Teoría de conjuntos (página 2)

"C es un conjunto formado por los elementos "x" tal que
"x" es un número impar y "x" pertenece al conjunto de los
números naturales.

Ejemplo 3

Determinar por comprensión el conjunto "S"
formado por los elementos dos y tres.

Por extensión:

S = {2,3}

Por comprensión:

S = {x/x2 – 5x + 6 = 0}

Se lee.

"S es un conjunto formado por los elementos "x" tal que
x al cuadrado menos cinco x mas seis es igual a cero.

Clases de
conjuntos por el número de elementos

1. CONJUNTO UNITARIO

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplos:

2. CONJUNTO VACIO (O
NULO)

Es aquel conjunto que no tiene elementos.

Ejemplo:

A = {es el conjunto de aves que tienen 3
patas}

B = {es el conjunto de hombres con 4
piernas}

Como se habrá dado cuenta no existe ninguna ave u
hombre con tres patas o cuatro piernas respectivamente, por
tanto, estos conjuntos carecen de elementos y decimos que es un
conjunto VACIO.

Conjunto
universal: (o universo)

Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual
están todos los demás conjuntos, se le simboliza
por letra U, gráficamente se le representa mediante
un rectángulo en cuyo vértice (uno cualquiera) se
coloca la letra U.

Si consideramos como un conjunto universal al sistema
Universitario de nuestro país, entonces cada Universidad
x, será elemento de dicho universo. El conjunto de libros
de una biblioteca determinada, puede ser otro ejemplo, sus
elementos serán cada uno de los libros de los que consta.
El marco de referencia es relativo, de modo que podemos referir
como conjunto universal por ejemplo al conjunto de Bibliotecas de
Contumazá.

4. CONJUNTO FINITO

Es aquel cuyos elementos se pueden contar en forma usual
desde el primero hasta el último. El número de sus
elementos se llama cardinal de conjunto.

Ejemplos:

5. CONJUNTO INFINITO

Si contamos no llegamos nunca a un último
elemento del conjunto mencionado. A este tipo de enunciados se
denominan conjuntos infinitos o indefinidos.

Ejemplo:

Ejemplo:

• 1. A = {1, 2,
  3,……………..,100} (es
  finito)

• 2. B = {1, 2,
  3,…………………….}
  (es infinito)

• 3. C = {……-4, -3, -2, -1,
  0, 1, 2, 3, 4………} (es
  infinito)

Relaciones entre
conjuntos

1. INCLUSIÓN

Se dice que "A" está incluido en el conjunto "B",
cuando todo elemento de A, pertenece a "B". La inclusión
se simboliza por: "("

También se puede decir que A es subconjunto del
conjunto B. Se puede denotar por B(A, que se lee "B incluye,
contiene al conjunto A"

Ejemplo:

Si: P = {vacas}

M = {mamíferos}

Entonces se tiene:

Sean por ejemplo los conjuntos:

A = {a, b, c, d} B = {a, d}

C = {b, d, a, c} D = {a, c, e}

En este caso se observa las siguientes
inclusiones:

B ( A; C ( A; A (
C

En cambio los conjuntos "C" y "D" son incomparables,
porque ni "C" incluye a "D", ni "D" incluye a "C", es
decir:

D (C; C(D

Hemos visto que pueden ocurrir al mismo tiempo las dos
inclusiones C ( A y A ( C, esto
quiere decir, que A = C.

2. CONJUNTOS IGUALES

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos
elementos, su forma simbólica es: A = B

Nótese que decimos los mismos elementos que no es
igual a decir el mismo número de elementos.

De la definición podemos inferir que: A = A (todo
conjunto es igual a sí mismo).

Ejemplo 01

Si: A = [1, 3, 7, 9, a, b} B = {a, b, 9, 3, 1,
7}

Entonces: A = B pues son los mismos elementos aunque
estén en diferente orden. Recuerde, no importa el nombre
dado al conjunto si no los elementos que lo forman.

Ejemplo 02

Si: C = {a, e, o, i, u} D = {a, e, o, 3, u}

Entonces: C?D porque a pesar de que cada conjunto tiene
cinco elementos (igual número de elementos) basta que
exista un elemento diferente para que ya no sean
iguales.

3. CONJUNTOS DIFERENTES

Dos conjuntos son diferentes si sus elementos no son
iguales.

Ejemplo:

4. CONJUNTOS DISJUNTOS

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún
elemento en común: es decir, todos los elementos de un
conjunto son diferentes a los elementos de otro
conjunto.

Ejemplo:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {9, 8, 7, 6, 10}

En este caso podemos apreciar que ningún elemento
de A o B son los mismos a esto se denomina conjuntos
disjuntos.

5. CONJUNTO POTENCIA

Se llama así al conjunto formado por todos los
subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se
simboliza por P. La notación P(A), se lee:
"potencia del conjunto A". El número de subconjuntos que
es posible formar con los elementos de un conjunto es: 2n
siendo "n" el número de elementos integrantes del conjunto
dado.

Ejemplo:

Se pueden intuir muchos sistemas auxiliares para
visualizar las relaciones; entre conjuntos, los más
conocidos son los diagramas lineales y los de
Venn-Euler.

1. DIAGRAMAS LINEALES

Son aquellos en donde se emplean líneas "(" para
determinar la jerarquía entre conjuntos y se grafican uno
debajo de otro teniendo en cuenta si es subconjunto o está
incluido en el que va en la parte superior.

Ejemplo:

Si el conjunto universal lo forman las letras del
alfabeto y además se tiene los siguientes
conjuntos:

A = {a, b, c, d}

B = {c, a, d}

C = {a, d}

• Observamos que : C ( B; además B ( A; y como
  U es el conjunto universal (todas las letras del
  alfabeto)

La representación lineal será:

2. DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Consiste en graficar mediante círculos, elipses,
rectángulos, u otras figuras geométricas de
área plana, cada uno de los conjuntos con los que se
labora. Generalmente los puntos interiores a un rectángulo
representan al conjunto del sistema.

Ejemplo: (teniendo en cuenta el ejemplo
anteriormente desarrollado en el caso de los diagramas
lineales)

Si el conjunto universal lo forman las letras del
alfabeto y además se tiene los siguientes
conjuntos:

A = {a, b, c, d}

B = {c, a, d}

C = {a, d}

• Observamos que : C ( B; además B ( A; y como
  U es el conjunto universal (todas las letras del
  alfabeto)

La representación de los diagramas de
Venn-Euler:

Observamos que el conjunto C esta en el interior del
conjunto que lo incluye del mismo modo, B respecto de A. el
conjunto universal está representado por el
rectángulo en nuestro ejemplo; que a su vez está
formado por las letras del alfabeto.

C ( B ( A ( U

Operaciones entre
conjuntos

Las operaciones entre conjuntos son las disposiciones
específicas de combinar conjuntos para formar otros, de
semejante estructura. Dichas operaciones son la unión, la
intersección, la diferencia, la complementación, el
conjunto Producto o conjunto cartesiano, y la diferencia
simétrica.

1. UNIÓN O
REUNIÓN

Unión o reunión de los conjuntos A y B es
el conjunto de elementos "x" que pertenecen a "A", a "B" o a
ambos, se simboliza por: A(B; y se lee: "A unión
B"

Por comprensión:

Gráficamente, la unión de conjuntos se
representa, en un diagrama de Venn-Euler, achurando la zona donde
se encuentran los diversos elementos que pertenecen a los
conjuntos que van a formar la unión o
reunión.

Ejemplo:

PRO PIEDADES DE LA UNIÓN DE
CONJUNTOS

2. INTERSECCIÓN

Intersección de los conjuntos A y B es el
conjunto de elementos "x" que pertenecen a "A" y a "B".
Está formado por elementos comunes a los conjuntos que
forman la intersección. Se simboliza por A(B y se
lee: A intersección B.

Gráficamente, la respuesta es la zona sombreada
que contiene a los elementos que pertenecen a ambos
conjuntos.

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE
CONJUNTOS

3. DIFERENCIA

Diferencia entre los conjuntos "A" y "B", es el conjunto
de elementos "x" que pertenecen a "A" pero no a "B", se simboliza
por "A( B"

Ejemplo:

Sean los conjuntos.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} y el conjunto universal,
el conjunto de Números Naturales.

En el diagrama, la parte achurada, representa:
"A(B"

A( B = {1, 2,
3}

• a. Si el conjunto universal, esta formado por
  los números naturales la diferencia será:

4. COMPLEMENTACIÓN

Complemento de un subconjunto cualquiera "B" respecto a
"U" (conjunto universal), es el conjunto de elementos de "U" que
no pertenecen a "B". Se llama también complemento de "B"
en "U", o simplemente conjunto diferencia de "U( B". Se lo
reconoce por:

Definición 2; complemento de un
subconjunto cualquiera "B" respecto a un conjunto "A" que no
pertenece a "B". se le llama complemento de "B" en "A", o
simplemente conjunto diferencia "A(B".

Ejemplo 1:

Si el conjunto universal está formado por los
habitantes de nuestro país, y si "A" es el conjunto de
habitantes de nuestra ciudad, entonces "A" representa a los
habitantes de nuestro país que no son de nuestra
ciudad.

Ejemplo 2:

5. DIFERENCIA
SIMÉTRICA

Diferencia simétrica de los conjuntos "A" y "B",
es el conjunto de elementos de "A" y de "B", excepto los que
pertenecen a la intersección. Esto es, que pertenecen a
"A" o "B".

Ejemplo:

Sean:

Resolución:

Por definición:

O también:

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA
SIMÉTRICA

Autor:

Santos E. Dávalos
Culquichicón