Compendio histórico de los problemas matematicos sin solución (página 2)

Debido a que son de grado impar, la gráfica de
las funciones quinticas normales se parece a la de las funciones
cúbicas normales, excepto en que pueden poseer un
máximo y un mínimo locales adicionales. La derivada
de una función quíntica es una función
cuartica.

El primer teorema relativo a la imposibilidad de
encontrar una fórmula general para resolver ecuaciones de
quinto grado, fue desarrollado por el médico y
matemático italiano <<Paolo Ruffini>>, sin
embargo esta era incompleta, no sería hasta el año
1826 cuando el matemático noruego  <<Niels
Henrik Abel>> diese una demostración
completa.

• ECUACION DE FERMAT

FERMAT Pierre de (1601-1665) Matemático
francés nacido el 17 de agosto de 1601 en Beaumont de
Lomagne. Su padre, que era comerciante de cuero, lo envío
a estudiar derecho a Toulouse , donde el 14 de mayo de 1631 se
instala como abogado. Ese mismo año se casa con Louise de
Long, prima de su madre, que le dio tres hijos, uno de ellos,
Clément Samuel, que llegó a ser el albacea
científico de su padre, y dos hermanas que fueron
monjas.

En 1632 conoce a Carcavi siendo ambos consejeros del
Parlamento en Toulouse y se hicieron amigos.

Fermat envió muchos de sus trabajos a Carcavi
después que éste se mudó a París como
bibliotecario real en 1636. En 1650 Fermat envió a Carcavi
un tratado titulado: Novus secundarum et ulterioris radicum in
analyticis usus. Este trabajo contiene el primer método
conocido de eliminación y Fermat quería publicarlo.
Se les pidió a Pascal y a Carcavi que buscaran un editor
para el trabajo. Carcavi se acercó a Huygens, tratando de
publicar no sólo este trabajo sino también otros
trabajos que Fermat le había enviado. Ni Carcavi ni Pascal
tuvieron éxito y los trabajos de Fermat nunca se
publicaron. La amistad de Carcavi con Fermat duró por
muchos años.

En 1648 asciende a la Conserjería Real en el
Parlamento local de Toulouse, cargo que desempeñó
con dignidad y gran talento durante 17 años; durante 34
años dedicó su vida al servicio del Estado.
Finalmente, murió en Castres, Francia, el 12 de enero de
1665, a los 65 años.

En su obra Introducción a la teoría de los
lugares planos y espaciales, contemporánea a la
Geometría de Descartes, Fermat abordó la tarea de
reconstruir los Lugares Planos de Apolonio, describiendo
alrededor de 1636, el principio fundamental de la
Geometría analítica: siempre que en una
ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un
lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos
una línea, recta o curva.

Aquellos lugares geométricos representados por
rectas o circunferencias se denominaban planos y los
representados por cónicas, espaciales.

Utilizando la notación de Viéte,
representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto
es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones
xy=k2 a2-s-x2=ky; x2~y2+2ax+2by=c2 a2-x2=ky2 con la
hipérbola, parábola circunferencia y elipse
respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas
más generales, en las que aparecen varios términos
de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto
de reducirlas a los términos anteriores. La
extensión de la Geometría analítica al
estudio de los lugares geométricos espaciales, la
realizó por la vía del estudio de la
intersección de las superficies espaciales por planos. Sin
embargo, las coordenadas espaciales también en él
están ausentes y la Geometría analítica del
espacio quedó sin culminar. Lo que sí está
totalmente demostrado, es que la introducción del
método de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a
Descartes, sin embargo su obra no ejerció tanta influencia
como la Geometría de Descartes, debido a la tardanza de su
edición y al engorroso lenguaje algebraico
utilizado.

Sí Descartes tuvo un rival, en lo que a capacidad
matemática se refiere en su época, éste fue
Fermat, quien por cierto, tampoco era un matemático
profesional. Pero considerando lo que hizo por la
Matemática se piensa que hubiera hecho sí se
hubiera dedicado de pleno a ellas. Fermat tuvo la costumbre de no
publicar nada, sino anotar o hacer cálculos en los
márgenes de los libros o escribir casualmente sus
descubrimientos en cartas a amigos. El resultado de ello fue el
perderse el honor de acreditarse el descubrimiento de la
Geometría Analítica, que hizo al mismo tiempo que
Descartes. Descartes sólo consideró dos
dimensiones, mientras que Fermat estudió las tres
dimensiones. Igualmente pudo adjudicarse el descubrimiento de
algunas características que más tarde
inspirarían a Newton.

Según D"Alembert, entre otros, el origen del
Cálculo infinitesimal hay que remontarlo a las dos
memorias, Memorias sobre (a teoría de (os Máximos y
Memoria sobre las Tangentes y las Cuadraturas de Fermat. Leibniz
reconoce en una carta a Wallis, cuánto le debe a Fermat.
Fermat, junto a Pascal, desarrolló el Cálculo de
probabilidades.

Pero se destacó fundamentalmente en La
teoría de números. Pascal Le escribe en una carta:
Buscad en otras partes quien os siga en vuestras invenciones
numéricas; en cuanto a mí os confieso que estoy muy
lejos de ello".

Dejó muchas proposiciones sin demostrar, pero
nunca se demostró que Fermat se equivocara. Los
matemáticos han logrado demostrar casi todas las
proposiciones que dejó sin demostrar. Solo quedaba
pendiente el teorema conocido como el Último teorema de
Fermat, que establece que para n>2 no es posible La siguiente
ecuación:

El enunciado de este teorema quedó anotado en un
margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de
Alejandría traducida al Latín por Bachet publicado
en 1621. La nota de Fermat fue descubierta póstumamente
por su hijo Clemente Samuel, quien en 1670 publica este Libro con
las numerosas notas marginales de Fermat.

Concretamente Fermat escribió en el margen de la
edición de La Aritmética de Bachet lo
siguiente:

«Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un
bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia
cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo
exponente. He encontrado una demostración realmente
admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para
ponerla

Recientemente, en 1994, Andrew John Wiles
demostró este teorema. Por dicha demostración se
ofrecieron cifras millonarias durantes años.

Wiles nació el 11 de abril de 1953 en
Cambridge182, Inglaterra. Según afirma el propio Wiles, su
interés por este teorema surgió cuando era muy
pequeño.

Tenía 10 años y un día
encontré un libro de Matemática en la biblioteca
pública que contaba la historia de un problema que yo a
esa edad pude entender. Desde ese momento traté de
resolverlo, era un desafío, un problema hermoso, este
problema era el Último teorema de Fermat.

En 1971 Wiles entró en el Merton College, Oxford
y se graduó en 1974.Luego ingresó al Clare College
de Cambrige para hacer su doctorado. Para explicar su
demostración sobre el enunciado de Fermat, estuvo
dos días dando una conferencia a los más
grande matemáticos de la época. Era tan larga que
debió partir su explicación en dos conferencia.
Para ellos recurrió a las herramientas matemáticas
más modernas de la época, a la cual tuvo que
incorporarle nuevos conceptos muy complejos, aun para las
más grandes de esta apasionante ciencia de los
números.

• HISTORIA DEL PROBLEMA DE FERMAT

Pierre de Fermat murió en 1665. Hoy pensamos en
él como un especialista en teoría de
números; de hecho pensamos en él como tal vez el
mejor que haya vivido. Por ello resulta sorprenderte descubrir
que Fermat era de hecho abogado y solamente era un
matemático aficionado. También resulta sorprendente
que haya publicado solamente un artículo matemático
en su vida y que haya sido un artículo anónimo
escrito como apéndice al libro de un colega.

Ya que Fermat se rehusó a publicar su trabajo,
sus amigos temían que pronto sería olvidado a menos
que hicieran algo al respecto. Su hijo Samuel se ocupó de
recolectar las cartas de Fermat y otros artículos
matemáticos, comentarios escritos en libros, etc. con el
objetivo de publicar las ideas matemáticas de su padre.
Fue de este modo que llegó a publicarse el famoso
'Último Teorema'. Lo encontró Samuel escrito como
una nota al margen en la copia de la Arithmetica de Diofanto que
pertenecía a su padre.

El Último Teorema de Fermat afirma que

no tiene soluciones enteras para x, y y z
cuando n < 2. Fermat escribió:

He descubierto una prueba verdaderamente extraordinaria
pero este margen es demasiado pequeño para contenerla.
Casi sin duda Fermat escribió la nota al margen alrededor
de 1630, cuando estudió por primera vez la Arithmetica de
Diofanto. Sin embargo, bien puede ser que Fermat se haya dado
cuenta que su prueba extraordinaria era incorrecta, ya que todos
sus otros teoremas fueron afirmados y reafirmados en
problemas-reto que Fermat envió a otros
matemáticos. Aunque los casos especiales para n = 3 y n =
4 fueron formulados como retos (y Fermat sí sabía
cómo probarlos) el teorema general nunca fue mencionado de
nuevo por Fermat.

De hecho, en toda la obra matemática que
dejó Fermat solamente hay una demostración. Fermat
prueba que el área de un triángulo
rectángulo no pude ser un cuadrado. Esto claramente
implica que un triángulo racional no puede ser un cuadrado
racional. En símbolos, no existen enteros x, y, z que
cumplan

y que sean tales que xy/2 sea un cuadrado. De esto es
fácil deducir el caso n = 4 del teorema de
Fermat.

Vale la pena hacer notar que a partir de este punto
faltaba demostrar el Último Teorema de Fermat nada
más para las n primas impares. Ya que si existieran
enteros x, y, z tales que xn + yn = zn, entonces si n =
pq,

Euler le escribió a Goldbach el 4 de agosto de
1735 afirmando que tenía una demostración del
Teorema de Fermat cuando n = 3. Sin embargo, su
demostración en Algebra (1770) contiene una falacia y no
es nada fácil dar una prueba alternativa del enunciado
falso. Hay una forma directa de arreglar la demostración
usando argumentos que aparecen en otras demostraciones de Euler
así que puede ser razonable atribuirle el caso n = 3 a
Euler.

El error de Euler es interesante y hay que entenderlo
para los siguientes desarrollos. Necesitaba encontrar cubos de la
forma

Entonces el Último Teorema de Fermat se divide en
dos casos.

Caso 1: Ni x, ni y, ni z son divisibles
entre n.

Caso 2: Una y solo una de x, y o z es
divisible entre n.

Sophie Germain demostró el Caso 1
del Último Teorema de Fermat para toda n menor a 100 y
Legendre extendió sus métodos para todos los
números menores a 197. Hasta ese punto, el Caso 2 no se
había demostrado ni siquiera para n = 5 así que
quedó claro que el Caso 2 era en el que había que
concentrarse. Ahora bien, el Caso 2 para n = 5 se divide a su vez
en dos. Una de x, y o z es par y una de ellas es divisible entre
5. El Caso 2(i) es en el que el número divisible entre 5
es par; el Caso 2(ii) es en el que el número par y el que
es divisible entre 5 son diferentes.El Caso 2(i) lo
demostró Dirichlet y fue presentado a la Academia de
Ciencias de París en Julio de 1825. Legendre pudo probar
el Caso 2(ii) y la demostración completa para n fue
publicada en septiembre de 1825. De hecho, Dirichlet pudo
completar su propia demostración del caso para n = 5 con
un argumento para el Caso 2(ii) que es una extensión de su
propio argumento para el Caso 2(i).

En 1832, Dirichlet publicó una
demostración para el último teorema de Fermat
cuando n = 14. Claro que estaba tratando de demostrar el caso n =
7 pero había demostrado un resultado más
débil. El caso n = 7 fue finalmente resuelto por
Lamé en 1839. Mostraba por qué Dirichlet
había tenido tanta dificultad ya que, aunque en la prueba
de Dirichlet para n = 14 se usaban argumentos similares (pero
computacionalmente mucho más difíciles) a los casos
anteriores, Lamé tuvo que introducir algunos
métodos totalmente nuevos. La demostración de
Lamé es extremadamente difícil y hace parecer como
que progresar a n más grandes sería casi imposible
sin formas de pensar radicalmente novedosas.El año 1847 es
de gran importancia en el estudio del Último teorema de
Fermat.

El 1 de marzo de ese año,
Lamé anunció a la Academia de París que
había demostrado el Último teorema de Fermat.
Esbozó una prueba que involucraba factorizar xn + yn = zn
en factores lineales de números complejos. Lamé
aceptaba que la idea le había sido sugerida por Liouvilli.
Sin embargo, Liouville se dirigió a los asistentes
después que Lamé y sugirió que el problema
con este acercamiento era que se necesitaba una
factorización única en primos para este
número complejos y dudaba que fuera cierta. Cauchy
apoyó a Lamé pero, en su típica manera,
apuntó que había reportado a la reunión de
la Academia en octubre de 1847 una idea que creía que
podría demostrar el Último teorema de
Fermat.

Mucho trabajo se llevó a cabo
durante las siguientes semanas tratando de demostrar que la
factorización era única. Wantzel afirmó
haberla probado el 15 de marzo pero su argumento

Es verdadero para n = 2, n =3 y n =4 y uno
puede ver fácilmente que lo mismo aplica para n > 4 era
un tanto ingenuo.

[Wantzel estaba en lo correcto sobre n = 2
(enteros ordinarios), n = 3 (el argumento sobre el que Euler
estaba equivocado) y n = 4 (que fue demostrado por
Gauss).]

