montones?

Voltea y
corta

Bob Hummer fue un famoso mago estadounidense de
principios del siglo XX que descubrió interesantes
propiedades matemáticas en una gran variedad de efectos
mágicos.

Ilustraremos aquí una de dichas propiedades, la
conocida por el principio de Hummer, con el siguiente
juego:

De una baraja francesa se separa un grupo par de cartas,
de modo que tengan sus colores alternados, roja-negra,
roja-negra,…, y se entregan a un espectador. Se le pide que
realice las siguientes operaciones:

1 Voltear las dos cartas superiores del
paquete.

2 Cortar el paquete por cualquier lugar.

3 Repetir los pasos 1 y 2 cuantas veces
desee.

De este modo habrá en el paquete algunas cartas
cara arriba y otra cara abajo pero aparentemente no hay
ningún control sobre el número ni la
posición de las cartas cara arriba. El espectador entrega
entonces el paquete al mago. Este debe separar el paquete en dos
montones sobre la mesa: deja la primera carta a la izquierda, la
segunda a la derecha, la tercera sobre la primera, la cuarta
sobre la segunda, y así sucesivamente, las pares en un
montón y las impares en el otro. Por último
reúne ambos montones pero después de dar una vuelta
completa a uno de ellos.

Pues bien, a pesar del aparente desorden de las cartas,
en este momento habrá tantas cartas cara arriba como
cartas cara abajo. Además, en una dirección
estarán todas las cartas negras y en la otra todas las
cartas rojas. La sorpresa entre el público será
mayor si este anuncio se hace antes de empezar el juego. Puede
incluso mejorar la presentación del efecto si el manejo
final de las cartas por el mago se realiza de forma secreta, bien
en la espalda del mago, bien bajo la mesa.

El manejo que acabamos de explicar es la base del
principio de Hummer: si tenemos una cantidad par de cartas
alternadas (ya sea por colores, por palos o por cualquier otro
criterio), al girar dos cartas consecutivas y colocarlas
nuevamente, el orden previo se ha alterado pero el cambio se
manifiesta por el giro de las cartas. No importa cuántas
veces se realiza la operación anterior: cada carta
invertida representa una alteración del orden inicial. La
operación final de invertir sólo las cartas que
ocupan el lugar par hace que queden en un sentido uno de los
grupos de cartas y en el otro sentido el otro grupo.

Muchos otros juegos y presentaciones diversas se basan
en este principio, que no es fácil de descubrir sin un
detenido análisis.

Predicción
cartomágica

El mago escribe una predicción en una hoja de
papel y entrega al espectador un paquete de cartas, con las que
debe realizar las siguientes operaciones:

1) Colocar la carta superior en la parte inferior del
paquete.

2) Retirar la siguiente carta.

3) Repetir los pasos 1) y 2) hasta que sólo quede
una carta en el paquete.

Se muestra ahora el contenido de la predicción y
se confirma que coincide con la única carta que ha quedado
en el proceso de eliminación.

El secreto está en saber de antemano qué
carta quedará después de realizar el proceso
anterior y verla sin que nadie lo advierta. Para ello debe
conocerse la expresión binaria del número de cartas
del paquete inicial y colocar la primera cifra de la izquierda,
siempre un uno, a la derecha del número. La carta que
ocupa el lugar indicado por este último número,
empezando por arriba, será la elegida.

Por ejemplo, si se utiliza toda la baraja
española de 40 cartas, como su representación
binaria es 101000, la carta a predecir será la
decimoséptima, pues 010001(2) = 17(10).

Un buen ejercicio consiste en demostrar la validez de
esta fórmula.

Como complemento, si se conoce una relación de
posibles combinaciones, puede repetirse el efecto con grupos de
distinto número de cartas. Por ejemplo, para paquetes con
un número de cartas igual a una potencia de dos, la carta
final será siempre la carta superior de la
baraja.

Como no siempre es sencilla, al menos mentalmente, la
operación que nos indica el lugar de la carta que debemos
predecir, mostraremos otro método más
simple:

Supongamos que n es el número de cartas con que
se realizará el experimento. En primer lugar, debemos ver
la carta superior de la baraja. Después haremos
mentalmente la multiplicación por dos de la diferencia
entre n y la mayor potencia de dos que sea menor que
n.

Por ejemplo, si n = 25, entonces 2 x (25 – 16) = 18. La
diferencia 25 – 18 = 7 indica el número de cartas
que han de pasarse de arriba abajo para que la carta superior (ya
conocida) quede en el lugar idóneo para aparecer al final
del proceso. En este caso, la carta ocupará el
lugar

19 desde la parte superior, lo que coincide con la
fórmula inicial:

25(10) = 11001(2) y 19(10) = 10011(2).

