Matemagia: Magia y Matemática

¿Conoces las cuatro operaciones básicas?
Piensa un número. Multiplícalo por dos. Suma diez
al resultado. Divide por dos. Por último, réstale
el número pensado. Entonces, el número obtenido
es… cinco.

Este simple ejercicio mental no puede sorprender a quien
conozca los rudimentos del álgebra.

Del mismo modo que la adivinación de sucesos
futuros puede no sorprender a nuestros descendientes lejanos si
logran desentrañar los secretos de la cuarta
dimensión.

Pues de eso trata un aspecto muy común de la
magia: de lograr crear una sorpresa mediante la
utilización de mecanismos más o menos ingeniosos,
más o menos técnicos, que sean desconocidos para
las personas a quienes se dirija la ilusión. Mientras no
pueda explicarse dicho mecanismo se podrá hablar de magia.
Cuando se conozca el procedimiento (también llamado
secreto), la magia se convierte en simple entretenimiento.
Incluso si no se conoce el secreto pero puede vislumbrarse
algún método posible, no se verá como magia.
Es decir, el experimento, por simple que sea, debe estar arropado
por un aura de misterio a fin de crear el ambiente mágico
adecuado.

No es nuestro objetivo dar un curso acelerado de
técnicas mágicas sino el de mostrar algunas
propiedades matemáticas en que se basan ciertos trucos
(mejor llamados efectos mágicos) utilizados por los magos
en sus presentaciones. Dejamos al lector interesado el buscar
revestimientos adecuados que disimulen o alteren dichas leyes
matemáticas con el fin de provocar sorpresa en el
transcurso de su realización.

Veamos otro ejemplo de efecto mágico utilizando
propiedades matemáticas:

Con una calculadora de bolsillo se pide a un espectador
que escriba un número (de una cifra), que lo multiplique
por 3, el resultado por 7, este último por 11, luego por
13 y, por fin, por 37.

¿En qué consiste la sorpresa final?
¿A qué es debido?

Otra versión de una idea similar consiste en lo
siguiente:

Hacer escribir en la calculadora un número de
tres cifras y, a continuación, el mismo número. De
este modo se obtiene un número de seis cifras.
Después sugerir que el número obtenido es
múltiplo de 7, de 11 y de 13. Pero, como sorpresa final,
el número obtenido después de dividir por dichos
divisores vuelve a ser el de partida.

En estos ejemplos se utilizan descomposiciones en
factores primos que comparten la sorpresa con la estética
de los resultados: no es del dominio público que los,
relativamente poco agraciados, números 3, 7, 11, 13 y 37
sean los factores primos de 111111, número agradable donde
los haya. Tampoco es algo que tengamos en cuenta muy a menudo que
si multiplicamos un número de tres cifras por 1001 se
obtiene el mismo número dos veces.

Describiremos a lo largo de estas líneas algunos
principios y propiedades matemáticas en las que se basan
los magos (a quienes, a partir de ahora, llamaremos matemagos)
para crear una gran variedad de efectos.

A lo largo del libro encontrarás una breve
historia de la matemagia, diferentes trucos sobre
aritmética, álgebra y geometría para tu
disfrute pleno.

Sin más, dejamos al mago la tarea de ocultar
dichos principios en la presentación de sus juegos
permitiendo así que siga vivo el lema de la magia:
ILUSIÓN Y SORPRESA.

El autor

Evolución
histórica

Magia y matemáticas han sido compañeros de
viaje durante mucho tiempo. Tanto los magos como los
matemáticos están motivados por el sentido de
sorpresa que representa el misterio esencial del mundo. Los magos
muestran tales hechos sorprendentes mientras que los
matemáticos tratan de explicarlos: la ciencia de la
ilusión versus la ilusión de la ciencia. El famoso
escritor de ciencia ficción Arthur Clarke opinaba que
cualquier tecnología suficientemente avanzada es
indistinguible de la magia.

En la época pitagórica, los números
se relacionaban más con cualidades místicas que con
el ilusionismo.

Descubrimientos, como el que los tres números
consecutivos 3, 4 y 5 forman un triángulo
rectángulo, o que con los nueve primeros números se
puede formar un cuadrado mágico, han fomentado la creencia
de que algunos números tienen poderes mágicos. El
gran avance en el estudio de los números y sus propiedades
ha propiciado que las comunidades más cultas hayan dejado
de creer en tales propiedades místicas y se conformen con
utilizarlos en un ámbito más folclórico. El
remanente de épocas pasadas permite a los magos utilizar
en sus presentaciones el lenguaje ocultista relativo a
números de la suerte o números asociados a cada
persona, operaciones con los números que corresponden al
día de nacimiento, o al número de calzado, etc.,
para llegar a una predicción.

