(Ponencia presentada en el XLIII
Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana;
Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; 2010)
Resumen
Presentamos la aplicación de una sencilla
criba sobre la progresión de los números enteros
positivos impares con el fin de aplicar de manera sucesiva la
fórmula 3n+1 del algoritmo de Collatz con el que se
construyen secuencias que comienzan en algún determinado
entero positivo y concluyen en la unidad como expresión
entera última y que después, si se continúa
aplicando el algoritmo, dicha sucesión deviene en una
sucesión periódica. Al aplicar nuestra criba
llegamos a una "supra/razón" que nos permite determinar un
límite a la fórmula 3n+1.
Abstract: We present the implementation of a simple
screening on the progression of positive odd integers to
successively apply the formula 3n+1 Collatz algorithm to
construct sequences that start at any given positive integer and
conclude in the last entire unit as an expression and then, if it
continues to implement the algorithm, such succession becomes a
regular succession. By applying our screening we reached a supra
/ reason "that allows us to determine a limit to the formula
3n+1.
Expresiones clave: algoritmo, criba,
configuración modular, iteración, Conjetura de
Collatz, números "granizo", supra/razón,
ecuación de Pell, función C(n) números de la
forma 4n+1, primos gemelos.
Key Terms: algorithm, sieve, modular design, iteration,
Collatz Conjecture, numbers "hail", supra/reason, Pell
equation, function C (n) numbers of the form 4n+1, twin
primes.
La Conjetura de
Collatz
Collatz formuló esta hipótesis en 1937 a
la que también se le conoce con los nombres de: Problema
3n+1; Cartografía 3x+1; Algoritmo de Hasse; Problema de
Kakutani; Algoritmo de Syracuse; Conjetura de Thwaites y Problema
de Ulam.
Para darnos una idea de lo que significa esta conjetura,
imaginemos una nube en la que se está formando granizo.
Cada una de las bolitas de hielo del granizo presenta una
dinámica muy peculiar: describen dentro de esa nube una
trayectoria única con un determinado grado de complejidad
antes de precipitarse a la superficie terrestre.
Pues bien, cuando formamos alguna secuencia de Collatz,
de acuerdo con el procedimiento que este matemático
sugirió, resulta que los estudiosos de esta Conjetura
dicen que existe alguna similitud entre el desarrollo de estas
secuencias y el comportamiento de los granizos dentro de la nube.
Es por ello que a los elementos de cualquier secuencia de Collatz
se les denomina "números granizo." Esta
denominación no significa que los matemáticos
estudiosos de estas secuencias estén interesados en
algún fenómeno meteorológico, incluido el de
la formación de granizo; se trata de una
denominación puramente descriptiva.
El verdadero interés por la Conjetura de Collatz
es el de las propiedades especiales que presentan los
números enteros positivos al ser "expuestos" a las reglas
del procedimiento de Collatz consistente en un sencillo algoritmo
que subraya la posibilidad de que cualquier número entero
positivo, igual o mayor que 3, configure una secuencia que
exprese al número "1" (la unidad) como el elemento entero
último y límite de su conjunto.
La dificultad al abordar este problema estriba en que
cualquier secuencia de Collatz presenta un "desarrollo" la
mayoría de las veces aparentemente caótico y por lo
tanto irreductible pero que, al final, se "colapsa" en la unidad;
momento en el que la secuencia su vuelve periódica.
"Caótico" es la otra etiqueta que justifica el uso de la
expresión "números granizo" para calificar el
desarrollo de la secuencia de Collatz (la llegada a tierra de los
granizos es análoga a la llegada de la sucesión al
valor "1").
El algoritmo propuesto por Collatz básicamente
ordena: "si se hace presente un número impar,
tríplicalo y al producto súmale la unidad; si se te
presenta un número par divídelo por dos;
continúa este procedimiento hasta que se exprese la
unidad".
