Coordenadas baricéntricas de los puntos notables del triángulo (página 2)

Observación 3.10:

Si ABC no es un triangulo
rectángulo, las tangentes a la circunferencia circunscrita
al triángulo ABC (en los puntos A, B y C) se cortan en los
puntos A", B" y C" y el triángulo A"B"C" se llama el
triángulo tangencial asociado al triángulo ABC
(figura 3.15). Obviamente, la circunferencia circunscrita al
triángulo ABC es la circunferencia inscrita en el
triángulo A"B"C" y las simedianas del triángulo ABC
serán las rectas de Georgonne del triángulo
tangencial. Así, según el teorema 3.9, las
simedianas de un triángulo no rectángulo concurren
en el punto de Georgonne S del triángulo tangencial y se
llamará centro simedian o punto de Lemoine.

Lema 3.2: Si el triángulo ABC
no es rectángulo y es el triángulo tangencial asociado al
triangulo ABC,

, donde R es el radio de la circunferencia
circunscrita al triángulo ABC ..

En efecto, si M (x) significa la medida del
ángulo o del arco x (en radianes), entonces

Luego, teniendo en cuenta la igualdad de
los triángulos rectángulos

, y operando en los triángulos
rectángulos OB"C se obtiene que

La demostración de las otras
igualdades es análoga.

Teorema 3.21: Si ABC no es un
triángulo rectángulo, el punto de Lemoine L del
triángulo ABC es el baricentro del sistema de puntos
ponderados siguiente:

, donde

, o bien

Demostración: Siguiendo la
figura 3.15 y teniendo en cuenta que el punto L es el punto de
Georgonne del triángulo tangencial, según
(2.8"),

, donde, según el lema
3.2,

y

Luego,

Multiplicando los números primero con (-1) y luego, el
resultado por se
obtienen las coordenadas baricéntricas del punto de
Lemoine enunciadas en el teorema, de las dos maneras
distintas.

Teorema 3.22: Si el triangulo ABC es
rectángulo, las coordenadas baricéntricas del punto
de Lemoine se calculan de acuerdo con las implicaciones
siguientes:

Demostración: Si ABC es un
triángulo no rectángulo y entonces la posición límite
de las simedianas y del punto de Lemoine del triángulo no
rectángulo serán las simedianas y el punto de
Lemoine del triángulo rectángulo en

Multiplicando las coordenadas
baricéntricas por se obtienen las coordenadas
baricéntricas del punto de Lemoine enunciadas para el caso

En el caso se dividen las coordenadas baricéntricas
del punto de Lemoine entre y se obtienen las coordenadas
baricéntricas siguientes:

, y pasando al límite resulta
que:

Multiplicando las coordenadas
baricéntricas por se obtienen las coordenadas
baricéntricasdel punto de Lemoine enunciadas para el caso

En el caso pasando al límite en las coordenadas
baricéntricas del punto de Lemoine se obtienen las
coordenadas baricentricas siguientes:

Multiplicando las coordenadas
baricéntricas por se obtienen las coordenadas
baricéntricas del punto de Lemoine, enunciadas para el caso

Si se conocen las coordenadas de los
vértices de un triangulo, el código siguiente (en
el lenguaje Visual-Basic) puede servir para averiguar las
coordenadas de los puntos notables y el valor de algunos otros
elementos y representarlos en la pantalla de un ordenador,
según la teoría expuesta anteriormente:

Public Function PNTriangulo(ByRef a() As
Double, ByRef b() As Double, ByRef c() As Double) As
String

Dim ab As Double, ac As Double, bc As
Double, per As Double, p As Double, S As Double, swtri As
Integer

Dim q(3) As Double, X(3) As Double, y(3)
As Double, xg As Double, yg As Double, xo As Double, yo As
Double

Dim xh As Double, yh As Double, xi As
Double, yi As Double, xiA As Double, yiA As Double

Dim xe As Double, ye As Double, xLE As
Double, yLE As Double

Dim xiB As Double, yiB As Double, xiC As
Double, yiC As Double

Dim xpg As Double, ypg As Double, xpga As
Double, ypga As Double, ypgb As Double

Dim xpgc As Double, ypgc As
Double

Dim xpn As Double, ypn As Double, xpna As
Double, ypna As Double, xpnb As Double, ypnb As
Double

Dim xpnc As Double, ypnc As
Double

Dim angA As Double, angB As Double, angC
As Double

Dim angAD As Double, angBD As Double,
angCD As Double

Dim radioc As Double, radioi As Double,
riA As Double, riB As Double, riC As Double

Dim hip As String, r() As Double, rad As
Double, resultados As String, rc As String

rad = 45 / Atn(1): rc = Chr$(13) +
Chr$(10)

If (a(1) – b(1)) * (a(2) – c(2)) – (a(2) –
b(2)) * (a(1) – c(1)) = 0 Then

MsgBox "Los puntos A, B y C están
alineados. Verifique la coordenadas introducidas", 48

Exit Function

End If

X(1) = a(1): X(2) = b(1): X(3) = c(1):
y(1) = a(2): y(2) = b(2): y(3) = c(2)

'Cálculo de los lados

ab = Sqr((a(1) – b(1)) ^ 2 + (a(2) – b(2))
^ 2)

ac = Sqr((a(1) – c(1)) ^ 2 + (a(2) – c(2))
^ 2)

bc = Sqr((b(1) – c(1)) ^ 2 + (b(2) – c(2))
^ 2)

'Cálculo del
perímetro

per = ab + ac + bc: p = per /
2

'Cálculo de las cooredenadas del
centro de gravedad

xg = (a(1) + b(1) + c(1)) / 3: yg = (a(2)
+ b(2) + c(2)) / 3

' ¿El triángulo es
rectángulo?

If (a(1) – c(1)) * (b(1) – c(1)) + (a(2) –
c(2)) * (b(2) – c(2)) = 0 Then

swtri = 1: hip = "AB"

End If

If (a(1) – b(1)) * (c(1) – b(1)) + (a(2) –
b(2)) * (c(2) – b(2)) = 0 Then

swtri = 1: hip = "AC"

End If

If (b(1) – a(1)) * (c(1) – a(1)) + (b(2) –
a(2)) * (c(2) – a(2)) = 0 Then

swtri = 1: hip = "BC"

End If

'Cálculo de los
ángulos

If swtri = 0 Then

t = 0.5 * (ac * ac + ab * ab – bc * bc) /
(ac * ab)

angA = Atn(-t / Sqr(1 – t * t)) + 2 *
Atn(1)

angAD = angA * rad

t = 0.5 * (ab * ab + bc * bc – ac * ac) /
(ab * bc)

angB = Atn(-t / Sqr(1 – t * t)) + 2 *
Atn(1)

angBD = angB * rad

t = 0.5 * (ac * ac + bc * bc – ab * ab) /
(ac * bc)

angC = Atn(-t / Sqr(1 – t * t)) + 2 *
Atn(1)

angCD = angC * rad

Else

If hip = "BC" Then

angA = 2 * Atn(1): angAD = 90

angB = Atn(ac / bc): angBD = rad *
angB

angC = 2 * Atn(1) – angB: angCD = rad *
angC

Else

If hip = "AB" Then

angC = 2 * Atn(1): angCD = 90

angB = Atn(ac / ab): angB = rad *
angB

angA = 2 * Atn(1) – angB: angAD = rad *
angA

Else

angB = 2 * Atn(1): angBD = 90

angC = Atn(ab / bc): angCD = rad *
angC

angA = 2 * Atn(1) – angC: angAD = rad *
angA

End If

End If

End If

' Cálculo del
ortocentro

If swtri = 0 Then

q(1) = Tan(angA): q(2) = Tan(angB): q(3) =
Tan(angC)

xh = fx(q(), X()): yh = fy(q(),
y())

Else

If hip = "BC" Then

xh = a(1): yh = a(2)

Else

If hip = "AB" Then

xh = c(1): yh = c(2)

Else

xh = b(1): yh = b(2)

End If

End If

End If

'Cálculo del
circuncentro

If swtri = 0 Then

q(1) = bc * Cos(angA): q(2) = ac *
Cos(angB): q(3) = ab * Cos(angC)

xo = fx(q(), X()): yo = fy(q(),
y())

Else

If hip = "BC" Then

xo = (b(1) + c(1)) / 2: yo = (b(2) + c(2))
/ 2

Else

If hip = "AB" Then

xo = (a(1) + b(1)) / 2: yo = (a(2) + b(2))
/ 2

Else

xo = (a(1) + c(1)) / 2: yo = (a(2) + c(2))
/ 2

End If

End If

End If

'Cálculo del radio de la
circunferencia circunscrita

radioc = Sqr((xo – a(1)) ^ 2 + (yo – a(2))
^ 2)

'Cálculo del área del
triángulo

If swtri = 0 Then

S = Sqr(p * (p – ac) * (p – bc) * (p –
ab))

Else

If hip = "BC" Then

S = 0.5 * ab * ac

Else

If hip = "AB" Then

S = 0.5 * ac * bc

Else

S = 0.5 * ab * bc

End If

End If

End If

'Cálculo del incentro

q(1) = bc: q(2) = ac: q(3) =
ab

xi = fx(q(), X()): yi = fy(q(),
y())