En otra época, la alquimia buscaba convertir
plomo en oro; los curanderos obtenían propiedades
curativas de las plantas; ciertos procesos químicos
colorean el agua para darle aspecto de vino u otros licores.
Aún hoy en día causa sorpresa ver que un
líquido cambia de color sucesivas veces sin
manipulación aparente.

Más recientemente, los avances
tecnológicos ofrecen muchas herramientas que, utilizadas
convenientemente, permiten conseguir efectos sorprendentes,
inexplicables o, incluso, milagrosos.

Uno de los primeros libros dedicados a mostrar
principios matemáticos aplicados a la mecánica se
debe a John Wilkins quien, en 1648 publicó "Mathematical
Magick, or the wonders that may be performed by mechanical
geometry" siendo uno de las más fáciles,
entretenidos y útiles de las matemáticas. Fue el
primer trabajo sobre dispositivos mecánicos escrito en
inglés, pero no un texto de mecánica en sentido
tradicional.

El libro consta de dos secciones:

Archimedes: o dispositivos mecánicos, que
incluyen las balanzas, palancas, ruedas, poleas, cuñas,
tornillos, proyectiles y catapultas; y Daedalus: o
movimientos mecánicos, en los que se estudian los
autómatas, carros marinos, relojes, submarinos y
movimiento perpetuo (del que el propio autor dice que no parece
muy probable).

El objetivo del libro es el de mostrar al público
profano los principios básicos en que se basan las
distintas máquinas que producían movimientos
mecánicos, para que no pudieran ser interpretados como
basados en poderes ocultos de quienes se dedicaban a mostrarlos
en público.

En esa época, quien no estuviera familiarizado
con las leyes de la mecánica tenía tendencia hacia
lo esotérico para justificar aquellas curiosidades
técnicas. Las grandes ciencias aplicadas de la
antigüedad, como la astronomía, estática,
mecánica y óptica, habían sido inaccesibles
a todos los públicos salvo a los iniciados que las
habían estudiado.

A lo largo de los tiempos algunos matemáticos han
logrado explotar las propiedades de los números para
sorprender y entretener a públicos profanos. En el siglo
XIX Charles Dogson (más conocido por su sobrenombre Lewis
Carroll) ya realizaba trucos y puzzles numéricos
utilizados hoy en día por los magos.

En el siglo XX ocurrió el despegue de la magia
con cartas (cartomagia) como disciplina independiente de la
magia. En lo que se refiere a la recopilación de efectos
basados en principios matemáticos (matemagia), podemos
destacar como referencias históricas los libros de Martin
Gardner, publicado en 1956, y de William Simon en 1964. Otros
magos que se han destacado por sus aportaciones a la magia
matemática son Karl Fulves y Bob Longe. Hoy en día,
casi ningún autor de literatura mágica se resiste a
publicar algún efecto basado en propiedades
matemáticas pues no requieren habilidad técnica
pero sí una cuidada presentación que logre crear un
ambiente de incredulidad en los espectadores.

Aunque la mayor parte de efectos mágicos basados
en propiedades matemáticas son claros para los propios
matemáticos, sus secretos están fuera del alcance
de la mayoría de la gente; de modo que conocer algunos de
tales secretos proporcionará grandes posibilidades de
crear la impresión de verdadera magia ante las mentes de
estos grupos.

Una de las más antiguas curiosidades, conocida
desde la antigua China, corresponde al cuadrado
mágico:

Esta disposición de números recibe este
nombre pues la suma de los números que están en la
misma fila, la de los que están en la misma columna y la
de los de la misma diagonal es siempre 15.

Esta matriz es bastante conocida por lo que su
aparición no causa sorpresa al efectuar con ella
algún entretenimiento mágico. Por ello, los magos
con algún conocimiento matemático utilizan
variantes menos conocidas que resulten más mágicas.
Por ejemplo,

es un cuadrado donde cada fila, columna y diagonal suman
264. La sorpresa viene cuando giramos el cuadrado boca abajo y se
obtiene otro cuadrado mágico, donde nuevamente la suma de
las filas, columnas y diagonales es 264 (pensemos que el "1" al
girarlo vuelve a ser "1").

¿Cuál es la razón de esta
propiedad? La simetría de la matriz con respecto a la
diagonal principal no es la que se acostumbra en
matemáticas pero sí lo es en un sentido
gráfico.

Existe también un cuadrado mágico, cuya
construcción dejamos al lector interesado, también
de tamaño 4, de modo que, tanto su giro de 180 grados como
su reflexión especular (visto a través de un
espejo) siga siendo un cuadrado mágico (para lo cual
debemos representar los números tal como se haría
por una calculadora). Esa es la magia de los números que
sorprende y entretiene a los aficionados.

Calendario
perpetuo

Comenzaremos describiendo un sencillo método para
descubrir la edad de una persona.

Se le pide a una persona que escriba en un papel su
edad. Debajo de dicho número debe escribir el
número mágico 90. A continuación sumar ambos
números. Del resultado obtenido debe tachar la
última cifra de la izquierda y trasladarla bajo el
último número escrito. Por último
realizará la suma entre estos dos números. Al
conocer el resultado final, el mago deducirá
inmediatamente la edad de dicha persona.

La explicación es muy sencilla pues basta repetir
los pasos anteriores con un número arbitrario.

Si la edad es x, las operaciones son

x + 90 – 100 + 1 = x – 9.

Basta pues sumar 9 al resultado final para conocer
x.

También con un calendario de bolsillo es posible
crear efectos interesantes basados en sencillas propiedades
numéricas. Por ejemplo:

De un calendario cualquiera pedimos que una persona
elija el mes que desee. Después debe seleccionar en
secreto cuatro días que formen un cuadrado. Sólo
conociendo el resultado de la suma de dichos números,
podremos decirle rápidamente de qué números
se trata.

Para obtener dichos números debes hacer los
siguientes cálculos: Divide el número dado por
cuatro y réstale cuatro. Ese será el menor de los
días. El resto se obtiene simplemente sumando al primero
1, 7 y 8, respectivamente.

Fórmulas similares se pueden conseguir para
cuadrados más grandes, de tamaño 3 x 3 ó 4 x
4.

Otro truco sería el que sigue:

Tomamos una hoja de un mes del calendario que no termine
en Lunes, Martes o Miércoles, o comience en Sábado
o Domingo.

1. Pide al espectador que recuadre, en una hoja del
calendario, un cuadrado numérico.

2. Si el cuadrado es 2×2 ó 4×4, debes fijarte en
la suma de 2 números diagonalmente opuestos. Recuerda esa
cantidad. Si el cuadrado es 3×3, recuerda el número
central del cuadrado.

3. Vuélvete de espaldas. Mientras estás de
espaldas al público, escribe en un papel el doble del
resultado de la suma que acabas de hacer (en el caso de cuadrados
2×2 ó 4×4). Si el cuadrado es 3×3 escribe el triple del
número situado en el centro del cuadrado.
Introdúcelo en un sobre y entrega éste a otro
espectador.

4. Invita al espectador a rodear uno de los
números del interior del cuadrado con una circunferencia.
Pídele que tache todos los que están en su misma
fila y su misma columna.

5. Pide que haga lo mismo con otro de los números
que no estén tachados: que lo rodee y después tache
todos los números del cuadrado alineados con
él.

6. Da instrucciones para que siga con este proceso hasta
que quede 1 número sin tachar. Pide que lo rodee. Ese
proceso será de 2 pasos en cuadrados 2×2; de 3 pasos en
cuadrados 3×3; y de 4 pasos en cuadrados 4×4.

7. Solicita que sume las cifras circundadas y que diga
el resultado de la suma en voz alta.

8. Pide que abran el sobre con la predicción y
comprueba que era correcta.

Observemos que al elegir un elemento en un cuadrado 4×4
y tachar toda su fila y toda su columna, se fuerza a que el
siguiente número que se elija esté tanto en una
columna como en una fila diferente del primero. Este proceso hace
que al final los 4 números destacados estén en
filas y columnas distintas. Hacemos un esquema del cuadrado en el
siguiente dibujo:

Mirando el esquema anterior, vemos que, cualquiera que
sea la elección que hagamos, la suma no puede ser otra que
A+B+C+D+1+2+3.

Como consideramos calendarios, aún tenemos
más información: B=A+7;

C=A+14; D=A+21; y así la suma es,
simplificando:

4A+48=2(A+D+3)

es decir, se obtiene sumando los 2 elementos extremos de
la diagonal y multiplicando el resultado por 2.

Si el cuadrado que consideramos es 3×3, al elegir un
elemento de cada fila y cada columna, nos va a quedar siempre
algo de la forma

A+B+C+1+2. Recordando, como antes, que B y C se pueden
calcular en función de A, llegamos a que el valor de la
suma es

3A+24=3(B+1)

es decir, la suma es el triple que el número
central del cuadrado.

Para el cuadrado 2×2 la idea es la misma que para el
cuadrado 4×4, pero mucho menos atrayente.

