Optimización de volúmenes de figuras geométricas

Introducción

El objeto de este artículo es
determinar la forma concreta de algunas figuras
geométricas (prismas, cilindros, pirámides y
conos), especificada mediante algún tipo de
relación entre parámetros dimensionales propios de
las figuras consideradas, que maximizan el volumen para una
superficie exterior dada o, de forma equivalente, minimizan la
superficie exterior para un volumen dado. El interés
práctico de este tipo de problemas es evidente puesto que
en definitiva se determina el material mínimo de un
recipiente o construcción que debe contener la
máxima capacidad de volumen en su interior aunque no se
consideren otros aspectos que, inevitablemente, también
intervienen en el proceso de optimización del costo de
estos elementos. Consideraremos, entre otros, los siguientes
tipos de figuras geométricas:

• Prisma de base poligonal
  regular

• Cilindro

• Pirámide de base poligonal
  regular

• Cono

• Prisma de base rectangular

• Pirámide de base
  rectangular

Prisma de base
poligonal regular abierto de n lados

Consideremos en un prisma con una base de
polígono regular abierto por su parte superior los
siguientes parámetros

n número de lados del
polígono de la base

l Longitud del lado del polígono
base

h altura de la figura

r distancia del centro a un vértice
del polígono de la base

a apotema del polígono de la
base

P perímetro del polígono de
la base

Sb superficie del polígono de la
base

Sl superficie de las caras
laterales

St suma de Sb y Sl

V volumen del prisma

Algunos de estos parámetros se
muestran a modo de ejemplo para el caso concreto de un prisma de
base cuadrada en la figura 1, aunque el tratamiento
matemático que desarrollaremos es válido para
cualquier base de polígono regular de n lados

Figura 1.- Parámetros del prisma a
considerar en el tratamiento

Las magnitudes r, a, l y n en un
polígono regular cumplen las siguientes
igualdades

Por otra parte la superficie lateral del
prisma se podrá obtener de la siguiente forma, teniendo en
cuenta la ecuación (3)

La superficie total de la figura
vendrá dada por

St = Sb + Sl (7)

Si en la ecuación anterior tenemos
en cuenta las ecuaciones (5) y (6) podemos poner

Para que St sea un valor extremo
deberá anularse dSt/dh cumpliéndose la
condición

ecuación que indica que la
superficie mínima en un prisma de base poligonal regular
de volumen dado cumple que el cociente de la altura dividido por
el radio del polígono de la base es igual al coseno de un
ángulo igual a 180º dividido por el número de
lados de la base.

Otro parámetro indicativo de la
optimización puede ser la relación entre la arista
lateral h y el lado del polígono de la base l. Teniendo en
cuenta las ecuaciones (2) y (15) obtendremos

Pirámide
abierta de base poligonal regular de n lados

En este caso se trata de optimizar el
volumen de una pirámide de pase poligonal regular con
respecto a la superficie de sus caras laterales. La figura 2
muestra algunos parámetros considerados en el
tratamiento.

Figura 2.- Parámetros de la
pirámide a considerar en el tratamiento

En el polígono regular de la base se
cumplirán las mismas ecuaciones (1-4) que se consideraron
en la base del prisma.

La superficie de las caras laterales
vendrá dada por la expresión

Si la ecuación (17) la elevamos al
cuadrado miembro a miembro y en la expresión obtenida se
sustituye r2 por la igualdad (20) después de simplificar
obtenemos

Otro parámetro alternativo al
proporcionado por la ecuación (24) para el proceso de
optimización puede ser la relación entre la arista
lateral de la pirámide (t) y el lado del polígono
de la bse (l).

La arista lateral de la pirámide (t)
cumplirá la relación

Las expresiones obtenidas para la
optimización del prisma y la pirámide abiertos nos
proporcionan de forma sencilla la optimización de figuras
cerradas directamente relacionadas con ellas como son el prisma
cerrado y la bipirámide cerrada por la base poligonal
común.

Prisma cerrado de
base poligonal regular de n lados

La unión de dos prismas abiertos
optimizados en la forma que indica la figura 3 nos
proporcionará la figura correspondiente a un prisma
cerrado optimizado de base poligonal regular.

Figura 3. Unión de dos prismas
abiertos para formar uno cerrado

Aplicando las propiedades de los prismas
abiertos que componen la figura podemos poner

Bipirámide
unida por la base poligonal regular de n lados

La unión de dos pirámides
abiertas iguales unidas por su base da origen a una
bipirámide cerrada tal como muestra la figura 4.Si las dos
pirámides componentes están optimizadas en
relación con el volumen que contienen también lo
estará la bipirámide resultante. Si en la nueva
figura llamamos h a la distancia entre los vértices de la
bipirámide la ecuación 24 toma la forma

Dividiendo miembro a miembro la
ecuación anterior por la ecuación (2)
obtenemos

Figura 4.- Union de dos pirámides
abiertas para formar una bipirámide cerrada

Figuras
geométricas con base circular

Los cilindros y conos pueden considerarse
como prismas y pirámides de base poligonal regular de
infinito número de lados. De esta forma todas las
expresiones obtenidas hasta ahora para la magnitud h/r para las
diferentes figuras de base poligonal regular pueden aplicarse a
las correspondientes figuras de base circular haciendo tender n a
infinito. Se obtiene así las relaciones para valores h/r
de figuras de base circular que se muestran en la
tabla1

Tabla 1.- Relación h/r de figuras
de base circular optimizadas

Cono cerrado

Supongamos un cono cerrado por la base con
radio de la base r y altura del cono h tal como muestra la
figura

Figura 5.- magnitudes a tratar en el cono
de base cerrada

En este caso se cumplirán las
siguientes expresiones

igualdad que muestra la relación h/r
para un cono cerrado por la base de superficie mínima para
un volumen dado

Prisma abierto de
base rectangular

En este caso llamaremos h a la altura del
prisma, L a la longitud del lado menor de la base y f al cociente
entre la longitud del lado mayor de la base y el lado menor, tal
como se muestra en la figura 6

Figura 6.- Magnitudes a tratar en el
prisma abierto de base rectangular

Con los parámetros anteriormente de
finidos se cumplirán las expresiones

Puesto que el proceso de
optimización de la superficie supone un volumen constante
la derivada de la expresión anterior con respecto a h
deberá ser cero para un valor de St y de St/V
mínimo, por lo que derivando la ecuación anterior e
igualando a cero obtenemos

expresión que nos proporciona el
valor del cociente de la altura del prisma y el lado menor de la
base rectangular en función del factor de proporcionalidad
f entre los dos lados de la base.

Tabla
resumen

La siguiente tabla muestra los resultados
obtenidos sobre condiciones de optimización de volumen con
respecto a la superficie de las figuras consideradas.

Tabla 2.-Condiciones de
optimización del volumen con respecto a la superficie de
distintas figuras geométricas

Autor:

Antonio Quirante Candel