'Cálculo del radio de la
circunferencia inscrita

radioi = S / p

'Cálculo de los centros de las
circunferencias exinscritas

q(1) = bc: q(2) = -ac: q(3) =
-ab

xiA = fx(q(), X()): yiA = fy(q(),
y())

q(1) = -bc: q(2) = ac: q(3) =
-ab

xiB = fx(q(), X()): yiB = fy(q(),
y())

q(1) = -bc: q(2) = -ac: q(3) =
ab

xiC = fx(q(), X()): yiC = fy(q(),
y())

'Cálculo de los radios de las
circunferencias exinscritas

riA = S / (p – bc): riB = S / (p – ac):
riC = S / (p – ab)

'Cálculo de las coordenadas del
punto de Gorgonne y de sus adjuntos

q(1) = 1 / (p – bc): q(2) = 1 / (p – ac):
q(3) = 1 / (p – ab) '''''''''''''''''''

xpg = fx(q(), X()): ypg = fy(q(),
y())

q(1) = 1 / p: q(2) = -1 / (p – ab): q(3) =
-1 / (p – ac)

xpga = fx(q(), X()): ypga = fy(q(),
y())

q(1) = -1 / (p – ab): q(2) = 1 / p: q(3) =
-1 / (p – bc)

xpgb = fx(q(), X()): ypgb = fy(q(),
y())

q(1) = -1 / (p – ac): q(2) = -1 / (p –
bc): q(3) = 1 / p

xpgc = fx(q(), X()): ypgc = fy(q(),
y())

'Cálculo de las coordenadas del
punto de Nagel y de sus adjuntos

q(1) = p – bc: q(2) = p – ac: q(3) = p –
ab

xpn = fx(q(), X()): ypn = fy(q(),
y())

q(1) = p: q(2) = ab – p: q(3) = ac –
p

xpna = fx(q(), X()): ypna = fy(q(),
y())

q(1) = ab – p: q(2) = p: q(3) = bc –
p

xpnb = fx(q(), X()): ypnb = fy(q(),
y())

q(1) = ac – p: q(2) = bc – p: q(3) =
p

xpnc = fx(q(), X()): ypnc = fy(q(),
y())

'Cálculo de centro y del radio de
la circunferencia de Euler

xe = 0.5 * (xh + xo): ye = 0.5 * (yh +
yo): Radioe = 0.5 * radioc

'Cálculo de las coordenadas del
punto de Lemoine

If swtri = 0 Then

"Caso del triángulo no
rectángulo

q(1) = -1 – Tan(angB) /
Tan(angC)

q(2) = -Tan(angB) * (Tan(angA) +
Tan(angC)) / (Tan(angA) * Tan(angC))

q(3) = -1 – Tan(angB) /
Tan(angA)

xLE = fx(q(), X()): yLE = fy(q(),
y())

Else

" Caso de los triángulos
rectángulos

If hip="BC" Then

q(1) = Tan(angB)+Tan(angC):q(2) =
Tan(angB):q(3) = Tan(angC)

End If

If hip = "AC" Then

q(1) = Tan(angA): q(2) =
Tan(angA)+Tan(angC): q(3) = Tan(angC)

End If

If hip = "AB" Then

q(1) = Tan(angA):q(2) = Tan(angB):q(3) =
Tan(angA)+Tan(angB)

End If

xLE = fx(q(), X()): yLE = fy(q(),
y())

End If

'EDICIÓN DE LOS
RESULTADOS

resultados = "Vertices del
triángulo:" + rc

resultados = resultados + "A ( " +
Str$(a(1)) + " , " + Str$(a(2)) + " ) ; "

resultados = resultados + "B ( " +
Str$(b(1)) + " , " + Str$(b(2)) + " ) ; "

resultados = resultados + "C ( " +
Str$(c(1)) + " , " + Str$(c(2)) + " )" + rc

resultados = resultados + "Longitud de los
lados:" + rc

resultados = resultados + "AB = " +
Format$(ab, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "AC = " +
Format$(ac, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "BC = " +
Format$(bc, "0.##0") + rc

resultados = resultados + "Medidas de los
ángulos" + rc

resultados = resultados + "Ángulo A
= " + Format$(angAD, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "Ángulo B
= " + Format$(angBD, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "Ángulo C
= " + Format$(angCD, "0.##0") + rc

resultados = resultados + "Coordenadas del
centro de gravedad G:" + rc

resultados = resultados + "G ( " +
Format$(xg, "0.##0") + " , " + Format$(yg, "0.##0") + " )" +
rc

resultados = resultados + "Coordenadas del
ortocentro H:" + rc

resultados = resultados + "H ( " +
Format$(xh, "0.##0") + " , " + Format$(yh, "0.##0") + " ) ; " +
rc

resultados = resultados + "Coordenadas del
circuncentro O:" + rc

resultados = resultados + "O ( " +
Format$(xo, "0.##0") + " , " + Format$(yo, "0.##0") + " )" +
rc

resultados = resultados + "Coordenadas del
incentro I:" + rc

resultados = resultados + "I ( " +
Format$(xi, "0.##0") + " , " + Format$(yi, "0.##0") + " )" +
rc

