1)
Introducción
Al comenzar el siglo XX, un especialista en
Estadística de la Guinness Breweries en Irlanda llamado
William S. Gosset deseaba hacer inferencias acerca de la media
cuando la fuera desconocida. Como a los empleados de Guinness no
se les permitía publicar el trabajo de
investigación bajo sus propios nombres, Gosset
adoptó el seudónimo de "Student". La
distribución que desarrolló se conoce como la
distribución t de Student.
Si la variable aleatoria X se distribuye normalmente,
entonces el siguiente estadístico tiene una
distribución t con n – 1 grados de libertad.
Esta expresión tiene la misma forma que el
estadístico Z en la ecuación para la
distribución muestral de la media con la
excepción de que S se usa para estimar la
desconocida.
Entre las principales propiedades de la
distribución t se tiene:
En apariencia, la distribución t es muy similar a
la distribución normal estandarizada. Ambas distribuciones
tienen forma de campana. Sin embargo, la distribución t
tiene mayor área en los extremos y menor en el centro, a
diferencia de la distribución normal. Puesto que el valor
de es desconocido, y se emplea S para estimarlo, los valores t
son más variables que los valores Z.
Los grados de libertad n – 1 están directamente
relacionados con el tamaño de la muestra n. A medida que
el tamaño de la muestra y los grados de libertad se
incrementan, S se vuelve una mejor estimación
de y la distribución t gradualmente se acerca a la
distribución normal estandarizada hasta que ambas son
virtualmente idénticas. Con una muestra de 120 o
más, S estima con la suficiente precisión como para
que haya poca diferencia entre las distribuciones t y Z. Por esta
razón, la mayoría de los especialistas en
estadística usan Z en lugar de t cuando el tamaño
de la muestra es igual o mayor de 30.
Como se estableció anteriormente, la
distribución t supone que la variable aleatoria X se
distribuye normalmente. En la práctica, sin embargo,
mientras el tamaño de la muestra sea lo suficientemente
grande y la población no sea muy sesgada, la
distribución t servirá para estimar la media
poblacional cuando sea desconocida.
Los grados de libertad de esta distribución se
calculan con la siguiente fórmula
n-1
Donde n = tamaño de la muestra
Ejemplo: Imagínese una clase con 40
sillas vacías, cada uno elige un asiento de los que
están vacíos. Naturalmente el primer alumno
podrá elegir de entre 40 sillas, el segundo de entre 39, y
así el número irá disminuyendo hasta que
llegue el último alumno. En este punto no hay otra
elección (grado de libertad) y aquel último
estudiante simplemente se sentará en la silla que queda.
De este modo, los 40 alumnos tienen 39 o n-1 grados de
libertad.
Para leer en la tabla de la
distribución t se procede de la siguiente
manera:
Usted encontrará los valores críticos de t
para los grados de libertad adecuados en la tabla para la
distribución t. Las columnas de la tabla representan el
área de la cola superior de la distribución t. Cada
fila representa el valor t determinado para cada grado de
libertad específico. Por ejemplo, con 10 grados de
libertad, si se quiere un nivel de confianza del 90%, se
encuentra el valor t apropiado como se muestra en la tabla. El
nivel de confianza del 90% significa que el 5% de los valores (un
área de 0,05) se encuentran en cada extremo
de la distribución. Buscando en la columna para un
área de la cola superior y en la fila correspondiente a 10
grados de libertad, se obtiene un valor crítico para t de
1.812. Puesto que t es una distribución simétrica
con una media 0, si el valor de la cola superior es +1.812, el
valor para el área de la cola inferior (0,05 inferior)
sería -1.812. Un valor t de -1.812 significa que la
probabilidad de que t sea menor a -1.812, es 0,05, o 5% (vea la
figura).
2) Ejemplos
ilustrativos:
2.1) Determinar el valor crítico de t con
lectura en la tabla, Excel y Winstats en cada una de las
siguientes condiciones para
Solución:
Con lectura en la tabla
O también el área de una cola
se calcula de la siguiente manera:
Calculando los grados de libertad se
tiene:
n-1=13-1=12
En la tabla con 12 grados de libertad y
0,025 de área se obtiene un valor de t =2,1788, y por
simetría es igual también a t = -2,1788
Para realizar los cálculos en Excel
se procede de la siguiente manera:
a) Llenar los datos y hacer los
cálculos del área de una cola y de los grados de
libertad. Luego insertar función. En la casilla
seleccionar una categoría, seleccionar
Estadísticas. Seleccionar la función
INV.T.
b) Clic en Aceptar. En la ventana
Argumentos de la función, en Probabilidad seleccionar B3,
y en Grados de libertad seleccionar B6.
c) Clic en Aceptar. Los demás
cálculos se muestran en la siguiente figura:
Para resolver con Winstats se procede de la
siguiente manera:
a) Clic en Window y luego en Probability
seleccionar Student t
b) Clic en Student t
c) Maximizar la ventana de la
distribución
d) Para cambiar el color del fondo, clic en
Edit + Colors + Window background
e) Clic Window background. En la venta de
background seleccionar el color deseado, que este caso se
seleccionó el color blanco. Luego clic en Close para
cerrar la venta background.
f) Para editar lo grados de libertad, clic en Edit +
Parameter…(Parámetros). Clic en Parámetros. En la
casilla de la ventana input escribir 12. Clic en ok
g) Para calcular el valor crítico de t, clic en
Calc + Probabilities. En la ventana Student calculations, en
significanse escribir 0,025 y luego clic en critical x. Clic en
close para cerrar la ventana Student calculations.
h) Para escribir textos, clic en Btns.
Luego clic derecho en cualquier parte de la ventana y aparece la
ventana edit text. En la casilla de la ventana edit text escribir
el texto deseado.
i) Clic en ok de la ventana edit text.
Luego arrastar con el mause el texto al lugar deseado
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