Modelos Cuantitativos

Capitulo 1

Programación
lineal

Historia de la programación
lineal

Se plantea como un modelo matemático desarrollado
durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y
los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y
aumentar las perdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta
1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su
planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig,
quien publico el algoritmo simplex, en 1947, John Von Neumman,
que desarrollo la teoría de la dualidad en el mismo
año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que
utiliza técnicas similares en la economía antes de
Dantzig y gano el premio nobel en economía en 1975. En
1979, otro matemático ruso, Leonid Khachinyan,
demostró que el problema de la programación lineal
era resoluble en tiempo polinomial. Mas tarde, Narendra Karmarkar
introduce un nuevo método del punto interior para resolver
problemas de programación lineal, lo que
constituirá un enorme avance en los principios
teóricos y prácticos en el área.

El objetivo de la programación linear es
encontrar las condiciones en que se maximiza la denominada
función objetivo, una ecuación que determina, por
ejemplo, el ingreso que se obtendrá produciendo
determinadas mercancías; dicha función esta sujeta
a ciertas restricciones, constituidas por un grupo de ecuaciones
lineales que indican el consumo de los diversos factores
productivos que se necesitan para obtener un determinado
producto. De este modo se establece que pueden producirse ciertas
cantidades de los bienes a, b,… etc., cada uno de los
cuales produce un ingreso determinado. La programación
lineal indica entonces la combinación óptima de
bienes a producir para obtener el máximo beneficio a
partir de un conjunto finito de recursos.

Es una de las principales ramas de la
Investigación Operativa. En esta categoría se
consideran todos aquellos modelos de optimización donde
las funciones que lo componen, es decir, función objetivo
y restricciones, son funciones lineales en las variables de
decisión.

Los modelos de programación lineal por su
sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran
variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y
ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y
organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su
utilización.

Los modelos matemáticos se dividen
básicamente en modelos deterministas (md) o modelos
estocásticos (me). En el primer caso (md) se considera que
los parámetros asociados al modelo son conocidos con
certeza absoluta, a diferencia de los modelos
estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los
parámetros tienen una distribución de probabilidad
asociada. Los cursos introductorios a la Investigación
Operativa se enfocan solo en modelos deterministas.

En resumen:

• La programación lineal es una técnica
  de modelado (construcción de modelos).

• La programación lineal es una técnica
  matemática de optimización, es decir, un
  método que trata de maximizar o minimizar un
  objetivo.

• Su interés principal es tomar decisiones
  óptimas.

• Se usa mucho en la industria militar y en la
  petrolera. Si bien esos sectores han sido quizá los
  principales usuarios de ella, el sector servicios y el sector
  publico de la economía también le han
  aprovechado ampliamente.

• La estructura básica de un problema de
  programación lineal consta de una función
  objetivo por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas
  restricciones en la forma de igualdades o
  desigualdades.

Un problema de
maximización

RMC Inc. es una pequeña empresa que fabrica una
variedad de productos basados en sustancias químicas. En
un proceso de producción particular, se emplean tres
materias primas para producir productos: un aditivo para
combustible y una base para solvente. El aditivo se vende a las
compañías petroleras y se utiliza en la
producción de gasolina y combustibles relacionados. La
base para solvente se vende a una variedad de
compañías de productos químicos y se emplea
en artículos de limpieza para el hogar y la
industria.

Las tres materias primas se mezclan para formar el
aditivo para combustible y la base para el solvente, tal como se
indica en la siguiente tabla.

Se muestra que una tonelada de aditivo para combustible
es una mezcla de 0.4 ton de material 1 y 0.6 ton de material 3,
mientras que una tonelada de base para solvente es una mezcla de
0.5 ton de material 1, 0.2 ton de material 2 y 0.3 ton de
material 3.

La producción de RMC esta restringida por una
disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el
periodo de producción actual, RMC tiene disponibles las
siguientes cantidades de cada materia prima:

Debido al deterioro y a la naturaleza del proceso de
producción, los materiales que no se lleguen a usar en una
corrida de producción no se pueden almacenar para las
subsiguientes, son inútiles y deben desecharse.

El departamento de contabilidad analizo las cifras de
producción, asigno todos los costos relevantes y llego a
precios para ambos productos que generarían una
contribución a las utilidades de $40 por cada tonelada de
aditivo para combustible y $30 por cada tonelada producida de
base para solvente.

¿Qué cantidad de toneladas de aditivo para
combustible y de base para solvente debe producirse con el fin de
maximizar la contribución total a las
utilidades?

Formulación del
problema

Es el proceso de traducir una descripción verbal
de un problema en un enunciado matemático. El enunciado
matemático del problema se conoce como modelo
matemático.

RMC quiere determinar cuánto de cada producto
debe producir para maximizar la contribución
total a las utilidades. El número de toneladas disponibles
de los tres materiales que se requieren para fabricar los dos
productos delimitan la cantidad de toneladas de cada producto que
puede elaborarse.

• Describir el objetivo: RMC desea maximizar
  la contribución total a las utilidades.

• Describir cada restricción: Tres
  restricciones limitan la cantidad de toneladas de aditivo y
  de base para solvente que pueden producirse.

• Restricción 1: El número de toneladas
  de material 1 empleadas debe ser menor o igual que las 20
  toneladas disponibles.

• Restricción 2: El número de toneladas
  de material 2 empleadas debe ser menor o igual que las 5
  toneladas disponles.

• Restricción 3: El número de toneladas
  de material 3 debe ser menor o igual que las 21 toneladas
  disponibles.

• Definir las variables de decisión:

• El numero de toneladas de aditivo por
  producir.

• El numero de toneladas de solvente por
  producir.

Se utiliza la siguiente notación para las
variables de decisión:

F = cantidad de toneladas de aditivo para
combustible.

S = cantidad de toneladas de base para
solvente.

• Escribir la función objetivo de las variables
  de decisión: La contribución a las utilidades
  de RMC proviene de la producción de F
  toneladas de aditivo para combustible y S toneladas
  de base para solvente. Debido a que RMC gana $40 por cada
  tonelada de aditivo y $30 por cada tonelada de solvente
  producida, la empresa ganara $40F de la producción de
  aditivo y $30S de la producción para
  solvente.

Por tanto:

Contribución total a las utilidades = 40F +
30S

Debido a que el objetivo es una función de las
variables de decisión F y S, nos
referimos a 40F + 30S como la función objetivo. Utilizamos
"MAX" como una abreviatura para maximización, podemos
escribir el objetivo de RMC de la siguiente forma:

MAX 40F + 30S

Escribir las restricciones en función de las
variables de decisión.

• Restricción 1: Toneladas de material 1
  utilizado = Toneladas de material 1 disponible

Cada tonelada de aditivo para combustible que produce
RMC produce utiliza 0.4 toneladas de material 1, por tanto se
utilizan 0.4F toneladas de material 1 para producir F
toneladas de aditivo para combustible. Del mismo modo, cada
tonelada de base para solvente que RMC produce utiliza 0.5
toneladas de material 1, así que se emplean 0.5S toneladas
de material 1 que se usan para producir S toneladas de
base para solvente. Por consiguiente, el número de
toneladas de material 1 utilizado para producir F
toneladas de aditivo y S toneladas de solvente
es:

Toneladas de material 1 utilizadas = 0.4F +
0.5S

Debido a que se dispone de 20 toneladas de material 1
para la utilizar en la producción, la declaración
matemática de la restricción 1 es:

0.4F + 0.5S = 20

• Restricción 2: Toneladas de material 2
  empleadas = Toneladas de material 2 disponible

El aditivo para combustible no utiliza material 2, pero
cada tonelada de solvente que RMC produce utiliza 0.2 toneladas
de material 2, así que utiliza 0.2S toneladas de material
2 para producir S toneladas de base para solvente. Por
consiguiente, el número de toneladas de material 2
empleadas para producir F toneladas de aditivo y
S de solvente es:

Toneladas de material 2 utilizadas = 0.2S

Debido a que dispone de 5 toneladas de material 2 para
la producción, el enunciado matemático
seria:

0.2S = 5

• Restricción 3: Toneladas de material 3
  utilizadas = Toneladas de material 3 disponible

Cada tonelada de aditivo que RMC produce utiliza 0.6
toneladas de material 3. Por tanto, se utilizan 0.6F toneladas de
material 1 para producir F toneladas de aditivo. Del
mismo modo, cada tonelada de base para solvente que RMC produce
utiliza 0.3 toneladas de materia 3, así que se emplean
0.3S toneladas de material 1 para producir S toneladas
de solvente. Por lo tanto, el número de toneladas de
material 3 empleadas para producir F toneladas de
aditivo y S toneladas de solvente es:

Toneladas de material 3 utilizadas = 0.6F +
0.3S

Dado que se dispone de 21 toneladas de material 3 para
la producción, el enunciado matemático
seria:

0.6F + 0.3S = 21

• Añadir las restricciones de no negatividad:
  RMC no puede producir una cantidad negativa de toneladas de
  aditivo ni una cantidad negativa de solvente. Por tanto, se
  deben añadir restricciones de no negatividad para
  prevenir variables de decisión F y S
  tengan valores negativos. Estas restricciones de no
  negatividad son:

F = 0 y S = 0

Las restricciones de no negatividad son una
característica de los problemas de programación
lineal.

Modelo matemático para el
problema de RMC

Ahora está completa la
formulación del problema. Ahora podemos traducir la
dedición verbal del problema de RMC en el siguiente modelo
matemático:

MAX 40F + 30S

Sujeto a:

0.4F + 0.5S = 20

0.2S = 5

0.6F + 0.3S = 21

F = 0 y S = 0

Nuestra tarea ahora es encontrar la mezcla de productos
(es decir, la combinación de F y S) que
satisfaga todas las restricciones y, al mismo tiempo, produzca un
valor máximo para la función objetivo. En cuanto se
calcula los valores de F y S, encontraremos la
solución optima para el problema.

• 1. Para resolver este ejercicio, damos clic en
  el icono para
  abrir el programa, después seleccionamos
  "programación lineal" y luego "ok".

• 2. Elegimos la opción "file" y luego
  "new".

• 3. Indicamos el número de variables y de
  restricciones, seleccionamos "maximizar" y luego
  "ok".

En el primero indicamos el numero de variables en este
caso son 2. En el segundo el numero de restricciones del problema
que son 3. Elegimos en este caso maximizar porque es lo que
buscamos en el problema.

• 4. Procedemos a llenar el cuadro con la
  información del modelo matemático que obtuvimos
  del problema y posteriormente damos clic en "solución"
  y luego en "resolver".

Ingresamos los coeficientes de la función
objetivo, después llenamos el cuadro de las
restricciones.

• 5. En la última ventana obtendremos el
  resultado.

Ahora interpretemos la solución por computadora
para el problema. Primero, observamos que el numero 1600.000,
aparece a la derecha del valor de la función objetivo,
indica que al solución optima a este problema
proporcionara una utilidad de $1600. Directamente debajo del
valor de la función objetivo están los valores de
las variables de decisión de la solución
óptima. Por tanto, tenemos que F = 25 toneladas
de aditivo y S = 20 toneladas de solvente como
cantidades de producción optima.

Variables de Holgura

Además de la solución optima y su
contribución a las utilidades asociadas, los gerentes de
RMC querrán información sobre los requerimientos de
producción para los tres materiales. Podemos determinar
esta información al sustituir los valores de la
solución óptima en las restricciones del programa
lineal.

La solución óptima indica que la gerencia
de la producción de 25 toneladas de aditivo y 20 toneladas
de solvente requerirá todo el material 1 y material 3
disponible pero solo cuatro de cinco toneladas de material 2. La
tonelada que queda sin utilizar del material 2 se conoce como
holgura. En la terminología de programación lineal,
cualquier capacidad sin utilizar o desocupada para una
restricción de = se conoce como una holgura asociada con
la restricción. Por ende, la restricción del
material 2 tiene una holgura de una tonelada.

La capacidad sin utilizar no contribuye en lo absoluto a
las utilidades, por lo que las variables de holgura tienen
coeficientes de cero en la función objetivo.

CAPITULO 2:

Análisis de
Decisiones

La toma de decisiones es el proceso mediante el cual se
realiza una elección entre las alternativas que se tienen,
o son formas para resolver diferentes situaciones de la vida,
estas se pueden presentar en diferentes contextos: a nivel
laboral, familiar, sentimental, empresarial (utilizando
metodologías cuantitativas que brinda la
administración), etc., es decir, en todo momento se toman
decisiones, la diferencia entre cada una de estas es el proceso o
la forma en la cual se llega a ellas. Para los administradores,
el proceso de toma de decisión es sin duda una de las
mayores responsabilidades.

Debemos empezar por hacer una selección de
decisiones, y esta selección es una de las tareas de gran
trascendencia. Para tomar una decisión, no importa su
naturaleza, es necesario conocer, comprender, analizar un
problema, para así poder darle solución; en algunos
casos por ser tan simples y cotidianos, este proceso se realiza
de forma implícita y se soluciona muy rápidamente,
pero existen otros casos en los cuales las consecuencias de una
mala o buena elección puede tener repercusiones en la vida
y si es en un contexto laboral en el éxito o fracaso de la
organización. Para los cuales es necesario realizar un
proceso más estructurado que puede dar más
seguridad e información para resolver el problema. Las
decisiones nos atañen a todos ya que gracias a ellas
podemos tener una opinión crítica.

1. TOMA DE DECISIONES SIN
PROBABILIDAD

"Pittsburg Development Corporation (PDC) compro un
terreno donde construirá un nuevo complejo de condominios
de lujo. La localización proporciona una vista
espectacular del centro de Pittsburg y el Goleen Triangle, donde
los ríos Allegheny y Monongahela se unen para formar el
rio Ohio. PDC planea asignar precios a las unidades de
condominios individuales entre 300,000 y 1,400,000.

PDC encargo los planos arquitectónicos
preliminares para tres proyectos diferentes: uno con 30
condominios otro con 60 y el último con 90. El
éxito financiero del proyecto depende del tamaño
del complejo de condominios y el evento fortuito concerniente a
la demanda que tengan los mismos. El problema de decisión
de PDC es seleccionar el tamaño del nuevo proyecto de
condominios de lujo que generara la mayor utilidad dada la
incertidumbre de la demanda.

Un factor en la selección de la mejor alternativa
de decisión es la incertidumbre asociada al evento
fortuito concerniente a la demanda de los condominios. Cuando se
le pregunto por la demanda posible para el condominio, el
presidente de PDC reconoció una amplia variedad de
posibilidades, pero decidió que seria adecuado considerar
dos posibles de los eventos fortuitos: una demanda fuerte y una
demanda débil."

En el análisis de decisiones los resultados
posibles para un evento fortuito se conocen como estados de la
naturaleza, los cuales se definen de modo que ocurra uno y solo
uno de todos los estados posibles. Para el problema de PDC, el
evento fortuito relativo ala demanda de los condominios tiene dos
estados de la naturaleza:

Enfoque optimista:

En el enfoque optimista se evalúa cada
alternativa de decisión en función del mejor
resultado que pueda ocurrir la alternativa de decisión que
se recomienda es aquella que proporciona el mejor resultado
posible. Para un problema en el cual se desea obtener las
máximas utilidades, como el problema de PDC, el enfoque
optimista llevara al tomador de decisiones a elegir la
alternativa que corresponde a la utilidad mayor que en este caso
corresponde ala alternativa tres que es construir un complejo
grande de 90 condominios, al enfoque optimista solo le interesa
la alternativa de las mayores ganancias sin tomar en cuenta las
consecuencias de que exista una demanda baja sobre la alternativa
elegida.

1.-Para Utilizar el TMS (The Management Scientist) se
hace doble clic en el icono para abrir el programa, al hacer esto se
abrirá la siguiente ventana.

2.-Se abre el siguiente cuadro en el cual
se presentan todos los módulos que ofrece el programa para
auxiliar a los administradores o tomador de decisiones de las
empresas. En este caso se seleccionara el modulo o la casilla 10
de "Decision Analysis" y se hará clic en el botón
"OK".

3.-Al aceptar la opción se abre la nueva ventana
en la cual se hace clic en el menú "File" y se
elegirá la opción "New…"

4.-Con ello se abrirá una nueva ventana en la que
se especificara el numero de decisiones y de estados de la
naturaleza, en este problema las decisiones son 3 y los estados
de la naturaleza serán 2, y dejamos en blanco la casilla,
porque será un problema sin probabilidad.

5.-Seguidamente nos saldrá una ventana en donde
tenemos que poner el numero de alternativas y el numero de
estados de naturaleza.

6.-Despues se le da clic en solution, y
acto seguido en solve, luego el programa arrojara nuevamente un
cuadro para seleccionar las opciones deseadas.

7.-Luego se seleccionan las casillas correspondientes.
Para mostrar el resultado máximo para cada alternativa de
decisión para PDC en este caso el criterio optimista y se
le da clic en ok.

8.- A continuación el programa
arrojara la mejor alternativa de decisión para un punto de
vista optimista que este caso es la alternativa tres con 20
millones de dólares a ganar.

Enfoque conservador:

Evalúa cada alternativa de decisión desde
el punto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La
alternativa de solución recomendada es aquella que
proporciona el mejor de los peores resultados posibles. Para un
problema en el cual la medida de salida son las utilidades, como
el problema de PDC, el enfoque conservador llevaría al
tomador de decisiones a elegir la alternativa que maximice las
utilidades mínimas posibles que se pudieran obtener. Para
problemas que involucran la maximización, este enfoque
identifica la alternativa que minimizara el resultado
máximo.

Para explicar el enfoque conservador, desarrollamos una
recomendación para el problema de PDC utilizando este
enfoque. Primero se identifica el resultado mínimo para
cada una de las alternativas de decisión; luego se
selecciona la alternativa de decisión que maximiza el
resultado mínimo.

Como 7, que corresponde a la alternativa 1 (d1), produce
el valor máximo de los resultados mínimos, se
recomienda la alternativa de decisión de un complejo de
condominios pequeño.

Este enfoque de decisión se considera conservador
debido a que identifica los peores resultados posibles y luego
recomienda la alternativa de decisión que evita la
posibilidad de obtener resultados sumamente "malos". En el
enfoque conservador se garantiza que PDC obtenga una utilidad de
al menos $7 millones. Aunque PDC puede hacer mas, no puede ganar
menos de $7 millones.

8.-Seguidamente le damos ok y nos dará el
máximo de los valores del resultado
mínimo.

Enfoque de arrepentimiento
Minimax:

El enfoque de arrepentimiento minimax para la toma de
decisiones es solamente optimista o solamente conservador.
Explicaremos el enfoque de arrepentimiento minimax al mostrar
como se utiliza para seleccionar una alternativa de
decisión para el problema de PDC.

Suponga que PDC construye un complejo de condominios
pequeño decisión 1 (d1) y la demanda y la demanda
resulta ser fuerte (s1). Sin embargo, dado que ha ocurrido el
estado de la naturaleza de demanda fuerte (s1), nos damos cuenta
de que la mejor decisión hubiera sido construir un
complejo de condominios grande (d3) que produce una utilidad de
$20 millones. La diferencia entre el resultado de la mejor
alternativa de decisión ($20 millones) y el resultado de
la decisión de construir un complejo de condominios
pequeño ($8 millones) es la perdida de oportunidad, o
arrepentimiento, asociada con la alternativa de decisión
d1 cuando ocurre el estado de la naturaleza s1; por tanto, para
este caso, la perdida de oportunidad o arrepentimiento es $20
millones – $8 millones = $12 millones. Asimismo, si PDC
toma la decisión de construir un complejo de condominios
mediano (d2) y ocurre el estado de la naturaleza de demanda
fuerte (s1), la perdida de oportunidad, o arrepentimiento,
asociada con (d2) seria $20 millones – $14 millones = $6
millones.

Resolvemos el problema de maximización con el
enfoque de arrepentimiento minimax.

Basándonos en el ejemplo anterior cambiamos a
arrepentimiento minimax

Y al final nos da el siguiente
resultado:

Capitulo 3

Inventarios

Inventario se refiere a mercancías o materiales
mantenidos en reserva por una organización para usarlos en
el futuro. Los artículos contenidos en el inventario
incluyen materias primas, piezas adquiridas, componentes sub
ensambles, trabajo en proceso, artículos terminados y
suministros. Algunas razones por las que una organización
mantiene el inventario se relacionan con las dificultades para
predecir con precisión los niveles de venta, los tiempos
de producción, la demanda y las necesidades de
uso.

Por tanto, el inventario sirve como reserva contra el
uso fluctuante e incierto y mantiene una existencia de
artículos disponibles en caso de que sean requeridos por
la organización o sus clientes. Aun cuando el inventario
desempeña un rol importante y esencial, el gasto asociado
con el financiamiento y mantenimiento de los inventarios es una
parte significativa del costo de realizar negocios. En
organizaciones grandes, el costo asociado con el inventario puede
llegar a ser millones de dólares.

