Teoría de conjuntos

Idea de
conjunto

Todos tenemos la idea de lo que es un conjunto: es una
colección, agrupación, asociación,
reunión, unión de integrantes homogéneos o
heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los
integrantes pueden ser números, letras, días de la
semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos
integrantes en general, se les denomina "elementos del
conjunto".

Ejemplos:

• a) El conjunto formado por los primeros veinte
  números naturales.

• b) El conjunto formado por docentes de una
  Institución Educativa.

• c) El conjunto formado por los actuales
  presidentes regionales del Perú.

• d) El conjunto formado por las computadoras de
  una cabina de Internet.

Sin embargo, el concepto que tenemos es un "concepto
intuitivo", el cual pues no es correcto pues también
existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos
formados sin elementos lo cual contradice la idea que
teníamos.

Ejemplos:

• a) El conjunto constituido por los animales que
  maman.

• b) El conjunto de ciudades de la sierra
  peruana.

• c) El conjunto de los números naturales
  menores que 6 y mayores que 5.5

• d) El conjunto de de personas mayores de 500
  años de edad.

Definición
tentativa de conjunto

Si tomamos todas las ideas anteriores entonces conjunto
se define como "la presencia o ausencia de elementos con
características semejantes dentro de un contexto real o
imaginario".

NOTACIONES DE UN CONJUNTO

• I. A conjuntos se les denotará con
  letras mayúsculas A, B, C…..y a sus
  elementos con letras minúsculas; a, b, c,
  d,……para separar los elementos se emplean comas (,)
  y el punto y coma para separar conjuntos o
  subconjuntos.

Ejemplo:

• II. El símbolo empleado para expresar
  que un elemento pertenece a un conjunto es:
  (

Ejemplo:

• III. el símbolo utilizado para expresar
  que un elemento "no pertenece" a un conjunto es:
  (

Ejemplo:

• IV. Cuando un conjunto "R" está
  constituido por varios elementos como por ejemplo: a, e, i,
  o, u o por subconjuntos: {2}; {3, 4}; los escribimos entre
  LLAVES "{}".

Ejemplo:

Determinación de
conjuntos

1. Por Extensión

Un conjunto "D" está determinado por
extensión cuando se mencionan uno por uno todos sus
elementos o cuando, si son números, se mencionan los
primeros de ellos (y se coloca puntos suspensivos)

Ejemplos:

D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado,

domingo}

C = {0, 1, 2, 3, 4,
5,…………………}

Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser
determinados de esta sobre todo cuando el número de
elementos que constituyen el conjunto es muy elevado.

Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen
infinitos elementos como el conjunto de estrellas del
universo.

Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro
procedimiento para determinar los conjuntos que tienen muchos
elementos. A esta otra forma de determinar a un conjunto se le
denomina comprensión que también se puede utilizar
para cualquier conjunto.

2. Por Comprensión

Un conjunto "D" está determinado por
comprensión cuando se enuncia una ley o una función
que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a
pertenecer al conjunto D.

Para diferenciar cada forma de determinar un conjunto
veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Por extensión:

D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado, domingo}

Por comprensión: (una posible respuesta
sería)

D = {x/"x" es un día de la semana}

Se lee:

"El conjunto D está formado por todos los
elementos "x" que satisfacen la condición de ser un
día de la semana".

Otra posible respuesta sería:

"D es el conjunto constituido por todos los elementos
"x" tal que X es un día de la semana"

Ejemplo 2

Por extensión:

C = {0, 1, 2, 3, 4,
5,…………………}

Por comprensión: (una posible respuesta
sería)

C = {x/x = (2n – 1) ^ x(N}

Se lee: