Cálculo de la distancia tierra-sol a partir de mediciones tomadas en ocasión de un tránsito de Venus (página 2)

2.1
Determinación de la distancia en el momento de la
observación

Supongamos que O sea el centro de la Tierra, C
el centro del Sol y V1 y V2 los centros
observados de la proyección de Venus visto desde
M1 y M2, respectivamente. Los
ángulos D1 y D2 serán las
separaciones angulares entre los centros de Venus y el Sol vistas
desde M1 y M2, respectivamente, es decir,
los ángulos de paralaxis CM1V1 y
CM2V2. Análogamente, podemos definir
los ángulos πs y
πv como las separaciones
angulares entre M1 y M2 vistas desde el Sol
y desde Venus, respectivamente, es decir, los ángulos
M1CM2 y
M1VM2.

Puesto que los cuatro puntos M1,
M2, C y V no están en el mismo plano (el caso
más común será no tener las dos
localizaciones M1 y M2 sobre el mismo
meridiano, ni la Tierra, Venus
y el Sol perfectamente alineados), la geometría del problema se complica un poco.
En la figura 2 se puede ver claramente. La distancia ∆π
entre los dos centros de Venus es precisamente la única
cantidad observable y, correspondiente a ∆π
= πv –
πs, permite calcular la
distancia al Sol.

La realización práctica de la medida de
∆π a partir de las dos fotografías se puede hacer
midiendo la posición del centro de Venus en cada fotografía
en relación a un punto de referencia en el disco solar
(una mancha, por ejemplo) y compararlo con la medida de este
disco. Las medidas sobre las fotografías se realizan en
unidades de longitud, en mm por ejemplo, y deberán
transformarse a un ángulo que se pueda obtener sabiendo la
medida del Sol.

Sean (x1,y1) y
(x2,y2) las separaciones en mm entre el
centro del disco de Venus y la mancha de referencia en las
direcciones horizontal y vertical para cada una de las
fotografías. Las separaciones en segundos de arco se
obtienen multiplicando cada una de las cantidades x1 e
y1 por el factor Ø(segundos de
arco)/Ø1(mm) y las cantidades x2 e
y2 por Ø(segundos de
arco)/Ø2(mm) donde Ø(segundos de arco) y
Ø(mm) son el diámetro del Sol expresado en segundos
de arco y en mm, respectivamente. Ø1(mm) y
Ø2(mm) tienen el mismo valor si la
escala de las
fotografías es la misma.

La distancia entre los centros de Venus en las dos
fotografías será:

∆π(segundos de arco) = [
(x2 –
x1)2+ (y2 –
y1)2 ]1/2 [1]

Si las dos fotografías se toman con dos
telescopios que proporcionan la misma escala y el disco del Sol
se sitúa exactamente en el mismo lugar de la
fotografía, entonces se puede tomar como punto de
referencia una esquina de la misma y no una mancha.
Además, en este caso Ø1(mm) =
Ø2(mm) y entonces la ecuación anterior
se puede plantear como:

∆π(segundos de arco) = [
(x2 –
x1)2+ (y2 –
y1)2 ]1/2·Ø(segons
d'arc)/Ø(mm) [1bis]

Este es el supuesto adoptado de ahora en
adelante.

http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
–
http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html

Figura 2. Posiciones de las proyecciones de Venus sobre el
disco del Sol.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher (
IMCCE )

Suponemos que rV y rT son las
distancias entre el centro del Sol y los de Venus y la Tierra,
respectivamente, en el momento t de la observación. Puesto que la
proyección d de la distancia entre M1 y
M2 en el plano perpendicular a OC es pequeña en
comparación a las distancias Tierra-Sol y Tierra-Venus,
podemos aproximar:

πs =
d/rT
πv
= d/(rT -rV)

y de aquí se deduce que:

πv =
πs
rT/(rT
-rV)
∆π = πs
(rT/(rT
-rV)-1) =
πs
rv/(rT -rV)

y por tanto,

πs =
d/rT = ∆π
(rT/rV –
1)

Esta última fórmula expresa claramente
que, conocida la distancia angular ∆π entre los dos
centros V1 y V2, y la relación
rT/rV entre las distancias
Tierra-Sol y Venus-Sol, se puede deducir la paralaxis
πs y que, conocida la
distancia proyectada d entre las dos localizaciones, se puede
deducir la distancia rT. (En todas estas expresiones
los valores
de πv,
πs y ∆π vienen
dados en radianes. Para convertirlos a segundos de arco y
hacerlos compatibles con la ecuaciσn [1],
sólo se necesita multiplicar por 64800 y dividir por el
número π).

