-2- Í N D I C E (Pàgina 21) ¿ Cómo
debe distribuir Jack su tiempo para maximizar su
satisfacción tanto en el estudio como en el juego.?
EJERCICIO 1 : La tienda de comestible BK vende dos (Pàgina
36) tipos de bebidas: La marca sabor a cola A1 y la marca propia
de la tienda, Bk de cola, más económica. El margen
de utilidad en la bebida A1 es de 5 centavos de dólar por
lata, mientras que la bebida de cola Bk suma una ganancia bruta
de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende
más de 500 latas de ambas bebidas de cola al día.
Aún cuando A1 es una marca más conocida, los
clientes tienden a comprar más latas de la marca Bk,
porque es considerablemente más económica. Se
calcula que las ventas de la marca Bk superan a las de la marca
A1 en una razón 2:1 por lo menos. Sin embargo, BK vende,
como mínimo, 100 latas de A1 al día. ¿
Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la
tienda diariamente para maximizar su utilidad ? EJERCICIO 4 : El
banco de Elkin está asignando un máximo de $
200.000,oo para préstamos personales y de
automóviles durante el próximo mes. El banco cobra
14% por préstamos personales y 12% por préstamos
para automóviles. Ambos tipo de préstamos se
liquidan al final de un período de un año. La
experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos
personales y el 2% de los préstamos para
automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el
banco asigna cuando menos el doble de los préstamos
personales a los préstamos para automóviles.
Determine la asignación óptima de fondo para los
dos tipos de préstamos. EJERCICIO 2 : (Pàgina 29)
BFC emplea a cuatro carpinteros (Pàgina 38) EJERCICIO 5 :
Popeye Canning tiene un contrato para recibir 60.000,oo libras de
tomates maduros a 7 centavos de durante 10 días para
ensamblar mesas y sillas. Se requieren 2 horas para ensamblar una
mesa y 30 minutos para ensamblar una silla. Por lo común,
los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa.
Las utilidades son de $ 135 por mesa y $ 50 por silla. La
compañía opera un turno de 8 horas al día.
Determine gráficamente la mezcla de producción
óptima de los 10 días. (Pàgina 33)
dólar por libra, con los cuales produce jugo de tomate
enlatado, así como pasta de tomate. Los productos
enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo
requiere una libra de tomate y una lata de pasta solo requiere
1/3 de libra. La participación de mercado de la
compañía se limita a 2000 cajas de jugo y 6000
cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de
pasta son de 18 y 9 dólares respectivamente. Desarrolle un
programa de producción óptima para Popeye Canning.
EJERCICIO 3 : Jack es un estudiante emprendedor de primer
año de universidad. Jack quiere distribuir su tiempo
disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el
estudio y la diversión. Calcula que el juego es dos veces
más divertido que el estudio. También quiere
estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Jack
comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias,
no puede jugar más de cuatro horas al día.
Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL (Pàgina 40)
EJERCICIO 6 : Una empresa produce dos tipos de sombrero. El
sombrero tipo 1 requiere el doble de tiempo de trabajo que el del
tipo 2. Si todos los sombreros producidos únicamente son
del tipo 2, la compañía puede producir un total de
400 sombreros al día. Los límites diarios del
mercado son de Ing. José Luis Albornoz Salazar
-3- 150 del tipo 1 y 200 del tipo 2. La utilidad del sombrero
tipo 1 es de $ 8,oo y la del sombrero tipo 2 es de $ 5,oo.
Determinar el número de sombreros de cada tipo que debe
producir la empresa para obtener la máxima utilidad.
(Pàgina 45) EJERCICIO 9 : BGC fabrica camisas para
caballeros y blusas para damas al almacén WD. El proceso
de producción incluye corte, costura y empacado. BGC
emplea a 25 trabajadores en el departamento de corte, a 35 en el
departamento de costura y a 5 en el departamento de EJERCICIO 7 :
(Pàgina 41) Una Compañía que opera 10 horas
al empacado. La fábrica trabaja un turno de 8 horas,
sólo 5 días a la semana. La siguiente tabla
proporciona los requerimientos de tiempo y la utilidad por unidad
para las dos prendas. día fabrica cada uno de dos
productos en tres procesos en secuencia. La siguiente tabla
resume los datos del problema:
————————————————————————————-
Producto Producto 1 Minutos por unidad Proceso 1 Proceso 2
Proceso 3 10 6 8 Utilidad $ 2,00 Minutos por unidad x trabajador
——————————————————————————————————————————–
Prenda Corte Costura Empacado Utilidad Camisas 20 70 12 $ 2,50
Producto 2 5 20 10 $ 3,00 Blusas 60 60 4 $ 3,20
———————————————————————————————————
Determine la mezcla óptima de los dos productos: Determine
el programa de producción semanal óptimo para BGC:
(Pàgina 42) EJERCICIO 8 : Wyoming Electric Coop. Es
propietaria de una planta generadora de energía con
turbinas de vapor, debido a que Wyoming es rica en
depósitos de carbón. Sin EJERCICIO 10 :
(Pàgina 46) Una línea de ensamble que consta de
embargo, esto crea el problema de satisfacer los
estándares de emisión. Las regulaciones de la
Agencia de Protección Ambiental limitan la descarga de
dióxido de azufre a 2000 partes por millón y la
descarga de humo de las chimeneas de la planta a 20 libras por
hora. La cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados,
C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común,
los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad,
supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes
por millón) es un promedio ponderado de la
proporción de cada grado en la mezcla. Los siguientes
datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno
de los dos grados de carbón: Determine la
producción óptima para mezclar los dos grados de
carbón: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL tres
estaciones consecutivas produce dos modelos de radio HF1 y HF2.
