Medidas de Forma: Asimetría y Curtosis

1)
ASIMETRÍA

Es una medida de forma de una distribución que
permite identificar y describir la manera como los datos tiende a
reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de
la distribución. Permite identificar las
características de la distribución de datos sin
necesidad de generar el gráfico.

1.1) TIPOS DE ASIMETRÍA

La asimetría presenta las siguientes
formas:

Asimetría Negativa o a la Izquierda.- Se
da cuando en una distribución la minoría de los
datos está en la parte izquierda de la media. Este tipo de
distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la
izquierda, es decir, la distribución de los datos tiene a
la izquierda una cola más larga que a la derecha.
También se dice que una distribución es
simétrica a la izquierda o tiene sesgo negativo cuando el
valor de la media aritmética es menor que la mediana y
éste valor de la mediana a su vez es menor que la moda, en
símbolos

Nota: Sesgo es el grado de asimetría de
una distribución, es decir, cuánto se aparta de la
simetría.

Simétrica.- Se da cuando en una
distribución se distribuyen aproximadamente la misma
cantidad de los datos a ambos lados de la media
aritmética. No tiene alargamiento o sesgo. Se representa
por una curva normal en forma de campana llamada campana de Gauss
(matemático Alemán 1777-1855) o también
conocida como de Laplace (1749-1827).También se dice que
una distribución es simétrica cuando su media
aritmética, su mediana y su moda son iguales, en
símbolos Md=Mo

Asimetría Positiva o a la Derecha.- Se da
cuando en una distribución la minoría de los datos
está en la parte derecha de la media aritmética.
Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo
hacia la derecha, es decir, la distribución de los datos
tiene a la derecha una cola más larga que a la
izquierda.

También se dice que una distribución es
simétrica a la derecha o tiene sesgo positivo cuando el
valor de la media aritmética es mayor que la mediana y
éste a valor de la mediana a su vez es mayor que la moda,
en símbolos

1.2) MEDIDAS DE ASIMETRÍA

Coeficiente de Karl Pearson

Donde:

= media
aritmética.

Md = Mediana.

s = desviación típica o
estándar.

Nota:

El Coeficiente de Pearson varía entre -3 y
3

Si As < 0 ? la distribución será
asimétrica negativa.

Si As = 0 ? la distribución será
simétrica.

Si As > 0 ? la distribución será
asimétrica positiva.

Medida de Yule Bowley o Medida
Cuartílica

Donde:

= Cuartil
uno; = Cuartil dos
= Mediana; =
Cuartil tres.

Nota:

La Medida de Bowley varía entre -1 y 1

Si As < 0 ? la distribución será
asimétrica negativa.

Si As = 0 ? la distribución será
simétrica.

Si As > 0 ? la distribución será
asimétrica positiva.

Medida de Fisher

Para datos sin agrupar se emplea la siguiente
fórmula:

Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea
la siguiente fórmula:

Para datos agrupados en intervalos se emplea la
siguiente fórmula:

Donde:

= cada uno
de los valores; n = número de datos; = media aritmética; f
= frecuencia absoluta

= cubo de
la desviación estándar poblacional; xm = marca de
clase

Nota:

Si As < 0 ?Indica que existe presencia de la
minoría de datos en la parte izquierda de la media, aunque
en algunos casos no necesariamente indicará que la
distribución sea asimétrica negativa

Si As = 0 ? la distribución será
simétrica

Si As > 0 ? Indica que existe presencia de la
minoría de datos en la parte derecha de la media, aunque
en algunos casos no necesariamente indicará que la
distribución sea asimétrica positiva

Ejemplo ilustrativo:

Calcular el Coeficiente de Pearson, Medida
Cuartílica y la Medida de Fisher dada la siguiente
distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Calculando la media aritmética se
obtiene:

Para calcular los cuartiles se ordena los datos de menor
a mayor

Calculando el cuartil uno se obtiene:

Calculando el cuartil dos se obtiene:

Calculando el cuartil tres se obtiene:

Calculando la desviación estándar muestral
se obtiene:

Calculando el Coeficiente de Pearson se
obtiene:

Calculando la Medida de Bowley se obtiene

Calculando la desviación estándar
poblacional se obtiene:

Calculando la Medida de Fisher se obtiene

Los cálculos en Excel se muestran en la
siguiente figura:

Nota: El COEFICIENTE.ASIMETRIA(A2:A9) es un valor
que tiene consideraciones semejantes a la Medida de
Fisher

2) CURTOSIS O
APUNTAMIENTO

La curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de
una distribución con relación a la
distribución normal, es decir, mide cuán puntiaguda
es una distribución.

2.1) TIPOS DE CURTOSIS

La curtosis determina el grado de concentración
que presentan los valores en la región central de la
distribución. Así puede ser:

Leptocúrtica.- Existe una gran
concentración.

Mesocúrtica.- Existe una
concentración normal.

Platicúrtica.- Existe una baja
concentración.

2.2) MEDIDAS DE CURTOSIS

Medida de Fisher

Para datos sin agrupar se emplea la siguiente
fórmula:

Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea
la siguiente fórmula:

Para datos agrupados en intervalos se emplea la
siguiente fórmula:

Donde: =
cada uno de los valores; n = número de datos; = media aritmética;
= Cuádruplo
de la desviación estándar poblacional; f =
frecuencia absoluta; xm = marca de clase

Nota:

Si a < 3 ? la distribución es
platicútica

Si a = 3 ? la distribución es normal o
mesocúrtica

Si a > 3 ? la distribución es
leptocúrtica

Medida basada en Cuartiles y
Percentiles

(letra
griega minúscula kappa) = Coeficiente percentil de
curtosis

Nota:

Si <
0,263 ? la distribución es platicúrtica

Si= 0,263
? la distribución es normal o
mesocúrtica

Si >
0,263 ? la distribución es leptocúrtica

Esta medida no es muy utilizada.

Ejemplo ilustrativo: Determinar qué tipo
de curtosis tiene la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12,
12, 12, 15 y 17. Emplear la medida de Fisher y el coeficiente
percentil de curtosis.

Solución: Calculando la media
aritmética se obtiene

Calculando la desviación estándar
poblacional se obtiene:

Calculando la Medida de Fisher se obtiene:

Para calcular los cuartiles y percentiles se ordena los
datos de menor a mayor:

Calculando el cuartil uno se obtiene:

Calculando el cuartil tres se obtiene:

Calculando el percentil 90 se tiene:

Calculando el percentil 10 se tiene:

Calculando el coeficiente percentil de curtosis se
obtiene:

Como a= 2,23 y la distribución es
platicúrtica

Los cálculos en Excel se muestran en la
siguiente figura:

REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

BENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades para Producir
Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Mario
Ed. Graficolor, Ibarra, Ecuador.

DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con
Microsoft Excel, Grupo Editorial Megabyte,

Lima, Perú.

SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje
Holístico de Matemática, Ed. Gráficas
Planeta,

Ibarra, Ecuador.

SUÁREZ, Mario, (2011), Interaprendizaje de
Estadística Básica

TAPIA, Fausto Ibarra, Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes