Secciones Conicas

Historia

El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo
íntimamente ligado a uno de los tres problemas
clásicos de la geometría griega, la
duplicación del cubo o problema de Delos.

"…la peste se llevo una cuarta parte de la
población ateniense y la profunda impresión que
produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del
segundo problema…"

"…Se envió una delegación al
oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo
podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo
contesto que era necesario duplicar el altar cúbico
dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las
dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la
peste, obviamente habían aumentado ocho veces su volumen
en lugar de dos …"

Fue Hipocrátes de Chios quien demostró que
se podría conseguir la duplicación del cubo siempre
que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y
Menecmo halló dichas curvas como secciones de conos
circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos
(amblitoma). Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un
tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y
quien da una formulación definitiva.

Todo este estudio de estas formulaciones se encuentran
en "Las Cónicas", que son ocho libros dedicados al estudio
de las cónicas. Dicho tratado fue considerado como el
corpus más completo que recogía los conocimientos
sobre tales curvas de todo la Antigüedad. Con posterioridad
el rastro de los ocho libros de Las Cónicas de
Apolonio se perdió, de tal modo que su legado ha llegado
hasta nosotros de diversas formas. Sólo los cuatro libros
primeros se conservan en griego. El octavo desapareció en
su totalidad, pero, gracias a la traducción al
árabe de los libros V al VII que realizara Thabit ibn
Qurra, se conservaron los siete primeros. Todos ellos traducidos
al latin en los siglos XVI y XVII por Johanms B aptista Memus en
1537 y Abraham Echellencis y Giacomo Alfonso Borelli en
1661.

Estos libros contienen 387 teoremas bien demostrados,
algunos conocidos por matemáticos anteriores a Apolonio,
pero la mayoría de ellos inéditos.

En cuanto a la elaboración de Las
Cónicas sabemos que, residiendo en Alejandría,
Apolonio fue visitado por un geómetra llamado Naucrates,
y, a petición de este último, escribió un
apresurado borrador de Las Cónicas en ocho
libros. Más tarde, ya en Pérgamo,
perfeccionó y pulió el contenido de su primera
obra.

El propio Apolonio nos describe en la
introducción de su primer libro el contenido del resto.
Resumiremos los ocho libros a continuación:

• El libro I: trata de las propiedades fundamentales
  de estas curvas.

• El libro II trata de los diámetros conjugados
  y de las tangentes de estas curvas.

• El libro III: (el preferido de Apolonio).

• El libro IV: trata de las maneras en que pueden
  cortarse las secciones de conos.

• El libro V: estudia segmentos máximos y
  mínimos trazados respecto a una
  cónica.

• El libro VI: trata sobre cónicas
  semejante.

• El libro VII: trata sobre los diámetros
  conjugados.

• El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un
  apéndice.

Apolonio les da su nombre definitivo
Ellipsis (deficiencia), se utilizaba cuando un
rectángulo dado debía de aplicarse a un segmento
dado y resultaba escaso en un cuadrado. Mientras que la palabra
Hyperbola (avanzar más allá) se
adoptó para el caso en que el área excedía
del segmento dado, y por último la palabra
Parábola (colocar al lado o comparar)
indicaba que no había deficiencia ni exceso.

Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a
partir de las secciones del cono recto, variando el ángulo
de inclinación del plano con respecto al eje del cono y
"a partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental,
una condición necesaria y suficiente para que un punto
esté situado en la curva, y en ese momento abandonó
el cono y procedió a estudiar las cónicas por
métodos planimétricos exclusivamente…" y
"consigue una de las mejores obras de la matemática
antigua".

Definición

Se denomina sección cónica (o
simplemente cónica) a la curva intersección de un
cono con un plano que no pasa por su vértice. Se
clasifican en tres tipos: elipses,
parábolas e hipérbolas.

En el gráfico siguiente se muestra dicha
intersección:

Tipos

En función de la relación existente entre
el ángulo de conicidad (a) y la inclinación
del plano respecto del eje del cono (ß), pueden
obtenerse diferentes secciones cónicas, a
saber: