El Instrumental Marginalista en la Economía

Resumen

El presente trabajo, titulado "El Instrumental
Marginalista en la Economía", pretende ofrecer una
visión panorámica de las teorías
económicas a los estudiantes que están algo
familiarizados con el cálculo diferencial pues uno de los
grupos temáticos de la Matemática Superior que
más se aplica a la Economía es, sin duda, la
derivada.

El desarrollo del contenido ha quedado dividido en dos
capítulos: uno primero en el que se exponen las nociones
elementales del cálculo, imprescindible para la
póstuma comprensión de sus aplicaciones en la
economía y uno segundo que trata precisamente de dichas
aplicaciones. El mismo parte de los fundadores y precursores de
esta teoría marginalista llevando al lector por un orden
lógico e histórico de su surgimiento. Llegado el
momento se precisan los puntos de contacto con materias netamente
económicas como la Microeconomía y la
Macroeconomía, ambas con un fuerte basamento en el
cálculo diferencial; pues conceptos como: utilidad
marginal, optimización, producto marginal decreciente,
teoría de la demanda, teoría de la
producción, efecto multiplicador, propensión
marginal al consumo, entre otros, encuentran su mejor
explicación una vez aplicadas las técnicas del
cálculo diferencial.

De gran utilidad pueden resultar al lector las
páginas anexadas al trabajo, las cuales cuentan con
gráficos, tablas y resolución de ejercicios
sumamente necesarios en el cuerpo de las
explicaciones.

Summary

This work, entitled "The Marginalistic Instrumental in
Economics", aims at providing a comprehensive vision of economic
theories to students who are somehow familiarized with
differential calculus, because the derivative is undoubtedly one
of the thematic groups of Higher Mathematics that is most applied
in Economics.

The development of the work is divided into two
chapters: the first one deals with the basics of calculus, which
is indispensable to understand its applications in economics. The
second one precisely refers to those applications, and begins
referring to the founders and precursors of this marginalistic
theory, with a logic and historic order. In due time, it is
explained how this theory is applied to economic subjects such as
Microeconomics and Macroeconomics. Both of them are strongly
based on differential calculus, because concepts such as:
marginal usefulness, optimization, decreasing marginal product,
demand theory, production demand, multiplying effect, marginal
consumption tendency, among others, are best explained once the
differential calculus techniques are applied

The attached pages could be of great use for the reader,
as they contain graphics, tables, and solution of exercises that
are necessary to provide the explanations.

Objetivo General

• Sintetizar las aplicaciones del Cálculo
  Diferencial en la Economía

Objetivos Específicos

• Recopilar información histórica sobre
  el surgimiento del cálculo deferencial

• Encontrar demostraciones que justifiquen sus
  disímiles aplicaciones

• Explicar su interconexión con las mencionadas
  ramas de la economía

• Exponer la esencia del objeto de estudio de cada una
  de estas ramas

• Demostrar la utilidad práctica del dominio de
  las derivadas en el análisis
  económico.

Introducción

La Matemática como ciencia ha proporcionado al
hombre la más poderosa herramienta para enfrentar
disímiles problemas de la cotidianidad. En el resto de las
ciencias del saber humano nos encontramos supuestos y
teorías matemáticamente fundamentadas con el fin de
proveer una explicación a las relaciones causales entre
los procesos y fenómenos específicos de cada
especialidad. Está generalizada la tendencia a encontrar
algún artículo de Informática,
Química, Física, Ciencias Médicas,
Farmacéutica, etc. con una demostración o
referencia matemática que valide la investigación
obtenida.

Una breve pero atenta lectura de casi cualquier libro de
economía revela rápidamente que ésta tiene
mucha relación con problemas importantes de la vida
diaria, tales como inflación, salarios, desempleo, balanza
de pagos, tributación, etc. En otras palabras, es tarea
interesante y desafiante para la economía el estudio de
tales fenómenos con criterio de comprensión para
luego suministrar una explicación de ellos. Sin embargo,
aunque tal área es estimulante y a la vez vale la pena, la
vasta complejidad de la economía industrial moderna la
hace hasta cierto punto desalentadora.

Todo experto en la planeación y análisis
de inversiones públicas y privadas, procura la
óptima rentabilidad a la empresa u organismo donde presta
sus servicios, para lo cual necesita aplicar una serie de
conocimientos que tienen un fuerte basamento en las
matemáticas. Probablemente uno de los conceptos más
útiles y aplicables en la Economía sea la derivada
de una función. Cualquier curso de matemática
superior contiene, ineludiblemente, un tema dedicado
especialmente a las aplicaciones de la derivada. Generalmente se
acostumbra presentar el estudio, de acuerdo al área
específica del conocimiento desde donde se aborde la
temática, en dos partes. De una, la utilización de
la derivada en la obtención de soluciones estrictamente
matemáticas; a saber: el cálculo de límites
indeterminados y el trazado general de curvas. De otra, las
aplicaciones específicas en la especialidad de que se
trate. Dentro de estas aplicaciones, con especial importancia, se
manifiesta la aplicación de técnicas del
Cálculo Diferencial en diferentes ramas de la
Economía.

