Cónicas (página 2)

La recta que une los dos focos se llama eje real de la
hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la
hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el
punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.
Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman
vértices de la hipérbola. Al igual que en la
elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos
focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la
hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del
punto

-Construcción

Se debe tomar una hoja de acetato, en ella se dibuja una
circunferencia y un punto fuera de ella. Para construir una
hipérbola se dobla la hoja de tal manera que cualquier
punto de la circunferencia coincida con el punto dibujado y
desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento varias veces con
un punto distinto de la circunferencia cada vez, tendremos que
las marcas de los dobleces han formado una hipérbola. El
punto dibujado es un foco y el centro de la circunferencia es el
otro foco.

Otra forma de encontrar una hipérbola es la
siguiente. Se colocan dos conos unidos en su vértice y se
hace un corte de base a base de los conos. El perímetro de
este corte será una elipse.

-Aplicaciones

La Hipérbola tiene propiedades de
reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige
un haz de luz en dirección de un foco, por ejemplo de f,
se reflejará antes de llegar a él en la
hipérbola en dirección del foco f'. Este principio
se usa en los telescopios del tipo Cassegrain. El sistema de
navegación loran (acrónimo de long range
navigation) usa las propiedades de la reflexión de la
hipérbola

Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones
reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad
supersónica paralelamente a la superficie de la tierra,
deja una huella acústica hiperbólica sobre la
superficie. La intersección de una pared y el cono de luz
que emana de una lámpara de mesa con pantalla
troncocónica, es una hipérbola.

La definición de la hipérbola como lugar
geométrico es similar a la dada para la elipse, como vemos
en seguida

La recta que pasa por los focos corta a la
hipérbola en dos puntos llamados vértices. El
segmento recto que une los vértices se llama eje
transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola.
Un hecho distintivo de la hipérbola es que su
gráfica tiene dos partes separadas, llamadas
ramas.

Figura 1.

  Los vértices están a una distancia
de a unidades del centro y los focos a una distancia de unidades del centro.
Además

Figura 2.

  Resumiendo:

Si el eje transversal de la hipérbola es
horizontal entonces

• El centro está en

• Los vértices están en

• Los focos están en

Si el eje transversal de la hipérbola es vertical
entonces

• El centro está en

• Los vértices están en

• Los focos están en

Una ayuda importante para trazar la
gráfica de una hipérbola son sus asíntotas.
Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se
intersecan en su centro y pasan por los vértices de un
rectángulo de dimensiones 2a  y
2b  y centro en

El segmento recto de longitud
2b  que une

se llama eje conjugado de la hipérbola. El
siguiente teorema identifica la ecuación de las
asíntotas.

Observación: las asíntotas de la
hipérbola coinciden con las diagonales del
rectángulo de dimensiones y centro

Esto sugiere una forma simple de trazar tales
asíntotas.

Si la excentricidad es grande los focos están
cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi
rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos
están lejos del centro y las ramas de la hipérbola
son más puntiagudas.

La propiedad reflectora de la hipérbola afirma
que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una
hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura
2).

Figura 3.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación canónica, los focos,
los vértices, la excentricidad y las asíntotas de
la hipérbola cuya ecuación es

Solución

Completando el cuadrado en ambas variables

La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 4.

Ejemplo 2

Por tanto, la ecuación canónica
es

El valor de está dado por

Figura 5.

La
Elipse

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos
tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados
focos, es una constante. La línea que une los dos focos se
llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje
secundario. Se llaman vértices de la elipse a los puntos
donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos
focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se
llama distancia focal.

-Construcción

Se debe tomar una hoja de acetato, en ella se dibuja una
circunferencia y un punto dentro de ella.

 Para construir una elipse se dobla la hoja de tal
manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el
punto dibujado y desdoblamos la hoja.

Haciendo este procedimiento varias veces con un punto
distinto de la circunferencia cada vez, tendremos que las marcas
de los dobleces han formado una elipse. El punto dibujado es un
foco y el centro de la circunferencia es el otro foco.

Otra forma de encontrar una elipse es la siguiente. Se
debe hacer un corte a un cono de unicel con un plano, la
dirección del corte debe ser de lado a lado de las paredes
del cono sin llegar a la base. Mientras mas paralelo a la base
sea el corte menos excentricidad tendrá la elipse. El
perímetro de este corte será una elipse

-Aplicaciones

La elipse tiene propiedades de reflexión
similares a la de la parábola, en este caso cuando
colocamos un emisor de ondas en un foco, estas se
reflejarán en las paredes de la elipse y
convergerán en el otro foco. Con respecto a la elipse la
aplicación primera que tenemos que mencionar es que las
órbitas de los planetas son elípticas con el Sol en
uno de los focos.

En la medicina se usa un aparato llamado litotriptor
para desintegrar "cálculos" renales por medio de ondas
intra-acuáticas de choque. El funcionamiento de este
aparato es de la siguiente forma, se coloca un medio elipsoide
lleno de agua pegado al cuerpo del paciente en el foco de esta
parte del elipsoide se pone un generador de ondas; el foco de la
otra parte del elipsoide se debe localizar en estos
"cálculos" y así al reflejarse las ondas en la
superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas
convergerán en el "cálculo" y este se
desintegrará. Además existen capillas o
galerías de los secretos. Son estructuras con techos
elipsoidales aquí se puede oír a una persona que
está en un foco desde el otro foco y las personas que
están entre las otras dos no oirá nada.

Más de mil años después de que los
griegos definieran las secciones cónicas, en la
época del Renacimiento, el astrónomo polaco
Nicholas Copérnico (1473 – 1543), en su obra: Sobre las
revoluciones de las esferas celestes, sostenía que todos
los planetas, incluso la Tierra, giraban en órbitas
circulares alrededor del Sol. Aunque muchas de las afirmaciones
de Copérnico no eran válidas la controversia
provocada por su teoría heliocéntrica empujó
a los astrónomos a buscar un modelo matemático que
explicará los movimientos de los planetas y el Sol. El
primero en hallarlo fue el astrónomo alemán
Johannes Kepler (1571 – 1630).Kepler descubrió que los
planetas giran alrededor del Sol en órbitas
elípticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno
de los focos. El uso de las elipses para explicar el movimiento
de los planetas es tan sólo una de sus diversas
aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parábola
vamos a definir la elipse como un lugar geométrico de
puntos. En este caso usando dos puntos focales en vez de
uno.

La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos
puntos llamados vértices. La cuerda que une los
vértices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el
centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor y que
pasa por el centro se llama eje menor de la elipse.

Para visualizar la definición de la elipse, basta
imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda
atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa
cuerda, su trazo irá dibujando una elipse, como se muestra
en la figura 1.

Figura 1.

  En el programa que sigue, el primer
segmento determina la constante 2a. Esta constante se
puede modificar arrastrando ambos puntos del segmento. Los focos
también se pueden modificar arrastrándolos con el
mouse. El punto sobre la línea azul sirve para variar la
pendiente de la recta

Figura 2.

Observación: de la figura 2, podemos
deducir que

es decir, es la constante a la que se refiere la
definición.

Los focos están en el eje mayor a unidades del
centro con

y el eje mayor es horizontal. En el caso de que el eje
mayor sea vertical la ecuación toma la forma:

Observación: la demostración de
este teorema no es complicada, basta aplicar la definición
y la fórmula de distancia (figura 2).

Simplificando

Pero,

y así obtenemos la ecuación
canónica de la elipse

La excentricidad es una medida de la "circularidad" de
una elipse, entre más cerca de cero más circular y
entre más cerca de uno más alargada.

Observe que al estar situados los focos en el eje mayor
entre el centro y los vértices, siempre se tiene
que

Es decir, las elipses tienen una excentricidad menor a
uno.

Esto explica la dificultad de los astrónomos en
detectar las órbitas elípticas de los planetas,
pues estas tienen los focos muy cerca de su centro, lo cual las
hace casi circulares. La siguiente tabla muestra la excentricidad
de las órbitas de los nueve planetas y la Luna.

Una de las propiedades geométricas más
interesante de la elipse afirma que: un rayo que emana de uno de
los focos de la elipse y se refleja en ella pasa por el otro
foco; esta propiedad se conoce como la propiedad reflectora
(figura 3).

Figura 3.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación canónica de la
elipse

Trazar su gráfica identificando los
vértices, los focos, el centro y la
excentricidad.

Solución

Para hallar la ecuación canónica debemos
completar el cuadrado de la expresión en ambas variables
e

La gráfica se muestra en la figura 4.

Figura 4.

Ejemplo 2

La gráfica de la elipse se muestra en la figura
5.

Figura 5.

Ejemplo 3

Determine la ecuación canónica de la
elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por
los puntos

Solución

Suponga que el centro de la elipse es

(h,k)

Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación
debe ser:

Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación
tiene la forma:

Evaluando cada uno de los puntos, obtenemos el siguiente
sistema:

(1) Si

(2) Si

(3) Si

(4) Si

De (3) y (4) obtenemos (5)

De (1), (2) y (5) tenemos que

Lo cual es falso. Esto nos dice que no existe una elipse
de eje horizontal que pase por esos.

Si la elipse tiene eje es vertical, su ecuación
tiene la forma:

Sustituyendo cada uno de los obtenemos el siguiente
sistema:

(6) Si

(7) Si

(8) Si

(9) Si

De (6) y (7) tenemos (10)

De (8) y (9) tenemos (11)

De (6), (8), (10) y (11) tenemos

Con lo cual la ecuación de la elipse
es:

(7) Si

Ejercicios

Historia

El matemático griego Menecmo (vivió sobre
el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el
matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga
(antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar
detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad
plana que las definía.

Apolonio descubrió que las cónicas se
podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre
de: elipses, hipérbolas y parábolas.

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una
superficie cónica con un plano que no es paralelo a
ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al
cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo
a dos de sus generatrices (Base y arista).

Las parábolas son las curvas que se obtienen al
cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una
sola generatriz (Arista).

Apolonio demostró que las curvas cónicas
tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas
propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas.
Quizás las propiedades más interesantes y
útiles que descubrió Apolonio de las cónicas
son las llamadas propiedades de reflexión. Si se
construyen espejos con la forma de una curva cónica que
gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos
elípticos, parabólicos o hiperbólicos,
según la curva que gira.

Apolonio demostró que si se coloca una fuente de
luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz
reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe
luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de
manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo,
entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.
Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco
de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta
hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212
A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa
de Siracusa usando las propiedades de los espejos
parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza
para los radares, las antenas de televisión y espejos
solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo
que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que
los faros de los automóviles concentren el haz en la
dirección de la carretera o para estufas. En el caso de
los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los
focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se
utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie
mayor iluminada.

En el siglo XVI el filósofo y matemático
René Descartes (1596-1650) desarrolló un
método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este
método es la llamada Geometría Analítica. En
la Geometría Analítica las curvas cónicas se
pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las
variables x e y. El resultado más sorprendente de la
Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de
segundo grado en dos variables representan secciones
cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar
a dudas las cónicas son las curvas más importantes
que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo,
las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la
óptica. Pero sin duda lo que las hace más
importantes en la física es el hecho de que las
órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y
que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo
sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El
astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630)
descubrió que las órbitas de los planetas alrededor
del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el
caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás
planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de
Plutón.. Más tarde el célebre
matemático y físico inglés Isaac Newton
(1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo
alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva
cónica.

Autor:

Noelia Andia