If swtri = 0 Then

resultados = resultados + "Coordenadas del
punto de Lemoine LE:" + rc

resultados = resultados + "LE( " +
Format$(xLE, "0.##0") + " , " + Format$(yLE, "0.##0") + " )" +
rc

End if

resultados = resultados + "Coordenadas de
las circunferencias exinscritas., Ia,Ib e Ic" + rc

resultados = resultados + "Ia ( " +
Format$(xiA, "0.##0") + " , " + Format$(yiA, "0.##0") + " ) ;
"

resultados = resultados + "Ib ( " +
Format$(xiB, "0.##0") + " , " + Format$(yiB, "0.##0") + " ) ;
"

resultados = resultados + "Ic ( " +
Format$(xiC, "0.##0") + " , " + Format$(yiC, "0.##0") + " )" +
rc

resultados = resultados + "Área S,
Perimetro Pm del triángulo:" + rc

resultados = resultados + "S = " +
Format$(S, "0.##0") + " ; Pm = " + Format$(per, "0.##0") +
rc

resultados = resultados + "Radio de la
circunferencia circunscrita R, redio de la circunferencia
inscrita r:" + rc

resultados = resultados + "R = " +
Format$(radioc, "0.##0") + " ; " + "r = " + Format$(radioi,
"0.##0") + rc

resultados = resultados + "Radios de las
circunferencias exiscritas, Ra,Rb y Rc:" + rc

resultados = resultados + "Ra = " +
Format$(riA, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "Rb = " +
Format$(riB, "0.##0") + " ; "

resultados = resultados + "Rc = " +
Format$(riC, "0.##0") + rc

resultados = resultados + "Coordenadas del
punto de Georgonne PG y de sus adjuntos PGa,PGb y PGc:" +
rc

resultados = resultados + "PG ( " +
Format$(xpg, "0.##0") + " , " + Format$(ypg, "0.##0") + " ) ;
"

resultados = resultados + "PGa ( " +
Format$(xpga, "0.##0") + " , " + Format$(ypga, "0.##0") + " ) ;
"

resultados = resultados + "PGb ( " +
Format$(xpgb, "0.##0") + " , " + Format$(ypgb, "0.##0") + " ) ;
"

resultados = resultados + "PGc ( " +
Format$(xpgc, "0.##0") + " , " + Format$(ypgc, "0.##0") + " )" +
rc

resultados = resultados + "Coordenadas del
punto de Nagel PN y de sus adjuntos PNa,PNb y PNc:" +
rc

resultados = resultados + "PN ( " +
Format$(xpn, "0.##0") + " , " + Format$(ypn, "0.##0") + " ) ;
"

resultados = resultados + "PNa ( " +
Format$(xpna, "0.##0") + " , " + Format$(ypna, "0.##0") + " ) ;
"

resultados = resultados + "PNb ( " +
Format$(xpnb, "0.##0") + " , " + Format$(ypnb, "0.##0") + " ) ;
"

resultados = resultados + "PNc ( " +
Format$(xpnc, "0.##0") + " , " + Format$(ypnc, "0.##0") + " )" +
rc

resultados = resultados + "Centro Ie y el
radio Re de la circunferencia de los 9 puntos de Euler:" +
rc

resultados = resultados + "Ie ( " +
Format$(xe, "0.##0") + " , " + Format$(ye, "0.##0") + " ) ;
"

resultados = resultados + "Re = " +
Format$(Radioe, "0.##0") + rc + rc

PNTriangulo = resultados

End Function

Public Function fx(ByRef q() As Double,
ByRef X() As Double) As Double

Dim suma As Double

suma = q(1) + q(2) + q(3)

fx = (q(1) * X(1) + q(2) * X(2) + q(3) *
X(3)) / suma

End Function

Public Function fy(ByRef q() As Double,
ByRef y() As Double) As Double

Dim suma As Double

suma = q(1) + q(2) + q(3)

fy = (q(1) * y(1) + q(2) * y(2) + q(3) *
y(3)) / suma

End Function

Bibliografía

N.N. Mihaileanu, Complemente de
Geometrie Sintetic?, Editura Didactica ?i Pedagogica, Bucure?ti,
1965

C. Gautier, D. Gerll, G Girard, C.
Thircé, A Warusfel, ALEPH1, GÉOMÉTRIE,
Terminale CE, Classiques Hachette, 79 Boulevard Saint-Germain,
Paris, 1975

C.Mihalescu, GEOMETRIA ELEMENTELOR
REMARCABILE, Editura Tehnica,, Bucure?ti,
1957.

Autor:

Aladár Péter
Sántha