El objetivo fundamental del trabajo es, por tanto,
ilustrar las aplicaciones generales de la derivada o
cálculo diferencial en el análisis
económico.

El trabajo queda conformado en 2 capítulos, el
primero constituye un bagaje teórico del cálculo
diferencial, cuya lectura y certera comprensión
permitirán el adecuado entendimiento del contenido
desarrollado en el segundo capítulo, referente este a las
aplicaciones del cálculo diferencial en la
ciencia social objeto de estudio. En este apartado se exponen los
puntos de contacto con la Microeconomía y la
Macroeconomía a través de la evolución del
Pensamiento Económico Universal, o sea, cómo los
pensadores se fueron apropiando de los conceptos del
cálculo diferencial y los aplicaron al estudio de los
fenómenos económicos.

Se busca que el lector tenga la sensación de
estar aumentando su comprensión sobre las raíces
originales de estos problemas, aun cuando en ocasiones no se
estuviera tratando de decir nada nuevo: al fin y al cabo es
sólo un esfuerzo en búsqueda de síntesis y
claridad más que de originalidad.

Dedicamos nuestro esfuerzo a los estudiantes de la
especialidad, pues como protagonistas de la carrera comprendemos
la crucial importancia que tiene para el Economista el correcto
dominio de los términos marginalistas, los cuales
serán usados en muchas materias e incluso en la
cotidianidad; de ahí que hayamos pretendido compilarlos en
un solo documento legible y de fácil
adquisición.

Capítulo 1

Nociones Elementales
del Cálculo Diferencial

Historia de su surgimiento

El Cálculo infinitesimal, o simplemente
Cálculo es una parte muy importante de la
Matemática Moderna y se puede dividir en Cálculo
Diferencial y Cálculo Integral los cuales están
relacionados por el Teorema Fundamental del Cálculo. Este
teorema consiste en la afirmación de que la
derivación e integración de funciones son
operaciones inversas.

Aunque en las Edades Antigua y Medieval hubo algunos
matemáticos que descubrieron teoremas y fórmulas
asociados al Cálculo no fue hasta la Época Moderna
que Isaac Barrow y James Gregory probaron el Teorema Fundamental
del Cálculo Integral (1675), que sirvió a Sir Isaac
Newton[1]y a Gottfried Wilhelm
Leibniz[2]para sistematizar un verdadero
cálculo de infinitesimales. Cada uno lo desarrolló
por su parte y ambos coincidieron en crear las leyes de
diferenciación e integración, las segundas
derivadas, las derivadas de orden superior, la noción de
una aproximación de series de polinomios, la regla de la
cadena, la regla del producto, etc.

Luego de estos grandes matemáticos ha habido
otros que han enriquecido el Cálculo (Cauchy, Riemann,
Weierstrass) y que lo han convertido en una materia más
rigurosa y casi omnipresente en los programas
universitarios.

Cálculo Diferencial

El Cálculo Diferencial se ocupa del estudio de la
definición, propiedades, y aplicaciones de la derivada de
una función. El proceso de encontrar la derivada se llama
derivación o diferenciación. Para ello es necesario
tener claro dos conceptos: el límite y la continuidad de
una función.

El límite de una función es un
concepto matemático que nos permite analizar el
comportamiento de una función cuando su variable
independiente tiende a un punto, o sea, cuando toma valores cada
vez más cercanos a un punto determinado (entorno
reducido). El límite de una función cuando la
variable independiente "x" tiende al punto "a" será "L" si
existe un entorno reducido de "a" tal que "x" pertenece a ese
entorno y de esta forma la variable dependiente "f(x)" pertenece
al entorno de "L". O sea,

Los límites se pueden analizar por los valores de
la variable independiente que tienden por la derecha o la
izquierda ya que hay puntos donde sus límites laterales no
coinciden. Y es aquí donde entra el concepto de
continuidad, que expresa que para que una función
sea continua en un punto sus límites laterales deben ser
iguales e iguales también a la función evaluada en
dicho punto.

Definidos a grandes rasgos estos conceptos entonces se
puede establecer una noción de la derivada. En muchas
ocasiones interesa saber no solamente cómo varía
una función al variar la variable independiente, sino
también saber con qué velocidad lo hace. La tasa de
variación media (tasa media de cambio) de una
función es el cociente entre los incrementos de la
función y de su variable independiente

, donde
es el incremento de
la función que corresponde al incremento de la X a partir del punto
X0. Se entiende entonces la tasa instantánea de
variación (derivada) de una función continua en
un punto como el valor límite de la razón de los
incrementos de la función y de la variable independiente
(correspondientes a ese punto) cuando tiende a cero el incremento
de la variable independiente[3]O sea y se interpreta como la
variación que experimenta una función cuando su
variable independiente varía en un valor muy
pequeño (infinitesimal). Si para cada valor de x existe la
derivada se puede encontrar una función derivada
para todos los valores de la variable independiente.

Se define también la tasa proporcional (relativa)
de variación al cociente de la derivada de una
función y la propia función las cuales se dan en tantos por
ciento.

La derivada tiene una interpretación
geométrica muy interesante e importante (Ver Anexo 1).
Si se tiene una función f(x) y se traza la recta secante
que pasa por los puntos A y B de la misma entonces para un
aumento desde x hasta x+ x la función varía en un
y el cociente
incremental . Si el
punto B se desplaza consecutivamente hacia la izquierda del
gráfico de manera que se acerca cada vez más al
punto A (sin llegar a tocarlo) entonces y . Se tiene una recta tangente a f(x) en el
punto A la cual es la derivada de la función en ese
punto.

De manera general, la derivada de una función
f(x) para cada valor de x, es numéricamente igual a la
pendiente de la recta tangente a un punto de la curva
representativa de la función.

Hasta ahora hemos tratado la derivada de primer orden o
primera derivada. Las derivadas de segundo orden o de orden
superior se calculan derivando consecutivamente la función
tantas veces como se desee (siempre y cuando la función
sea "n" veces derivable).

Las derivadas pueden ser aplicadas en la Economía
ya que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos
marginales[4]es decir hallar la razón de
cambio cuando se agrega una unidad adicional al total.
Además muchos de los problemas económicos como se
podrá analizar posteriormente son de
maximización de funciones. Pero, ¿qué
es maximizar una función?

Si se analiza el gráfico de una función
(Ver anexo 2) se puede analizar la monotonía que describe
la misma. Si los valores de la variable dependiente crecen con el
aumento de la variable independiente entonces la función
es creciente, y si por el contrario decrece entonces es
decreciente. Cuando una función pasa de una
monotonía creciente a una decreciente se dice que la
función en ese punto de cambio es máxima, y si la
monotonía pasa de decreciente a creciente se dice que la
función en ese punto es mínima. Precisamente
maximizar o minimizar funciones es básicamente encontrar
tales puntos de cambio de monotonía los cuales tienen un
gran significado económico. Es en este momento que el
cálculo diferencial brinda las herramientas para encontrar
máximos y mínimos.

Si interpretamos geométricamente la derivada como
la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto
determinado podemos entonces definir que en puntos de
máximo o mínimo la recta tangente a estos puntos es
paralela al eje horizontal y por tanto su pendiente es cero.
Dicho de otra forma, cuando la primera derivada de una
función se haga cero entonces se está en presencia
de un máximo o de un mínimo.

Por tanto para que un punto en una función sea un
máximo entonces a su izquierda la primera derivada debe
ser positiva (punto B en el gráfico 2) y a su derecha la
derivada debe ser negativa (punto C), mientras que en el punto la
derivada es cero (punto A). Análogamente se realiza el
análisis para el caso de mínimos teniendo en cuenta
que a la izquierda la derivada es negativa a la derecha la
derivada es positiva.

Otro tipo de análisis de maximización y
minimización es la optimización restringida,
o sea, la búsqueda de los máximos y mínimos
de una función teniendo en cuenta otra función que
la restringe. Por ejemplo el rango de elección de un
consumidor acerca de un bien está limitado por cuotas de
producción, limitaciones presupuestarias y otras
condiciones. Para la búsqueda de la optimización
sujeta a restricciones se trata con derivación de las
funciones mediante los métodos de los multiplicadores de
Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (esta
última para la eventualidad en que la función
objetivo que se desea optimizar esté restringida con
desigualdades).

Otro de los conceptos que se deriva del cálculo
diferencial con gran aplicación a la Microeconomía
y la Macroeconomía es la Elasticidad. Al definir el
concepto de derivada se partió de la tasa media de
variación que relacionaba las variaciones de la variable
dependiente con respecto de la independiente. Pero si esta
variación se desea llevar a términos relativos (se
dice que las medidas relativas brindan más
información que las absolutas) entonces se puede llegar a
la definición de Elasticidad:

Capítulo 2:

Aplicaciones del
Cálculo Diferencial al Análisis
Económico

"La matemática aplicada a la economía no
es una rama expresa de la economía sino una
aproximación al análisis económico, en la
que el economista emplea símbolos matemáticos
cuando expone el problema y, además, recurre a teoremas
matemáticos conocidos como ayuda en su
razonamiento."[5]

Las derivadas en economía son una herramienta muy
útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar
cálculos marginales[6]es decir hallar la
razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al
total, sea cual sea la cantidad económica que se
esté considerando: costo, ingreso, beneficio o
producción. En otras palabras la idea es medir el cambio
instantáneo en la variable dependiente por acción
de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda
cantidad o variable. Tal línea de pensamiento fue posible
desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y
luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall;
por ello se conoce a esta innovación analítica como
la revolución marginalista.

Hasta aproximadamente el siglo XIX, las
matemáticas casi nunca se empleaban en escritos
económicos. Cuando se inició el uso de las
matemáticas simples en la literatura económica no
fue visto con escepticismo, sino con antagonismo. Por ejemplo, el
libro de Cournot titulado "Recherches Sur Les Principes
Mathematiques De La Theorie Des Richeses" (1838), no
recibió la atención que merecía sino
después de pasados muchos años de su
publicación. Apenas con los escritos de economistas como
Jevons, Walras y Pareto las matemáticas empezaron a
encontrar una aceptación creciente. El que se retrasara
tanto tiempo la aceptación del análisis marginal
refleja tanto la inercia y la resistencia al empleo de las
matemáticas, como una doble falta de comunicación:
la poca atención prestada a las aportaciones de los que
trabajaban fuera de una incipiente comunidad científica
que estaba en vías de alcanzar una consideración
profesional y la insuficiente información existente dentro
de esta comunidad y de una rama nacional a otra. En realidad, el
papel de las matemáticas en nuestros días es, y
será, el de un instrumento de ayuda para aclarar la
teoría económica y desarrollar el análisis
económico, en algunos casos servir para dar lugar a nuevos
conceptos e instrumentos matemáticos aptos para la
resolución de los problemas económicos. Las
matemáticas pueden proporcionar una gran ayuda cuando se
lleva a cabo el análisis económico, ya sea
teórico o empírico.

Específicamente, el Cálculo Diferencial
fue muy utilizado por los pensadores económicos del Siglo
XIX en su variante marginal, o sea, el uso de la
derivación para el análisis marginal. A comienzos
de los años 1870, y más exactamente entre 1871 y
1874, tres autores, de diferentes formaciones intelectuales, y
trabajando de manera independiente, publicaron trabajos cuyos
contenidos son sorprendentemente próximos. Ellos son
Stanley Jevons en Inglaterra, Carl Menger en Austria y Leon
Walras en Suiza, y se les reconoce como los fundadores del
marginalismo. Esta escuela de pensamiento se
desarrollará rápidamente, siendo el germen de un
ambicioso programa de investigación para la
economía que desde entonces ya no se circunscribirá
a las fronteras de Inglaterra, y que conoce un éxito tal
que puede considerársele como la escuela dominante hasta
el nacimiento del pensamiento keynesiano en los años
30.

Esta teoría es una ruptura con el tipo de
análisis que provenía de sus antecesores, los
clásicos. Pensadores como William Petty, Adam Smith y
David Ricardo eran defensores de la Teoría del
Valor-Trabajo (el trabajo es la única fuente del valor de
las mercancías y está determinado por el Tiempo de
Trabajo Socialmente Necesario materializado en estas) ya que
analizaban los fenómenos económicos en su esencia,
o sea, en la esfera de la producción. Estas teorías
clásicas tenían un alto nivel subversivo pues
reconocían la existencia de clases sociales y algunas
contradicciones entre ellas[7]Se hizo necesario
elaborar una teoría que negara estos conceptos de forma
solapada e ingeniosa, lo cual fue posible por el uso del
instrumental matemático marginalista.

Precursores y fundadores del
Marginalismo

Esta ruptura con los clásicos no se dio de manera
fugaz sino que fue un proceso que tuvo varios antecesores que
aunque fueron ignorados en su tiempo luego sus teorías
fueron aceptadas.

• Precursores

• Antoine Augustin Cournot (1801-1877):
  Ingreso y Costo Marginal, Maximización del
  Beneficio.

