Compendio histórico de los problemas matematicos sin solución (página 3)

Actualmente (abril de 2011), solo se conocen 47
números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos
M43.112.609 = 243.112.609-1, un numero de casi trece millones de
cifras. El número primo más grande que se
conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un
número primo de Mersenne: desde que empezó la era
electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en
1951 y entre 1989 y 1992.

Preguntas abiertas

Desmentida la conjetura original de Mersenne (que
establecía una lista de números primos de Mersenne
menores o iguales que M257 y afirmaba que no existían
más que esos), han surgido otras preguntas abiertas
relacionadas con la caracterización de estos
números. En particular, la conjetura de Bateman, Selfridge
and Wagstaff (1989) también recibe el nombre de "Nueva
conjetura de Mersenne".

Nueva conjetura de Mersenne

La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman,
Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para
cada número natural impar p, si se cumplen dos de las
siguientes condiciones, también se cumple la
tercera:

Se puede pensar que la nueva conjetura de Mersenne es un
intento de rescatar la centenaria conjetura original de Mersenne,
que se demostró falsa. Sin embargo, según Robert D.
Silverman, John Selfridge declaro que la NCM es "obviamente
cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos
conocidos y los contraejemplos más allá de esos
casos son progresivamente más improbables. Se puede
considerar más como una observación que como una
pregunta abierta en busca de respuesta.

Conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff

Lenstra, Pomerance y Wagstaff han conjeturado que no
solo existe un número infinito de primos de Mersenne, sino
que el número de primos de Mersenne con exponente p menor
que x se puede aproximar asintóticamente por

Relación con otras categorías de
números

NÚMEROS PERFECTOS

Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya
conocía estos números y encontró una fuerte
relación entre ellos y los números perfectos. Si M
es un numero primo de Mersenne, entonces M· (M+1)/2 es un
numero perfecto.

Asimismo, Euler demostró en el siglo XVIII que
todos los números perfectos pares son de la forma
M· (M+1)/2. No se conocen en la actualidad números
perfectos impares, y se sospecha que no existe
ninguno.

Números dobles de Mersenne

Un número doble de Mersenne se define como: donde
p es el exponente de un número primo de
Mersenne.

Números repunit

Los números repunit (del inglés repeated
unit, "unidad repetida") son los que, en una base dada, se
representan como una cadena de unos. Los números de
Mersenne son los números repunit en el sistema
binario.

NUMERO DE FERMAT

Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre
de Fermat, quien fue el primero que estudió estos
números, es un número natural de la
forma:

Actualmente, sólo se conocen cinco números
primos de Fermat, que son los que ya se conocían en
tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2011
sólo se conoce la factorización completa de los
doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11).
Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día
sobre estos números:

¿Sólo hay cinco números primos de
Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DE
FERMAT

• Un número de Fermat es igual al producto de
  todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar
  por inducción como sigue:

NÚMERO DE
SIERPINSKI

En matemática, un Número de Sierpinski es
un numero natural impar k tal que enteros de la forma k2n + 1 son
compuestos (no son números primos) para todos los
números naturales n.

En otras palabras, cuando k es un número de
Sierpinski, todos los miembros del siguiente conjunto son
compuestos:

Los números en este conjunto con k impar y k <
2n son llamados Números de Proth.

En 1960 Waclaw Sierpinski demostró que existen
infinitos enteros impares que al ser usados como k producen
números no primos.

El Problema de Sierpinski es: ".Cual es el menor
número de Sierpinski?"

En 1962, John Selfridge propuso lo que se conoce como la
Conjetura de Selfridge: que la respuesta al problema de
Sierpinski era el número 78,557. Selfridge encontró
que cuando 78,557 era usado como k, todos los sets resultantes
pueden ser factorizados por miembros del conjunto {3, 5, 7, 13,
19, 37, 73}. En otras palabras, Selfridge demostró que
78,557 era un número de Sierpinski.

Para mostrar que 78,557 es realmente el número de
Sierpinski más pequeño, debe probarse que todos los
números impares menores que 78,557 no son números
de Sierpinski. A marzo de 2009 solo faltan por probar seis de
estos números, y Seventeen or Bust, un proyecto de
computación distribuida, está realizando esta
tarea. Si el proyecto encuentra números primos para cada
uno de estos seis números, se habrá completado la
prueba a la conjetura de Selfridge.

PrimeGrid es un proyecto de computación
distribuida que tiene un subproyecto para la búsqueda de
números primos de Sierpinski. Esta basados en la
infraestructura abierta de Berkeley para la computación en
red(Boinc).

CONJETURA DE COLLAZT

La conjetura de Collatz, conocida también como
conjetura 3n+1 o conjetura de Ulam (entre otros nombres), fue
enunciada por el matemático Lothar Collatz en 1937, y a la
fecha no se ha resuelto.

Enunciado

Tiempo de órbita (número de iteraciones)
necesario para alcanzar la unidad para números
comprendidos entre 1 y 13000.

Cota superior para valores entre 1 y 1300. La
línea horizontal superior corresponde a la cota 9232. Esta
cota es un valor 'preferido' para muchas secuencias, como las que
comienzan con 27, 31, 41, 47, 54, 55, 62, 63, etc.

Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier
número entero positivo:

• Si el número es par, se divide entre
2.

• Si el número es impar, se multiplica por
3

Y se suma 1.

Estado actual del problema

Aunque no se ha demostrado la veracidad ni falsedad del
resultado, existen ciertas evidencias en ambos sentidos [cita
requerida].

Si existe algún contraejemplo a la conjetura (es
decir, un número cuya secuencia no alcance nunca el 1),
debe satisfacer alguna de estas condiciones:

• La órbita del número no está
acotada; o bien

• La órbita también es
periódica, pero con un período distinto de 4, 2,
1.