El 24 de mayo, Liouville leyó una
carta a la Academia la cual resolvió la discusión.
La carta era de Kummer y traía adjunto una separata de un
artículo de 1844 que demostraba que fallaba la
factorización única pero que podía
'recuperarse' con la introducción de números
complejos ideales, lo cual había hecho en 1846. Kummer
había usado su nueva teoría para encontrar
condiciones bajo las cuales un primo es regular y había
demostrado el Último teorema de Fermat para los primos
regulares. Kummer también decía en su carta que
creía que el 37 no cumplía con sus
condiciones.

Kummer demuestra que todos los primos
menores a 37 son regulares pero el 37 no lo es ya que divide al
numerador de B32.

Los únicos primos menores a 100 que
nos son regulares son 37, 59 y 67. Se usaron técnicas
más fuertes para demostrar el último teorema de
Fermat para estos números. Este trabajo fue hecho y
continuado para números más grandes por Kummer,
Mirimanoff, Wieferich, Furtwängler, Vandiver y otros. Aunque
se esperaba que el número de primos regulares fuera
infinito, probarlo también era un reto. En 1915 Jensen
demostró que el número de primos irregulares es
infinito. A pesar de que se ofrecían cuantiosos premios
por una solución, el último teorema de Fermat
seguía sin ser demostrado. Tiene el dudoso honor de ser el
teorema con el mayor número de pruebas falsas publicadas.
Por ejemplo, más de mil demostraciones falsas fueron
publicadas entre 1908 y 1912. El único progreso positivo
parecía ser los resultados computacionales que mostraban
simplemente que cualquier contraejemplo sería muy grande.
Usando técnicas basadas en el trabajo de Kummer, hasta
1993 se había demostrado que el teorema es verdadero para
n hasta 4 000 000.

En 1983 una contribución mayor vino
de Gerd Faltings quien demostró que para toda n > 2,
hay a lo más un número finito de enteros x, y, z
primos entre sí para los cuales xn + yn = zn. Esto fue un
gran paso pero no era probable que siguiera una prueba de que el
número finito era 0 para todos los casos extendiendo los
argumentos de Faltings.

El último capítulo de la historia
empezó en 1955, aunque en aquel entonces no se pensaba que
el trabajo estuviera conectado al último teorema de
Fermat. Yutaka Taniyama hizo algunas preguntas sobre curvas
elípticas, es decir, curvas que tienen la forma y2 = x3 +
ax = b para a y b constantes. Trabajos adicionales de Weil y
Shimura produjeron una conjetura, conocida ahora como la
Conjetura Shimura-Taniyama-Weil. En 1986, Frey, en
Saarbrücken, hizo la conexión entre esta Conjetura y
el último teorema al mostrar que dicho teorema estaba
lejos de ser una curiosidad poco importante de la teoría
de números sino que de hecho estaba relacionado con las
propiedades fundamentales del espacio.

Trabajos de otros matemáticos demostraron que un
contraejemplo al último teorema de Fermat daría un
contraejemplo a la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil. La
demostración del último teorema de Fermat fue
completada en 1993 por Andrew Wiles, un matemático
británico que trabajaba en la universidad de Princeton en
Estados Unidos. Wiles dio una serie de tres pláticas en el
Instituto Isaac Newton de Cambridge, Inglaterra, la primera de
ellas el lunes 21 de junio, la segunda el martes 22. En la
última plática, el miércoles 23 de junio de
1993, alrededor de las 10:30 de la mañana, Wiles
anunció su demostración del último teorema
de Fermat como un corolario de sus resultados principales.
Después de escribir el teorema en el pizarrón, dijo
me detendré aquí y se sentó. De hecho, Wiles
había demostrado la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil para
una clase de ejemplos, incluyendo aquellos necesarios para probar
el último teorema de Fermat.

Esto, sin embargo, no es el final de la historia. El 4
de diciembre de 1993, Andrew Wiles hizo una declaración en
vista de la especulación. Explicó que durante el
proceso de revisión habían surgido algunos
problemas, la mayoría de los cuales ya había sido
resuelta. No obstante, quedaba un problema y Wiles esencialmente
retiró su reivindicación de la demostración.
Declaró que

La reducción clave de (casi todos los casos de)
la Conjetura Taniyama-Shimura a calcular el grupo de Selmer es
correcta. Sin embargo el cálculo final de una cota
superior precisa para el grupo de Selmer en el caso encuadrado
(de la representación simétrica cuadrada asociada a
una forma modular) no está completado aún. Creo que
podré terminarlo en el futuro próximo usando las
ideas explicadas en mis pláticas en Cambridge.

En marzo de 1994, Faltings, escribiendo en la revista
Scientific American, dijo

Si fuera fácil, lo habría resuelto ya.
Estrictamente hablando, no era una demostración cuando fue
anunciada.

Weil escribió, también en Scientific
American, que creo que él ha tenido algunas buenas ideas
al tratar de construir la demostración pero no la tiene.
En cierta medida, demostrar el teorema de Fermat es como escalar
el Everest. Si un hombre desea escalarlo pero se queda a cien
yardas, no habrá escalado el Everest.

De hecho, desde principios de 1994, Wiles comenzó
a trabajar con Richard Taylor en un intento de rellenar los
hoyos. Sin embargo decidieron que uno de los pasos claves en la
demostración, que usa métodos desarrollados por
Flach, no funcionaba. Intentaron un nuevo acercamiento
también carente de éxito. En agosto de 1994, Wiles
se dirigió al Congreso Internacional de Matemáticos
pero no había logrado resolver las
dificultades.

Taylor sugirió un último intento de
extender el método de Flach en la manera necesaria y
Wiles, aunque convencido de que no funcionaría,
aceptó, principalmente para tener oportunidad de convencer
a Taylor de que nunca serviría. Wiles trabajó en
ello durante un par de semanas y la inspiración le
llegó súbitamente.

En un destello vi que lo que le impedía funcionar
[la extensión del método de Flach] era algo que
haría servir otro método que había intentado
previamente.

El 6 de octubre, Wiles envió la nueva prueba a
tres colegas, incluyendo a Faltings. A todos les gustó la
nueva demostración que era mucho más simple que la
anterior. Faltings envió una simplificación de un
pedazo de la prueba.

Ninguna prueba tan compleja como ésta puede
garantizarse que sea correcta, así que una pequeña
duda se mantendrá por algún tiempo. Sin embargo,
cuando Taylor dio una plática ante el Coloquio
Británico de Matemáticas en Edimburgo en abril de
1995, dio la impresión de que ya no quedan realmente dudas
sobre el último teorema de Fermat.