A pesar de algunas tentativas anteriores de
matematizar la economía -por ejemplo, el trabajo de
William Petty- generalmente se considera que el primer intento
exitoso de introducir métodos matemáticos a la
economía fue el de Antoine Augustin Cournot
(1801-1877) el cual describe la situación de un productor
único enfrentado a una demanda de mercado. Cournot
plantea, como una evidencia impuesta por la realidad, una
función de demanda relacionada inversamente con el
precio:

Si el costo marginal aumenta, se dice que los
rendimientos son decrecientes (cumplen la Ley de los Rendimientos
Decrecientes de los Factores de Producción); estos son
crecientes si el costo marginal es decreciente. La noción
de costo marginal es particularmente valiosa en la medida puede
servir de criterio de juicio para decisiones en relación
con opciones no independientes o sobre elecciones
arancelarias.

En estas condiciones el productor buscará
maximizar su beneficio, lo que obtiene derivando el beneficio
total con respecto al precio e igualando a cero (condición
de máximo de una función). Las condiciones
necesarias aseguran que se trata efectivamente de un
máximo. El productor debe entonces producir una cantidad
tal que de acuerdo con la función de demanda permita
igualar el coste marginal con el ingreso marginal. Además
este último es equivalente al precio del mercado por lo
tanto el productor producirá hasta donde el precio de
mercado sea igual al Costo Marginal de producir la última
unidad.

• Jules Dupuit (1804-1866): Utilidad
  Absoluta y Relativa; Excedente del Consumidor

Jules Dupuit (1804-1866) encuentra el
análisis de la utilidad subjetiva, de la demanda y del
excedente del consumidor, lo cual lo convierte en un "padre
fundador" del marginalismo. Para Dupuit, la utilidad es
subjetiva; varía en función de los individuos. Se
debe distinguir entre la utilidad absoluta, que para Dupuit es el
precio que el consumidor está dispuesto a pagar por una
unidad de un bien, y la utilidad relativa que es la diferencia
entre la utilidad absoluta y el precio de compra. Por ejemplo,
dice Dupuit, un consumidor que aceptaría pagar 30 francos
cuando el precio de venta es 20 obtiene "una especie de
beneficio" de 10, que es la medida de la utilidad relativa. Pero
como dice Dupuit: "cada consumidor otorga el mismo una utilidad
diferente al mismo objeto de acuerdo con la cantidad que puede
consumir", y esta estimación de unidades sucesivas es
decreciente según la cantidad consumida. De este modo.
Dupuit enuncia, la ley de decrecimiento de la utilidad marginal,
que él asimila inmediatamente a una curva de demanda, ya
que escribe el precio al que el consumidor está dispuesto
a comprar el bien con la cantidad comprada.

• J. H. Von Thunen (1783-1850):
  Principios Fundamentales de la Teoría de la
  Productividad Marginal

J. H. Von Thunen (1783-1850) aplica razonamientos
que se califican de marginalistas a una economía
agrícola. Sus contribuciones se refieren a las
teorías de la producción y la distribución
para lo que utiliza constantemente el cálculo en el
margen. Desarrolla la noción de "excedente del productor"
y los principios fundamentales de la teoría de la
productividad marginal, o sea, el salario del último
trabajador empleado es igual a su productividad marginal.
Además, como los trabajadores son intercambiables, el
salario del trabajador marginal es igual al salario de todos los
trabajadores. Para el capital, el razonamiento es exactamente el
mismo: el capital prestado se remunerará de acuerdo con la
productividad de la última unidad utilizada.

• Hernan Gossen (1810-1858): Las leyes
  de H. Gossen

Hernan Gossen (1810-1858) se dedica al estudio de
la teoría de la utilidad. Algunas de las
características fundamentales del marginalismo se
encuentran en Gossen. En primer lugar el papel del Cálculo
Diferencial el cual ayuda a analizar los fenómenos
económicos. En segundo lugar, Gossen aborda el problema
económico bajo el ángulo de la satisfacción
de las necesidades en el marco de un comportamiento individual
racional. El problema fundamental consiste en saber cómo
maximiza el individuo su satisfacción. Para abordar esta
cuestión, Gossen extrae una primera ley de la experiencia
cotidiana: la satisfacción suplementaria obtenida del
consumo de un bien disminuye progresivamente a medida que la
cantidad consumida aumenta (Ley de la Utilidad Decreciente o Ley
de la Saturación de las Necesidades). Esta cantidad es
nula cuando se alcanza la saciedad[8]Una segunda
ley expresa el modo en que puede alcanzarse la máxima
satisfacción: no se pueden satisfacer todas las
necesidades hasta la saciedad, entonces, Gossen establece que el
máximo de satisfacción se obtiene cuando las
satisfacciones marginales obtenidas de los diferentes bienes se
igualan entre sí (Ley del Equilibrio del Consumidor o Ley
del Equilibrio de las Utilidades
Marginales)[9].