∆π es la cantidad observable, d se puede
determinar como se explica más abajo y por
tanto, la única cantidad que falta para resolver el
problema es la relación rT/rV entre
las distancias Tierra-Sol y Venus-Sol.

Las órbitas de la Tierra y Venus en torno al Sol son
ligeramente elípticas y por tanto, la relación de
distancias rT/rV no se mantiene constante a
lo largo del tiempo. Para
saber esta relación en el instante t de observación
es necesario remitirse a la primera ley de Kepler que
dice que el Sol es uno de los focos de la elipse y que por tanto,
la distancia entre el Sol y un planeta rp(t) se
obtiene como:

rp(t)=Rp (1 – ep cos
Ep(t))

donde Rp es el semieje mayor de la
órbita, ep la excentricidad y Ep(t)
la anomalía excéntrica en el instante t.
Según esto:

rT/rv=[RT (1 –
eT cos ET)] / [RV (1 –
eV cos EV)]

La tercera ley de Kepler relaciona los semiejes mayores
de las órbitas con los períodos de revolución
Pp:

(RT / RV)3 =
(PT / PV)2

de manera que

rT/rv=(PT /
PV)2/3 (1 – eT cos
ET) / (1 – eV cos EV)
[2]

Hasta aquí, pues, hemos sido capaces de
determinar πs
y rT que son la paralaxis y la distancia
Tierra-Sol en el instante t de observación.

2.2
Determinación de la distancia media

Para determinar la distancia media Tierra-Sol
(RT) y la correspondiente paralaxis media
πo, que se relacionan
mediante el radio ecuatorial
terrestre R por:

πo
≈≈ R/RT

es necesario hacer alguna consideración
adicional:

Si se expresa la proyección d de la distancia
entre M1 y M2 en el plano normal a la
dirección Tierra-Sol en unidades del radio
ecuatorial terrestre, y la distancia Tierra-Sol en unidades de la
distancia media, tendremos:

πs = [(d/R) /
(rT /RT)] (R/RT) ≈ [(d/R)
/ (rT /RT)]
πo

El cociente rT /RT se puede
deducir de la primera ley de Kepler como:

rT/RT = 1 – eT cos
ET(t)

y por tanto, sólo nos falta
calcular d/R (ver Figura 3).

http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
–
http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html

Figura 3. Proyección de la distancia entre
M1 y M2 en el plano normal a la
dirección Tierra-Sol.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher (
IMCCE )

Haciendo el producto
vectorial entre los vectores
M1M2 y OC, obtendremos el
valor de sin θ, porque

M1M2 × OC =
|M1M2| rT sin
θ

En la figura 3 se puede ver que:

d = |M1M2| cos (90
– θ) =
|M1M2|
sin θ

y por tanto,

d = M1M2 × OC /
rT

Ahora necesitamos calcular M1M2
× OC.

Cálculo del vector OC

Este vector se puede expresar a partir de
las coordenadas ecuatoriales del Sol (α,δ) en el
instante de la observaciσn como:

x=rT cos δ cos α
y=rT cos δ sin
α
z=rT sin
δ

Cálculo del vector
M1M2

La posición de cada observador se puede expresar
como (ver figura 4):

x=R cos φ cos
(λ+TG)
y=R cos φ sin
(λ+TG)
z=R sin φ

siendo φ y λ las coordenadas
geogrαficas (latitud y longitud) del
observador y TG=TG(0) + 1.00273791 t. El
tiempo t de la observación se ha de expresar en la escala
de Tiempo Universal (TU). Para la mayoría de Europa TU =
tiempo oficial – 2h en junio.

http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
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http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html

Figura 4. Posiciones de un astro (por ejemplo el Sol) y de un
observador en la Tierra en coordenadas ecuatoriales.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher (
IMCCE )

Las coordenadas del vector M1M2 se
pueden encontrar fácilmente como:

X=x1 – x2
Y=y1 – y2
Z=z1 – z2

Ejemplo práctico

Uno de los programas
disponibles en http://serviastro.am.ub.es/venus2004/ está
basado en esta formulación y se puede utilizar como
ejemplo práctico. El segundo programa se basa
en la comparación de la duración de los
tránsitos vistos desde dos lugares diferentes.

Referencias

• http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n04b_06.htm
  (en francés)
• The solar parallax with the transit of Venus. F.
  Mignard, Observatoire de la Côte d’Azur, febrero
  2004

Por

Dra. Carme Jordi i Neub.esbot

www.am.ub.es/carne

Departamento de Astronomía y Meteorología de la
Universidad de
Barcelona
2 de junio de 2004

Serviastro.
Departamento Astronomía y Meteorología de la
Universidad de Barcelona