Regla General y Particular de la Multiplicación de Probabilidades
Regla general para
eventos dependientes
Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la
ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B,
entonces, dicha probabilidad de calcula empleando la siguiente
regla:
Nota:
La probabilidad del evento B, calculada bajo la
suposición de que el evento A ha ocurrido, se denomina
probabilidad condicional de B, dado A, y se denota por P
(B/A).
Ejemplos ilustrativos
1) De una baraja estándar de 52 cartas sea
A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B
sacar un As en la segunda extracción. Calcular la
probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolver
la carta extraída.
Solución:
A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A
afecta la probabilidad de ocurrencia de B.
La probabilidad de que la primera carta sea un As
es:
Reemplazando los anteriores valores en la regla general
de la multiplicación de probabilidades para eventos
dependientes se obtiene:
2) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja
estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón
rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey de
corazón rojo en dos extracciones sin devolver la carta
extraída.
Solución:
A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A
afecta la probabilidad de ocurrencia de B.
La probabilidad de que la primera carta sea un As
es:
Reemplazando los anteriores valores en la regla general
de la multiplicación de probabilidades para eventos
dependientes se obtiene:
3) En una clase de 50 alumnos, 10 alumnos tienen
como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15
prefieren solamente Estadística y 5 no tienen preferencia
por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de
un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia
por
4.1) Matemática y Estadística.
4.2) Estadística y Matemática
Solución:
Realizando un diagrama de Venn-Euler se
obtiene:
Simbología:
S = espacio muestral
A= Matemática
B = Estadística
a = Solamente Matemática
b = Solamente Estadística
c = Matemática y Estadística
d = Ninguna de las dos asignaturas
Datos y cálculos:
a = 10
b = 15
c = S – a – b – d = 50 – 10 – 15 – 5 = 20
d = 5
S = 50
4.1) Matemática y Estadística.
O también, observando el diagrama de
Venn-Euler se tiene directamente la probabilidad
solicitada:
La suposición de que el alumno seleccionado tenga
preferencia por Matemática significa que sólo
consideremos el conjunto A, de los 30 elementos de A, sólo
20 tienen preferencia por Estadística. Por lo tanto la
probabilidad condicional P(B/A) = 20/30 = 2/3
O también, observando el diagrama de Venn-Euler y
aplicando la fórmula de la probabilidad condicional se
tiene:
Reemplazando valores en la regla de la
multiplicación para eventos dependientes se
obtiene:
4.2) Estadística y Matemática.
O también observando el diagrama de
Venn-Euler se tiene directamente la probabilidad
solicitada:
La suposición de que el alumno seleccionado tenga
preferencia por Estadística significa que sólo
consideremos el conjunto B, de los 35 elementos de B, sólo
20 tienen preferencia por Matemática. Por lo tanto la
probabilidad condicional P(A/B) = 20/35 = 4/7
Reemplazando valores en la regla general de la
multiplicación:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
Notas:
En los eventos dependientes se cumple:
4) De una tómbola que contiene 3 bolas
rojas y 5 blancas, Mathías extrae tres bolas, sin volver a
la tómbola la bola extraída, calcular la
probabilidad de que las 3 bolas extraídas sean:
6.1) Rojas
6.2) 2 rojas y una blanca
6.3) Una roja y 2 blancas
6.4) 3 blancas
Solución:
6.1) Rojas
En 3 sucesos la fórmula de la regla general de
probabilidades es:
Reemplazando valores en la regla general de de la
multiplicación se obtiene:
O también, elaborando un diagrama de árbol
se tiene todas las probabilidades:
En el diagrama de árbol, la probabilidad
correspondiente a cada rama del árbol corresponde a la
probabilidad condicional de que ocurra el evento
específico, dado que han ocurrido los eventos de las ramas
precedentes. Al describir un evento mediante una trayectoria a
través del diagrama de árbol, la probabilidad de
que ocurra dicho evento es igual a producto de las probabilidades
de las ramas que forman la trayectoria que representa al
mencionado evento.
La solución empleando el diagrama de árbol
para 
es multiplicando
las ramas RRR, es decir,
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
Regla particular o
especial para eventos independientes
Si A y B son dos eventos independientes, es decir, si el
conocimiento de la incidencia de uno de ellos no tiene efecto en
la probabilidad de ocurrencia del otro, entonces, para calcular
la probabilidad de dichos eventos se aplica la siguiente
regla:
Nota: Dos eventos A y B son independientes si la
ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de
ocurrencia del otro, esto es, si 
Ejemplos ilustrativos
1) De una baraja estándar de 52 cartas sea
A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B
sacar un Rey en la segunda extracción. Calcular la
probabilidad de sacar un As y un Rey en dos extracciones
devolviendo la carta extraída.
Solución:
A y B son sucesos independientes porque la ocurrencia de
A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.
La probabilidad de que la primera carta sea un As
es:
Reemplazando los anteriores valores en la regla
particular de la multiplicación se obtiene:
2) Una pareja de esposos desean tener 3 hijos.
Suponiendo que las probabilidades de tener un niño o una
niña son iguales, calcular la probabilidad de éxito
en tener hombre en el primer nacimiento, mujer en el segundo
nacimiento y hombre en el tercer nacimiento.
Solución:
M = mujer
H = hombre
Elaborando un diagrama de árbol se tiene todas
las probabilidades:
Entonces,
Autor:
Mario Orlando Suárez
Ibujes