Resultados parciales del problema

1. Los números que son suma de potencias de 2
exponente par, como 5 = 1 + 4, 21 = 1 + 4 + 16, 53 = 1 + 4 + 16
+32, 85 = 1 + 4 + 16 + 64 generan el 1 en forma casi directa,
como en el ejemplo:

21 · 3 + 1 = 64, que es una potencia de 2 y
genera el 1 al dividir 6 veces entre 2.

2. Al agregar un 3 al final a estos números (a
partir del 1, el 13, a partir del 5, el 53, a partir del 21, el
213, a partir del 85, el 853, etc.), se obtiene 5, a partir del
cual se obtiene 1.

213 = 210 + 3

213 · + 1 = 210 · 3 + 3 · 3 + 1 =
630 + 10 = 640 = 5 · 128

128 es una potencia de 2, por lo que, dividiendo 7 veces
entre 2, se llega a 5.

4. Los números que son de la forma 3 mod 6 pueden
considerarse como generadores de números mayores. Por
ejemplo, el 31 puede generarse partiendo del 27. De la misma
forma, el 111 genera el 334 que pertenece a la sucesión de
números que empieza en el 27 Se ha propuesto el estudio de
patrones en sistema binario para el estudio de las propiedades de
los números expresados como polinomios de potencias de 2,
lo que simplifica el estudio de las propiedades de los mismos.
Luego 11010111…1, etc.

Pueden ser demostrados los teoremas correspondientes.
Por ejemplo, los números como 5, 21, 53, 85, etc., tienen
una expresión del tipo 10101..01 en sistema binario. Esos
números son, entonces, los coeficientes de un polinomio en
potencias pares de 2.

CONJETURA DE ABC

En teoría de números, la conjetura ABC fue
formulada por primera vez por Joseph Oesterle y David Masser en
el año1985.

NÚMERO PERFECTO
IMPARES

Un número perfecto es un
número natural que es igual a la suma de sus divisores
propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra
forma, un número perfecto es aquel que es amigo de
sí mismo.

Así, 6 es un número perfecto,
porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los
siguientes números perfectos son 28, 496 y
8128.

Aparte, y considerando la suma de los
divisores propios existen otros tipos de
números.

• Números defectivos: la suma
de los divisores propios es menor que el
número.

• Números abundantes: la suma
es mayor que el número.

• Números amigos: a y b tales
que a es la suma de los divisores propios de b y
viceversa.

• Números sociables: como los
amigos, pero con un ciclo mayor de números.

Historia

El matemático Euclides
descubrió que los cuatro primeros números perfectos
vienen dados por la fórmula:

n = 2: 21 × (22 – 1) = 6

n = 3: 22 × (23 – 1) = 28

n = 5: 24 × (25 – 1) = 496

n = 7: 26 × (27 – 1) =
8128

Al darse cuenta que 2n – 1 es un
número primo en cada caso, Euclides demostró que la
fórmula 2n-1(2n – 1) genera un número perfecto par
siempre que 2n – 1 es primo.

Los matemáticos de la
Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los
números perfectos basándose en los cuatro que ya
conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser
falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente
los cuatro primeros números primos, el quinto
número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto
número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 × 89
no es primo y por tanto n = 11 no genera un número
perfecto.

Dos de las otras suposiciones equivocadas
eran:

1. El quinto número perfecto
tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros
tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

2. Los números perfectos
terminarían alternativamente en 6 y en 8.

El quinto número perfecto (33550336)
tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera
suposición. En cuanto a la segunda, el quinto
número perfecto acaba en 6, pero también el sexto
(8589869056) termina en 6. (El que la última cifra de un
número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8
no es difícil de demostrar.)

Es verdad que si 2n – 1 es un número
primo, entonces 2n-1(2n – 1) es un número perfecto, pero
el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en
día, a los números primos generados por la
fórmula 2n – 1 se los conoce como números primos de
Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marín Mersenne,
quien estudió teoría de números y
números perfectos.

Posteriormente, Leonhard Euler
demostró en el siglo XVIII que todos los números
perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya
descubrió Euclides.

No se conoce la existencia de
números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos
resultados parciales al respecto. Si existe un número
perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8
factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por
3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos
deben ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores
que 100.

Cuestiones abiertas de este caso

• Determinar si existen infinitos
números perfectos. (Hasta el año 2008 se
conocían 46 números perfectos.)

• Demostrar la imposibilidad de un
número perfecto impar o encontrar uno.

EL PROBLEMA INVERSO DE
GALOIS

Este es un Problema no resueltos de la
matemática: Todo polinomio con coeficientes racionales
lleva asociado un grupo de Galois, pero ¿es cierto que
todo grupo finito es grupo de Galois de algún
polinomio?

En teoría de Galois, el problema de Galois
inverso plantea si todo grupo finito puede ser el grupo de Galois
de alguna extensión de los números racionales. Este
problema, propuesto inicialmente por Hilbert en el siglo XIX,
permanece sin resolver.

Más generalmente, sea un grupo finito dado, y sea
un cuerpo. Entonces la pregunta es: ¿existe una
extensión de cuerpos galoisiana tal que el grupo de Galois
de la extensión sea isomorfo a? Se dice que es realizable
sobre si dicho cuerpo existe.

Resultados parciales

Este criterio puede, por ejemplo,

Emplearse para demostrar que todos los grupos
simétricos son realizables.

Autor:

José Felix Ruiz

Edgar Rodriguez

UNIVERSIDAD DE PANANA

EXTENSION SONA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

ESCUELA DE MATEMATICAS

PARA OPTAR POR EL TITULO DE LICENCIADO EN
MATEMATICAS

2011

SANTIAGO DE VERAGUAS