Números
cíclicos

Fijémonos en la siguiente propiedad:

142.857 x 1 = 142.857

142.857 x 2 = 285.714

142.857 x 3 = 428.571

142.857 x 4 = 571.428

142.857 x 5 = 714.285

142.857 x 6 = 857.142

142.857 x 7 = 999.999

Con un poco de atención se puede apreciar que las
sucesivas multiplicaciones del número por los
números del 1 al 6 dan como resultado una
permutación del número de partida. Además,
la multiplicación por 7, produce el número formado
por seis nueves. Esta propiedad cíclica es suficiente para
que identifiquemos al número 142.857 como número
mágico.

Algunas explicaciones para justificar los resultados
anteriores pueden confundir aún más al
público inexperto. Por ejemplo:

• Si colocamos las cifras del número 142857
en los vértices de un hexágono y en sentido
horario, la suma de dos vértices diagonalmente opuestos es
siempre 9.

• Si hacemos la operación 1/7 se obtiene un
número decimal periódico cuyo periodo es
sorprendentemente 142857.

Un buen ejercicio de matemática elemental
consiste en encontrar otros números cíclicos.
Sólo diremos que el aquí expuesto es el menor de
ellos y que el siguiente se obtiene mediante la división
1/17, cuyas 16 cifras son 0588235294117647.

Lo anterior sugiere a los magos realizar la siguiente
adivinación matemágica:

Se muestra una cinta de papel en cuyo interior hay
escritas seis cifras. Un espectador nombra un número del
uno al seis y el matemago le indica que multiplique dicho
número por el número mágico 142857.
Previamente, el matemago corta la cinta por algún lugar.
Al realizar la operación se muestra la cinta en donde
está escrito el resultado de la
multiplicación.

Como se conoce de antemano el resultado de la
multiplicación, se entiende que la cinta se debe cortar
por el lugar adecuado.

Juego
numerológico

Otro experimento bastante conocido consiste en la
siguiente predicción.

El matemago anuncia a los espectadores que es capaz de
sumar varios números de forma sorprendentemente
rápida: incluso antes de ser nombrados todos los
números, él ya ha conseguido sumarlos.

Para ello se dispone a escribir en una pizarra o una
hoja de papel varios números de cuatro cifras: el primero
de ellos lo elige arbitrariamente un espectador. Inmediatamente
el matemago escribe en la parte inferior u otro lugar, invisible
para los espectadores, otro número, que será la
suma total.

A continuación, un segundo espectador nombra un
segundo número. Debajo de éste, el mago escribe un
tercer número de cuatro cifras. Otro espectador elige otro
número y el mago escribe debajo de él un quinto
número.

Al realizar la suma de los cinco números
escritos, el resultado coincide con el previamente anunciado por
el matemago.

Para descubrir la estrategia seguida, pensemos que el
matemago escribe dos de los sumandos, llamémosles x e y,
después de conocer otros dos sumandos elegidos libremente,
que denotaremos por a y b. Basta hacer que

x + a = y + b = 9999 para que, si el quinto sumando lo
denotamos por z, la suma de los cinco números sea z +
19998. Dejamos al lector los detalles que permiten escribir sin
titubeos sus números.

A otro nivel, se puede plantear el siguiente ejercicio
de suma rápida.

Se propone a un espectador que escriba dos
números, uno debajo de otro. A continuación, debajo
de los anteriores, escriba otro número que sea suma de los
anteriores. Debe continuar el proceso de escribir números
que sean suma de los dos anteriores a él hasta que haya
escrito diez números.

El matemago es capaz de anunciar la suma de los diez
números de forma casi inmediata. Como se puede comprender,
la sucesión de números es una generalización
de la llamada sucesión de Fibonacci y se puede demostrar
que la suma de cualesquiera diez términos consecutivos es
igual a once veces el séptimo término de la
sucesión, propiedad poco conocida en general. Por otra
parte, una buena estrategia para multiplicar rápidamente
un número por 11 es la siguiente:

Colocar la primera cifra del número; a
continuación, la suma de la primera y segunda cifras; a
continuación la suma de la segunda y tercera cifras;
así sucesivamente, hasta colocar como última cifra
la última cifra del número.

Un cuadrado
mágico

Colocar las nueve cartas del mismo palo
así:

Sitúate sobre una carta, cada movimiento
será en horizontal o en vertical, nunca en diagonal.
Cuando diga que quites una carta le damos la vuelta y ésta
deja de contar. Puedes pasar varias veces por la misma carta
aún habiendo pasado.