Una implicación importante de las leyes de Gossen
se encuentra en su análisis del trabajo. El trabajo, que
crea indirectamente satisfacciones por el ingreso que procura,
está acompañado de desutilidad debida a su
molestia. De ello resulta que hay que trabajar hasta el punto en
que la satisfacción procurada por los ingresos del trabajo
(utilidad del salario) es igual a la desutilidad marginal del
trabajo. Este es considerado una de los Postulados
Neoclásicos acerca de la Ocupación.

• Fundadores del
  Marginalismo

• La vertiente anglosajona del marginalismo: Stanley
  Jevons(1835-1882) y el grado final de utilidad

Ya entre los fundadores de la escuela marginalista
encontramos a Stanley Jevons (1835-1882) que
consiguió reunir los elementos separados de la
teoría de la utilidad en una teoría coherente del
valor y del intercambio en su principal obra (Theory of Political
Economy, 1871) sobre la que se asienta la revolución
marginalista. Tal fue el éxito de esta que en 1879, varias
décadas después de la muerte de Gossen, se
reimprimió su libro como si se tratase de una obra
reciente y fue acogido por el mercado como una gran novedad.
Según Jevons la economía es tan matemática
como la física. Como las cantidades se pueden considerar
sujetas a variaciones continuas, la herramienta básica es
el cálculo diferencial. Por lo tanto, la ciencia
económica no puede limitarse a traducir simplemente los
hechos observados en expresiones algebraicas. Después de
descubrir a Cournot, Jevons, por ejemplo, le reprocha el trazar
las curvas de demanda sin establecer sus fundamentos. Hay que
establecer, dice él, las leyes últimas del valor de
cambio (leyes sobre las que reposan las funciones
matemáticas) y es aquí donde el aporte de Jevons es
fundamental.

Jevons, deliberadamente anticlásico, expresa que
(si para los clásicos el valor es objetivo y nace de la
actividad económica en su conjunto) el valor es subjetivo
y nace de la relación del individuo con sus
necesidades.

Jevons distingue cuidadosamente entre la utilidad total
proveniente de un bien y la utilidad asignada a una
porción del mismo y define el "grado final de
utilidad"[10]. Si "u" es la utilidad total debida
al consumo de "x" bien. Así, la fracción du/dx,
será el grado de utilidad correspondiente a la cantidad
del bien x. El grado de utilidad será él mismo una
función de x (función derivada). La
expresión grado final de utilidad significa el grado de
utilidad de la última adición posible de una
cantidad muy pequeña o infinitamente pequeña al
stock existente. Establece entonces la relación existente
entre el grado final de utilidad y la cantidad consumida del bien
de manera que redescubre la primera ley de Gossen: las unidades
suplementarias consumidas aumentan cada vez menos la utilidad
total, o sea, el grado final de utilidad varía
inversamente con la cantidad. Matemáticamente du/dx
disminuye cuando aumenta x. Análogamente establece una
relación entre estas variables de manera global: el coste
de producción determina la oferta, la oferta determina el
grado final de utilidad y este determina el valor.

Jevons plantea también el concepto de
Relación Marginal de
Sustitución[11]El valor de cambio de un
bien expresa simplemente la circunstancia de su intercambio en
una cierta relación contra cualquier otro bien. De ello
resulta que el valor de cambio es un precio relativo.

Ahora bien, Jevons explica cómo alcanza el
consumidor el máximo de satisfacción.

Al resolver ese problema de optimización
restringida se llega a la igualdad planteada por Jevons y si su
resultado se sustituye en la restricción presupuestaria se
pueden hallar las demandas de cada bien en cuestión en
función de los precios y la renta.

• John Bates Clark: Utilidad Marginal
  Decreciente y Productividad Marginal del Trabajo

John Bates Clark (1847-1938) al igual que Jevons
y a Menger descubrió independientemente el concepto de
"utilidad marginal" y el principio de "utilidad marginal
decreciente". Clark estudió la productividad marginal del
trabajo y las maquinas y cómo se determinan tanto los
salarios como las ganancias de las empresas
respectivamente.

• La escuela austriaca: Carl Menger (1840-1921)
  y las tablas de intensidad

Carl Menger (1840-1921) fue el fundador de la
Escuela Austríaca. Al igual que Jevons, Menger
sitúa al individuo en el centro del sistema
económico y da una noción del bien económico
que es la más aceptada dentro de la Escuela Marginalista
además de clasificarlos en necesarios o de lujo y en
sustitutivos y complementarios[12]Es uno de los
descubridores del concepto de utilidad marginal y la Ley de la
Utilidad Marginal Decreciente". Menger avanzó a proponer
que la economía puede o debe ser una disciplina deductiva,
basando sus "leyes" y generalizaciones en premisas que se sabe
son ciertas.

