Introducción
Las cónicas constituyen uno de los conjuntos de
curvas más importantes de la Geometría y que
más se utilizan en distintas ramas de la Ciencia y la
Ingeniería.
Tradicionalmente, el estudio de las cónicas en el
bachillerato es un estudio de tipo analítico, destinado a
obtener sus ecuaciones en un determinado sistema de referencia,
partiendo de unas definiciones que, en algunos casos, parecen
sacadas de una chistera y deducir de ellas sus propiedades. Este
enfoque práctico, no permite vislumbrar la belleza que
esconden estas curvas al estudiar sus propiedades por
métodos puramente geométricos; de hecho, ni
siquiera sirve para justificar el nombre de cónicas ni
permite saber de dónde han salido esas
definiciones.
En este trabajo se hace una presentación de las
cónicas desde un punto de vista totalmente
geométrico. Se muestran cada una de estas curvas como
intersección de un plano con un cono de revolución
y, posteriormente, se demuestran sus propiedades utilizando las
demostraciones basadas en las esferas de Dandelin.
Definición
Se denomina sección cónica a la curva
intersección de un cono con un plano que no pasa por su
vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses,
parábolas e hipérbolas.
Información de las cónicas, su
construcción, historia, applets animados relizados con el
programa regla y compas
La Parábola
La Hipérbola
La Elipse
Historia
La Parábola
Se llama parábola al lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado
foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una
parábola recibe el nombre de parámetro de la
parábola (suele denotarse por p). Dada una
parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene
al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama
vértice de la parábola al punto donde ésta
corta a su eje.
La ecuación para una parábola con eje
focal paralelo al eje x, vértice en (h, k) y cuya
distancia al foco es p es:
La ecuación para una parábola con eje
focal paralelo al eje y, vértice en (h, k) y cuya
distancia al foco es p es:
Construcción
Se debe tomar una hoja de acetato en ella se dibuja un
punto. Para construir la parábola se dobla la hoja de tal
manera que cualquier punto del borde inferior coincida con el
punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento
varias veces con un punto distinto del borde inferior cada vez,
tendremos que las marcas de los dobleces han formado una
parábola. El punto dibujado es el foco y el borde inferior
de la hoja, la directriz.
Otra forma de encontrar una parábola es la
siguiente. Se debe hacer un corte a un cono de unicel con un
plano, la dirección del corte debe ser desde la base del
cono a cualquier punto del cono. El perímetro de este
corte será una parábola.
-Aplicaciones
Las aplicaciones de las parábolas son
básicamente aquellos fenómenos en donde nos
interesa hacer converger o divergir un haz de luz y sonido
principalmente. Por ejemplo las antenas parabólicas, las
lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden
construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos
solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes
también tienen forma paraboloidal.
Las parábolas tienen una propiedad Si se
coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola,
algunos haces de luz serán reflejados por la
parábola y todos estos rayos serán perpendiculares
a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas
sordas o en los faros de los automóviles estos
están formados por un paraboloide (parábola en 3
dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este
paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la
bombilla del foco y los haces de luz divergieran o
convergerán. Este principio funciona también en las
antenas parabólicas. Un satélite envía
información a la Tierra, estos rayos serán
perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se
encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la
antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en
donde se encuentra un receptor que decodifica la
información. También en los telescopios se usa esta
propiedad.
La
Hipérbola
Se llama hipérbola al lugar geométrico de
los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a
dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa
por 2a).
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