Abstract
In this paper we expose a sufficient and necessary
criterion so that the index of an element of a semigroup will be
1.
Lastly, we show how these results, obtained for
semigroups, can be used to prove some wellknown theorems
concerning the groups.
Introducción
A continuación examinaremos el caso contrario, es
decir cuando existen
Puesto que el conjunto N está linealmente
ordenado y cumple la condición de la minimalidad, sea m el
elemento más pequeño de M.
El número k es único puesto que en el caso
contrario m no podría ser el elemento más
pequeño de M.
Así, cuando i toma sucesivamente los valores
Para hallar el orden, el índice y el periodo de
una matriz cuadrada, en el semigrupo al cual pertenece
ésta matriz, se podría utilizar el programa
siguiente, escrito en el lenguaje VISUAL-BASIC.
Por ejemplo, si en el semigrupo M4 de las matrices
cuadradas de orden 4 se consideran las matrices
, según el programa anterior, las potencias de
estas matrices serán las siguientes:
, luego el orden, el índice y el periodo de estos
elementos son:
orden | índice | periodo | |||||||
A | 3 | 3 | 1 | ||||||
B | 3 | 2 | 2 | ||||||
C | 4 | 1 | 4 | ||||||
Para hallar el orden, el índice y el periodo de
los elementos de un anillo de clases de restos, se podría
utilizar el programa siguiente:
Por ejemplo, utilizando el programa anterior, en el
anillo de las clases de restos respecto el módulo 640, la
clase de 8 tiene el orden 6 el índice 3 y el periodo
4.
Así el lema queda demostrado.
Teorema 1:
Obviamente, de la fórmula (1) ahora resulta que
Teorema 1':
Teorema 2:
Demostración: Dos casos son posibles.
Cuando i toma sucesivamente los valores
, estos valores se repetirán indefinidamente, de
manera cíclica.
Teorema 3:
En lo sucesivo, los resultados anteriores se
utilizarán para demostrar algunas proposiciones
concernientes a los grupos.
Teorema 4:
Teorema 5:
Teorema 6:
Demostración:
Teorema 7:
Bibliografia
Frobenius G., Uber endliche Gruppen, Sitzungsber.
Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1895, 163194
A.H.Clifford and G.B.Preston, The algebraic
theory of semigroups, volume 1, & 1.6, 1964, AMERICAN
MATHEMATICAL SOCIETY.
B.Huppert, Endliche Gruppen, I, Berlin:
Springer-Verlag, 1979.
Autor:
Aladár Péter
Sántha.