En aplicaciones que implican inventario, los gerentes
deben responder dos preguntas importantes:

¿Qué tanto debe ordenarse cuando se
renueva el inventario?

¿Cuándo se debe renovar el
inventario?

El propósito es mostrar como los modelos
cuantitativos pueden ayudar a la toma de decisiones de
cuánto y cuándo ordenar. Primero se consideran
modelos de inventario determinísticos en los
cuales suponemos que el grado de demanda del artículo es
constante o casi constante. Después se consideran modelos
de inventario probabilísticos en los que la
demanda del artículo fluctúa y puede describirse en
términos de probabilidad.

Modelo de cantidad económica del
pedido (EOQ)

Es pertinente cuando la demanda de una articulo muestra
una tasa, constante o casi constante, y cuando toda la cantidad
solicitada llega al inventario en un momento dado. El supuesto de
tasa de demanda constante significa que el mismo número de
unidades se toma del inventario cada determinado tiempo, tal como
cinco unidades cada día, veinticinco unidades cada semana,
cien unidades cada cuatro semanas, etc.

Para ilustrar este modelo, consideremos la
situación confrontada por R&B Beverage Company. Esta
empresa distribuye cerveza, vino y bebidas refrescantes. Desde su
almacén principalmente localizado en Columbus, Ohio,
R&B le suministra bebidas a casi mil tiendas minoritarias. El
inventario de cerveza, el cual constituye aproximadamente 40% del
inventario total de la empresa, promedia aproximadamente 50 mil
casas. Con un costo promedio por caja aproximado de $8, R&B
calcula que el valor de su inventario den cerveza es de $400
mil.

El gerente de almacén decidió realizar un
estudio detallado de los costos de inventario asociados con Bub
Beer, la cerveza de mayor venta de R&B. el propósito
del estudio es establecer las decisiones de cuánto y
cuándo ordenar la cerveza, que den como resultado el menor
costo posible. Como primer paso, el gerente del almacén
obtuvo los siguientes datos de demanda de las últimas 10
semanas:

(En rigor, estas cifras de demanda semanal no indican
una tasa de demanda constante. Sin embargo, dada la relativamente
baja variabilidad de la demanda semana (la cual va de 1900 cajas
hasta 2100 cajas) la planeación del inventario con una
tasa de demanda constante de 2000 cajas por semana
parecería razonable)

La decisión de cuánto ordenar implica
seleccionar una cantidad que constituya un compromiso
entre:

Mantener inventarios pequeños y ordenar con
frecuencia.

Mantener inventarios grandes y ordenar de vez en
cuando.

La primera alternativa produce "costos a ordenar"
indeseablemente altos, en tanto que la segunda produce "costos de
retención" indeseablemente altos. Para determinar un
compromiso optimo entre estas alternativas de control,
consideremos un modelo matemático que expresa el costo
total como la suma del costo de retención y el costo de
ordenar.

Los costos de retención son asociados con el
mantenimiento de un nivel de inventario determinados; estos
dependen del tamaño del inventario. El primer costo de
retención es el costo de financiar la inversión del
inventario. Cuando una empresa pide dinero prestado, incurre en
un costo de interés por el capital empleado en el
inventario. Este costo de capital en general se expresa como un
porcentaje de la suma invertida. R&B estima su costo de
capital a una tasa anual de 18%.

Otros costos de retención, como seguros,
impuestos, rotura, robos y gastos generales del almacén
también dependen del valor de inventario. R&B estima
una tasa anual aproximada (de estos costos) de 7% del valor de su
inventario. Por lo tanto, el costo de retención seria 18%
+ 7% = 25% del valor del inventario. El costo de una casa de Bub
Beer es de $8. Con una tasa del costo de retención anual
de 25%, el costo de retención de una caja de Bub Beer en
inventario durante un año es de 0.25 ($8) =
$2.00.

