Historia de las Matemáticas (página 2)

El matemático más importante
del siglo XVIII fue Euler quien, además de trabajar en
toda una gama de ramas de las matemáticas, inventó
dos nuevas: el cálculo de variaciones y la
geometría diferencial. Euler también impulsó
la investigación sobre la teoría de números
que había iniciado tan eficazmente Fermat.

Finales del siglo XVIII

Hacia finales del siglo XVIII, Lagrange
iniciaría una rigurosa teoría de funciones y de la
mecánica. Ese periodo vio la gran obra de Laplace sobre
mecánica celeste así como grandes progresos de
Monge y Carnot en la geometría
sintética.

El siglo XIX vio rápidos avances. El
trabajo de Fourier sobre el calor tuvo fundamental importancia.
En geometría, Plücker produjo obras importantes sobre
geometría analítica y Steiner sobre
geometría sintética.

La
geometría

La geometría no-euclidiana
desarrollada por Lobachevsky y Bolyai condujo a la
caracterización de la geometría por Riemann. Gauss,
considerado por algunos como el mejor matemático de todos
los tiempos, estudió la reciprocidad cuadrática y
las congruencias de enteros. Su trabajo sobre geometría
diferencial revolucionaría la materia. También hizo
grandes contribuciones a la astronomía y el
magnetismo.

El siglo XIX

El siglo XIX vio el trabajo de Galois sobre
ecuaciones y su visión sobre el camino que
seguirían las matemáticas en el estudio de las
operaciones fundamentales. La introducción de Galois al
concepto de grupo anunciaría una nueva dirección
para la investigación en matemáticas la cual ha
continuado desde entonces.

Cauchy, construyendo sobre el trabajo sobre
funciones de Lagrange, empezó un análisis riguroso
y comenzó el estudio de la teoría de funciones de
una variable compleja. Esta labor la continuarían
Weierstrass y Riemann.

La geometría algebraica

La geometría algebraica fue
impulsada por Cayley, cuyo trabajo sobre matrices y
álgebra lineal complementó el de Hamilton y
Grassmann. El término del siglo XIX vio a Cantor inventar
la teoría de conjuntos casi sin ayuda mientras que su
análisis del concepto de número se sumó al
importante trabajo de Dedekind y Weierstrass sobre los
número irracionales. El análisis fue conducido por
los requerimientos de la física matemática y la
astronomía. La obra de Lie sobre ecuaciones diferenciales
llevó al estudio de los grupos topológicos y la
topología diferencial. Maxwell revolucionaría la
aplicación del análisis a la física
matemática. La mecánica estadística fue
desarrollada por Maxwell, Boltsmann y Gibbs y condujo a la
teoría ergódica.

El estudio de las
ecuaciones

El estudio de las ecuaciones integrales fue
impulsado por el estudio de la electrostática y la
teoría potencial. El trabajo de Fredholm llevó a
Hilbert a desarrollar el análisis funcional.

Notación y comunicación

Hay muchos descubrimientos
matemáticos importantes pero solamente aquellos que pueden
ser comprendidos por otras personas conducen al progreso. Sin
embargo, la facilidad de uso y de comprensión de los
conceptos matemáticos depende de su
notación.

Por ejemplo, es muy claro cómo el
trabajo con números se entorpece con una notación
pobre. Intenta multiplicar dos cifras usando notación en
números romanos. ¿Cuánto da MLXXXIV por
MMLLLXIX? La suma, por supuesto, es otra cuestión y, en
ese caso los números romanos alcanzan todo su potencial;
los mercaderes, quienes hacían la mayor parte de sus
cuentas sumando cifras, se mostraron reacios a dejar de usar los
números romanos.

Otros ejemplos de
problemas

Hay otros ejemplos de problemas con la
notación. El más conocido probablemente sea la
notación para el cálculo usada por Leibniz y
Newton. La de Leibniz llevó con mayor facilidad hacia la
extensión de las ideas del cálculo mientras que la
de Newton, aunque buena para describir velocidad y
aceleración, tenía mucho menor potencial cuando se
consideran funciones con dos variables. Los matemáticos
británicos que muy patrióticamente usaban la
notación de Newton, se colocaron en desventaja respecto a
los matemáticos de la Europa continental que siguieron a
Leibniz.

Pensemos por un momento sobre cuánto
dependemos de la notación matemática y de las
convenciones. Pídele a cualquier matemático que
resuelva ax = b y obtendrás como respuesta x = b/a. Me
sorprendería mucho que recibieras la respuesta a = b/x
pero no hay realmente razón para que no sea así.
Estamos usando, muchas veces sin darnos cuenta, la
convención de que las últimas letras del alfabeto
representan las incógnitas mientras que las del principio
representan cantidades conocidas.

No siempre fue así: Harriot
usó a como su incógnita, lo mismo que otros de sus
contemporáneos. La convención que empleamos (las
letras finales del alfabeto como incógnitas) fue iniciada
por Descartes en 1637. Otras convenciones han caído en
desgracia; por ejemplo la notación de Viète, quien
usó las vocales como incógnitas y las consonantes
como cantidades conocidas.

Por supuesto que ax = b contiene otras
convenciones de notación que utilizamos sin notarlo. Por
ejemplo, el signo de igual ("=") fue usado por primera vez por
Recorde en 1557. También tenemos que ax se usa para
denotar el producto de a por x, ¡la notación
más eficiente de todas ya que no requiere escribir nada
para denotar el producto!

¿Descubrimientos
brillantes?

Es muy difícil comprender la
brillantez de los descubrimientos matemáticos más
importantes. Por un lado, muchas veces aparecen como destellos
aislados aunque de hecho son la culminación de la obra de
muchos matemáticos, con frecuencia menos hábiles,
durante un largo periodo de tiempo.

Por ejemplo, la controversia de si el
cálculo fue descubierto por Newton o por Leibniz puede ser
resuelta fácilmente. Ninguno de ellos lo hizo ya que no
hay duda que Newton lo aprendió de su maestro, Barrow.
Claro que no estoy sugiriendo que Barrow deba recibir el
crédito de haber descubierto el cálculo;
simplemente estoy señalando que el cálculo surge de
un largo periodo de progreso que empieza con las
matemáticas griegas.

Ahora estamos en peligro de reducir los
más importantes descubrimientos matemáticos a la
simple suerte de alguien que estaba trabajando sobre un tema en
"el momento idóneo". Esto también sería
totalmente injusto (aunque algo ayuda a explicar por qué
tantas veces dos o más personas descubrieron lo mismo de
manera independiente más o menos al mismo tiempo).
Todavía existe el destello de genio en los
descubrimientos, muchas veces proveniente de un entendimiento
más profundo o de poder ver la importancia de ciertas
ideas con mayor claridad.

Cómo vemos
la historia

Vemos la historia de las matemáticas
desde nuestra propia posición de entendimiento y
sofisticación. No puede ser de otro modo pero aún
así tenemos que tratar de comprender la diferencia entre
nuestro punto de vista y el de los matemáticos de hace
siglos. Muchas veces la manera en que se enseñan las
matemáticas hoy en día hace que cueste trabajo que
entendamos las dificultades del pasado. No hay razón
alguna para que alguien introdujera los números negativos
nada más para resolver ecuaciones como x + 3 = 0. De
hecho, no hay una verdadera razón para introducir los
números negativos. Nadie tenía -2 libros. Podemos
pensar en el 2 como una propiedad abstracta que posee todo
conjunto con dos elementos. Esto en sí mismo es una idea
muy profunda. Añadir dos manzanas a tres manzanas es una
cosa. Darse cuenta de que hay propiedades abstractas 2 y 3 que se
aplican a cada conjunto con 2 y 3 elementos y de que 2 + 3 = 5 es
un teorema general que aplica ya sea que los conjuntos tengan
manzanas, libros o árboles, es dar el paso de contar hacia
el mundo de las matemáticas.

Los
números negativos

Los números negativos no tienen este
tipo de representación concreta sobre la cual construir la
abstracción. No debe sorprendernos que su uso
empezó solamente después de una larga lucha.
Entender estas dificultades sería beneficioso para
cualquier profesor que esté tratando de enseñar a
niños de primaria. Hasta los enteros, a los cuales
consideramos el concepto más básico, tienen una
sofisticación que nada más puede ser comprendida
adecuadamente si se examina su contexto
histórico.

Un
reto

Si crees que el descubrimiento
matemático es fácil, entonces aquí hay un
reto para hacerte pensar. Napier, Briggs y otros presentaron los
logaritmos al mundo hace casi 400 años. Estos fueron
usados durante 350 años como la principal herramienta en
los cálculos aritméticos. Un increíble
esfuerzo se ahorró usando logaritmos: de qué otra
forma podrían haberse hecho los pesados cálculos
necesarios para las ciencias sin los logaritmos.

El mundo cambió

Entonces el mundo cambió.
Apareció la calculadora de bolsillo. El logaritmo sigue
siendo una importante función matemática pero su
uso para hacer cálculos se ha ido para siempre.
Aquí está el reto. ¿Qué
reemplazará a la calculadora? Podrías decir que
esta es una pregunta injusta. Sin embargo déjame
recordarte que Napier inventó los conceptos básicos
de una computadora mecánica al mismo tiempo que los
logaritmos. Las ideas básicas que nos llevarán a
reemplazar a la calculadora de bolsillo están sin duda
entre nosotros.

Podemos pensar en calculadoras más
rápidas, más pequeñas o mejores pero lo que
estoy pidiendo es algo que sea tan diferente de una calculadora
como la calculadora misma lo es de las tablas de logaritmos. Yo
tengo una respuesta a mi propia pregunta pero decirla
echaría a perder el reto. Piensa en ello y date cuenta
qué tan difícil fue inventar las geometría
no-euclidianas, los grupos, la relatividad general, la
teoría de conjuntos, … .

Autor:

Leonardo Menchu