1. Muévete tantas veces como indica el valor de
la carta.

2. Retira el 1.

3. Muévete tres veces.

4. Retira el 2 y el 4.

5. Muévete 5 veces.

6. Apuesto que puedes retirar el 7 y el 9.

7. Ya que has retirado el 7, muévete 7 veces y
retira ahora el 8.

8. Ni sé sobre qué carta te encuentras ni
sé como te llamas. Muévete tantas veces como letras
tiene tu nombre.

9. Has llegado a una carta que desconozco. Para
complicarlo más, muévete tantas veces como indica
el valor de esa carta.

10. Finalmente, te has situado sobre el 6. Retira
el 3 y el 5 y dame la enhorabuena.

En este truco interviene la paridad. Analicemos desde el
principio lo que hemos hecho: si nos situamos sobre una carta
impar y nos movemos a la vez, llegamos a una carta impar. Del
mismo modo, si estamos sobre una carta par y nos movemos una vez,
llegamos a una carta impar. En el primer movimiento se nos dice
que avancemos tantos lugares como indica la carta sobre la que
estamos situados, lo que obliga a que terminemos sobre una carta
par (si estábamos sobre par, hacemos un número par
de movimientos, mientras que si estábamos sobre impar, nos
moveremos un número impar, de veces); por esa razón
podemos retirar el 1 sin problemas.

Como a continuación mandamos que se hagan 3
movimientos, nos situaremos sobre una carta impar, por lo que
podemos retirar el 2 y el 4. Al movernos ahora 5 veces,
terminaremos sobre una carta par, y así es posible retirar
el 7 y el 9. Moviéndonos 7 veces terminamos sobre una
impar, con lo que tiene que ser el 3 o el 5(para despistar se
dice que no sé donde estás).

La inclusión del movimiento según el
número de letras del nombre no sirve para nada más
que introducir pistas falsas y desconcertar, ya que, como vamos a
mandar efectuar tantos movimientos como indique el valor de la
carta sobre el que esté situado, vamos a llegar a la
fuerza a una carta par, que no puede ser otra sino 6.

Ahora si dividimos un cuadrado en cierto número
de casillas, también cuadradas, y en cada una de ellas
colocamos un número, sin repetición, de modo de
obtener siempre la misma suma en cada fila, en cada columna y
también en cada diagonal, se tendrá así un
cuadrado mágico como ya sabemos.

Por ejemplo, en el cuadrado mágico de la (Figura
a), la suma constante referida es 15; así,
sumando en filas horizontales, tenemos:

6 + 1 + 8 = 7 + 5 + 3 = 2 + 9 + 4 = 15

Sumando en columnas verticales:

6 + 7 + 2 = 1 + 5 + 9 = 8 + 3 + 4 = 15

Sumando en diagonal:

6 + 5 + 4 = 8 + 5 + 2 = 15

Los antiguos Magos de Persia eran
médicos, pretendían curar enfermedades aplicando a
la parte enferma un cuadrado mágico, siguiendo el conocido
principio de medicina: primum non nocère, o sea,
primer principio: no dañar. El número de filas, y,
en consecuencia, de columnas que tiene un cuadrado mágico
se llama orden del mismo. La suma constante de los
números de una fila, o de una columna o de una diagonal se
llama constante del cuadrado mágico. En el
ejemplo anterior el orden es 3, y la constante 15. No puede
formarse un cuadrado mágico de orden 2. Cuadrados
Mágicos Impares

(Son los de orden impar). – Para construir un cuadrado
mágico impar, por ejemplo de orden 5, se empieza por
construir un cuadrado A B C D con 25 casillas, (figura
b); luego, sobre cada lado, que ya tiene 5 casillas, se
agregan, en este caso, filas de 3 y de 1 casilla. Se escribe
entonces en la casilla más alta el número 1, y
descendiendo hacia la derecha, en el sentido diagonal, los
números 2, 3, 4, 5. Después de esto se escribe 6 en
la casilla situada a la izquierda y debajo del 1, siguiendo en
diagonal, 7, 8, 9, 10. Luego, siguiendo siempre el mismo
procedimiento, se escriben los números 11, 12, 13, 14, 15,
que completan una diagonal; análogamente, 16, 17, 18, 19,
20, y finalmente, 21, 22, 23, 24, 25.

Para llenar los vacíos del cuadrado
A B C D, (figura b), se escriben todos los
números que se encuentran en las casillas adicionales,
empleando la siguiente regla: Todo número, sin salir
de su columna vertical o fila horizontal, se colocará en
la casilla vacía más alejada de la que ocupa,
cuidando de comenzar la operación por las bandas
adicionales más próximas al cuadrado. En la
(figura c) presentamos el cuadrado mágico de
orden 5 así obtenido. Cuadrados Mágicos
Pares

(Son los de orden par). – Estos cuadrados son
generalmente difíciles de construir, salvo el de orden 4.
Para este caso disponemos en un cuadrado de 16 casillas, y, en su
orden natural, los 16 primeros números, (figura
d). Dejando luego fijos los números de las
diagonales, permutamos entre si los otros ocho de la forma
indicada en la (figura e). El cuadrado obtenido, (figura
f), será mágico, siendo su módulo
34.