A vista de
pájaro

Un ejercicio de supuesta rapidez visual es el
siguiente.

Se muestran seis tarjetas o cartulinas, cada una de
ellas conteniendo los números que se indican. Se pide a un
espectador que piense un número y que separe las tarjetas
que contienen dicho número. El matemago, con un simple
vistazo a dichas tarjetas, nombra rápidamente el
número pensado.

El método es muy sencillo: basta sumar los
primeros números de las tarjetas que contienen el
número pensado. Con toda seguridad, la prueba de la
validez de este método es mucho más interesante
para alguien interesado en las matemáticas. Dicha prueba
se vuelve sencilla después de observar con detalle las
tarjetas: si escribimos la representación binaria de los
números involucrados, en la tarjeta 1 están todos
los números cuya última cifra es un uno, en la
tarjeta 2, aquellos cuya penúltima cifra es un uno, y
así sucesivamente. El primer número de cada tarjeta
indica el valor decimal de cada una de las cifras del
número. Así que su suma nos dará el
número pensado.

Puzzles
geométricos

Las siguientes ilustraciones muestran algunas paradojas
geométricas que se observan recortando figuras planas y
reconstruyéndolas de otra forma. En algunos ejemplos el
error es fácilmente detectable pero en otros puede ser
más sutil. Invitamos a pensar en ellos.

Ejemplo 1. En una hoja de papel se dibujan diez
líneas paralelas, como en la figura de la izquierda; se
recorta la hoja por la diagonal y se desplaza la mitad superior
como indica la figura de la derecha. ¿Por qué ahora
sólo hay nueve líneas? ¿Dónde
está la décima?

Ejemplo 2. En el tablero de ajedrez de la
izquierda se sombrean los 15 cuadros indicados. Sise recorta por
la línea marcada y se desplaza la mitad superior como se
ilustra en la figura de la derecha, el número de cuadros
sombreados es ahora 14 (donde el triángulo que sobresale
en el extremo superior derecho se traslada al extremo inferior
izquierdo). ¿Quién se ha llevado el cuadro que
falta? Si el tablero original tenía 8 x 8 = 64 cuadros,
ahora sólo tiene 9 x 7=63 cuadros.

Ejemplo 3. El rectángulo de la figura se
construye uniendo las piezas A, B, C y D. Es evidente que el
área de dicho rectángulo es 30 unidades.

Sin embargo, si colocamos las mismas piezas como se
indica a continuación, la figura que resulta tiene
área 20 + 12 unidades. ¿Desde cuándo el
área de una región depende de su
disposición?

Ejemplo 4. El rectángulo de la figura
superior está formado por las cinco piezas A, B, C, D y E.
Ahora bien, si recolocamos las piezas como se indica en la figura
inferior, falta un cuadro para completar el rectángulo.
¿Cómo ha podido perderse?

Ejemplo 5. Similar al caso anterior es el del
triángulo (llamado triángulo de Curry) que se
muestra a continuación. Con la primera disposición
de las piezas se llena el triángulo pero, al disponerlos
como se muestra a la derecha, se han perdido dos cuadros.
¿Hay alguna propiedad geométrica que regule esta
situación?

Ejemplo 6. La siguiente construcción es
también muy intrigante. Se forma el cuadrado de la
izquierda y se llama la atención sobre los cuadrados
pequeños, numerados del uno al cinco.

Al deshacer la figura y volverla a construir en la forma
indicada por la figura de la derecha, se observa que uno de los
cuadrados ha desaparecido. Con un poco de habilidad puedes hacer
aparecer el cuadrado que falta en algún lugar
inesperado.

Estos ejemplos y muchos más pueden convertirse en
originales efectos de magia con una adecuada puesta en escena. La
sorpresa inicial que produce cualquiera de estas situaciones hace
pensar en que el mago posee algún tipo de habilidad manual
o conoce alguna técnica desconocida, por no decir que
puede llegar a poseer ciertos poderes mágicos.

Por otra parte, no podemos desdeñar el aspecto
matemático de estos divertimentos pues es importante
distinguir estos trucos de verdaderas demostraciones
matemáticas. Por ejemplo, algunas de las múltiples
demostraciones del teorema de Pitágoras consisten
precisamente en recortar papel. Mostramos a continuación
una de ellas.

Se dibujan sobre los catetos del triángulo
rectángulo dos cuadrados y se recorta el de lado el cateto
mayor en cuatro partes iguales, trazando desde el centro del
cuadrado una recta paralela a la hipotenusa. A
continuación, estas piezas, junto con el cuadrado de lado
el cateto menor, se trasladan como se muestra en la figura para
formar el cuadrado de lado la hipotenusa del
triángulo.