La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamblaje para las
tres estaciones de trabajo. Minutos por unidad Estación de
trabajo HF1 HF2 1 6 4 2 5 5 3 4 6 El mantenimiento diario de las
estaciones 1, 2 y 3 consume 10%, 14% y 12%, respectivamente, del
máximo de 480 minutos disponibles para cada
estación, cada día. La compañía desea
determinar la mezcla óptima de productos que
minimizará los tiempos inactivos (o no utilizados) en las
tres estaciones de trabajo. Ing. José Luis Albornoz
Salazar
-4- (Pàgina 48) EJERCICIO 11 : John debe trabajar por lo
menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras
asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos
tiendas. En la tienda 1 John puede trabajar entre 5 y 12 horas a
la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10
horas semanales. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora.
De manera que John quiere basar su decisión acerca de
cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio
diferente: el factor de STRES en el trabajo. Basándose en
entrevistas con los empleados actuales, John calcula que, en una
escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en
las tiendas 1 y 2 respectivamente. Debido a que el estrés
aumenta por hora, él supone que el estrés total al
final de la semana es proporcional al número de horas que
trabaja en la tienda. ¿ Cuántas horas debe trabajar
en cada Tienda.? (Pàgina 49) EJERCICIO 12 : Al realizar
una inspección en una fábrica de calzados,
obtuvimos la siguiente información: 1) Se fabrican zapatos
para damas, caballeros y niños y son vendidos al siguiente
PVP por par: – Zapatos para caballero a Bs 60.000,oo – Zapatos
para dama a Bs 120.000,oo – Zapatos para niño a Bs
30.000,oo 2) El costo de fabricación de cada par de
calzado es: – Zapatos para caballero Bs 30.000,oo – Zapatos para
dama Bs 80.000,oo – Zapatos para niño Bs 15.000,oo 3) Para
fabricar un par de zapatos para caballero se utilizan: 0,20
metros de cuero tratado; 0,10 metros de suela, un par de tacones
para caballero y 5 horas-hombre de trabajo. 4) Para fabricar un
par de zapatos para dama se utilizan: 0,15 – 250 pares de tacones
para caballero. – 260 pares de tacones para dama. – 65 suelas
para zapatos de niño. – 300 pares de trenza. – 400 cajas
para calzados. – 800 bolsas para calzados. 6) La empresa vende
menos zapatos de niño que de caballero. 7) Se venden menos
zapatos de niño que de dama. 8) La empresa vende
semanalmente más de 100 pares de zapatos. 9) Las ventas de
zapatos para caballero no superan el 75% de los de dama. 10) La
empresa dispone de 2.400 horas-hombre a la semana. 11) El Gerente
de la compañía quiere saber cuantos zapatos para
dama y caballero debe fabricar semanalmente para tres escenarios
distintos, a saber: a) Maximizar la utilidad. b) Maximizar los
ingresos por PVP. c) (Pàgina 53) EJERCICIO 13 : La empresa
W.W tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de
ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La
ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30
por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y
puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio
por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies
cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de
madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8
pies cuadrados. La compañía desea determinar
cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día
para maximizar la ganancia total. metros de cuero tratado; 0,10
metros de suela, un par de tacones para dama y 8 horas-hombre de
trabajo. 5) En el depósito se inventarió el
siguiente material: EJERCICIO 14 : (Pàgina 55) La Apex
Televisión Company debe – 120,oo metros de cuero tratado.
– 70,oo metros de suela. Ejercicios resueltos de PROGRAMACION
LINEAL decidir el número de televisores de 27 y 20
pulgadas producidos en una de sus fábricas. La
investigación de Ing. José Luis Albornoz
Salazar
9 5 3 3 4 0 5 0 2 El fibra 0,02 0,06 -5- mercado indica ventas de
a lo más 40 televisores de 27 pulgadas y 10 de 20 pulgadas
cada mes. El número máximo de horas-hombres
disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 Tiempo disponible
Tipo de Máquina (en horas por semana) Fresadora 500 Torno
350 pulgadas requiere 20 horas hombres y uno de 20 requiere 10.
Cada televisor de 27 pulgadas produce una ganancia de $120 y
Rectificadora 150 cada uno de 20 produce $80 de ganancia. Un
distribuidor está de acuerdo en comprar todos los
televisores producidos si el número no excede al
máximo indicado por el estudio de mercado El número
de horas-maquinas requeridas para cada unidad de los productos
respectivos es: Coeficiente de productividad (en
horas-máquina por unidad) EJERCICIO 15 : (Pàgina
56) La compañía WL produce dos Tipo de
máquina Fresadora Torno Rectificadora Producto 1 Producto
2 Producto 3 dispositivos para lámparas (productos 1 y 2)
que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La
administración desea determinar cuántas unidades de
cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada
unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y
2 unidades de componentes eléctricos . Por cada unidad del
producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2
unidades de componentes eléctricos. La
compañía tiene 200 unidades de partes de metal y
300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1
da una ganancia de $ 1,oo y cada unidad del producto 2, hasta 60
unidades, da una ganancia de $ 2,oo. Cualquier exceso de 60
unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar
más de 60 está fuera de consideración.
Formule el modelo de PL, resuélvalo por el método
departamento de ventas indica que las ventas potenciales para los
productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de
producción y que las ventas potenciales del producto 3 son
20 unidades por semana. La ganancia unitaria respectiva
sería de $50, $20 y $25, para los productos 1,2 y 3. El
objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe
producir la compañía para maximizar la ganancia.
(Pàgina 59) EJERCICIO 17 : Un agricultor posee 20 cerdos
que consumen 90 kilogramos de comida especial todos los
días. El alimento se prepara como una mezcla de
maíz y harina de soya con las siguientes composiciones:
gráfico y determine la ganancia total que resulta.
(Pàgina 58) Kgs por Kg de alimento Alimento calcio
proteína Maíz 0,01 0,09 Harina de soya 0,02 0,60
costo 200 300 EJERCICIO 16 : La Compañía
manufacturera Omega Los requisitos diarios de alimento de los
cerdos son: descontinuó la producción de cierta
línea de productos no redituable. Esto creó un
exceso considerable en la capacidad de producción. La
gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres
productos, llamados producto 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se
resume la capacidad disponible de cada máquina que puede
limitar la producción: Ejercicios resueltos de
PROGRAMACION LINEAL 1.- Cuando menos 1 % de calcio. 2.- Por lo
menos 30 % de proteínas. 3.- Máximo 5 % de fibra.
Determine la mezcla con el mínimo de costo diario. Ing.
José Luis Albornoz Salazar
-6- (Pàgina 60) EJERCICIO 18 : Hoy es su día de
suerte. Acaba de ganar un premio de $10.000. Dedicará
$4.000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los
otros $6.000. Al oír las nuevas, dos amigos le han
ofrecido una oportunidad de convertirse en socio en dos empresas
distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la
inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente
verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el
caso del primer amigo debe invertir $5.000 y 400 horas, y su
ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el
tiempo) sería $4.500. Las cifras correspondientes para el
segundo caso en cualquiera de los siguientes turnos: matutino
(8am-4pm), vespertino (12am-8pm) y nocturno (4pm-12pm). Estos
asesores ganan $14 por hora. Los asesores de tiempo parcial
pueden trabajar en los cuatro turnos enumerados en la tabla
anterior y ganan $12 por hora. Un requisito adicional es que
durante todos los períodos debe haber al menos dos
asesores de tiempo completo por cada uno de tiempo parcial. Larry
desea determinar cuántos asesores de tiempo completo y
cuántos de tiempo parcial debe haber en cada turno para
cumplir con los requisitos a un costo mínimo. son $4.000 y
500 horas, con una ganancia estimada de $4.500. Sin embargo,
ambos amigos son flexibles y le permitirán participar con
cualquier fracción de participación que quiera.
EJERCICIO 20 : (Pàgina 63) La Medequip Company produce Si
elige una participación parcial, todas las cifras dadas
para la sociedad completa (inversión de dinero y tiempo, y
la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como
de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante
(máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas
empresas en alguna combinación que maximice su ganancia
total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la
mejor combinación. equipos de precisión de
diagnóstico médico en dos de sus fábricas.
Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la
producción de este mes. La siguiente tabla muestra el
costo unitario de envío desde cada fábrica a cada
centro. Además, muestra el número de unidades que
se producirán en cada fábrica y el número de
unidades ordenadas por cada cliente: Costo unitario de
envío Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Producción
Fábrica 1 Fábrica 2 $600 $400 $800 $900 $700 $600
400 unid. 500 unid. (Pàgina 62) Orden 300 unid. 200 unid.
400 unid. EJERCICIO 19 : Larry Edison es el director del centro
de cómputo de BC. Él debe programar las horas de
trabajo del personal del centro. Abre de las 8 am a la media
noche. Larry Ahora debe tomar la decisión sobre el plan de
cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada
cliente. estudió el uso del centro en las diferentes horas
del día y determinó los siguientes números
de asesores en computación necesarios: EJERCICIO 21 :
(Pàgina 65) La WC tiene tres plantas con exceso
————————————————————————————-
HORARIO Mínimo de Asesores requeridos 8 am – 12 am 4
12 am – 4 pm 8 4 pm – 8 pm 10 8 pm – 12 pm 6 Puede
contratar dos tipos de asesores: de tiempo completo y de tiempo
parcial. Los primeros trabajan 8 horas consecutivas Ejercicios
resueltos de PROGRAMACION LINEAL en su capacidad de
producción. Por fortuna, la corporación tiene un
nuevo producto listo para iniciar su producción y las tres
plantas pueden fabricarlo, así que se podrá usar
parte del exceso de este modo. El producto puede hacerse en tres
tamaños: grande, mediano y chico; y darán una
ganancia de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas 1, 2
y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750,
900 y Ing. José Luis Albornoz Salazar
tabla: -7- 450 unidades diarias de este producto,
respectivamente, sin importar el tamaño o la
combinación de tamaños de que se trate. La cantidad
de espacio disponible para almacenar material en proceso impone
también limitaciones en las tasas de Carga 1 2 3 4 Peso
(ton) 20 16 25 13 Volumen (m3/ton) 500 700 600 400 Ganancia
($/ton) 320 400 360 290 producción del nuevo producto. Las
plantas 1, 2 y 3 tienen 13.000, 12.000 y 5.000 pies cuadrados de
espacio respectivo, para material en proceso de producción
diaria. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce
requiere 20, 15 y12 pies cuadrados, respectivamente. Los
pronósticos de venta indican que, si están
disponibles, se pueden vender 900, 1.200 y 750 unidades diarias
de los tamaños respectivos grande, mediano y chico. Se
Puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El
objetivo es determinar que cantidad de cada carga debe aceptarse
(si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos
para maximizar la ganancia del vuelo. (Pàgina 69)
Será necesario despedir algunos empleados en cada planta a
EJERCICIO 23 : Confortable Hands es una compañía
menos que la mayor parte de esta capacidad en exceso se pueda
usar con el nuevo producto. Para evitar despidos en lo posible,
la gerencia ha decidido que las plantas deben usar el mismo
porcentaje de su capacidad adicional con este nuevo producto. El
gerente desea saber cuántas unidades de cada tamaño
producir en cada planta para maximizar la ganancia. que produce
una línea de guantes de invierno para toda la familia:
caballeros, damas y niños. Desea decidir qué mezcla
de estos tres tipos de guantes fabricar. La fuerza de trabajo es
sindicalizada. Cada empleado de tiempo completo trabaja 40 horas
a la semana. Por contrato, el número de empleados de
tiempo completo no puede ser menos que 20. Se puede contratar
trabajadores no sindicalizados con EJERCICIO 22 : (Pàgina
67) Un avión de carga tiene tres las siguientes
restricciones; 1) cada uno trabaja 20 horas por semana y 2) debe
haber al menos 2 de tiempo completo por cada uno de medio tiempo.
compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero.
Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto
en peso como en espacio. Los datos se resumen en la siguiente Los
tres tipos de guantes están hechos con el mismo porcentaje
de piel de vaca. La compañía tiene un contrato a
largo plazo con el proveedor de piel y recibe 5.000 ft2 de
material por semana. Los requerimientos de material y mano de
obra, y la ganancia bruta por guante vendido (sin considerar
Compartimiento Delantero Central Trasero Capacidad de Peso (ton.)
12 18 10 Capacidad de espacio (m3) 7.000 9.000 5.000 costo de
mano de obra) son: Material GUANTE req. (ft2) Caballero 2 Damas
1.5 Niños 1 Mano de obra req. (min) 30 45 40 Ganancia
bruta(x par) $ 8 $ 10 $ 6 Más aún, para mantener el
avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos
compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen
ofertas para cuatro cargamentos en un vuelo próximo ya que
se cuenta con espacio: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION
LINEAL Cada empleado de tiempo completo gana $ 13 por hora y cada
uno de medio tiempo, $ 10 por hora. La gerencia desea saber
qué mezcla de los tres tipo de guantes producir por
semana, lo mismo que cuántos empleados de cada tipo Ing.
José Luis Albornoz Salazar
contratar. Desea maximizar su ganancia neta, o sea, la ganancia
bruta menos costo de mano de obra. (Pàgina 70) EJERCICIO
24 : Oxbridge University tiene una computadora grande para uso de
académicos, estudiantes de doctorado y ayudantes de
investigación. Durante las horas hábiles debe haber
un trabajador para operar y dar mantenimiento a la computadora y
realizar algunos servicios de programación. Beryl Ingram,
directora del centro de cómputo coordina la
operación. Al principio del semestre de otoño,
Beryl se enfrenta al lunes a viernes con un operador de guardia
en este horario. Sábados y domingo, otras personas lo
operan. Debido al presupuesto reducido, Beryl tiene que minimizar
el costo. Ella quiere determinar el número de horas que
debe asignar a cada operador cada día. (Pàgina 73)
EJERCICIO 25 : Una empresa va a lanzar al mercado un nuevo
producto. Los planes de promoción para el próximo
mes están en marcha. Los medios alternativos para realizar
la publicidad así como los costos y la audiencia estimada
por unidad de publicidad se muestran a continuación
problema de asignar horas de trabajo distinta a sus operadores.
Debido a que éstos son estudiantes de la universidad,
están TELEVISION RADIO PRENSA disponibles para el trabajo
sólo un número limitado de horas al día,
como se muestra en la tabla. Máximo de horas disponibles
Audiencia por unidad de publicidad Costo por unidad de publicidad
100.000 Bs. 2.000,00 18.000 Bs. 300,00 40.000 Bs. 600,00 Operador
A B C D E F Salario/hora $ 10,00 $ 10,10 $ 9,90 $ 9,80 $ 10,80 $
11,30 Lun Mar Mie Jue Vie 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 4 8 4 0 4 5 5 5 0 5
3 0 3 8 0 0 0 0 6 2 Para lograr un uso balanceado de los medios,
la publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades de
publicidad autorizadas. Además la cantidad de unidades
solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total
autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado
a Bs. 18.500,00. Se necesita determinar el plan óptimo
para maximizar la audiencia total o cantidad de personas que vean
la publicidad. Hay seis operadores (cuatro de licenciatura y dos
de postgrado). Todos tienen salarios diferentes según su
experiencia con computadoras y su aptitud para programar. La
tabla muestra estos salarios junto con el número
máximo de horas al día que cada uno puede trabajar.
Se garantiza a cada operador un número mínimo de
horas de trabajo a la semana que lo mantendrán con un
conocimiento adecuado de la operación. Este nivel se
estableció de modo arbitrario en 8 horas por semana para
licenciatura (A,B,C y D) y 7 horas por semana para postgrado (E y
F). El centro de cómputo debe abrir de 8 am a 10 pm de
Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL (Pàgina 79)
EJERCICIO 26 : Se dispone de 120 refrescos de cola con
cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los
refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de
tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin
cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína
y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada
paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de
tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de
cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular
éste. Ing. José Luis Albornoz Salazar – 8 –
-9- (Pàgina 80) (Pàgina 82) EJERCICIO 27 : Una
persona para recuperarse de una EJERCICIO 30 : Disponemos de
210.000 euros para cierta enfermedad tiene que tomar en su
alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y
B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El
médico le da dos tipos de dietas en las que la
concentración de dichos componentes es: ? dieta D1: 2
unidades de A y 3 unidades de B ? dieta D2: 1 unidad de A y 2
unidades de B. Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5
€. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿Cuál
es la distribución óptima para el menor costo?
invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del
tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%.
Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del
tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B.
Además queremos que la inversión en las del tipo A
sea menor que el doble de la inversión en B.
¿Cuál tiene que ser la distribución de la
inversión para obtener el máximo interés
anual? (Pàgina 83) EJERCICIO 31 : En una pastelería
se hacen dos tipos de EJERCICIO 28 : (Pàgina 81) Se
pretende cultivar en un terreno dos tortas: Vienesa y Real. Cada
torta Vienesa necesita un cuarto de relleno y un Kg. de bizcocho
y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una torta Real
necesita medio Kg. de relleno tipos de olivos: A y B. No se puede
cultivar más de 8 has. con olivos de tipo A, ni más
de 10 has. con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos
de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3
m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea
de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una
de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar
dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo
A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de
aceite: a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada
tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la
producción de aceite. b) Obtener la producción
máxima. y un Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de
beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente
hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por
problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tortas de cada
tipo. ¿Cuántas tortas Vienesas y cuantas Reales
deben vender al día para que sea máximo el
beneficio? (Pàgina 84) EJERCICIO 32 : Una
compañía posee dos minas: la mina A produce cada
día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de
calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada
día 2 toneladas de cada una de las tres calidades.