Lo siguiente en el análisis es determinar el
costo de ordenar. Este, considerado fijo sin importar la cantidad
solicitada, cubre la preparación de la factura, en el
procesamiento del pedido incluido el pago, porte de correos,
teléfono, transporte, recepción, etc. Para R&B
Beverage, la mayor parte del costo de ordenar involucra los
salarios de los compradores. Un análisis del proceso de
compra mostro que un comprador pasa 45 minutos preparando y
procesando un pedido de Bub Beer. Con un costo salario y
prestaciones de los compradores de $20 por hora, la
porción de mano de obra del costo de ordenar es de $15. Al
considerar un margen por los costos de papelería, porte de
corres, transporte, teléfono y recibo de $17 por pedido,
el gerente estima que el costo de ordenar es de $32 por pedido.
Es decir, R&B paga $32 por pedido haciendo caso omiso de la
cantidad solicitada en el pedido.

El costo de retención, el costo de ordenar y la
información sobre la demanda son los tres datos que deben
conocerse antes de utilizar el modelo EOQ. Después de
recabar todos los datos podemos observar como se utilizan para
desarrollar un modelo de costo total. Comenzamos por definir
Q como la cantidad a ordenar. Por tanto la
decisión de cuanto ordenar implica encontrar el valor de
Q que minimizara la suma de los costos de
retención y ordenar.

El inventario para Bub Beer tendrá un valor
máximo de Q unidades cuando reciba un pedido de
tamaño Q del proveedor. R&B tendrá
entonces la demanda del cliente del inventario hasta que este se
agote, momento en el cual se recibirá otro embarque de
Q unidades.

Patrón del inventario correspondiente al modelo
de Inventario EOQ

El costo de retención se calcula con la ayuda del
inventario promedio. Es decir, calculamos el costo al multiplicar
el inventario promedio por el costo de guardar una unidad en el
inventario durante el periodo establecido. El periodo
seleccionado para el modelo podría ser una semana, un mes,
un año, o más. Sin embargo, como el costo de
retención para muchas industrias y negocios se expresa
como un porcentaje anual, la mayoría de los modelos de
inventario se desarrollan con base en un costo anual.

Sean:

I = Tasa de costo de retención anual

C = Costo unitario del articulo de inventario

Ch = Costo anual de mantener una cantidad en el
inventario.

El costo anual de mantener la unidad una unidad de
inventario es:

Ch = I C

Para completar el modelo de costo total, ahora debemos
incluir el costo anual de ordenar. El objetivo es expresar el
costo de ordenar anual en función de la cantidad
solicitada Q. La primera pregunta es
¿Cuántos pedidos se colocara durante el año?
Sea D la demanda anual del producto. Para R&B
Beverage, D = (52 semanas) (2000 cajas por semana) =
104,000 cajas por año. Sabemos que solicitando Q
unidades cada vez que hacemos un pedid, tendremos que hacer
D/Q pedidos por año. Si Co es el costo de colocar
un pedido, la ecuación general para el costo de ordenar
anual es:

Costo anual de ordenar = (Numero de pedidos por
año) (Costo por pedido)

= (D/Q) Co

Costo anual total = Costo de retención anual +
Costo por pedido

= ½ Q Ch + D/Q Co

Utilizando los datos de Bub Beer:

Ch = IC = (0.25) ($8) = $2

Co = $32

D = 104,000

El modelo de costo anual seria:

TC – ½ Q ($2) + 104,000/Q ($32)

Q + 3,328,000/Q

El desarrollo del modelo de costo tola se adentra en la
solución del problema de inventario. Ahora se podrá
expresar el costo anual total como una función de
cuánto deberá ordenarse. El desarrollo de un modelo
de costo total realista es quizá la parte mas importante
de la aplicación de métodos cuantiaos relacionada
con inventarios. La ecuación del costo anual total es la
ecuación del costo total general para situaciones de
inventario en las que validas las suposiciones del modelo de
cantidad económica a ordenar.

Decisión de cuanto
ordenar

El siguiente paso es determinar la cantidad de pedido
Q que reduzca al mínimo el costo anual total para
Bub Beer. Al utilizar el procedimiento de prueba y error, podemos
calcular el costo anual total de varias cantidades de pedido
posibles. Como punto de partida, considere Q = 8000. El
costo anual total para Bub Beer es:

TC = Q + 3,328,000/Q

= 8000 + 3,328,000/8000 = $8416

La cantidad de pedido probada de 5000 da:

TC = Q + 3,328,000/Q

= 5000 + 3,328,000/5000 = $5666

La ventaja del método de prueba y error es que es
un tanto fácil para realizar y proporciona el costo anual
total correspondiente para varias decisiones de cantidad a
ordenar posibles.