Menger construyó su tabla de intensidad de
necesidades como una resucitación a la segunda ley de
Gossen (Ver Anexo 4). En las columnas aparecen las necesidades
satisfechas de los bienes 1, 2, etc., por un bien aplicable para
distintos fines (el dinero por ejemplo). Las necesidades
están en orden decreciente de izquierda a derecha. Las
cifras de cada columna expresan el decrecimiento de la intensidad
con la satisfacción. Esta tabla permite definir una
lógica para la elección del consumidor. Así,
en primer lugar se elegirá una unidad del bien 1
(Intensidad 10), después en otro paso una unidad del bien
2 y una unidad suplementaria del bien 1, luego una unidad del
bien 3, otra del bien 2 y otra del bien 1. El proceso se detiene
cuando se agote el ingreso. Este procedimiento equivale a la
maximización de la utilidad, ya que conduce a la
máxima intensidad de la satisfacción. De esta forma
se debe distribuir el bien aplicable entre sus posibles usos de
forma que las utilidades marginales sean iguales para todos
ellos. Por otra parte sucesivas dosis de un mismo bien
económico provocan que en vez de aumentar la utilidad
total en cada paso lo que hace es disminuir, por tanto se debe
detener el consumo de sucesivas dosis cuando todas las
necesidades estén satisfechas con el mismo nivel de
utilidad (paso 6 de la tabla).

Esta tabla no es una aplicación directa de las
derivadas pero su interpretación deduce el comportamiento
marginalista de los agentes.

• La escuela de Lausana: León Walras:
  Equilibrio General

Si bien estos autores anteriormente analizados dieron
todas las nociones y explicaciones del análisis
marginalista, sin duda León Walras (1834-1910)
logró una formalización del problema
económico que adquirió gran importancia. Al igual
que Jevons comparte la insistencia en el uso del lenguaje
matemático económico para explicar dos supuestos
básicos: toda unidad económica tiende a maximizar
su utilidad y la demanda de cada bien debe igualar su oferta
(equilibrio general).

Utilizando la curva de demanda de Cournot
descubrió que esta solo es aplicable estrictamente al
intercambio de dos bienes, pero que en el caso de más de
dos bienes ofrece únicamente una aproximación. Por
su parte, al principio se limitó a deducir con toda
exactitud la curva de oferta de uno de los bienes a partir de la
curva de demanda del otro; al llegar aquí, dedujo los
precios de equilibrio de cada uno de ellos a partir del punto de
intersección de sus dos curvas. Partiendo de estas, que se
refieren a las cantidades totales de los bienes considerados en
el mercado en cuestión, determinó la demanda
individual y las curvas de utilidad para las cantidades
correspondientes a cada unidad económica particular,
llegando así al concepto de utilidad marginal, pilar
fundamental de su sistema.

La importancia de Walras radica en que fue el primero en
intentar construir, mediante un sistema de ecuaciones, un modelo
completo del equilibrio general de los precios y de los cambios.
Este equilibrio se define como una situación tal en la que
ni los consumidores ni los productores tengan interés en
modificar las cantidades de bienes y servicios que demandan o que
ofrecen en los diversos mercados, lo cual permite considerar esta
situación como una situación normal, que
únicamente podrá ser modificada por la
intervención de causas exteriores al sistema de
cambios.

En la construcción del modelo, Walras utiliza el
instrumental matemático aplicado a la ley de
igualación de las utilidades marginales ponderadas de los
bienes con los precios de los productos. Para expresar
matemáticamente los factores de los que depende la oferta
de bienes, utilizó la teoría de los servicios
productivos de Jean-Baptiste Say. Considerar las cantidades de
servicios ofrecidos en la situación de equilibrio como
funciones de los precios de los bienes y servicios,
basándose en una ley igual a la precedente (la venta de
una unidad de un servicio comporta para su poseedor una
privación de utilidad).

La oferta de servicios es una función del precio
de estos. Walras supone que las cantidades de servicios
productivos necesarios para la fabricación de una unidad
de cada bien son magnitudes determinadas a las que denomina
coeficientes de fabricación. Para este análisis
recurrió a una ecuación de producción
["équation de fabrication"] con rendimientos constantes a
escala de la forma Q = ?(T, P,K, …) y, como era de esperarse,
en el proceso de minimización de los costos unitarios de
producción llegaría a la teoría de la
productividad marginal: "En estado de equilibrio, cuando el coste
de producción y el precio de venta son iguales, los
precios de los servicios son proporcionales a las derivadas
parciales de la función de producción,
es

decir, a las productividades marginales"(Walras, 1900,
589).De esta forma puede decir que existe una relación
precisa entre los precios de equilibrio de los diversos bienes y
las cantidades demandadas de los diferentes servicios.