EJERCICIO 29 : (Pàgina 81) Una empresa fabrica dos modelos
de La compañía necesita al menos 80 toneladas de
mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de
baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación
es de 2000 euros fundas de sofá, A y B, que dejan unos
beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del
modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela.
Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y
5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y
60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del
modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de
fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual
sería este? Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL en
cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada
mina para que el coste sea mínimo?. (Pàgina 85)
EJERCICIO 33 : Se va a organizar una planta de un taller de
automóviles donde van a trabajar electricistas y
mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que
haya mayor o Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 10 – igual número de mecánicos que de
electricistas y que el número de mecánicos no
supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles
30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la
empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros
por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada
clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y
cuál es este? (Pàgina 85) EJERCICIO 34 : La
compañía ESPECIAS INDIAN C.A., tiene un stock
limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción
de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para
producir ya sea curry o pimentón. El departamento de
mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el
pimentón que pueda producir, sólo puede vender
hasta un máximo de 1500 botellas de curry. Las hierbas no
utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la
onza de HB2. Determine él consumo de especias que maximice
el ingreso de la Empresa. (Pàgina 86) EJERCICIO 35 : Unos
grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas
deportivas. El fabricante dispone para la confección de
750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de
poliéster. Cada pantalón requiere 1 m de
algodón y 2 m de poliéster, cada chaqueta requiere
1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del
pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40
€. ¿Qué número de pantalones y
chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que
éstos consigan una venta máxima? (Pàgina 87)
EJERCICIO 36 : Una empresa de transportes tiene dos tipos de
camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un
espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual
cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La
contratan para el transporte de 3.000 m3 de producto que necesita
refrigeración y 4.000 m3 de otro que no la necesita. El
Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL costo por
kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y
el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo
ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
(Pàgina 88) EJERCICIO 37 : En una granja de pollos se da
una dieta, para engordar, con una composición
mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una
sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de
compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de
A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de
cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10
euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades
se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un
coste mínimo? (Pàgina 89) EJERCICIO 38 : Una
escuela prepara una excursión para 320 alumnos. La empresa
de transporte tiene 10 autobuses de 20 plazas y 8 de 42 plazas,
pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un
autobús grande cuesta 900 € y el de uno
pequeño 400 €. Calcular cuántos autobuses de
cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte
lo más económica posible para la escuela.
(Pàgina 89) EJERCICIO 39 : Una empresa de instalaciones
dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio.
Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de
cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar
100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de
titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100
metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de
cable de tipo B, 1000 euros. Calcular los metros de cable de cada
tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la
empresa. Obtener dicho beneficio máximo. Ing. José
Luis Albornoz Salazar
– 11 – (Pàgina 90) EJERCICIO 40 : Un establecimiento de
prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000
gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere
incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos
tipos de lotes: el lote A, que produce un beneficio de 8 euros,
formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote B
que produce un beneficio de 10 euros y está formado por
dos bañadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de
esta oferta tendrá un coste de 1.500 euros a deducir de
los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B
que harán máximo el beneficio y a cuánto
asciende éste. (Pàgina 91) EJERCICIO 41 : Se desea
obtener la mezcla de petróleo a partir de crudos de
distintas procedencias, cada uno de los cuales tienen distintas
características. En la tabla adjunta se detallan los
distintos crudos (4 en total) y sus características
más importantes : el tanto por ciento de azufre, la
densidad y el precio por TM en pesetas. Se exige que la mezcla
tenga unas características concretas que se traducen en un
porcentaje del 40% de contenido de azufre y una densidad igual al
91%. Se desea que el precio de la mezcla sea mínimo.
(Pàgina 91) EJERCICIO 42 : Una perfumería produce
el perfume “OXES”. Este perfume requiere de Esencia y
Fijador para su producción. Dos procesos están
disponibles. El proceso “A” transforma 1 onza de
fijador y 2 onzas de esencia en 3 onzas de perfume. El proceso
“B” transforma 2 onzas de fijador y 3 onzas de
esencia en 5 onzas de perfume. Cada onza de fijador Ejercicios
resueltos de PROGRAMACION LINEAL le cuesta a la perfumería
Bs. 10.000,00 y cada onza de esencia Bs. 15.000,00. Se tiene una
disponibilidad máxima de 200 onzas de fijador y un
máximo de 350 onzas de esencia para este período de
planificación. Para estimular la demanda la
perfumería ha contratado una publicidad por un costo total
de Bs. 4.000.000,00. El perfume se vende en embases de una onza a
Bs. 40.000,00 c/u. Determine la producción óptima
que permita obtener la máxima utilidad tomando en cuenta
que se debe producir únicamente lo que se va a embasar.
