Secciones cónicas y sus aplicaciones (página 2)

Definición

Se denomina cónica o sección cónica
al conjunto de los puntos que forman la intersección de un
plano con un cono de revolución de dos ramas. Si el plano
es perpendicular al eje del cono, la intersección es una
circunferencia o punto, según que corte a una rama o pasa
por el vértice. Si el plano no perpendicular al eje, pero
corta a toda generatriz, la intersección es una elipse. Si
plano es paralelo a una genetriz y corta a todas las
demás, la intersección es una parábola. Si
el plano corta a dos ramas del cono y no pasa nada por el
vértice, la intersección es una hipérbola,
Si el plano pasa por el vértice, la intersección es
un punto, dos rectas que se cortan, o una sola recta.

Clasificación de las
cónicas

• 1. PARÁBOLA de colocar al
  lado o "comparar"

Denominamos parábola al lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada
directriz. Entonces la parábola es el conjunto de puntos
del plano que está a la misma distancia de un punto, su
foco, y de una recta fija, su directriz

La distancia entre el foco y la directriz de una
parábola recibe el nombre de parámetro de la
parábola (suele denotarse por p). Dada una
parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene
al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama
vértice de la parábola al punto donde ésta
corta a su eje.

• 2. CIRCUNFERENCIA

La circunferencia podemos definirla como una
línea curva cerrada que consta de la sucesión de
puntos equidistantes de un punto llamado centro. El
término equidistar significa que están a la misma
distancia. Los puntos de la circunferencia y los que se
encuentran dentro de ella forman una superficie llamada
círculo.

Ecuación general de la circunferencia:

• 3. HIPÉRBOLA de "avanzar
  mas alla", el area exedia el segmento dado.

Es un conjunto de puntos con coordenadas (x,y) en un
plano cartesiano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos
fijos colineales en el plano es constante. Estos puntos fijos
reciben el nombre de focos de la hipérbola, y la
línea recta sobre la cual están localizados los
focos recibe el nombre eje focal o eje mayor. El punto
medio entre los focos, de coordenadas (h,k), recibe el nombre de
centro y a los puntos donde la hipérbola interseca al eje
focal se les denomina vértice. A la recta que
pasa por el centro, y que es perpendicular al eje focal, recibe
el nombre de eje conjugado. A las dos curvas que forman
la hipérbola se les llama ramas. La hipérbola tiene
dos rectas inclinadas denominadas asíntotas, a
las cuales las ramas de la hipérbola se acercan sin
interceptarlas y que facilitan o sirven como guías para
graficarlas.

• 4. ELIPSE que significa una
  deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado
  debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso
  en un cuadrado.

Una definición intuitiva de la elipse
sería la siguiente: "Una elipse es una curva ovalada que
se asemeja a un círculo alargado". Una definición
más precisa sería la siguiente:

"Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un
plano cuya distancia a dos puntos fijos en el palo tienen una
suma constante. Los puntos fijos son los focos de la elipse. La
recta que une los focos es el eje focal. El punto sobre el
eje focal que está en el punto medio entre los dos focos
es el centro. Los puntos donde la elipse interseca a su
eje son los vértices de la elipse.

Aplicaciones de
las secciones cónicas

"Los planetas en su movimiento
alrededor del Sol describen órbitas elípticas en
uno de cuyos focos se encuentra el Sol" (Primera Ley de
Kepler, 1609).

PROPIEDADES REFLECTORAS

Las aplicaciones principales de las parábolas
incluyen su como reflectores de luz y ondas de radio. Los rayos
originados en el foco de la parábola se reflejan hacia
afuera de la parábola, en líneas paralelas al eje
de la parábola. Aun mas el tiempo que tarda en llegar
cualquier rayo al foco a una recta paralela a la directriz de la
parábola ( y por lo tanto estas propiedades se utilizan en
linternas, faros de automviles, en antenas de transmisión
de microondas.

Si una elipse se hace girar alrededor de su eje mayor
sobre una superficie (denominado elipsoide)

Y el interior es cromado para producir en el espejo, la
luz de un foco será reflejada hacia el otro foco. Los
rayos reflejan el sonido de la misma manera y esta propiedad se
utiliza para construir galería de susurros, habitaciones
en las que una persona parada en foco puede escuchar un sonido
emitido desde el otro foco como por ejemplo el Salon de los
Estatutos del Capitolio en EEUU.

Las propiedades ópticas de la parábola
y de la hipérbola se combinan en el diseño del
telescopio reflector:

EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE

Los planetas del sistema solar giran alrededor del sol
en orbitas (aproximadamente) elípticas, con el sol en uno
de los focos. La mayoría de las orbitas son casi
circulares, como señalan las excentricidades listadas en
la tabla. Pluton tiene la orbita mas excéntrica, con
e = 0,21 . otros miembros del sitema solar tienen
orbitas todavias mas excéntricas, icaro un asteroide de
aproximadamente 1 milla de ancho que da una vuelta alrededor del
sol cada 409 dias terrestres, tiene una orbita con excentricidad
de 0,83.

La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si
unimos cualquier punto, P, de la hipérbola con sus focos,
el ángulo que forman los radios focales con la tangente en
ese punto, son iguales. (También se puede decir que la
tangente es la bisectriz del ángulo que forman los radios
focales). Esta propiedad se utiliza en la construcción de
espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o
sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la
recta que une el otro foco con el punto

SISTEMA DE NAVEGACIÓN LORAN

Consiste en mandar una señal de radio
simultáneamente desde dos puntos muy lejanos entre
sí, cuyas posiciones se conocen con exactitud. A partir
del tiempo y del orden de llegada de las dos señales, es
posible determinar la posición de una de ellas
considerando que están en una rama de determinada
hipérbola, cuyos focos son las estaciones. Si se agrega
una tercera estación como la anterior, se puede usar
ésta con cualquiera de las 2 primeras, para restringir la
posición de la señal a una segunda
hipérbola.