Pero quizás debido a que este
intento fue tardío dentro de su trabajo científico,
Walras nunca incorporó una teoría completa de la
productividad marginal en el modelo de producción: "He
preferido no introducir la teoría de la productividad
marginal en mi teoría general del equilibrio
económico, ya suficientemente complicada por sí
misma, por temor a que resulte demasiado difícil de
asimilar en su conjunto" (Walras, 1900, 589).

• Alfred Marshal: Equilibrio Parcial

Es muy probable que Alfred Marshall (1842-1924)
haya sido el economista que de manera aparentemente simple,
barrió de golpe una buena parte de los conceptos de la
Economía Política Clásica. Ahora, la esencia
de un sistema económico no consistía en la
producción de bienes sino en la satisfacción. Se
tornó innecesaria la búsqueda de una medida
invariante de valor y, por ello, desapareció una de las
problemáticas terminológicas mayores de la
Economía Política Clásica. La medida del
valor era la que el público manifestaba en sus actos de
compra. También sirvió para cerrar otros debates en
torno a conceptos que no hemos aludido, como los bienes
materiales e inmateriales, el trabajo productivo y el
improductivo.

Frente a esta pérdida de conceptos, surgieron o
se consolidaron otros. Marshall propuso una visión general
de varios conceptos que integraron un equilibrio parcial o
microeconómico. Marshall reintroduce algunos conceptos
clásicos bajo la forma de "agregados" (por
ejemplo: Demanda Agregada). Marshall fue el responsable
por el cambio del nombre de la disciplina de economía
política a economía. Otorgó
más importancia al concepto de Relación
Marginal de Sustitución que al de
Utilidad.

La idea general de que el valor se determina en el punto
de equilibrio entre demanda y oferta se va extendiendo hasta
descubrir todo un sistema copernicano, gracias al cual todos los
elementos del universo económico se mantienen en su lugar
mediante contrapesos e interacciones mutuas. La teoría del
equilibrio económico se consolidó y se
convirtió en un instrumento de pensamiento eficaz gracias
a dos poderosos conceptos subsidiarios: la marginalidad y la
sustitución.

El concepto de marginalidad se extendió
más allá del original campo de la utilidad para
describir el punto de equilibrio en condiciones dadas de todo
factor económico que pueda ser susceptible de
pequeñas variaciones respecto a un valor dado, o en su
relación funcional a un valor dado. La noción de
sustitución se introdujo para describir el proceso
mediante el cual se restablece o alcanza el equilibrio. La idea
de sustitución marginal no era aplicable únicamente
a las alternativas de consumo, también existían
dichas alternativas entre los factores de producción. Este
modo de proceder obtuvo resultados extraordinariamente
fecundos.

En la provisión de términos al pensamiento
económico por parte de Marshall, es de destacar la
explícita introducción de la noción de
Elasticidad de la demanda. Para Keynes (1972), se trata de
un concepto sin cuya ayuda la teoría del valor y la de la
distribución no podrían avanzar.

Se ha visto que la única ley universal
relacionada con el deseo de una mercancía por parte de una
persona es aquella que establece que este disminuye, en igualdad
de circunstancias, con cada aumento de su provisión de
dicha mercancía; pero esta disminución puede ser
lenta o rápida. Si es lenta, el precio que la persona
dará por la mercancía no bajará mucho a
consecuencia de un aumento considerable en la provisión
del mismo, y una pequeña baja de precio originará
un aumento comparativamente grande en sus compras (muy sensible
al cambio); pero, si es rápida, una pequeña baja de
precio solo causará un aumento muy pequeño en sus
compras (poco sensible al cambio). En el primer caso, su
disposición a comprar la mercancía se expansiona
bajo la acción de un pequeño aliciente: la
elasticidad de sus necesidades, podemos decirlo así,
es elástica. En el segundo, el aliciente
adicional que le proporciona la baja en el precio apenas es causa
para que su deseo de comprar aumente: la elasticidad de su
demanda es inelástica. Si una caída del
precio, por ejemplo, de 16 a 15 peniques por libra de té
aumentase mucho sus compras, un alza en el precio de 15 a 16
peniques igualmente las disminuirá considerablemente. Es
decir, que cuando la demanda es elástica ante una baja de
precio, también es elástica ante un
alza.