(Pàgina 93) EJERCICIO 43 : Un artesano fabrica y vende
cuadros tejidos, de los cuales tiene tres tipos : el
pequeño, el mediano y el grande. El primero requiere
triplay, 200 metros de estambre y 85 clavos; el segundo necesita
triplay, 300 metros de estambre y 100 clavos; el tercero utiliza
triplay, 400 metros de estambre y 125 clavos. De una hoja de
triplay se pueden obtener 12 cuadros pequeños u 8 medianos
ó 5 grandes. Cada mes se cuenta con 15 hojas de triplay,
68 rollos de estambre de 500 metros cada uno y 12.500 clavos. El
cuadro pequeño requiere de 3 horas, el mediano de 5 horas
y el grande de 6 horas para su elaboración. Mensualmente
se dispone de 530 horas para la fabricación de los
cuadros. La experiencia que se tiene de las ventas muestra que
mínimo se venden 25 cuadros grandes por cada 60 cuadros
pequeños. El margen de utilidad para los cuadros
pequeños, medianos y grandes son $22, $35 y $45
respectivamente, ¿Cuántos cuadros de cada tipo
deben hacerse para que la utilidad sea máxima?
(Pàgina 94) EJERCICIO 44 : Debido a las fuertes lluvias de
los últimos días en el sur, la empresa
“Stop-lluvia” dedicada al rubro de los paraguas, ha
visto un aumento en la demanda de sus productos. Los paraguas se
arman en dos plantas, según la siguiente tabla: Ing.
José Luis Albornoz Salazar
– 12 – Cuatro cadenas de multitiendas están interesadas en
adquirir los paraguas, con las siguientes características
: El costo de traslado a cada tienda (fijo) se muestra en la
siguiente tabla : Determinar la mejor decisión de entrega,
para la empresa productora de paraguas. (Pàgina 97)
EJERCICIO 45 : Fagersta Steelworks explota dos minas para obtener
mineral de hierro. Este mineral de hierro se envía a una
de dos instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita se
manda a la planta de acero de la compañía. El
siguiente diagrama describe la red de distribución, donde
M1 y M2 son las dos minas, S1 y S2, los dos almacenes y P es la
planta de acero. También muestra las cantidades producidas
en las minas. al igual que el costo de envío y la cantidad
máxima que se puede enviar al mes por cada vía. La
Planta (P) requiere 100 toneladas de mineral de hiero. La
administración desea determinar el plan más
económico de envío del mineral de las minas a la
planta. Formule y resuelva con un modelo de programación
lineal. (Pàgina 99) EJERCICIO 46 : Una empresa fabrica los
productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los
siguientes precios (Bs) : A 700; B 3.500; C 7.000. Producir cada
unidad de A necesita 1 hora de trabajo. Producir una unidad de B
necesita 2 horas de trabajo, más 2 unidades de A. Producir
una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, más 1 unidad
de B. Cualquier unidad de A utilizada para producir B, no puede
ser vendida. Similarmente cualquier unidad de B utilizada para
producir C, no puede ser vendida. Para este período de
planificación están disponibles 40 horas de
trabajo. Formule y Construya el modelo Lineal que maximice los
ingresos de la empresa. (Pàgina 100) EJERCICIO 47 : Una
refinería produce dos tipos de gasolina: Regular y Extra,
las cuales vende en $12 y $14 por barril respectivamente. Ambos
tipos de gasolina se preparan con una mezcla de petróleo
nacional refinado y de petróleo importado refinado y deben
cumplir con las siguientes especificaciones : Presión
Octanaje Demanda Entregas Máxima de Mínimo
Máxima Mínimas Vapor (barri/sem) (barri/sem)
Gasolina 23 88 100.000 50.000 Regular Gasolina Extra 23 93 20.000
5.000 Las características del inventario de
petróleos refinados son las siguientes: Ejercicios
resueltos de PROGRAMACION LINEAL Ing. José Luis Albornoz
Salazar
aguas. – 13 – Presión de Vapor Octanaje Inventario
(barri/sem) Costo por barril ($) Los dueños de las
parcelas, en un acto de solidaridad social, han convenido que en
cada parcela se sembrará el mismo Nacional Importado 25 15
87 98 40.000 60.000 8,00 15,00 porcentaje de su tierra
cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier
combinación en cualquiera de las parcelas. La tarea que
encara la OTCC es plantear cuántas ¿Qué
cantidades de los dos petróleos (nacional e importado)
deberá mezclar la refinería en ambas gasolinas a
fín de maximizar la ganancia semanal? hectáreas se
deben dedicar al cultivo de las distintas especies en cada
parcela, de modo de maximizar la ganancia neta total para todas
las parcelas a cargo de la OTCC. EJERCICIO 48 : (Pàgina
102) La Oficina Técnica Coordinadora de EJERCICIO 49 :
(Pàgina 104) Una fábrica de zapatos predice las
Cultivos (OTCC), tiene a su cargo la administración de
tres (3) parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela
está limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable
como por la cantidad de agua asignada para regadío de la
parcela por la comisión de Los datos proporcionados por
este organismo son los siguientes: siguientes demandas por sus
pares de zapatos para los próximos 6 meses : mes 1 = 200;
mes 2 = 260; mes 3 = 240; mes 4 = 340; mes 5 = 190; mes 6 = 150.