El punto de intersección de las dos medias
hipérbolas da la ubicación del receptor

ASTRONOMIA

El movimiento más frecuente de
estrellas, planetas, satélites, etc. es el descrito
mediante trayectorias elípticas (la circunferencia es un
caso particular de elipse).

No hace falta salir al espacio para observar a la elipse
y a la parábola como trayectorias que sigue un cuerpo. El
físico italiano Galileo (1564-1642) descubrió la
ley que gobierna el movimiento de los cuerpos sobre la superficie
de la Tierra: La velocidad de caída de los cuerpos no
depende de su masa y es directamente proporcional al tiempo. Esto
implica que si lanzamos un objeto con cierta inclinación
hacia arriba la trayectoria seguida es una parábola. Esto
es así porque el movimiento de dicho objeto puede
descomponerse en dos: uno horizontal y otro vertical
-también descubierto por Galileo-, el horizontal sigue con
velocidad constante mientras que el vertical sigue la ley: v =
g·t, siendo g la constante de la gravedad (9,8 m/s²),
t, el tiempo y v, la velocidad.

ORBITA DE LOS COMETAS

A cierta distancia del Sol, existe una velocidad umbral
llamada velocidad de escape, v. Cuando un cometa
tiene una velocidad igual o mayor que v, escapa del sistema
solar. Si su velocidad es menor permanece dentro del campo
gravitacional del Sol.

Trayectoria del cometa Elíptica si su
velocidad es menor que v.

Hiperbólica si es mayor que
v. Parabólica si es igual a
v.

En los dos últimos casos , el cometa se acerca al
Sol una sola vez y se retira al espacio para nunca volver (solo
se consi-dera interacción entre 2 cuerpos,
Sol-cometa)

MEDICINA

Se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar
"cálculos" renales por medio de ondas intra-acuaticas de
choque. El funcionamiento de este aparato es de la siguiente
manera, se coloca un medio elipsoide de agua pegado al cuerpo del
paciente en el foco de esta parte del elipsoide se pone un
generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se
debe localizar en estos calculos y asi reflejarse las ondas en la
superficie de la elipsoide de afuera del paciente de todas
convergeran

CIRCUNFERENCIA

Se utilizan técnicas circunferenciales para
muchas cosas. Por ejemplo; Los Cds, piezas ordinarias en la
música actual, son una placa circular con un borde que
termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un
orificio redondo que sirve para tomar el Cd y para que la radio
lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica requieren de
mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo
tanto para su fabricación se usan las técnicas del
radio y el diámetro.

La Circunferencia en las Armas

Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento
que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro,
este diámetro es lo que se usa para medir el tamaño
de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de
pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es solo
un "nombre", sino que esto se refiere al tamaño del
agujero (cañón) por donde salen los proyectiles
(balas) del arma, usando el tamaño del diámetro y
usando una medida milimetra para lograrlo.

La Circunferencia en el Transporte

En el transporte también podemos apreciar la
presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y
ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos
metálicos con dos ruedas que aplican la geometría
perfectamente: Las ruedas están hechas de un "arco" . La
mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y
desde este salen un montón de alambres delgados llamados
"rayos" y estos son radios que mantienen la forma circunferencial
de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de
la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el
diámetro.

La Circunferencia en los Deportes

Quizás parezca que en la única parte en
donde podría aplicarse la Circunferencia en los deportes
sería en los balones… Pero no, si solo nos detenemos a
pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o
lugares en donde se practican deportes tienen marcas
geométricas y Circunferencias que determinan situaciones
reglamentarias, etc. Los campos de Fútbol, las canchas de
Básquetbol, los campos de Fútbol Americano y en
muchas más.

Ejercicio
resuelto

• 1. Analice y represente la
  gráfica del lugar geométrico cuya
  ecuación es :

• Representa un par de rectas
  (asíntotas) que se cortan en C (-3,2)

EJERCICIOS PROPUESTOS

• Determine el lugar geométrico
  que representa las siguientes ecuaciones (si al completar el
  independiente es (+) corresponde a hipérbola y puede
  determinar el tipo. Si es 0 será par de rectas, y si
  es (-) es imaginario o conjunto vacío).

• Transforme la ecuación dada
  trasladando los ejes al nuevo origen que se
  indica:

• Transforme las siguientes ecuaciones
  por medio de la traslación de ejes, eliminando "x" e
  "y".

Conclusiones

Las curvas cónicas se
empezaron a estudiar hace miles de años, mucha gente
destinó su vida en entender y descifrar el porqué y
como de las cónicas.

Hay cuatro tipos de
cónicas:

La hipérbola, parábola,
circunferencia y elipse.

Cada una tiene aplicaciones
prácticas como es en el caso de la elipse e
hipérbola.

Éstas son principalmente empleadas
en el estudio de las órbitas, o sea en
astronomía.

Como también las elipses se aplican
para describir las trayectorias de ciertos vuelos en
avión.

Bibliografía

• Secciones Cónicas – Una
  mirada desde la derivación implícita (Cristina
  Gonzales Mazuelo)

• Curvas y Superficies en diseño
  en ingeniera (José María Gomis
  Martí)

• Geometría
  Analítica(Patricia Jaime Pérez)

• Proyecciones Cónicas ()

• Precálculo (Larson –
  Hostetler)

Autor:

Daniel Huachani Coripuna