Probabilidad teórica – Monografias.com
Si todos los resultados en un espacio muestral S finito
son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio
muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E
está dada por la siguiente fórmula, que a veces se
le denomina la definición clásica de la
probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa
Teoría analítica de la probabilidad publicada en
1812:
Ejemplo ilustrativos
1) En cierta rifa de un automóvil se
venden 5000 boletos. Calcular la probabilidad de ganarse el
automóvil
1.1) Si se compran 20 boletos.
1.2) Si se compran todos los boletos
1.3) Si no se compran boletos
Solución:
Ya que el espacio muestral S (5000 boletos) es finito, y
los resultados de cada boleto son igualmente probables, se
calcula empleando la fórmula de la definición
clásica de la probabilidad
2) Calcular la probabilidad de obtener un
número impar en el lanzamiento de un dado
Solución:
Espacio muestral = S = (1, 2, 3, 4, 5, 6(, entonces,
n(S) = 6
Resultados favorables = (1, 3, 5(, entonces, n(E) =
3
3) En una ánfora existe 10
fichas amarillas, 6 rojas y 4 azules.
3.1) ¿Qué probabilidad existe
de sacar una ficha amarilla en un primer intento?
3.2) ¿Qué probabilidad existe
de sacar una ficha no roja en un primer intento?
Solución:
n(S) = 10 + 6 + 4 = 20
3.1) n(E) = 10
Calculando la probabilidad de sacar una ficha no roja se
obtiene:
4) En una urna existe 10 bolas
numeradas con los números dígitos.
4.1) ¿Qué probabilidad existe
de sacar una bola enumerada con un número múltiplo
de 3?
4.2) ¿Qué probabilidad existe
de sacar una bola enumerada con un número divisor de
6?
Solución:
4.2)
Resultados favorables = (1, 2, 3, 6(, entonces, n(E) =
4
5) De una urna que contiene 2 bolas rojas y 3
azules se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la
probabilidad de que las dos sean
5.1) Se extrae una bola, calcular la
probabilidad de que la bola sea
a) Roja
b) Azul
Solución:
Reemplazando valores en la fórmula
de la probabilidad teórica se tiene
5.2) Se extraen simultáneamente dos
bolas, calcular la probabilidad de que las dos sean
a) Azules
b) Rojas
c) Diferente color
Entonces, n(S) = 4 + 3+ 2+ 1 = 10
a) Azules
Otra forma de resolver este ejercicio es la
siguiente:
El espacio muestral se calcula aplicando la
fórmula de la combinación, es decir,
En donde:
n = número total de bolas azules = 3
r = número de bolas azules motivo de probabilidad
= 2
Entonces, reemplazando valores en la fórmula de
la combinación se obtiene:
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:
b) Rojas
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:
c) Diferente color
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:
5.3) Se extraen simultáneamente tres bolas,
calcular la probabilidad de que las tres sean
a) Dos rojas y una azul
b) Una roja y dos azules
c) Tres rojas
Solución:
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:
b) Una roja y dos azules
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:
c) Tres azules
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:
5.4) Se extraen simultáneamente cuatro bolas,
calcular la probabilidad de que las cuatro sean
a) Dos rojas y dos azules
b) Una roja y tres azules
Solución:
Entonces, n(S) = 5
a) Dos rojas y dos azules
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:
b) Una roja y tres azules
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:
6) Se lanzan simultáneamente tres monedas,
calcular la probabilidad de que se obtengan dos caras y un
sello.
Solución:
Designando por C = cara y por S = sello se
tiene:
Todas las probabilidades individuales se representan en
la siguiente tabla:
Interpretación:
La probabilidad de obtener 3 caras al lanzar
simultáneamente tres monedas es de 1/8, es decir, P(CCC)=
1/8
La probabilidad de obtener 2 caras y un sello al lanzar
simultáneamente tres monedas es de 3/8, es decir, P(CCS) =
3/8
La probabilidad de obtener una cara y 2 sellos al lanzar
simultáneamente tres monedas es de 3/8, es decir, P(CSS) =
3/8
La probabilidad de obtener 3 sellos al lanzar
simultáneamente tres monedas es de 1/8, es decir, P(SSS)=
1/8
Nota:
En donde n es el número de monedas
que se lanzan
Los números 1, 3, 3, 1 se calculan mediante el
siguiente esquema conocido con el nombre de "Triángulo de
Pascal", el cual está relacionado directamente con el
Teorema del Binomio de Newton.
Este triángulo tiene como primera fila un 1, como
segunda fila dos 1. Para las demás filas, la suma de cada
par de números adyacentes de la fila anterior se ubica por
debajo de ellos. Se añade un 1 en cada extremo.
7) Si un dardo se clava de manera aleatoria en el
objeto cuadrado que se muestra en la siguiente figura,
¿cuál es la probabilidad de que caiga en la
región sombreada?
Solución:
Calculando el área del círculo:
Autor:
Mario Orlando Suárez Ibujes