La banda de
Möbius

Es bastante popular y conocida la banda de Möbius,
una superficie no orientada pues sólo posee una cara y una
arista. Surgió alrededor de 1.858 en un trabajo de
Möbius y Listing y ya en 1.890 se usó como truco de
magia, antes de que el conocimiento de sus propiedades se
extendiera a ámbitos no científicos.

Su construcción es muy sencilla: se juntan los
extremos de una cinta pero, antes de unirlos, se da un giro de
180º a uno de los extremos. Al recorrer la banda que se
forma de esta manera, para llegar al punto de partida se deben
recorrer los dos lados de la cinta original. Una
aplicación ingeniosa de este hecho se encuentra en los
carretes de cinta en las máquinas de escribir o en las
cintas de impresora, lo que permite utilizar la tinta de ambos
lados antes de agotar el carrete. Este principio permite a los
magos realizar experimentos donde se oculta el hecho de que se
esté utilizando una banda de Möbius pero,
también, proporciona otras propiedades que no son tan
conocidas.

Veamos algunos hechos sorprendentes:

1) Como prueba de habilidad el mago anuncia que es capaz
de cortar una banda de papel por la mitad sin separarla. Para
ello prepara la banda de Möbius como se ha indicado y
recórtala longitudinalmente por el centro de la cinta. El
resultado final muestra una banda el doble de larga que la
original, en vez de dos bandas, como cabía
esperar.

2) Para aumentar la sorpresa, se puede intentar otro
experimento más difícil todavía. Se prepara
una nueva banda de Möbius pero esta vez se corta
longitudinalmente pero siempre a un tercio de la distancia al
borde. ¿Qué figura se obtiene? ¿Cómo
ha salido otra banda enlazada a la primera?

3) Prepara otra banda con una cinta pero, antes de unir
los extremos, haz un doble giro a uno de ellos. Recorta
nuevamente la banda a lo largo de su línea central.
¡Una nueva sorpresa! ¡Dos bandas de la misma longitud
enlazadas!

4) Recorta cada una de las bandas obtenidas en el
experimento anterior. Ahora saldrán cuatro bandas, todas
enlazadas.

Parecen evidentes las ventajas que estas experiencias
representan para conseguir motivar a los estudiantes en el
estudio de las matemáticas.

El cuadro que
aparece y desaparece

Vamos a dejar los números y vamos a ver un truco
geométrico. Está adjudicado a Sam Loyd, uno de los
mayores creadores de acertijos y pasatiempos de todos los
tiempos. Desde mediados del siglo XIX, primero Sam

Loyd padre, y posteriormente su hijo, estuvieron
encargados de una sección de pasatiempos en una revista
americana, y en ella plantearon multitud de acertijos
famosos.

En este truco geométrico partimos de un cuadrado
de 64 unidades de superficie, dividido de la siguiente
forma.

Lo cortamos primeramente en dos rectángulos, uno
de 3×8 y otro de 5×8.

El pequeño se divide a su vez por la diagonal, y
el mayor de la forma que aparece en el dibujo.

Si ahora reconstruimos con las cuatro piezas una nueva
figura, podemos conseguir el rectángulo siguiente, que
como puede apreciarse tiene 5×13=65 cuadrados de
superficie.

Pero si las cuatro piezas iniciales se colocan de
distinta forma, como en la nueva imagen, obtendremos ahora una
superficie de sólo 63 cuadraditos.

Este truco puede hacerse dibujando en transparencias las
cuatro partes y proyectando los movimientos o incluso haciendo
construir en cartulina el cuadrado original y dividiendo en
cuatro partes, según los cortes previos.

Yo poseo un juego publicitario de mediados de los
años 60 del pasado siglo, basado en este
rompecabezas.

El fundamento del truco consiste en que cuando se
construye el rectángulo de

5×13, la diagonal no coincide exactamente, a lo largo de
ella aparece un romboide, pero tan fino que es difícil
observarlo a simple vista. Por eso puede aparecer un cuadrado
más.

Cuando se pasa a la última figura, las
líneas sobre la diagonal se montan unas sobre otras de
forma inobservable, pero consiguiendo que la superficie
correspondiente a un cuadradito desaparezca.

Bibliografía

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problemas en los estudiantes de secundaria básica", tesis
de diploma, Pinar del Río, 2009

————————————-: Guía para
la preparación de los alumnos para los concursos
provinciales, Folleto digital.

Autor:

Wilmer Valle Castañeda