b. Esta señora tiene dos alternativas para
hacer la invitación, la primera es no invitar a la pareja
y la segunda es invitar a la pareja.
2C0*9C5 + 2C2*9C3 = (1 x
126) + (1 x 84) = 210 maneras de
invitarlos
En este caso separamos a
la pareja de los demás invitados para que efectivamente se
cumpla el que no asistan o que asistan a la cena.
c.La señora
tiene dos alternativas para hacer la invitación, una de
ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno
de ellos.
2C0*9C5
+ 2C1*9C4 = (1 x 126)
+ (2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer
la invitación
4) En un plano hay 10
puntos denominados A, B, C, ….,etc. etc., en una misma
línea no hay más de dos puntos, a.
¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir
de los puntos?, b. ¿Cuántas de las líneas no
pasan por los puntos A o B?, c. ¿Cuántos
triángulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d.
¿Cuántos de los triángulos contienen el
punto A?, e. ¿Cuántos de los triángulos
tienen el lado AB?.
Solución:
a. En la
redacción del problema se aclara que en una misma
línea no hay más de dos puntos debido a que si lo
anterior ocurriera no se podría dar contestación a
las preguntas que se hacen.
Una línea puede ser trazada a partir de
cómo mínimo dos puntos por lo tanto,
10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10!
/ 8!2! = 45 líneas que se pueden trazar
b. En este caso
excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos
restantes se obtendrán las líneas.
2C0*8C2 = 1 x 28 =
28 líneas que no pasan por los puntos A o B
c. Un
triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos,
luego;
10C3 = 10! / (10 – 3)!3! = 10! / 7!3! = 120
triángulos posibles de trazar
d. En este caso se separa
el punto A de los demás, se selecciona
y posteriormente también se
seleccionan dos puntos más.
1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen el
punto A
e. Los puntos A y B
forman parte de los triángulos a trazar por lo
que;
2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen el
lado AB
Particiones
ordenadas
Se le llama partición ordenada al hecho de
repartir n objetos en células de una cantidad de
x1 objetos, x2 objetos,……y xk
objetos.
Para deducir la fórmula de particiones ordenadas
partiremos de un ejemplo.
¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros
diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al
segundo 3 y el resto al tercer alumno?
Ejemplos de esta partición
serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al
10;
Solución:
Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de
los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;
10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar
los libros
Luego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para
el segundo alumno;
8C3 = 8! / (8 – 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 maneras
Y por último se procederá a seleccionar
cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo
que se muestra a continuación;
5C5 = 5! / (5 -5)!5! = 5! / 0!5! = 1 manera
Por tanto el número total de particiones
ordenadas en células de 2, 3 y 5 elementos se
determina:
10C2*8C3*5C5 = (10! / (10 –
2)!2!)*(8! / (8 – 3)!3!)*(5! / (5 – 5)!5!) = 10!
/2!3!5!
La expresión anterior nos recuerda a la
fórmula utilizada para encontrar las permutaciones de n
objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales,
por lo que usaremos la misma fórmula para encontrar las
particiones ordenadas.
Por tanto la fórmula para las particiones
ordenadas sería:
Esta fórmula sólo puede ser utilizada
cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese
caso se usarán combinaciones.
Donde:
nPx1,x2,…..,xk = Total de particiones ordenadas o
reparticiones que es posible hacer cuando los n objetos
son repartidos en grupos de x1 objetos, x2
objetos …… y xk objetos.
n = x1 + x2 + ……+ xk
Ejemplos:
1) ¿Cuántas maneras
hay de repartir 9 juguetes entre tres niños, si se desea
que al primer niño le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al
tercero 3 juguetes?
Solución:
Por combinaciones,
9C4*5C2*3C3 = 126*10*1= 1260 maneras de repartir los
juguetes
Por fórmula,
n = 9
x1 = 4
x2 = 2
x3 =3
9P4,2,3 = 9! / 4!2!3! = 1,260 maneras de repartir los
juguetes
2)
¿Cuántas maneras hay de repartir los mismos 9
juguetes entre tres niños, si se desea darle 3 al primer
niño, 2 al segundo niño y 2 al tercer
niño?
Solución:
En este caso únicamente se puede dar
solución por combinaciones, ya que no es posible usar la
fórmula debido a que se reparten solo parte de los
juguetes.
9C3*6C2*4C2 = 84*15*6 = 7,560 maneras de repartir los
juguetes (solo se reparten 7 y quedan dos juguetes)
3) a.
¿Cuántas maneras hay de que se repartan 14 libros
diferentes entre 3 alumnos, si se pretende que al primer alumno y
al segundo les toquen 5 libros a cada uno y al tercero le toque
el resto?, b. ¿Cuántas maneras hay de que se
repartan los libros si se desea dar 5 libros al primer alumno, 3
al segundo y 2 libros al tercer alumno?
Solución:
a. Por
fórmula:
n = 14
x1 = 5
x2 = 5
x3 = 4
14P5,5,4 = 14! / 5!5!4! = 21,021 maneras de repartir los
libros en grupos de 5, 5 y 4 libros
b. Por
combinaciones:
14C5*9C3*6C2 = 2,002*84*15 = 2,522,520 maneras de
repartir 10 de los 14 libros en grupos de 5, 3 y 2
libros
4) a.
¿Cuántas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4
equipos de 3 personas cada uno de ellos para que realicen
prácticas de laboratorio diferentes?,
b. ¿Cuantas maneras hay de que se
repartan los 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas si se va a
realizar una misma práctica?
Solución:
a. En este caso al
ser prácticas de laboratorio diferentes, es posible
resolver el problema por combinaciones o por la fórmula,
dado que se reparten todos los alumnos
Por fórmula:
n = 12
x1 = 3 práctica 1
x2 = 3 práctica 2
x3 = 3 práctica 3
x4 = 3 práctica 4
12P3,3,3,3 = 12! / 3!3!3!3! = 369,600 maneras de
repartir a los estudiantes en cuatro equipos de 3 personas para
realizar prácticas diferentes
b. En este caso lo
más probable es que se crea que la solución es
igual que la que se ha dado al inciso a, pero esto no puede ser
debido a que si se desea repartir a los alumnos para realizar una
misma práctica, el orden en el que se hace la
repartición no tiene importancia, ya que al equipo de tres
personas les da lo mismo quedar en el primer equipo a quedar en
el segundo o tercero, ya que la práctica a realizar es la
misma, entonces la solución es;
12P3,3,3,3 * 1 /4! = 12! / 3!3!3!3! * 1 / 4! = 369,600 /
4! = 15,400 maneras de repartir a los alumnos en equipos de 3
personas para realizar una misma práctica
Al multiplicar la solución que se da al inciso a,
por 1/4! se está quitando el orden de los grupos, que en
este caso no nos interesa.
Autor:
Humberto Anco Lopez
DOCENTE : Ing. NESTOR HUARACHA VELASQUEZ
CICLO : III
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA
FACULTAD DE INGENIERÍAS
CARRERA PROFESIONAL
INGENIERIA DE SISTEMAS E
INFORMÁTICA
SEDE ICHUÑA
"TRABAJO DE INVESTIGACION"
ICHUÑA – PERU
2012
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