Un ejemplo de esto es:
Sea el número 6: el número 6 es par y por
lo tanto lo divido entre 2; el cociente resultante es 3, como
éste es impar lo triplico y le sumo 1, resulta 10. El
número 10 es par; lo divido por 2 y resulta 5. El
número 5 es impar; lo triplico y le sumo 1, resulta 16. El
número 16 es par; lo divido por dos y resulta 8. El
número 8 es par; lo divido por dos y resulta 4. El
número 4 es par; lo divido por 2 y resulta 2. El
número 2 es par y lo divido por 2, el resultado es 1. Fin
del proceso.
Si expresamos el resultado del anterior proceso como un
determinado conjunto sería así:
que se lee: "la secuencia de Collatz que comienza en 6 y
termina en 1 es igual al conjunto 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1".
Los interesados en estas secuencias creen que es útil
expresar el número de pasos (iteraciones) que se
invirtieron para llegar al número 1; en el anterior
ejemplo se invirtieron 8 pasos (el primer elemento no se cuenta
por ser el número entero que da inicio a la
aplicación del algoritmo). (Nuestros lectores pueden
intentar aplicar lúdicamente este procedimiento
apoyándose en el uso de alguna calculadora; pueden jugar a
"las carreras de números": de entre un conjunto de
números elegir algunos al azar, apostar al que creamos que
será el primero en llegar al número 1).
Algunos han visto en la Conjetura de Collatz una manera
diferente de ver el "problema de la detención" propuesto
por Alan Türing; hecho que no es muy alentador para los que
se centran en el número de pasos de la aplicación
del algoritmo de Collatz hasta llegar a la unidad pues el
problema de la detención se ha rebelado "indecidible"
(1), o sea que no es posible determinar lógicamente
en cuántos pasos, a partir de un determinado número
entero, llegará una secuencia hasta expresar el
número 1.
Plan de
trabajo
Nuestro tema de estudio es, pues, la Conjetura de
Collatz que podemos enunciar así: todo número
entero, al ser sometido a las reglas del Algoritmo de Collatz,
generará un conjunto que expresará como elemento
último (antes de volverse periódico) la unidad (el
número 1).
Recordemos que una conjetura es una hipótesis,
una explicación plausible acerca de un fenómeno que
de repente nos parece inexplicable; los matemáticos
intentan someter las hipótesis al riguroso escrutinio de
poderosos procedimientos lógicos (demostraciones) con el
fin de determinar su veracidad o falsedad.
En el caso de la Conjetura de Collatz, por ser una
hipótesis de "difíciles asideros", debemos
encontrar la manera de "acorralar" las posibles excepciones que
den al traste con su supuesta veracidad o bien que se determine
que no hay excepción alguna y por lo tanto se le dé
el "status" de teorema (una verdad matemática).
En este trabajo, a través de un procedimiento
sencillo (un algoritmo), intentamos llegar a una expresión
que nos permita establecer (intento de "acorralamiento") una
razonable relación entre una forma de trabajar
exclusivamente con números impares (a la que se le llama
"Función de Collatz") y ciertos números que al
determinar su raíz cuadrada dan como resultado un
número entero (a este tipo de números se les llama
"cuadrados perfectos" y fueron estudiados por un
matemático llamado Fermat quien descubrió y
demostró que al sumarles la unidad a éstos es
posible obtener infinitos números primos). Recordemos que
los números primos son esenciales para comprender la
naturaleza y las relaciones existentes entre los números
enteros y son imprescindibles para ocultar (codificar), por
motivos de seguridad, información vital para la
sobrevivencia de empresas y hasta de Estados
Nacionales.
Creemos que con nuestra propuesta es posible mejorar
nuestras posibilidades, para encontrar alguna posible
excepción, en un conjunto de números: este conjunto
es el que está compuesto por los números primos que
resultan de sumar un múltiplo de cuatro con la unidad y,
de éstos, solamente aquéllos que a su vez son
resultado de la suma de números primos gemelos más
la unidad (estos últimos, hagamos memoria, son
aquéllos primos que guardan entre sí una distancia
de apenas dos unidades y cuya infinitud de su conjunto aún
está por ser demostrada).
Trabajando con
módulos
Una manera de trabajar con una gran cantidad de
números a la vez consiste en ordenarlos en líneas y
en columnas; de este modo, decimos que cada columna se compone de
números que son "congruentes" entre sí porque al
dividirlos por algún número dígito (1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 o 9) siempre arrojan como resultado el mismo
residuo. Al proceder así, decimos que trabajamos con
Aritmética Modular. Trabajar por módulos es como
pasar los números por un cedazo (coladera, criba) para que
solamente queden "atrapados" en nuestra red aquellos
números que son útiles para nuestros
fines.
Otro recordatorio útil: las secuencias progresan
de acuerdo con una razón; cuando la secuencia es
presentada de manera horizontal la razón es única;
por ejemplo la secuencia aritmética 2, 4, 6, 8…
progresa en razón de dos unidades o sea de "dos en dos"
(2, 2); o la secuencia geométrica 1, 2, 4, 8, 16…
que progresa en razón de duplicaciones o sea de "doble en
doble" (2n, 2n). Hay otras secuencias cuya razón es menos
intuitiva como la Secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21… o alguna de las secuencias de Collatz. Ahora bien,
cuando presentamos de manera modular alguna secuencia observamos
que de manera horizontal se conserva su razón
única, pero se agrega la razón con la que crece
cada columna (llamémosla razón vertical):
observemos el siguiente ejemplo que presenta modularmente al
conjunto de los números impares precisamente con el que
daremos inicio en la aplicación de nuestra
criba:
Los puntos entre paréntesis representan la
infinitud del conjunto de cada columna. Observemos que de manera
horizontal la razón es "de dos en dos", en cambio, de
manera vertical, los conteos son en razón "de diez en
diez".
Sostenemos que, con base en estas razones (la
"horizontal" y la "vertical") podemos determinar otra
razón derivada de ellas (es decir, una súper
razón o "supra/razón") con la que podamos descubrir
"propiedades ocultas" (no evidentes) y que nos permita, a su vez,
seguir descubriendo relaciones más complejas entre los
números de ese conjunto (podríamos decir que
deseamos tener una criba que filtre de manera "más fina").
En el caso del cuadro 1, la supra/razón sería la de
"dos sobre diez" (2/10) o, en su forma equivalente, la de "uno
sobre cinco" (1/5). Para las secuencias que crecen de acuerdo con
razones "sencillas" esto no es tan relevante (decimos que esto es
trivial) pero para aquéllas que presentan un
"comportamiento" más complejo (como la que presentan
cualquiera de las secuencias de Collatz que, presumimos,
conforman un "conjunto infinito de conjuntos") estas
"supra/razones" son vitales.
Por falta de espacio, no podemos mostrar todas la
presentaciones modulares resultantes de aplicar nuestra criba (el
Algoritmo de Collatz), baste con una descripción mediante
los siguientes incisos:
a) Como cada uno de los elementos del cuadro 1
son impares, multipliquémoslos por tres y
sumémosles la unidad (3n+1)…b) Se obtiene una nueva presentación
modular de números pares, por lo que cada uno de ellos
los dividimos por dos…c) Al hacer esto, resulta otra
presentación modular que muestra, de manera alterna,
valores pares e impares)…d) Confeccionamos otra presentación
modular tan solo con los impares de este conjunto para seguir
aplicando la fórmula 3n+1 y desechemos los
pares…e) Aplicamos de manera sucesiva el
procedimiento descrito desde el "inciso /a/ al /d/" hasta
llegar, digamos a la octava representación modular de
números impares, (si se quiere, pueden ser
más)…f) Debido a que nos quedamos solamente con las
presentaciones modulares que contienen exclusivamente
números impares; consideremos el primer elemento de
cada una de estas presentaciones modulares y determinemos una
nueva sucesión, a saber: 1, 5, 17, 53, 161, 485,
1457…, como se ve, esta nueva sucesión
resultante progresa rápidamente de acuerdo con la
razón 3n+2.g) Ahora determinemos las distancias entre los
elementos de esta sucesión (las distancias entre los
elementos de este conjunto se muestran entre
paréntesis) y son: 1 (4) 5 (12) 17 (36) 53 (108) 161
(324) 485 (972) 1457… veamos por separado estas
distancias: 4, 12, 36, 108, 324, 972… estas
diferencias progresan mediante la razón 3n.