Cuadrados Mágicos
Diabólicos

Se llaman así a los cuadrados mágicos que,
además de tener una suma constante en los 2 (n +
1) modos habituales de sumar, siendo n el orden del
cuadrado, se puede obtener dicha suma de muchos otros modos,
regulares o geométricos.

Así, por ejemplo, en el cuadrado de la (figura
g), la constante 34 se puede obtener agrupando cuatro
sumandos, de 86 modos; 70 de ellos tienen disposición
geométrica, simétrica de a pares, como
indicamos en las 34 primeras de la (figura h), obtenidos
uniendo en forma de cuadrilátero cerrado, los 4
números de cada combinación. Seis son simples, son
las últimas de la (figura h). Las otras 10 son
las habituales en columna, fila y diagonal.

(Figura h)

Diagramas Geométricos de
Cuadrados Mágicos

Si en un cuadrado mágico unimos con rectas los
números que lo forman en su orden natural, se obtiene una
línea poligonal, que tiene como extremos el número
menor y el mayor, respectivamente; dicha poligonal caracteriza al
cuadrado.

Muy a menudo esas líneas constituyen
un dibujo elegante, que pueden servir como procedimiento
mnemotécnico para recordar la formación del
cuadrado. Así, por ejemplo, para el cuadrado mágico
de orden 3, (figura a), obtenemos el diagrama
geométrico que indicamos en la (figura i). Otro
diagrama geométrico interesante es el del cuadrado
mágico de orden 8, dibujado en la (figura
k.)

Supercuadrado
mágico

Pide que nombren un número cualquiera, mayor que
20 (que denotaremos por N), y anuncia que la simbiosis entre
matemática y magia puede conseguir que dicho número
se manifieste en una gran cantidad de lugares de un cuadrado
formado por números.

¡Conseguirás que el número elegido
aparezca en el cuadrado más de treinta veces!

Escribe rápidamente el cuadrado siguiente, donde
todos los números son independientes de la elección
excepto los números en negrita, que se escribirán
según una sencilla regla: en la posición (1, 1), la
diferencia N – 20; en la posición (2, 3), el número
N – 21; en la posición (3,

4), N – 18; y en la posición (4, 2), N –
19.

Por ejemplo, si el número elegido es N = 31, la
tabla quedaría así:

A continuación escribimos todas las formas
posibles de elegir cuatro números del cuadrado cuya suma
es 31. Se comprueba que no sólo es un cuadrado
mágico, pues la suma de las filas, las columnas y las
diagonales es constante, sino que la suma aparece una cantidad
sorprendente de veces, muchas de ellas asociadas a figuras
geométricas especiales, como los trapecios que se observan
en la última fila.

Este ingenioso ejemplo de construcción, y el que
explicamos a continuación, constituye una perfecta excusa
para estudiar la estructura de estos entes matemáticos, de
interés no sólo recreativo sino como aplicaciones a
diversos problemas prácticos.

Anticuadrado
mágico

Pide a un espectador que elija un número
cualquiera. A continuación construyes un cuadrado 4 x 4 y
lo muestras. El espectador debe elegir y rodear con un
círculo un número cualquiera del cuadrado. A
continuación tacha la fila y la columna que contienen al
número. Después elige otro número no tachado
y procede.

Realiza la misma acción otras dos veces y obtiene
cuatro números. Se le pide que sume los números
señalados y el resultado final coincidirá con el
número previamente elegido.

El procedimiento para construir el cuadrado es el
siguiente:

Descompón el número elegido en ocho
sumandos, sin importar su valor. Supongamos por ejemplo que el
número elegido es el 35 y realizas la
operación:

35 = 4 + 6 + 2 + 7 + 4 + 8 + 3 + 1.

Haz una tabla de sumar con dichos elementos, del modo
siguiente:

Elimina la primera fila y primera columna y se obtiene
una tabla con las características indicadas en el efecto,
es decir la suma de cuatro números elegidos de modo que no
haya dos de ellos en la misma fila y columna es 35.

Observación: Este mismo efecto puede
realizarse con el calendario de bolsillo pues cualquier cuadrado
de tamaño 4 x 4 formado con cualquier mes verifica la
misma propiedad "antimágica":

La suma de los números elegidos de modo que todos
ellos pertenezcan a distinta fila y columna es igual a 2n + 8,
donde n es el elemento de la esquina superior izquierda del
cuadrado.

El número
37037

El número 37037 también tiene propiedades
mágicas: al multiplicarlo por cualquier número
menor o igual a 27 da como resultado un número de seis
cifras formado por dos bloques iguales.

La razón de esta propiedad se comprende
fácilmente al escribir la descomposición en
factores primos de 37037.

La
calculadora

En una calculadora de bolsillo, donde los dígitos
están distribuidos según un cuadrado:

Se da a elegir una fila, columna o diagonal. Con esos
dígitos, escribir un número de tres cifras. A
continuación, repetir el proceso con otra fila, columna o
diagonal y multiplicar los dos números seleccionados. Si
se nombran todas las cifras del resultado excepto una, el
matemago es capaz de adivinar la cifra que falta.

¿Cómo se logra hacer esto? Como
indicación sugerimos que se compruebe que cualquier
número escrito bajo las condiciones citadas es
múltiplo de 3. Por tanto su producto será
múltiplo de 9 y no debe ser difícil averiguar una
de sus cifras cuando son conocidas todas las
demás.

Predicciones
numéricas

Escribe en un papel el número 18 (sin dejarlo
ver) y anuncia que será tu predicción.

Pide a alguien que escriba un número de tres
cifras y, debajo de él, el mismo número con las
cifras invertidas. A continuación, que reste el menor del
mayor y, por último, que sume las cifras del número
obtenido. Abre la predicción y ¡asombra a
todos!

Sumas y
productos

El siguiente experimento puede realizarse incluso
telefónicamente.

Una persona nombra y escribe en una hoja de papel una
lista de n números (para simplificar, supongamos que son
de una cifra). Después realizará secretamente los
siguientes cálculos:

1. Elegir al azar dos de los números A y B y
sustituirlos por el número

A x B + A + B.

2. Repetir la operación anterior con el conjunto
de n-1 números restantes.

3. Continuar el proceso anterior hasta que sólo
quede un número en la lista.

Incluso antes de terminar el proceso, puede saberse el
número resultante.

Será difícil sospechar que el
número final no depende del orden en que se elijan los
números de la lista. Por ejemplo, si los números
iniciales son 8, 1, 3, 4, 2, el resultado final es 1079,
independientemente de los números elegidos en cada
paso.

Prodigio en
cálculo

Podemos impresionar a nuestros amigos y conocidos
demostrando nuestras habilidades para el
cálculo.

Solicitamos que se nos diga un número de cuatro
cifras. Supongamos que nombran el número 4825. Lo anotamos
dos veces en un papel:

4825 4825

A continuación pedimos que se nos diga otro
número de cuatro cifras. Supongamos que sea el 3625. Lo
escribimos debajo del número de la izquierda:

4825 4825

3625

Añadimos a continuación un número
de cuatro cifras anotándolo debajo del número de la
derecha. Escribimos "por ejemplo" el número 6374. Nos
quedaría así:

4825 4825

3625 6374

Ahora demostraremos que somos capaces de efectuar las
dos multiplicaciones y dar el resultado de la suma de ambos
productos antes que nadie. Ellos pueden incluso utilizar una
calculadora.

Para empezar, el número que escribimos al final
no es arbitrario: es el que resulta de restar 9999 del
último número nombrado, en nuestro caso 9999 – 3625
= 6374.

Para obtener rápidamente el resultado indicado,
procederemos como sigue:

a) Restamos 4825 – 1 y escribimos el resultado
4824.

b) Restamos 9999 – 4824 = 5175 y escribimos el resultado
a la derecha del anterior 48245175. Este número es la suma
de los dos productos.

Dejamos al lector interesado en el cálculo la
justificación de esta regla.

Adivinar la edad
y el número de familiares

Dentro de los trucos de números, los más
corrientes y aquellos que seguramente nos habrán hecho
muchos a lo largo de nuestra vida, son aquellos de pensar un
número, multiplicar por dos, sumarle 7,
restar……

Vamos a ver uno de ellos donde vamos a adivinar el
número de personas que viven en su casa y la edad de un
espectador. Igual que alguno de los vistos anteriormente, puede
hacerse con todo el público a la vez y después ir
adivinando persona a persona.

Los pasos a seguir son los siguientes:

a) Escriba el número de personas que viven en su
casa.

b) Lo multiplica por dos y le suma 4.

c) Al resultado de la suma lo multiplica por
50.

d) Al resultado del producto le suma 1568.

e) A lo obtenido se le resta el año del
nacimiento.

f) Por último, el mago recibe el resultado de la
operación anterior, se le pregunta al espectador si en el
año presente ha cumplido ya años e inmediatamente
el mago indica la edad y el número de personas que viven
en casa del espectador.

