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Distribución t de Student empleando Excel y Winstats



    1)
    Introducción

    Al comenzar el siglo XX, un especialista en
    Estadística de la Guinness Breweries en Irlanda llamado
    William S. Gosset deseaba hacer inferencias acerca de la media
    cuando la fuera desconocida. Como a los empleados de Guinness no
    se les permitía publicar el trabajo de
    investigación bajo sus propios nombres, Gosset
    adoptó el seudónimo de "Student". La
    distribución que desarrolló se conoce como la
    distribución t de Student.

    Si la variable aleatoria X se distribuye normalmente,
    entonces el siguiente estadístico tiene una
    distribución t con n – 1 grados de libertad.

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    Esta expresión tiene la misma forma que el
    estadístico Z en la ecuación para la
    distribución muestral de la media con la
    excepción de que S se usa para estimar la
    desconocida.

    Entre las principales propiedades de la
    distribución t se tiene:

    En apariencia, la distribución t es muy similar a
    la distribución normal estandarizada. Ambas distribuciones
    tienen forma de campana. Sin embargo, la distribución t
    tiene mayor área en los extremos y menor en el centro, a
    diferencia de la distribución normal. Puesto que el valor
    de es desconocido, y se emplea S para estimarlo, los valores t
    son más variables que los valores Z.

    Los grados de libertad n – 1 están directamente
    relacionados con el tamaño de la muestra n. A medida que
    el tamaño de la muestra y los grados de libertad se
    incrementan, S se vuelve una mejor estimación
    de y la distribución t gradualmente se acerca a la
    distribución normal estandarizada hasta que ambas son
    virtualmente idénticas. Con una muestra de 120 o
    más, S estima con la suficiente precisión como para
    que haya poca diferencia entre las distribuciones t y Z. Por esta
    razón, la mayoría de los especialistas en
    estadística usan Z en lugar de t cuando el tamaño
    de la muestra es igual o mayor de 30.

    Como se estableció anteriormente, la
    distribución t supone que la variable aleatoria X se
    distribuye normalmente. En la práctica, sin embargo,
    mientras el tamaño de la muestra sea lo suficientemente
    grande y la población no sea muy sesgada, la
    distribución t servirá para estimar la media
    poblacional cuando sea desconocida.

    Los grados de libertad de esta distribución se
    calculan con la siguiente fórmula

    n-1

    Donde n = tamaño de la muestra

    Ejemplo: Imagínese una clase con 40
    sillas vacías, cada uno elige un asiento de los que
    están vacíos. Naturalmente el primer alumno
    podrá elegir de entre 40 sillas, el segundo de entre 39, y
    así el número irá disminuyendo hasta que
    llegue el último alumno. En este punto no hay otra
    elección (grado de libertad) y aquel último
    estudiante simplemente se sentará en la silla que queda.
    De este modo, los 40 alumnos tienen 39 o n-1 grados de
    libertad.

    Para leer en la tabla de la
    distribución t se procede de la siguiente
    manera:

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    Usted encontrará los valores críticos de t
    para los grados de libertad adecuados en la tabla para la
    distribución t. Las columnas de la tabla representan el
    área de la cola superior de la distribución t. Cada
    fila representa el valor t determinado para cada grado de
    libertad específico. Por ejemplo, con 10 grados de
    libertad, si se quiere un nivel de confianza del 90%, se
    encuentra el valor t apropiado como se muestra en la tabla. El
    nivel de confianza del 90% significa que el 5% de los valores (un
    área de 0,05) se encuentran en cada extremo
    de la distribución. Buscando en la columna para un
    área de la cola superior y en la fila correspondiente a 10
    grados de libertad, se obtiene un valor crítico para t de
    1.812. Puesto que t es una distribución simétrica
    con una media 0, si el valor de la cola superior es +1.812, el
    valor para el área de la cola inferior (0,05 inferior)
    sería -1.812. Un valor t de -1.812 significa que la
    probabilidad de que t sea menor a -1.812, es 0,05, o 5% (vea la
    figura).

    2) Ejemplos
    ilustrativos:

    2.1) Determinar el valor crítico de t con
    lectura en la tabla, Excel y Winstats en cada una de las
    siguientes condiciones para

    Solución:

    Con lectura en la tabla

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    O también el área de una cola
    se calcula de la siguiente manera:

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    Calculando los grados de libertad se
    tiene:

    n-1=13-1=12

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    En la tabla con 12 grados de libertad y
    0,025 de área se obtiene un valor de t =2,1788, y por
    simetría es igual también a t = -2,1788

    Para realizar los cálculos en Excel
    se procede de la siguiente manera:

    a) Llenar los datos y hacer los
    cálculos del área de una cola y de los grados de
    libertad. Luego insertar función. En la casilla
    seleccionar una categoría, seleccionar
    Estadísticas. Seleccionar la función
    INV.T.

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    b) Clic en Aceptar. En la ventana
    Argumentos de la función, en Probabilidad seleccionar B3,
    y en Grados de libertad seleccionar B6.

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    c) Clic en Aceptar. Los demás
    cálculos se muestran en la siguiente figura:

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    Para resolver con Winstats se procede de la
    siguiente manera:

    a) Clic en Window y luego en Probability
    seleccionar Student t

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    b) Clic en Student t

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    c) Maximizar la ventana de la
    distribución

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    d) Para cambiar el color del fondo, clic en
    Edit + Colors + Window background

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    e) Clic Window background. En la venta de
    background seleccionar el color deseado, que este caso se
    seleccionó el color blanco. Luego clic en Close para
    cerrar la venta background.

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    f) Para editar lo grados de libertad, clic en Edit +
    Parameter…(Parámetros). Clic en Parámetros. En la
    casilla de la ventana input escribir 12. Clic en ok

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    g) Para calcular el valor crítico de t, clic en
    Calc + Probabilities. En la ventana Student calculations, en
    significanse escribir 0,025 y luego clic en critical x. Clic en
    close para cerrar la ventana Student calculations.

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    h) Para escribir textos, clic en Btns.
    Luego clic derecho en cualquier parte de la ventana y aparece la
    ventana edit text. En la casilla de la ventana edit text escribir
    el texto deseado.

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    i) Clic en ok de la ventana edit text.
    Luego arrastar con el mause el texto al lugar deseado

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