Método de las series de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales lineales y no lineales

Objetivo

Aplicar el método de Taylor para resolver
ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma
solución que proporciona la solución en series de
potencias (o de coeficientes indeterminados). Esto es, si la
solución en series de potencias arroja la solución
en una formula cerrada, se tendrá entonces que la
solución dada por los polinomios de Taylor también
entregará dicha so-lución en forma
cerrada.

Por lo tanto, en el caso de solución en puntos
ordinarios, debería de enseñarse el método
de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más
cómodo para un estudiante de ecuaciones diferenciales,
pues cuando se trabaja con solución mediante series de
potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria
siempre es un poco confuso para ellos. Sin embargo ambos
métodos son en esencia los mismos.

Veamos en que consiste cada método.

Ya que no hay funciones elementales para calcular la
integral anterior, por lo tanto no se podría escribir la
solución en forma cerrada y por consiguiente
tendríamos que conformarnos con alguna aproximación
numérica.

Apliquemos inicialmente el método de
Taylor.

Reemplazando (1.4) y (1.5) en (1.1),
encontramos

Según el autor, debe ser obvio que es más
fácil obtener valores adicionales de los coeficientes de
la serie utilizando el método de los coeficientes
indetermina-dos, que utilizando el método de las series de
Taylor. En consecuencia, dice el autor, usualmente se
empleará el método de los coeficientes
indeterminados, descartando entonces el método de las
series de Taylor.

Pero si seguimos trabajando un poco en el
ejemplo anterior, por el método de series de Taylor,
tenemos

Se observa la siguiente ley de
formación:

Nuevamente se obtiene la solución
encontrada por series de potencias:

En conclusión, el ejemplo para mostrar que el
método de la series de Taylor no produce la misma calidad
de las soluciones, no es válido. Es más, el autor
dice que el método de Taylor se adapta fácilmente a
problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más
adelante, el método funciona si lo que se quiere resolver
es una ecuación diferencial sin condiciones iniciales, con
la misma calidad de las soluciones que el método de las
series de potencias.

Solución
en series de Taylor alrededor de un punto
ordinario

Las ecuaciones diferenciales
homogéneas lineales de segundo orden de la
forma

La solución de esas ecuaciones, en general, no
pueden expresarse en términos de funciones elementales
familiares. Por lo cual utilizaremos los polinomios de
Taylor.

Definición (punto
ordinario)

Necesitaremos el próximo
teorema.

Teorema (existencia de soluciones en
series de Taylor)

incluso la ecuación de Legendre
(2) , la ecuación de Ayry (3), la
ecuación de Chebyshev (3), y la
ecuación de Hermite (5 ).

En el ejemplo siguiente se dará la
solución en series de Taylor para la ecuación (6),
la cual la haremos, sin pérdida de generalidad para el
caso

El ejemplo resultará ilustrativo, ya que
mostrará como trabajar en todos los casos.

Ejemplo 2. Encuentre la serie de
potencias en x para la solución general de

Solución:

Buscamos la solución general de la
forma

Al derivar la ecuación (2.1)
implícitamente con respecto a x, se obtiene:

Luego se encuentra que

Ejercicio.

Ejemplo 3. Encuentre la serie en
series de potencias en x para la solución general
de

Solución:

Ahora determinemos los coeficientes de las
potencias impares de x:

A partir de (8) y (9) vemos que

El siguiente ejemplo muestra que, en muchos
casos hay que conformarnos con encontrar un número finito
de términos, ya que no se tiene una formula cerrada para
los coeficientes de las soluciones en series de
potencia.

Ejemplo 4. Resolver el problema de
valor inicial mediante series de potencias

Solución:

Luego la solución del P.V.I viene
dada por

Ejemplo 5. Determinar mediante los
polinomios de Taylor la solución general de la
ecuación diferencial

Solución

Encontremos los primeros
términos.

Luego la solución del P.V.I viene
dada por

Deberá observarse que hemos hallado
dos series en una forma puramente for-mal, las cuales son
convergentes para todo x finito. Para ver que ambas son
li-nealmente independientes definimos lo siguiente:

Ejemplo 6. Resolver el problema de
valor inicial

Relalizando las multiplicaciones

Así pues,

Método series de
Taylor:

Buscamos soluciones de la forma

La misma solución dada por el
método de los coeficientes indeterminados, pero encontrada
de una forma más sencilla como puede verse.

En el ejemplo siguiente, encontraremos por
el método de Taylor , la solución de una de las
ecuaciones diferenciales importantes que aparecen en la
física.

Ejemplo 7. (La ecuación de
Legendre)

Encuentre la solución en series
Taylor alrededor de x=0 para la solución general
de

Solución:

Buscamos la solución general de la
forma

donde

Al derivar la ecuación (7.1)
implícitamente con respecto a x, se obtiene:

Derivando la ecuación (7.4) se
tiene

Continuando el proceso, se obtiene la
fórmula siguiente para k=1,2,…

O bien,

luego
continuar…………………

Ejemplo 8. Resuelva la
ecuación diferencial

Solución.

Por el método de
Taylor.

Encontremos varios valores

Entonces

En nuestro próximo ejemplo
encontraremos una situación en la cual el método de
Taylor no da ninguna solución (como es el caso cuando se
usa series de po-tencias).

Ejemplo 9. Considere la
ecuación de Euler

En el próximo ejemplo, aplicaremos el
método del desarrollo de Taylor para encontrar la
solución de una ecuación diferencial, en donde los
coeficientes de la ecuación (1) ya no son
polinomios.

Ejemplo 10. Resolver el problema de
valor inicial

Solución.

Nótese que en la ecuación
diferencial todos los puntos son ordinarios.

Derivamos nuevamente (10.3) y
reemplazamos

luego la solución general viene dada
por

Realicemos este mismo ejemplo, pero ahora
usando solución en series de potencias. Para esto
necesitamos del siguiente teorema.

Ahora ya podemos seguir con el ejemplo
anterior.

Suponemos la solución de la
forma

Ahora aplicamos el teorema anterior, para
escribir el producto de las dos series en la siguiente
forma:

Sustituyendo esta expresión en
(10.5), obtenemos

Deberá notarse que la
solución obtenida por series de potencias es más
pobre que la obtenida por Taylor.

Ejercicio . Encuentre una series de
potencias para la solución general de la ecuación
diferencial

Los próximos ejemplos tratan con
ecuaciones diferenciales no lineales.

Ejemplo 11. Encuentre la
solución en series de potencias y en series de Taylor del
problema de valor inicial

Solución.

La ecuación diferencial (11.1) no es
lineal, sin embargo, se conoce su solución mediante el uso
de

separación de variables, a
saber,

Método series de
potencias:

Suponemos que la ec. (11.1) tiene como
solución

Igualando los coeficientes,
obtenemos

Método series de
Taylor:

Repitiendo el proceso una vez

Por última vez

Notése que estamos en capacidad de
de calcular en forma recurrente los coe-ficientes de la serie
pero no somos capaces de expresar facilmente a_n
explí-citamente como función de n. De nuevo no
podemos enciontrar su radio de con-vergencia.

Pero si podemos calcular recurrentemente
tantos coeficientes de la serie como sea necesario para producir
una solución con una exactitud deseada.

Esto es lo que pasa cuando se trata de
encontrar solución en series de proble-mas no
lineales.

Ejemplo 11. Encuentre la
solución en series de potencias y en series de Taylor del
problema de valor inicial

Solución.

En este problema podemos encontrar su
solución en forma analítica como sigue:

La ecuación (12.5) resulta ser
lineal, se encuentra que el factor integrante viene a
ser

Reemplazando la condición inicial
para encontrar C, obtenemos

Ahora encontremos su solución por el
método de las series de Taylor:

Repitiendo el proceso anterior

Repetiremos el proceso unas cuantas
veces

Método de Descomposición de
Adomian.

Se deja como ejercicio resolver el mismo
problema de valor inicial con el método de las series de
potencias.

Bibilografía

1. Charles E. Robertrs Jr., Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias. Un enfoque al cálculo
numérico.Ed. Prentice-Hall Int. 1980.

2. Kreider, Kuller, Ostberg. Ecuaciones
Diferenciales. Fondo Editorial Iberoamericano. 1973.

3. Derrick W. , Grossman S. Ecuaciones
Diferenciales con Aplicaciones. Fondo Editorial Iberoamericano.
1984

4. García J. O.,Villegas G. J. ,
Castaño B. J, Sánchez C., J.A. Ecuaciones
Diferenciales. Fondo Editorial Universidad EAFIT,
2010.

Autor:

Profesor: José Albeiro
Sánchez Cano

Departamento de Ciencias
Básicas

Universidad EAFIT

2010