El truco consiste en añadirle al número
obtenido 235 (ó 236 si ya ha sido su cumpleaños) y
obtenemos un número de tres cifras, la primera es la
cantidad de personas que viven en la casa y las otras dos su
edad.

El álgebra nos va a permitir descubrir
cuál es el número oculto que debemos
sumar.

Supongamos que es x el número de personas que
viven en la casa e y el año de nacimiento de la persona.
Los pasos seguidos son

Luego, obtenemos un número de tres cifras, la
primera es a (número de personas) y la diferencia 2003-y
será un número de cifras que indica la edad de la
persona (suponiendo que aún no ha cumplido años en
2004).

Si este truco se va a utilizar más adelante, hay
que tener en cuenta que la cifra que sumamos es para obtener el
año en que estamos (ahora mismo 2004), si se va a hacer en
años posteriores a 2004, hay que modificar
convenientemente el valor que suma el mago.

Trucos con
cartas

Una de las partes más llamativa de cualquier
espectáculo de magia lo componen los trucos de cartas. En
lo concerniente a la matemagia no podía ser menos. Muchos
trucos de cartas (en general los que no se componen de cartas que
aparecen o desaparecen de forma "misteriosa") llevan
detrás una estructura matemática. La posibilidad de
ordenación, de agrupación por colores o
números, la utilización del valor de la carta,
etc… permiten realizar muchos trucos fáciles de
hacer, pero muy espectaculares.

a) Orden en el Universo.

Se toman, boca abajo, las cartas del 1 al 9 de cualquier
palo y se colocan ordenadas en orden decreciente. La primera el
as, debajo de ella el dos, luego el tres y así
sucesivamente.

El mago muestra al público las cartas para que
vean que están ordenadas y a continuación se sacan
tres personas del público y se les pide que cada una de
ellas realice los siguientes pasos:

1) Corte el mazo y complete el corte.

2) Divida el mazo en dos montones carta a carta, es
decir la primera carta a un montón, la segunda a otro, la
tercera al primer montón y así todas.

3) Por último coloque uno de los dos montones
encima del otro.

Después de que los tres voluntarios han realizado
lo anterior, y siempre teniendo las cartas boca abajo, el mago
muestra la última carta del mazo y pasa, una a una de
abajo hasta arriba del mazo, tantas cartas como indique el valor
de la carta mostrada.

Después de realizado lo anterior, el mago muestra
de nuevo las cartas al público y asombrosamente las cartas
vuelven a estar en orden.

El truco es meramente combinatorio. Cuando colocamos las
cartas de la manera anterior, da igual como se hagan los cortes,
porque obtenemos un bucle formado por las nueve cartas. Al
dividir las cartas en dos montones, las cartas en lugar de ir
consecutivas, van de dos en dos, al realizar el segundo corte van
de cuatro en cuatro y al tercer corte van de ocho en ocho. Pero
al tener nueve cartas, si después de una va la
correspondiente a ocho cartas después, al ser
cíclico cada carta lleva aparejada la anterior. De esa
manera las cartas vuelven a estar en orden después de los
tres cortes. Únicamente puede ser que no comience en el 1,
para ello es por lo que se mira la última carta y se
trasladan de abajo hacia arriba tantas como indique ese
número.

b) Los cuatro ases.

El mago saca cuatro voluntarios y les pide que piensen
un número entre el 10 y el 20 (menor que este
último). Le pide el número pensado al primer
espectador y va colocando tantas cartas como ese número
indique, una a una sobre un montón en la mesa. Al acabar
se da cuenta que no va a tener cartas para todas, entonces le
pide al espectador que sume las cifras de su número y
retira del montón de la mesa tantas cartas como la suma,
colocándolas una a una sobre el mazo que tiene en la mano.
La última carta que quedaba en el montón de la mesa
se la entrega, sin que se vea, al espectador y el montón
que quedaba sobre la mesa lo vuelve a colocar sobre el
mazo.

Repite la misma operación con los otros tres
espectadores y al acabar el número, los voluntarios del
público muestran sus cartas y resulta que tienen los
cuatro ases de la baraja.

El truco se basa en cómo tenemos preparadas las
cartas y en lo que vimos antes de que si a un número le
restamos la suma de sus cifras, el resultado es siempre un
múltiplo de 9. Como hemos elegido número menores
que 20, el resultado de la resta es siempre 9. Es decir, nosotros
vamos a entregar siempre la novena carta desde el principio del
mazo, independientemente del

número que haya elegido el espectador. Por lo
tanto, sólo tenemos que preparar las cartas, antes de
comenzar, de forma que los cuatro ases ocupen los lugares 9, 10,
11 y 12 desde el comienzo del mazo.

c) Las 9 (o 21, o 27) cartas.