CAPITULO III

Problemas resueltos y
problemas por resolver

• ALGUNOS DE LOS PROBLEMAS FAMOSOS QUE
  SE RESOLVIERON EN EL SIGLO XX

Además del famoso teorema de Fermat que se
demostró en 1994, (ver biografía de Fermat) otro
problema que dio que hablar el de los cuatro colores.

• EL TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES

"En un plano o en una esfera no se necesitan más
de cuatro colores para colorear un mapa de manera que dos
regiones vecinas, es decir, que compartan una frontera y no
únicamente un punto , no queden coloreadas del mismo
color"

Los orígenes de este problema son muy antiguos.
Los cartógrafos renacentistas sabían ya que les
bastaban cuatro colores para iluminar sus mapas de manera que dos
países vecinos quedaran iluminados de distintos color,
logrando así que sus mapas fueran claros y fáciles
de entender. Sin embargo, hasta el siglo XIX, a nadie se
había ocurrido que este hecho tuviera que ver con
Matemática mucho menos que se podía o debía
demostrar.

Parece ser que el llamado problema de tos cuatro colores
convirtió formalmente en un problema matemático
cuando en 1 un estudiante inglés, Francis Guthrie, a quien
te gustaba dibujar y colorear mapas, se dio cuenta de que siempre
podía iluminar correctamente los mapas sin usar más
de cuatro colores. Intuyendo esto podía ser demostrado, se
lo contó a su hermano Frederick quien había
estudiado con un prestigioso matemático inglés de
la época llamado De Margan. De Margan no supo solucionar
el problema pero le pareció suficientemente interesante
como para enviarte carta a otro prestigioso matemático
inglés, Hamilton, quien decidió no hacerle caso al
problema, hecho que nunca sabremos sí sucedió
porque no pudo resolverlo o porque te pareció
intrascendente.

Durante muchos años, matemáticos y no
matemáticos, expertos y novatos intentaron resolver el
problema de los cuatro colores, problema de Los cuatro colores se
hizo tan famoso en el medio matemático, que en 1878 el
matemático inglés Cayley lo propuso oficialmente a
la Sociedad Matemática de Londres (London Mathemathical
Society), una de las sociedades de matemáticos más
importantes del mundo en esa época, como un problema a
resolver.

Varios matemáticos dieron demostraciones que
resultaron tener errores, pero lo que sí se logró
con el paso de Los años y el trabajo de tanta gente, fue
demostrar dos cosas fundamentales:

• Tres colores son insuficientes para colorear
cualquier mapa, es decir, existen mapas que no pueden colorearse
de ningún modo usando únicamente tres
colores.

• Con cinco colores se puede colorear cualquier
mapa correctamente.

De manera que aunque no se había probado nada
respecto a los cuatro colores por lo menos ya se sabía que
con tres faltaba y con cinco sobraba, así el número
cuatro era el candidato ideal… había entonces que
probarlo o refutarlo.

Finalmente en 1976 (124 años después de
que se había propuesto el problema!) dos
matemáticos de la Universidad de Illinois en Estados
Unidos, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, usando una computadora
Cray de segunda generación, analizaron 1900 posibles
arreglos de regiones en el plano, o sea, analizaron 1900 tipos
distintos de mapas. La computadora tardó 1.200 horas en
correr un programa que tenía miles de líneas de
largo, y para todos los mapas encontró una
coloración en la que a lo más se usaban cuatro
colores. ¡El problema había sido
resuelto!

Muchos matemáticos aceptaron esto como una prueba
irrefutable, pero muchos otros argumentaron que eso no era una
demostración matemática, la máquina
había comprobado que una gran cantidad de mapas
podían colorearse usando a lo más cuatro colores,
¿pero que tal sí existía un mapa, que la
computadora no hubiera contemplado, que no podía
colorearse de esa forma?

La discusión continuó por veinte
años, hasta que en 1996, los matemáticos Neit
Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour y Robín Thomas, de
la Escuela de Matemáticas del Instituto Tecnológico
de Georgia, en Estados Unidos, publicaron una
demostración, aparentemente correcta, del teorema de tos
cuatro colores. Y así acaba la historia, pues hasta ahora
nadie la ha refutado.

• PROBLEMA DEL EMPAQUETAMIENTO DE
  KEPLER

En 1998 Thomas Hales resolvió el problema de
empaquetamiento de Kepler cuyo origen se remonta también a
comienzos del siglo XVII. Hales ha demostrado que el
empaquetamiento más denso posible de esferas iguales es La
disposición cúbica centrada, es decir en capas
rectangulares donde cada capa se desplaza para colocar tas
esferas sobre los intersticios dejados por la capa inferior, del
modo, que nuestros tenderos colocan Las pilas de naranjas cada
día en el mercado. Como hemos dicho, ya Kepler se
ocupó del problema en 1611, calculando La densidad de este
modelo de empaquetamiento (aproximadamente 0,7404) y Gauss
demostró que era el mejor modo posible con estructura
regular (es decir con los centros de las esferas formando una
estructura regular), pero quedaba pendiente demostrar que es
también el mejor de todos Los posibles, aunque sean
triangulares. La demostración de Hales usa de modo
esencial la computadora para la comprobación de un
determinado número de casos, al igual que ocurrió
unos años antes en 1976 con la demostración del
Teorema de los Cuatro Colores por K. Appel y W. Haken. Esto
evidencia también una de las características
fundamentales de la Matemática del siglo XX: La
irrupción de Las computadoras está abriendo nuevas
posibilidades para el desarrollo de la Matemática,
modifica cando incluso la misma forma de demostración de
tos teoremas.

• PROBLEMAS PENDIENTES DE LA
  MATEMÁTICA

El 20 de mayo de 2000 un mecenas ofrece 7 millones de
dólares por resolver los siete enigmas matemáticos
del siglo. La lista recoge los problemas cruciales para el
desarrollo futuro de las ciencias exactas.

Exactamente cien años después de que el
científico alemán David Hilbert definiera los 23
grandes problemas que la Matemática del siglo XIX
había sido incapaz de resolver, el empresario
norteamericano Landon Clay ha ofrecido un millón de
dólares a quienes solventen cada uno de los siete enigmas
fundamentales que, según su equipo de asesores, han
derrotado a La Matemática del siglo XX. De los 23 retos de
Hilbert, 20 han sido resueltos o abordados satisfactoriamente, y
dos ya no se consideran cruciales. El otro vuelve a aparecer en
la nueva lista.

El empresario Clay es el fundador del Instituto de
Matemáticas Clay, un centro con sede en Cambridge
(Massachusetts) dedicado a los estudios avanzados en ciencias
exactas. Su panel de asesores incluye a Andrew Wiles, el
matemático de la Universidad de Princeton que logró
en 1995 demostrar el escurridizo teorema de Fermat, un enigma que
había atraído durante 350 años a los
matemáticos de todo el mundo. Los otros asesores son Alain
Connes, del Collége de France, Edward Witten, del
California lnstitute of Technology, y Arthur Jaffe, de Harvard.
Clay sabe muy bien dónde mete su dinero.

El empresario lanzó su oferta en París, en
los actos organizados por el Collége de France para
celebrar el centenario de la lista propuesta por Hilbert en 1900,
que ha marcado buena parte de la investigación
matemática del siglo XX. Los siete enigmas, según
los expertos que tos han seleccionado, conducirán, una vez
resueltos, a enormes avances en los campos del cifrado de datos
(encriptado) y las ciencias aeroespaciales. También
abrirán a la Matemática áreas
inexploradas.

Los siete enigmas representan los grandes problemas no
resueltos de la Matemática del siglo XX, dijo Wiles en
París. Esperamos que ofrecer un premio por ellos inspire y
estimule a las futuras generaciones de matemáticos. En
efecto, ganar 1 millón de dólares por resolver un
problema puede ser una buena fuente de inspiración. El
Premio Nobel está dotado actualmente con menos dinero.
Jaffe añadió: No hay límite de tiempo. La
dificultad es de tal magnitud que ningún asesor de Clay
espera que surja un ganador en un plazo breve. Algunos expertos
independientes dudan incluso de que el instituto de CLay tenga
que deshacerse de sus millones alguna vez.

Lo que sigue es una exposición informal de Los
enigmas. Los especialistas pueden consultar sus formalizaciones
en la página web del Instituto de Matemáticas
Clay

• PROBLEMAS DEL MILENIO

• 1. EL PROBLEMA P CONTRA NP.

El matemático Stephen Cook, que formuló
este problema en 1971, lo explica con el siguiente ejemplo., Es
sábado por la noche y llega usted a una fiesta abarrotada
de gente.

La anfitriona Le dice: Creo que conoces a Rosa, aquella
chica de la esquina que lleva un vestido rojo. A usted Le
bastará una fracción de segundo para verificar si
la anfitriona está en lo cierto o no. Pero si en vez de
eso La anfitriona le hubiera dicho mira por ahí a ver si.,
conoces a alguien, usted puede tardar tres horas en hallar La
respuesta. Por mentira que parezca, esta cuestión supone
un problema, enorme para los lógicos y para Los
científicos de la computación.

La explicación de Las siglas P y NP no ayuda
mucho: se refieren a los" tiempos polinomio y polinomio no
determinista.

• 2. LA HIPÓTESIS DE
  RIEMANN.

Los números primos (1, 2, 3, 5, 7,11…) no
parecen seguir ningún patrón regular, pero el
matemático alemán Georg Riemann propuso en el siglo
XIX que su frecuencia guarda una estrecha relación con el
comportamiento de una función matemática (llamada
zeta). Las predicciones de Riemann se haya confirmado para muchos
casos, pero todavía se precisa una demostración
general. Este es el único de los siete problemas de Clay
que ya estaba presente en la Lista de Hilbert.

Riemann mencionó la conjetura, que sería
llamada la hipótesis de Riemann, en su artículo de
1859 Sobre los números primos menores que una magnitud
dada, al desarrollar una fórmula explícita para
calcular la cantidad de primos menores que x. Puesto que no era
esencial para el propósito central de su artículo,
no intentó dar una demostración de la misma.
Riemann sabía que los ceros no triviales de la
función zeta están distribuidos en torno a la recta
s = 1/2 + i t, y sabía también que todos los ceros
no triviales debían estar en el rango 0 = Re(s) =
1.

En 1896, Hadamard y de la Vallée-Poussin probaron
independientemente, que ningún cero podía estar
sobre la recta Re(s) = 1. Junto con las otras propiedades de los
ceros no triviales demostradas por Riemann, esto mostró
que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la
banda crítica 0 < Re(s) < 1. Este fue un paso
fundamental para las primeras demostraciones del teorema de los
números primos.

En 1900, Hilbert incluyó la hipótesis de
Riemann en su famosa lista de los 23 problemas no resueltos – es
parte del problema 8 en la lista de Hilbert junto con la
conjetura de Goldbach. Cuando se le preguntó qué
haría si se despertara habiendo dormido quinientos
años, remarcablemente Hilbert contestó que su
primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann
había sido probada. La hipótesis de Riemann es el
único problema de los que propuso Hilbert que está
en el premio del milenio del Instituto Clay de
Matemáticas.

En 1914, Hardy demostró que existe un
número infinito de ceros sobre la recta crítica
Re(s) = 1/2. Sin embargo todavía era posible que un
número infinito (y posiblemente la mayoría) de los
ceros no triviales se encontraran en algún otro lugar
sobre la banda crítica. En trabajos posteriores de Hardy y
Littlewood en 1921 y de Selberg en 1942 se dieron estimaciones
para la densidad promedio de los ceros sobre la línea
crítica.

Trabajos recientes se han concentrado en el
cálculo explícito de la localización de
grandes cantidades de ceros (con la esperanza de hallar
algún contraejemplo) y en los establecimientos de cotas
superiores en la proporción de ceros que puedan estar
lejos de la línea crítica (con la esperanza de
reducirlas a cero).

• En el año 2004 Xavier Gourdon verificó
  la conjetura de Riemann numéricamente a lo largo de
  los primeros diez trillones de ceros no triviales de la
  función. Sin embargo esto no es estrictamente una
  demostración, numéricamente es más
  interesante encontrar un contraejemplo, es decir un valor de
  cero que no cumpla con que su parte real es 1/2, pues esto
  echaría por los suelos la validez de la
  conjetura.

• Hasta el 2005, el intento más serio para
  explorar los ceros de la función-?, es el ZetaGrid, un
  proyecto de computación distribuida con la capacidad
  de verificar billones de ceros por día. El proyecto
  acabó en diciembre de 2005,y ninguno de los ceros pudo
  ser identificado como contraejemplo de la hipótesis de
  Riemann.

• 3. LA TEORÍA DE
  YANG-MILIS.

Hace casi 50 años, los físicos Yang y
Mills descubrieron ciertas relaciones entre la Geometría y
las ecuaciones de la física de partículas que luego
resultaron de gran utilidad para unificar tres de Las
interacciones fundamentales de La materia en una sola
teoría. A pesar de ello, nadie ha demostrado que las
ecuaciones de Yang-Mills tengan soluciones compatibles con la
mecánica cuántica.

En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills sugierieron que
el principio de invariancia local de fase o invariancia de gauge
local no eran compatibles con una teoría de campos local,
es decir, que obedeciera los principios relativistas de
causalidad. Es decir cuando, como es común, el lagrangiano
de un campo tiene alguna simetría interna dada por un
grupo de transformaciones de gauge, debería ser posible
escoger en cada punto del espacio una transformación de
gauge diferente, sin que eso hiciese que las ecuaciones de la
teoría fueran alteradas. Así Yang y Mills buscaron
la teoría más general de lagrangiano para un campo
con invariancia de gauge local.

De hecho la electrodinámica cuántica era
ya una teoría con invariancia de gauge local, donde el
grupo de gauge era precisamente el grupo de Lie U(1). El
resultado del trabajo de Yang y Mills fue una
generalización del lagrangiano de la
electrodinámica cuántica, donde ahora el grupo de
gauge era un grupo no conmutativo. Los gluones de la
cromodinámica cuántica vienen descritos por un
campo de Yang-Millis sobre el grupo de Lie no-conmutativo SU(3)
asociado a la simetría de color.

• 4. LAS ECUACIONES DE
  NAVIER-STOKES.

Describen ciertos comportamientos de los fluidos, como
las turbulencias provocadas por un avión a reacción
o las ondas que forma una barca en el agua. Pero,
insólitamente, nadie sabe cómo resolver estas
ecuaciones.

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de
Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un
conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que
describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan
la atmosfera terrestre, las corrientes oceánicas y el
flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general,
cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos
newtonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de
conservación de la mecánica y la
termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se
obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones.
Para llegar a su formulación diferencial se manipulan
aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la
que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal
con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton),
obteniendo de esta manera la formulación diferencial que
generalmente es más útil para la resolución
de los problemas que se plantean en la mecánica de
fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son
un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No
se dispone de una solución general para este conjunto de
ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy
concretas no es posible hallar una solución
analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de
recurrir al análisis numérico para determinar una
solución aproximada. A la rama de la mecánica de
fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones
mediante el ordenador se la denomina dinámica de fluidos
computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón
Computational Fluid Dynamics).

• 5. LA CONJETURA DE BIRCH Y
  SWINNERTON-DYER.

• 6. LA CONJETURA DE HODGE.

Los matemáticos han aprendido a investigar las
formas de los objetos complicados a base de descomponerlos en
multitud de bloques geométricos simples. Estos modelos son
muy prácticos, pero hacen trampas al añadir algunos
bloques que no tienen ninguna interpretación
geométrica.

La conjetura de Hodge fue formulada en el Congreso
Internacional de Matemáticas celebrado en Cambridge (USA)
en 1950.

El tema de la conjetura de Hodge es la Geometría
compleja.

Esta conjetura predice una estrecha relación
entre Geometría, Álgebra, Topología y
análisis

Una función f del plano es harmónica si
cumple la ecuación Se pueden definir formas diferenciales
harmónicas en cualquier variedad.

Teorema de Hodge: Si X es una variedad Riemanniana
compacta, en cada clase de cohomología de de Rham existe
una única forma diferencial harmónica.

CONSECUENCIAS

Una consecuencia fundamental del Teorema de Hodge es que
la cohomología de las variedades complejas proyectivas
lisas se puede descomponer en piezas que reflejan la estructura
compleja.

Esta descomposición, junto con la estructura
entera proporcionada por el teorema de de Rham y el producto de
intersección se conoce como una estructura de
Hodge.

Ejemplo: Salvo casos especiales (curvas hiperelipticas),
una curva se puede recuperar a partir de la estructura de Hodge
de su cohomología Resultados y generalizaciones

? Lefschetz (1923) demostró que la conjetura es
cierta para ciclos de dimensión 2n-2 en una variedad
proyectiva de dimensión (real) 2n. Este resultado se
conoce como el Teorema (1,1) de Lefschetz.

? Otro teorema de Lefschetz muestra que la conjetura de
Hodge para ciclos de dimensión 2p implica la conjetura de
Hodge para ciclos de dimensión 2n-2p (si

2p>n).

? Por tanto la conjetura de Hodge es cierta en
dimensión compleja 1,2 y 3

(Dimensión real 2,4 y 6).

? Se han comprobado algunos casos en dimensión 4.
Por ejemplo J. Ramón en su tesis ha demostrado la
conjetura de Hodge para ciertos productos de

Superficies.

? Las Grassmannianas y las variedades de banderas tienen
toda su cohomología generada por ciclos algebraicos y por
tanto cumplen la conjetura de Hodge.

¿Es cierta la conjetura?

Esta conjetura es bastante plausible, y (siempre que no
resulte falsa) hay que considerarla como la conjetura más
profunda de la teoría "analítica" de las variedades
algebraicas. Alexander Grothendieck (1928 – )

La pregunta propuesta por la "Conjetura de Hodge" es muy
natural… Desgraciadamente, a pesar de la palabra "conjetura",
no hay, que yo sepa, ni la sombra de una razón para
creerla; se rendiría un servicio a los

geómetras si se pudiera zanjar la cuestión
mediante un contraejemplo. André Weil
(1906-1998).

• 7. LA CONJETURA DE
  POINCARÉ.

Las conclusiones que alcanzó Poincaré, el
rival francés de Hilbert, sobre tas esferas en el espacio
de tres dimensiones han resultado imposibles de trasladar al
espacio de cuatro dimensiones. Los matemáticos llevan cien
años intentándolo y no se rinden.

La superficie de un balón de fútbol, por
ejemplo, es casi un ejemplo de variedad de dimensión 2,
una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole
diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una
2-esfera. El criterio para comprobar si una variedad es una
2-esfera es muy sencillo: imagínese una goma
elástica tremendamente deformable apoyada sobre la
superficie del balón; si la goma se puede comprimir (sin
salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto, y esto en
cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera
y se dice que es simplemente conexa.

El problema de clasificar las variedades en el espacio
usando como criterio de clasificación el concepto de
homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la esfera
es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño
de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente
deformado), cerrada y simplemente conexa y se estableció
que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente
conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo
hay una variedad (homeomórfica) de dimensión n=2,
cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera (y sus
homeomorfos).

Mas técnicamente, en 1904, el matemático
francés Henri Poincaré (1854-1912) conjeturó
que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de
dimensión 3 tenía un análogo para la esfera
n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras, en el
espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión
n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la
esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré no
consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus
contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura
de Poincaré cobró interés hasta convertirse
en el problema abierto más notable de la Topología
geométrica, con destacables implicaciones para la
Física. Más aún, llegó a convertirse
en uno de los problemas sin resolver más importantes de la
Matemática.

Para dimensión dos ya fueron demostrados en el
siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar hasta 1961, cuando lo hizo
Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año, Stephen Smale lo
consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R.
Stallings para el caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se
resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en lo que se
consideró una hazaña matemática del
estadounidense Michael Hartley Freedman, se consiguió
demostrar el caso n=4. El problema es que, resuelto con
éxito para todas las demás dimensiones, el caso
original n=3, planteado por Poincaré, se resistía
denodadamente a cualquier demostración matemática
hasta que Grigori Perelmán hizo pública su
demostración.

Henri Poincaré estableció dicha conjetura
en 1904, indicando que la esfera tridimensional era única
y que ninguna de las otras variedades tridimensionales
compartían sus propiedades

El enunciado no pudo ser resuelto durante un siglo y su
demostración fue considerada uno de Los siete problemas
del Milenio propuestos por el Clay Mathematics
Institute.

El matemático ruso Grigori Perelmán
anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos
publicaciones en internet

El 5 de junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu
Xiping y Cao Huaidong anunciaron la demostración
completa,[2] basándose en los trabajos preliminares de
Perelman (éstos sí publicados en revistas
especializadas), lo que, una vez realizada su validación
por la comunidad matemática, daría fin a la
clasificación completa de las estructuras
topológicas de dimensión tres o tridimensionales.
Sin embargo, una gran parte de la comunidad matemática
piensa que la demostración corresponde a Perelman y
considera el trabajo de los matemáticos chinos como un
plagio. La Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y
Cao Huaidong, afirmó que el ruso estableció las
líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo
específicamente cómo resolver el enigma.

Finalmente, se reconoció el trabajo de Perelman
cuando se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV
Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006) con sede
en Madrid en agosto de 2006, la cual rechazó. En
declaraciones a un semanario estadounidense (The New Yorker),
Perelman aseguró no querer ser una mascota en el mundo de
las matemáticas, estimando que no necesita otro
reconocimiento sobre la validez de su trabajo.

En un esfera-2 ordinaria, cualquier lazo se puede
apretar continuamente a un punto en la superficie. ¿Esta
condición caracteriza la esfera-2? La respuesta es
sí, y ha sido conocida por mucho tiempo. La conjetura de
Poincaré hace la misma pregunta para la más
difícil de visualizar esfera-3. Grigori Perelmán
probó eso de nuevo, la respuesta es
sí.

LOS 23 PROBLEMAS DE HILBERT

David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg,
Prusia Oriental – 14 de febrero de 1943, Göttingen,
Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como
uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del
XX. Estableció su

eputación como gran
matemático y científico inventando o desarrollando
un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes,
la axiomatización de la geometría y la
noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del
análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes
proporcionaron partes significativas de la infraestructura
matemática necesaria para la mecánica
cuántica y la relatividad general. Fue uno de los
fundadores de la teoría de la demostración, la
lógica matemática y la distinción entre
matemática y metamatemática. Adoptó y
defendió vivamente la teoría de conjuntos y los
números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su
liderazgo mundial en la matemática es su
presentación en 1900 de un conjunto de problemas que
establecieron el curso de gran parte de la investigación
matemática del siglo XX. En la pugna por demostrar
correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en
la teoría general de la relatividad, David Hilbert se
adelantó a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca
quiso otorgarse el mérito O sea, fue un bocho enorme para
la matemática; que enriqueció la ciencia con
numerosos aportes. Pero este post hace especial hincapié
en uno de ellos. Estamos hablando, de los 23 problemas de David
Hilbert.

Fue en un día de 1900, en el marco
de una conferencia en París para el congreso internacional
de matemáticos de ese año, que el mundo (un
puñado de entendidos sobre la materia en realidad nada
más) oyó por primera vez de ellos. Lo que Hilbert
en realidad hizo fue compilar una serie de problemas que hasta
ese día no habían hallado solución, y cuyas
respuestas posibilitarían el salto evolutivo de la
matemática del siglo XX. Inicialmente, presentó 10
de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la
conferencia, en un acto el 8 de agosto en La Sorbona. La lista
completa se publicó más adelante.

Hoy en día, de los problemas de Hilbert
claramente formulados, los problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19
y 20 tienen una solución aceptada por consenso. Por otro
lado, los problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21 y 22 tienen soluciones
de aceptación parcial, pero existe cierta controversia al
respecto de si la solución resuelve realmente el
problema.

En el 18, la solución a la
ecuación de Kepler es una demostración asistida por
computador, una noción anacrónica para un problema
de Hilbert y controvertida hasta cierto punto debido a que un
lector humano no puede verificarla en tiempo razonable. Esto deja
sin resolver el 8 (la hipótesis de Riemann) y el 12, ambos
dentro de la teoría de números. En esta
clasificación los 4, 6, 16 y 23 son demasiado vagos como
para que algún día se les pueda declarar
resueltos.

Paso a mostrar algunos de los problemas, y
su solución (o intento de solución. Aclaro de
antemano que tales soluciones no son como encontrar las
raíces de una ecuación cuadrática, o
calcular el área de un pentágono: son
matemática muy pero muy avanzada. Solo me limito a mostrar
principalmente el (o los) procedimientos empleados para llegar a
la solución, o por quién fueron resueltos. Los paso
a clasificar en 3 grupos: en primer lugar, los cuales cuya
solución es aceptada por consenso general. Solo voy a
poner 2 o 3. El resto se puede encontrar en Wikipedia.

Problema III: dados dos poliedros de igual volumen,
¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad
finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de
modo que quede armado el segundo? Resultado: no, probado usando
invariantes de Dehn

Problema VII: ¿Es ha elevado a la b
trascendental, siendo a ? 0,1 algebraico y b irracional
algebraico?

Resultado: sí, ilustrado por el
teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider Problema
XVII: Expresar de una función definida racional como
cociente de sumas de cuadrados

Resultado: se estableció un
límite superior para el número de términos
cuadrados necesarios, Pfister (1967). La solución negativa
en general se debe a Du Bois (1967). Por otro lado, están
los problemas que tienen soluciones de aceptación parcial,
pero existe cierta controversia al respecto de si la
solución resuelve realmente el problema. Problema I: La
hipótesis del continuo (esto es, no existe conjunto cuyo
tamaño esté estrictamente entre el de los enteros y
el de los números reales) Se ha probado la impibilidad de
probarlo como cierto o falso mediante los axiomas de
Zermelo-Fraenkel. No hay consenso al respecto de considerar esto
como solución al problema.

Problema XV: Fundamento riguroso del
cálculo enumerativo de Schubert. Parcialmente resuelto,
Van der Waerden a finales de los años treinta. Problema
II: Probar que los axiomas de la aritmética son
consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema
formal que no supone una contradicción). Parcialmente
resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de
establecer en un sistema consistente, finitista y
axiomático. Sin embargo, Gentzen probó en 1936 que
la consistencia de la aritmética se deriva del buen
fundamento del ordinal e0, un hecho sujeto a la intuición
combinatoria. También están los problemas demasiado
vagos como para hallársele una solución Problema
IV: Construir todas las métricas cuyas rectas sean
geodésicas. Problema VI: Axiomatizar toda la
física

Problema XVI: Topología de las
curvas y superficies algebraicas.

