El sentido de la matemática escolar (página 2)

Partes: 1, 2

Así llamamos hoy en día a esas
cantidades:

9 – 6 – 8

Esta manera de trabajar los números se conoce
como Números figurados de Pitágoras. El 9
era, para él un número cuadrado, el 6 un
número triangular y 8 un número
rectangular.

Números
cuadrados

Pitágoras llamó cuadrados a estos
números, es decir, a estas cantidades de piedritas.
Él lo hacía simplemente porque evocaban la forma de
un cuadrado. Con esta idea, que parece tan simple, él
hacía aritmética y estudiaba los números.
Veamos, por ejemplo, estos números cuadrados en la
propiedad del
teorema que lleva su nombre.

Las cantidades que Pitágoras llamó
números cuadrados, al escribirlos en sistema decimal,
son números como los que siguen.

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144,
etcétera.

Números cuadrados y el teorema de
Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice:

En todo triángulo rectángulo, la suma
de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa.

La propiedad pitagórica habla de cuadrados, que
son los que aparecen en la figura. Dice que si hay tres cuadrados
de los cuales uno tiene una superficie igual a la suma de las
superficies de los otros dos entonces, con los lados de los tres
cuadrados se puede trazar un triángulo que,
necesariamente, es rectángulo. Si no se diera esa
condición entre las superficies de los cuadrados, o no se
podría armar un triángulo o no sería
rectángulo.

Pensemos ahora esta propiedad de los triángulos con los números cuadrados
de Pitágoras.

El paso de los
números cuadrados por la escuela

El contenido de este artículo es cómo
llegó a nosotros esta idea de los números cuadrados
de Pitágoras con el paso por la escuela a
través de los tiempos. Analicemos el ejemplo del siguiente
número cuadrado.

A este número cuadrado nosotros lo llamamos
veinticinco. ¿Por qué? Porque, como nuestro sistema
de numeración es decimal, para contar esa cantidad de
piedritas vamos armando decenas (montones de diez). Este
número cuadrado tiene dos decenas y sobran 5 unidades
sueltas. A esto lo llamamos 25.

Por otra parte, como el número cuadrado 25, tiene
5 piedritas de ancho y 5 de alto, 25 se puede pensar como el
resultado de multiplicar 5 por 5.

25 = 5 x 5

Como esta multiplicación tiene dos factores
(números que se multiplican) iguales: 5 y 5, se suele
reemplazar esa multiplicación por una potencia en la
que la base es 5 (el número que se multiplica) y el
exponente es 2 (la cantidad de veces que se
multiplica).

25 = 52

En resumen, cuando explicamos que cinco al cuadrado
es veinticinco con lo escrito en el renglón anterior,
nadie puede imaginarse que este cuadrado tiene que ver con
los cuadrados de la geometría. Esto es lo suficientemente grave
como para que los chicos, ante explicaciones
(¿explicaciones?) de ese tenor, salgan con su famoso:
"¿y esto para qué sirve?"

En realidad, si de enseñar y aprender se trata,
la estructura
lógica
de la matemática
está en condiciones de asegurar que todos los contenidos
sirven para algo y cuando en clase esas
conexiones no quedan en evidencia, casi siempre de debe a que
faltan pasos en la deducción.

Cosas que pasan en la escuela

Esta cuestión de los números cuadrados es
un ejemplo de lo que hace "la maquinaria escolar" con los
contenidos matemáticos. Toma lo que produce un
matemático (en este caso Pitágoras), desecha casi
todo el sentido común que usó para construirlo, se
queda con la fórmula final y pretende que los chicos lo
aprendan y lo usen. Sugiero que el lector se pregunte cosas
como las que siguen:

¿Conoce la estrecha relación que hay
entre el cálculo
de la raíz cuadrada y los cuadrados
geométricos?
¿Sabe usted que hay varias operaciones
división, cada una con su manera particular de
hacer la cuenta?
¿Sabía usted que los griegos llamaron
isósceles a los triángulos que tienen dos
lados iguales porque isósceles significa "piernas
iguales", haciendo así referencia a la forma de esos
triángulos?
Sabe usted que una división de fracciones
también se puede calcular con una cuenta como la que
usamos para los números enteros o decimales?
¿Conoce usted los fundamentos de la cuenta de
dividir por dos cifras? ¿Y los de la cuenta de dividir
con decimales?
¿Se preguntó alguna vez cuál es
la razón que fundamenta el mecanismo que se usa para
multiplicar fracciones?
La fórmula para calcular la superficie de un
círculo es π x
r2 , es decir, π por el
cuadrado del radio.
¿Se preguntó alguna vez qué
relación hay entre el cuadrado del radio y la
superficie del círculo?