La desventaja de este método es que no
proporciona la cantidad a ordenar de costo total mínimo
exacta.

Ecuación para el costo anual total del modelo
EOQ:

TC = ½ QCh + D/Q Co

Podemos determinar la cantidad a ordenar Q que minimice
el costo anual total igualando la derivada dTC/dQ a cero y
resolviendo para Q*:

Q* = v2DCo7Ch

Esta formula se conoce como al formula de la cantidad
económica a ordenar (EOQ).

Al utilizarla, la cantidad a ordenar de costo anual
total mínimo para Bub Beer es: 1824 cajas.

Q* = v2 (104,000) 32/2 = 1824

En realidad, el Q* de la ecuación es 1824.28,
pero como no podemos ordenar fracciones de cajas de cerveza, lo
indicado es manejarlo a enteros.

El uso de una cantidad a ordenar de 1824 muestra que la
política de inventario de costo mínimo para Bub
Beer tiene un costo anual de $3648.56.

Solución en el programa

• 1. Damos clic sobre el icono para abrir el programa y
  después seleccionamos "inventario", luego presionamos
  "ok".

• 2. Seleccionamos el menú "archivo" y
  damos clic en "nuevo". En la siguiente ventana seleccionamos
  el modelo que utilizaremos, y damos clic en "ok" en este caso
  es el "EOQ" (Modelo Económico de Cantidad a
  Ordenar).

• 3. Procedemos a llenar el cuadro utilizando los
  datos de Bub Beer y posteriormente damos clic en
  "solve".

• 4. En la siguiente ventana obtenemos el
  resultado.

Cantidad optima a ordenar (cantidad de pedido de costo
anual total mínimo para Bub Beer)

Costo anual de retención de inventario

Costo anual de ordenar

Costo anual total

Decisión de cuándo
ordenar.

Ahora que sabemos cuánto ordenar, deseamos
abordar la pregunta de cuándo ordenar. Para responder esta
cuestión, tenemos que introducir el concepto de
posición de inventario, que se define como la cantidad del
inventario disponible más la cantidad del inventario
ordenada o perdida. La decisión de cuándo ordenar
se expresa en función de un punto de reorden, la
posición del inventario en la cual se debe colocar un
nuevo pedido.

El fabricante de Bub Beer garantiza una entrega de dos
días de cualquier pedido colocado por R&B Beverage.
Por consiguiente, suponiendo que R&B opera 250 días
por año, la demanda anual de 104,000 cajas implica una
demanda diaria de 104,000/250 = 416 cajas. Por tanto, esperamos
que se vendan (2 días) (416 cajas por día) = 832
cajas de Bub Beer durante dos días que un nuevo pedido
tarda en llegar al almacén de R&B. En
terminología de inventario, el periodo de entrega de dos
días se conoce como tiempo de espera de un nuevo pedido y
la demanda de 832 cajas anticipada durante este periodo se conoce
como demanda de tiempo de espera. Por tanto R&B debe
solicitar un nuevo envió de Bub Beer al fabricante cuando
el inventario alcance 832 cajas. Para los sistemas de inventarios
basados en el supuesto de tasa de demanda constante y un tiempo
de espera fijo, el punto de reorden es el mismo que la demanda de
tiempo de espera. Para estos sistemas, la expresión
general para el punto de reorden es como sigue:

r = dm

Donde:

r = punto de reorden

d = demanda por día

m = tiempo de espera de un pedido nuevo en
días

Ahora se puede responder la pregunta de qué tan
frecuentemente se colocará el pedido. El periodo entre
pedidos se conoce como tiempo en ciclo.

Anteriormente la ecuación del costo anual de
ordenar definimos como D/Q como el número de
pedidos que se colocara por año. Por tanto D/Q* =
104,000/1824 = 57 es el numero de pedidos de Bub Beer que R&B
Beverage colocara cada año. Si R&B coloca 57 pedidos a
lo largo de 250 días hábiles, ordenada
aproximadamente cada 250/57 = 4.39 días hábiles.
Por lo tanto, el tiempo del ciclo es 4.39 días
hábiles.

Solución en el programa

• 1. Damos clic sobre el icono para abrir el programa y
  después seleccionamos "inventario", luego presionamos
  "ok".