Y finalmente, aquellos problemas que
aún hoy permanecen abiertos y sin solución.
Problema VIII: La hipótesis de Riemann (la parte real de
cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es
½) y la conjetura de Goldbach (cada número par
mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números
primos). Problema XII: Extender el teorema de Kronecker sobre
extensiones abelianas de los números racionales a
cualquier cuerpo numérico de base.

INFORMACIÓN TABULADA LOS VEINTITRÉS
PROBLEMAS DE HILBERT SON:

CAPITULO III

Otras conjeturas por
resolver

OTROS PROBLEMAS NO RESUELTOS

A parte de los problemas del milenio en la actualidad
existen conjeturas que no se han podido comprobar y que se
consideran como no resueltos.

CONJETURA DE GOLDBACH

En teoría de números, la conjetura de
Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en
matemáticas. A veces se le califica del problema
más difícil en la historia de esta ciencia. Su
enunciado es el siguiente:

Cabe notar que se puede emplear dos veces el mismo
número primo.

Por ejemplo,

HISTORIA

Esta conjetura había sido conocida por Descartes.
La siguiente afirmación es equivalente a la anterior y es
la que se conjeturó originalmente en una carta de Goldbach
a Euler en 1742:

Todo número entero mayor que 5 se

Puede escribir como suma de tres

CONJETURA DE LOS NÚMEROS
PRIMOS.

Esta conjetura ha sido investigada por muchos
teóricos de números y ha sido comprobada por
ordenadores para todos los números pares menores que 1018.
La mayor parte de los matemáticos cree que la conjetura es
cierta, y se basan mayormente en las consideraciones
estadísticas sobre la Distribución
probabilística de los números primos en el conjunto
de los números naturales: cuanto mayor sea el
número entero par, se hace más "probable" que pueda
ser escrito como suma de dos números primos.

Sabemos que todo número par puede escribirse de
forma mínima como suma de a lo más seis
números primos.

Como consecuencia de un trabajo de Vinográdov,
todo número par lo bastante grande puede escribirse como
suma de a lo más cuatro números primos.
Además, Vinográdov demostró que casi todos
los números pares pueden escribirse como suma de dos
números primos (en el sentido de que la proporción
de números pares que pueden escribirse de dicha forma
tiende a 1). En 1966, Chen Jing-run mostró que todo
número par lo bastante grande puede escribirse como suma
de un primo y un número que tiene a lo más dos
factores primos.

Con el fin de generar publicidad para el libro El
tío Petros y la conjetura de Goldbach de Apostolos
Doxiadis, el editor británico Tony Faber ofreció en
2000 un premio de un millón de dólares a aquel
angloparlante que demostrase la conjetura antes de abril de 2002.
Nadie reclamó el premio.

Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas
entre sí sobre la suma de números primos: la
conjetura 'fuerte' de Goldbach y la conjetura 'débil' de
Goldbach. La que se discute aquí es la fuerte, y la que se
suele mencionar como "conjetura de Goldbach" a secas.

CONJETURA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
GEMELOS

Dos números primos se denominan gemelos si uno de
ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues,
los números primos 3 y 5 forman una pareja de primos
gemelos. Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 o
29 y 31.

Conforme se van considerando primos más grandes
la frecuencia de aparición de pares de primos gemelos va
disminuyendo, pero aun así se ha visto computacionalmente
que siguen surgiendo pares de primos gemelos aun entre
números de tamaños enormes.

La conjetura de los primos gemelos postula la existencia
de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una conjetura,
esta todavía sin demostrar.

Existe un número infinito de primos p tales que p
+ 2 también es primo.

La conjetura ha sido investigada por muchos
teóricos de números. La mayoría de
matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan en
evidencias numéricas y razonamientos heurísticos
sobre la distribución probabilística de los
números primos.

En 1849, Alphonse de Polignac formulo una conjetura
más general según la cual, para todo numero natural
k existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2.k. El
caso k=1 es la conjetura de los números primos
gemelos.

DATOS HISTÓRICOS DEL PROBLEMA DE LOS NUMEROS
PRIMOS

En 1940, Erdos mostro que existe una constante c < 1
e infinitos primos p tales que p – p < c·ln(p), donde p
denota el numero primo que sigue a p. Este resultado fue mejorado
sucesivamente: en 1986 Maier mostro que podía emplearse
una constante c < 0,25. Daniel Goldston, Janos Pintz y Cem
Yildirim lograron un gran avance en 2005 al probar que el
resultado es válido para toda constante c>0.

En 1973, Jing-run Chen publico una prueba que existen
infinitos números primos p tales que p+2 es un producto
de, a lo más, dos factores primos. Para conseguir este
resultado se basó en la llamada teoría de cribas, y
consiguió tratar la conjetura de los primos gemelos y la
conjetura de Goldbach de forma similar

También existe una generalización de la
conjetura de los primos gemelos, conocida como la conjetura de
Hardy-Littlewood, sobre la distribución de los primos
gemelos, de forma análoga al teorema de los números
primos. Denotese como p2(x) el número de primos p menores
que x tales que p+2 también es primo. Defínase la
constante de los números primos C2 como el siguiente
producto de Euler.

En el mismo sentido en que el cociente de las dos
expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito.

Esta conjetura puede justificarse (pero no demostrarse)
si se supone, informalmente hablando, que el evento que n no sea
divisible por p y el evento que n+2 no sea divisible por p son
estadísticamente dependientes solo en la medida que el
hecho que n no sea divisible por p hace que p|n+2 sea un evento
entre p-1 eventos igualmente probables, y no un evento entre p
eventos igualmente probables. La evidencia numérica que
hay detrás de la conjetura de Hardy-Littlewood es
ciertamente impresionante.

NÚMEROS PRIMOS DE MERSENNE

Esta conjetura dice que un número M es un
número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia
de 2.

Un número primo de Mersenne es un número
de Mersenne que es primo. Se denominan así en memoria del
filósofo del siglo XVII Marín Mersenne quien en su
Cognitata Physico-Mathematica realizo una serie de postulados
sobre ellos que solo pudo refinarse tres siglos después.
También compilo una lista de números primos de
Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturo que
eran los únicos números primos de esa forma. Su
lista solo resulto ser parcialmente correcta, ya que por error
incluyo M67 y M257, que son compuestos, y omitió M61, M89,
y M107, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa
con el descubrimiento de números primos de Mersenne
más grandes. No proporciono ninguna indicación de
como dio con esa lista, y su verificación rigurosa solo se
completó más de dos siglos
después.