El costo de fabricar un par de zapatos es de US$ 7,00 con horas
normales de trabajo y de US$ 11,00 con horas de sobretiempo.
Durante cada mes, la producción en horario normal
está limitada a 200 pares de zapatos y la
producción con sobretiempo está limitada a 100
pares. Guardar un par de Zapatos en inventario cuesta US$ 1,00
por mes. Formule un modelo matemático que permita obtener
una solución óptima. (Pàgina 107) EJERCICIO
50 : Formula y plantea mediante programación lineal el
siguiente caso de una oficina de correos Las espacies disponibles
para el cultivo son: arroz , trigo y maíz, pero el
Ministerio de Agricultura y Tierras ha establecido un
número máximo de hectáreas que pueden
dedicarse a cada uno de estos cultivos en las tres (3) parcelas
en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla : que desea
minimizar el número de empleados de tiempo completo que
hay que contratar sabiendo que necesita un número
diferente de empleados a tiempo completo, para cada día de
la semana. Especie Arroz Trigo Maíz Consumo de agua
(m3/ha) 3 2 1 Cuota máxima (ha) 600 500 325 Ganancia neta
($/ha) 400 300 200 Día Día 1 = Lunes Día 2 =
Martes Día 3 = Miércoles Empleados Requeridos 17 13
15 Día 4 = Jueves 18 Ejercicios resueltos de PROGRAMACION
LINEAL Ing. José Luis Albornoz Salazar
14 8 4 – 14 – Día 5 = Viernes Mermelada de Fresa Mermelada
de Manzana Día 6 = Sábado Día 7 = Domingo 16
11 Caldera A Caldera B 0,6 0,9 0,9 0,9 Los reglamentos sindicales
señalan que cada empleado de tiempo completo tiene que
trabajar durante cinco días Envasadora A Envasadora B 0,01
0,04 0,02 0,03 consecutivos, y después descansar dos
días. Por ejemplo, un empleado que trabaja de lunes a
viernes, tiene que descansar el sábado y el domingo. El
número total de horas disponibles así como el coste
de su uso por hora son: La oficina de correos quiere cumplir con
sus Horas disponibles Coste por hora (€) requerimientos
diarios y utilizar solamente empleados de tiempo completo.
Caldera A Caldera B 1.000 5.000 Envasadora A 100 90
(Pàgina 110) Envasadora B 50 40 EJERCICIO 51 : El Sheraton
opera los 7 días de la semana. Las mucamas son contratadas
para trabajar 6 horas diarias. El contrato colectivo especifica
que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y
descansar 2. Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal.
El Sheraton requiere como mínimo las siguientes horas de
servicio: lunes 150, martes 200, miércoles 400, jueves
300, viernes 700, sábado 800 y domingo 300. El
administrador desea encontrar un plan de programación de
empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo
mínimo. (Pàgina 113) EJERCICIO 52 : Una firma
comercial fabrica dos tipos de mermelada. Para la mermelada de
fresa utiliza la fruta y el azúcar en proporciones 2 a 3,
y para la mermelada de manzana la proporción es de 1 a 1.
Se dispone de 1000 kg de fresas, de 1500 kg de manzanas y de 3000
kg de azúcar. La mermelada se elabora en una caldera y
posteriormente es envasada, disponiendo para ello de dos calderas
y de dos envasadoras. Las horas necesarias para fabricar 1 kg de
mermelada son: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Si el
precio de venta es de 15€ por kg de mermelada de fresa y de
12€ por kg de mermelada de manzana, ¿qué
cantidades de los dos tipos de mermelada se han de producir para
que se maximice el beneficio de la firma?
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