Entendemos, de esta manera, que las sucesiones de Collatz son
en realidad una manera de presentar progresiones
geométricas que crecen en razón de
triplicaciones, es decir de "triple en triple" (3n, 3n) pero
que, al agregarle la unidad, hacemos que se comporte de una
manera extraña: mediante términos coloquiales
podemos afirmar que el algoritmo propuesto por Collatz
"obliga" a la progresión geométrica (que se
incrementa a razón de 3n en 3n) a "comportarse" al
agregar la unidad, como una progresión
geométrica que se "decremente" a razón de 2n en
2n y, por tal motivo, apostamos a que cuando se aplica el
mencionado algoritmo, siempre queda al final expresada la
unidad (el "1").h) Retomemos la progresión 1, 5, 17, 53,
161, 485, 1457…, (tengamos presente que cada uno de
estos elementos son los que dan inicio a las secuencias que
ordenamos en configuraciones modulares de cinco columnas) que
puede ser ordenada, a su vez, en columnas mediante el
siguiente cuadro 6:
Aquí tenemos valores que al restarles la unidad
se convierten en múltiplos de 4.
Observamos que los elementos de cada columna progresan
en función de la fórmula 81n+80 y por esa
razón los valores sucesivos crecen muy
rápidamente.
La razón que expresa este crecimiento
horizontal/vertical es 3n+2/81n+80, una "supra/razón" que
señala el límite de la expresión 3n+1.
(2)
i) Al aplicar la función
3n+1 a los valores del anterior cuadro 2, obtenemos el
siguiente nuevo cuadro 3:
Reparemos en el hecho de que (al dividir entre dos los
elementos de cada columna del anterior cuadro 3) siempre
obtenemos un número par; esto significa que nuestro
procedimiento ha encontrado un límite debido a que no
encontramos cociente impar alguno; en otras palabras: los
mencionados elementos del anterior cuadro 3 son múltiplos
de cuatro. De querer seguir, tendríamos que dividir estos
elementos entre cuatro para que alguno de ellos exprese un
cociente impar; debido a que esto rebasa nuestro algoritmo,
debemos detenernos hasta aquí (3).
Así, los elementos de los cuadros 2 y 3, crecen
según las supra/razones 3n+2/81n+80 y 3n+4/81n+160
respectivamente.
j) Ahora operemos con la primera
supra/razón inmediatamente arriba expuesta 3n+2/81n+80
(con la misma que crecen los elementos del cuadro 2)
considerando los valores de la sucesión de
números impares 1, 3, 5, 7… (con los que dio
inicio nuestra aplicación) y con ella configuremos un
cuadro como el siguiente:
En este cuadro 4 la sucesión 3n+2
progresa de 6 en 6.
En cambio la sucesión: 161, 323, 485, 647, 809,
971, 1133, 1295, 1457, 1619, 1781…, es más compleja
en cuanto a su crecimiento pues obedece a una ecuación
especial conocida como "Ecuación de Pell" (o, para ser
justos, Ecuación de Brouncker) y que, coloquialmente
plantea la pregunta: ¿cuáles son los cuadrados
perfectos, uno de los cuales es multiplicado por un número
no cuadrado perfecto, cuya diferencia es la unidad?
(4)
Como podemos observar nuestra razón 3n+2/81n+80
relaciona, por un lado, la función C(n) que, como vimos,
es una función iterativa de Collatz que solamente aplica a
números impares y, por el otro lado, con los cuadrados
perfectos a través de la ecuación de
Pell/Brouncker; pero aún más importante: relaciona
los valores de 81n+80 con la "unidad" (el número "1") tan
relevante para la veracidad de la conjetura de
Collatz.
k) Consideremos ahora las razones presentadas en el
cuadro 4:
5/161; 11/323; 17/485; 23/647; 29/809;
35/971; 41/1133; 47/ 1295; 53/1457; 59/1619;
65/1781…
Notamos que tanto los numeradores como los denominadores
son números de la forma 6n-1; es decir, que si les
agregamos la unidad son divisibles por 6 tal y como se muestra en
el siguiente cuadro 5.
También observamos que tanto los
numeradores como los denominadores son números de la forma
4n±1, alternándose los valores -1, +1, en la
secuencia. Veamos el siguiente cuadro 6.
Esto cuadros en conjunto nos dicen que hay valores que
son tanto de la forma 6n-1 como de la forma 4n+1y nos llevan a
sospechar que de haber alguna excepción a la conjetura de
Collatz, ésta debiera buscarse en el conjunto de los
números primos de la forma 4n+1 o primos que son resultado
de sumar dos cuadrados perfectos (5), pero no en
cualquiera de este tipo de números primos sino en
aquéllos y solamente aquéllos que son resultado de
la suma de dos primos gemelos más la unidad, o bien, de
manera genérica:
En este trabajo nos hemos centrado en la tarea de
señalar en dónde hay que buscar alguna
excepción a la Conjetura de Collatz, si es que la hay; sin
embargo, bajo riesgo de parecer aún más ingenuos en
nuestras afirmaciones, sospechamos que no hay excepción
alguna en esta conjetura y que, por lo tanto, es verdadera. En el
artículo que presentamos para la revista Aleph
Zero (hosting.udlap.mx) Fibonacci y las Tarjetas de
Crédito (7) sugerimos una alternativa para
mejorar la seguridad de las tarjetas de crédito; en ese
lugar observamos que la suma exhaustiva de los dígitos de
cualquier número tenía como límite alguno de
los elementos del conjunto de los números dígitos y
propusimos las siguientes secuencias a partir de esos
límites (ver el siguiente cuadro 7).
Exceptuando a los números dígito 3, 6 y 9,
partir del dígito 5 de los "números de control" se
vuelve periódico desde el "1" como en la llamada secuencia
de Pitoun (1,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1, 2,4,8,7,5,1,
2,4,8,7,5,1…) (8)
Básicamente esta secuencia se obtiene mediante un
procedimiento sencillo que combina la suma exhaustiva de los
dígitos de un número y la secuencia de Fibonacci,
tal y como se muestra en el siguiente ejemplo:
1 es 1, por lo tanto 11; 1 más 1 es igual a 2,
por lo tanto 112; 1+1+2-4; por lo tanto 1124…
1+1+2+4-8, por lo tanto…
11248; 1+1+2+4+8-16, 1+6-7, por lo
tanto…
112487; 1+1+2+4+8+7-23, 2+3-5, por lo
tanto…
1124875; 1+1+2+4+8+7+5-28, 2+8-10; 1+0-1, por lo
tanto…
11248751. Fin.
Ahora observemos algo: la secuencia de
Collatz que genera, por ejemplo, el número 7 es: 7, 22,
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Por lo
menos los siete últimos elementos que subrayamos de esta
secuencia se identifican de manera regresiva con
1248751…
Pues (10)? 1+0=1; (5)?5; (16)? 1+6=7;
(8)?8; (4)?4; (2)?2 y por último (1)?1
Puestas en orden, las implicaciones
quedarían así: 1,5,7,8,4,2,1 que son imagen de
1248751 pero sin comas.