Pero el asunto va más allá: nosotros
mismos, docentes de
hoy, también recibimos la matemática de la misma
manera en nuestro paso por la escuela como alumnos. Y nuestros
maestros, casi seguramente, también. La "maquinaria
escolar" consigue, de esta forma, transmitir la idea de que las
matemáticas tienen coherencia, solamente al
alcance de los matemáticos.

¿Y si los maestros de matemática nos
replanteamos el sentido de cada tema que llevamos a la
escuela?

Para no quedarse con la
intriga

Por si usted no conoce la respuesta de alguna de las
preguntas que aparecen más arriba, acá van,
brevemente.

¿Conoce la estrecha relación que hay
entre el cálculo de la raíz cuadrada y los
cuadrados geométricos?

Al calcular la raíz cuadrada de 49 por ejemplo,
se trata de armar, con 49 cuadraditos iguales, un cuadrado
más grande. La raíz cuadrada es la medida del
lado.

¿Sabe usted que hay varias operaciones
división, cada una con su manera particular de
hacer la cuenta?

Una cosa es la división y otra la
división entera, aunque en la escuela aparecen
como si fuera la misma operación.

¿Cuántas semanas hay en 100
días?

Corto 1 metro de cinta en 7 pedacitos
iguales. ¿Cuántos centímetros mide cada
uno?

En ambos problemas la
solución consiste en calcular una división. Sin
embargo, los resultados y aún las operaciones son
diferentes. Veamos las soluciones.

¿Cuántas semanas hay en 100
días?

Esta operación aritmética se llama
división entera. En la división entera
obtenemos como resultado dos números: uno llamado cociente
y otro, resto.

Al calcular la división entera entre 100 y 7,
obtenemos el número que multiplicado por 7 dé lo
más cerca de 100 sin pasarlo.

14 x 7 + 2 = 100

y además, 2 es menor que 7 y mayor
o igual que 0

En general, la división entera se define
así:

a % b = (c;r) / c x b + r = a y 0 ≤ r
< b

Corto 1 metro de cinta en 7 pedacitos iguales.
¿Cuántos centímetros mide cada
uno?

1 metro son 100 centímetros que, al cortar en 7
partes iguales, dividimos 100 dividido 7. Estamos calculando un
número que multiplicado por 7 dé por resultado
100.

Esta operación aritmética se llama
división. Es la operación inversa de la
multiplicación.

¿Sabía usted que los griegos llamaron
isósceles a los triángulos que tienen dos
lados iguales porque isósceles significa "piernas
iguales", haciendo así referencia a la forma de esos
triángulos?

Una persona parada
con las piernas ligeramente abiertas, vista de frente, forma
con el piso un triángulo isósceles.

Sabe usted que una división de fracciones
también se puede calcular con una cuenta como la que
usamos para los números enteros o decimales?

Sea por ejemplo calcular ¾ dividido
1/8

Un octavo está contenido 2 veces en cada
cuarto.

¿Conoce usted los fundamentos de la cuenta de
dividir por dos cifras? ¿Y los de la cuenta de dividir
con decimales?

Este asunto es demasiado extenso para este
artículo pero lo importante es saber que el algoritmo de
la división, ya sea de enteros o de decimales, tiene su
fundamento en el sistema de numeración decimal y el
hecho de que en toda división el cociente se calcula
como la cantidad de veces que se puede restar el divisor del
cociente.

¿Se preguntó alguna vez cuál es
la razón que fundamenta el mecanismo que se usa para
multiplicar fracciones?

La multiplicación es la medida de la superficie
de un rectángulo que tiene por lados los dos
números que se multiplican.

Como aprendimos en la escuela, "el de arriba por el de
arriba y el de abajo por el de abajo".

La fórmula para calcular la superficie de un
círculo es π x
r2 , es decir, π por el
cuadrado del radio. ¿Se preguntó alguna vez
qué relación hay entre el cuadrado del
radio y la superficie del círculo?