Por último cerremos con el siguiente
planteamiento de Bos y Sands de la Universidad de Calgary (en la
fuente se proponen varias soluciones pero nosotros solamente
presentamos una de ellas por su relación con nuestro
estudio; los subrayados son nuestros):
1540. [1990: 110] Proposed by Len Bos
and Bill Sands, University of Calgary.
Básicamente este planteamiento lo
que propone es trabajar con módulos para definir
secuencias cuando una determinada variable es un número
impar o par; pero resaltemos el parecido sorprendente de este
planteamiento de Bos y Sands con la Cartografía 3x+1 (la
Conjetura de Collatz) y más aún sorprendente es
(por lo menos para nosotros) la solución que ofrece para
< 2n modulo 9 > : 1;2;4;8;7;5;1…
Podemos concluir que la Conjetura de Collatz es una de
las hipótesis más sencillas de plantear pero, al
igual que otras, muy difíciles de demostrar pues enlaza
por lo menos con otros dos planteamientos aún sin
resolver: la Conjetura Binaria de Goldbach y la Infinitud del
Conjunto de Números Primos Gemelos.
Autor:
Mario Peral Manzo.
Universidad Pedagógica Nacional
(Unidad 152, Atizapán)
____________
Notas:
(1) En Wikipedia se afirma: "El problema de
la parada o problema de la detención para
Máquinas de Turing consiste en lo siguiente: dada
una Máquina de Turing M y una palabra
w, determinar si M
terminará en un número finito de pasos cuando es
ejecutada usando w como dato de entrada. Alan
Turing, en su famoso artículo "On Computable Numbers,
with an Application to the Entscheidungsproblem"
(1936), demostró que el problema de la parada de la
Máquina de Turing es indecidible, en el sentido de
que ninguna máquina de Turing lo puede resolver." En
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_parada (Visita
del 10 de junio de 2010 a las 15:20 horas).
(2) Relation to C(n) = Collatz function
iteration using only odd steps: If we look for record
subsequences where C(n)>n, this subsequence starts at 2^n-1
and stops at the local maximum of 2*3^n-1. Examples:
[3,5],[7,11,17],[15,23,35,53],…,[127,191,287,431,647,971,1457],…
– Lambert Klasen (lambert.klasen(AT)gmx.net), Mar 11
2005
[…] AUTHOR Clark Kimberling
(ck6(AT)evansville.edu) Ver
http://translate.google.com.mx/translate?hl=es&sl=en&u=http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html&ei=TPMTTPDdKsyNnQfsl4CODA&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=2&ved=0CCUQ7gEwAQ&prev=/search%3Fq%3DThe%2BOn-Line%2BEncyclopedia%2Bof%2BInteger%2BSequences%26hl%3Des%26sa%3DG
(visita del 12 de junio a las 15:15 horas). En este mismo lugar
se afirma de manera literal: "El número de
triángulos (de todos los tamaños, incluyendo los
agujeros), en el triángulo de Sierpinski inscripciones
después de n. – Lee Reeves (leereeves (AT) fastmail.fm),
10 de mayo 2004" [sic]. Es notable que esta secuencia se refiera
a ese objeto fractal. (Visita del 11 de junio de 2010 a las 16:00
horas.)
(3) Ver Mario Peral Manzo. Replanteamiento
de la Conjetura de Goldbach en
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ContribucionesV8_n1_2007/Replanteamiento_de_la_Conjetura/index.html
(visita del 11 de junio de 20010 a las 17:00 horas). Para los
lectores interesados, se les propone que intenten encontrar
números primos de la forma 4n+1 sumándoles la
unidad a cada uno de esos valores (4n+1). Recordemos que este
tipo de primos (estudiados por Fermat) se asocian a los
"cuadrados perfectos" que a su vez se asocian a los
números primos gemelos.
(4) "COMMENT
If A=[A157953] 81*n.^2-n
[sic] (80, 322, 726, ,.,); Y=[A010857] 18 (18, 18, 18,
,.,); X=[A157954] 162*n-1 (161, 323, 485, .,), we have, for all
terms, Pell's equation X^2-A*Y^2=1. Example: 161^2-80 *18^2=1;
323^2-322*18^2=1; 485^2-726*18^2=1.
[…]AUTHOR Vincenzo
Librandi (vincenzo.librandi(AT)tin.it), Mar 10
2009"
Ver http://www.research.att.com/~njas/sequences/A157954
(visita del 12 de junio de 2010 a las 16:35 horas)
(5) Fermat se interesó en este tipo de
números y demostró que los primos de la forma 4n+1
son resultado de la suma de dos cuadrados perfectos y son
infinitos.
(6) En "hojamat.es" encontramos:
(…)
-Todo número primo mayor que 3
es de la forma 6n+1 o de la forma 6n-1- Todo número primo
mayor que 2 es de la forma 4n+1 o de la forma
4n-1
Un número primo tiene las
siguientes propiedades respecto a una suma de
cuadrados:
Un número primo es suma de
cuadrados de dos números naturales si y sólo si
es de la forma 4n+1.El producto de dos números
que son suma de cuadrados también es otra suma de
cuadrados, en virtud de la identidad(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac-bd)2 +
(ad+bc)2Por tanto el producto de potencias
de números del tipo 4n+1 también equivale a una
suma de cuadrados.Si una suma de cuadrados se
multiplica por otro cuadrado, resulta una nueva suma de
cuadrados:(a2 + b2)c2 = (ac)2 +
(bc)2De las propiedades anteriores se
deduce que son suma de cuadrados los números que
contienen factores primos del tipo 4n+1 y factores de otro
tipo cualquiera pero con potencia par.
Consultar
http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/teoria/teordivi.htm
(visita del 20 de junio de 2010 a las 20:00 hrs.)
(7) Ver
http://hosting.udlap.mx/profesores/miguela.mendez/alephzero/archivo/historico/az56/credito56.html
(visita del 20 de junio de 2010 a las 21:30 hrs.)
(8) Ver
http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=1%2C2%2C4%2C8%2C7%2C5&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search
Pitoun's sequence: a(n+1) is digital root
of a(0)+…+a(n).
COMMENT
If the initial 1 is omitted, this is
2^n mod 9. – N. J. A. Sloane
(njas(AT)research.att.com).
Except for the initial term, also the
digital root of 11^n. Except for the initial term, also the
decimal expansion of 125/1001. Except for the initial term, also
the digital root of 2^n. – Cino Hilliard
(hillcino368(AT)gmail.com), Dec 31 2004
FORMULA
a(n) = digital root of 2^(n-1) in base
10 = 2^(n-1) (mod 9). – Olivier Gerard
(olivier.gerard(AT)gmail.com), Jun 06 2001
For n>0: a(n+6)=a(n) and
a(n)=A007612(n+1)-A007612(n)=A010888(A007612(n)). – Reinhard
Zumkeller (reinhard.zumkeller(AT)gmail.com), Feb 27
2006
a(n)=(1/30)*{19*(n mod 6)+14*[(n+1) mod
6]-11*[(n+2) mod 6]-[(n+3) mod 6]+4*[(n+4) mod 6]+29*[(n+5) mod
6]}-4*[C(2*n,n) mod 2], with n>=0 [From Paolo P. Lava
(ppl(AT)spl.at), Mar 04 2010]
EXAMPLE
1+1+2+4+8+7+5 = 28 -> 2+8 = 10 ->
a(7) = 1.
(9) Ver. R.E. WOODROW. The Olimpiad Corner.
En revista Crux Mathematicorum (vol.17, núm. 1,
enero 1991) en
http://pds13.egloos.com/pds/200904/04/93/a0100793_crux1991-all.pdf
(visita del 20 de junio de 2010 a las 23:40 hrs). Sería
interesante para el lector leer las diversas soluciones que dan
algunos matemáticos al planteamiento; son realmente
inspiradoras.