Trigonometría (página 2)

Línea recta, la sucesión continúa de puntos en una misma dirección.

Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de
curvatura.

Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.

Poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.

Poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.

Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.

Espaciales (tres dimensiones)

También, una línea es el lugar geométrico de una
sucesión continua de puntos en un espacio tridimensional, aunque siga
cualquier criterio. Puede ser:Línea recta, curva o quebrada, similares
a las anteriores.

LINEA RECTA

En geometría euclidiana, la recta o línea recta, el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x y y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Segmento

Un Segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.

Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

IGUALDAD DE SEGMENTOS:

La Igualdad de Segmentos, verificable por superposición, goza de las siguientes propiedades:

• Idéntica, reflexiva o refleja: Cualquier segmento es igual a sí mismo.

• Recíproca o simétrica: Si un segmento es congruente con otro, aquel es congruente con el primero.

DESIGUALDAD:

La Desigualdad de Segmentos, goza de la propiedad transitiva para las relaciones de mayor y de menor.

Semirecta

Una Semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.

Considerando la biyección entre una recta y los números
reales, los reales positivos corresponden a una semirrecta, los reales negativos
corresponden a otra semirrecta y el cero corresponde al punto frontera entre
las dos semirrectas, también llamado origen.

Nota:

La biyeccion es:

En matemática, una función

es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

El Plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Tres puntos no alineados.

Una recta y un punto exterior a ella.

Dos rectas paralelas.

Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Plano

Ángulo

Los Ángulos son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

DEFINICIONES CLASICAS:

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersectaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Se denomina ángulo plano a la porción de plano (comun) comprendida entre dos semirrectas con un origen en común denominado vértice. Otra concepción de ángulo dice que éste es la figura formada por dos rayos con origen común. Para ambos casos el ángulo no se puede medir (son subconjuntos de puntos del plano, por lo tanto infinitos), solo se puede medir la abertura del ángulo. Las unidades de medida son grados o radianes. Se subentenderá que cuando hablamos de "medida del ángulo" estamos hablando de medir su abertura.

Segmentos congruentes

Segmentos Congruentes son congruentes entre si y solamente si tienen exactamente la misma longitud.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

ÁNGULO CONVEXO Y CONCAVO:

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS Y PARALELAS Y UNA SECANTE

Cuando una línea recta transversal o secante intersecta dos rectas paralelas, se forma un conjunto de ocho ángulos cuya posición relativa ha sido profusamente estudiada. Matemáticamente se expresa así:

Considerados de dos en dos, estos ángulos reciben los nombres siguientes: 

Clasificación de triángulos

Propiedades de los triángulos

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Clasificación de triángulos:

Según sus lados.

Triángulo equilátero

Tres lados iguales

Triángulo isósceles

Dos lados iguales

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo
rectoEl lado mayor es la hipotenusa.

Los lados menores son los catetos

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso

PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b – c

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

3. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

a = A + B

a = 180º – C

4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Rectas y puntos notables en el triángulo

LAS MEDIANAS

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.

El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo obtenemos el triángulo que tiene el mismo baricentro que y sus medianas miden la mitad que las de

Además los lados de miden la mitad que los lados de y la superficie de es la cuarta parte de la superficie de pues podemos comprobar que al trazar se han definido otros tres triángulos iguales:

Consideramos una medianaSi es el baricentro se cumple que

Se cumple también que si se dibuja la mediana de la mediana ésta corta al lado siendo:

LAS ALTURAS

Las Alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

LAS BISECTRICES

Las Bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a

Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde a uno de ellos, por ejemplo al lado obteniendo y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que y

El teorema de la bisectriz dice que "la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados".

Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.

Congruencia de triángulos

La Congruencia de Triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos de igual medida o congruentes, así como lados de igual medida o congruentes.

Condiciones de congruencia:

Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homologas o correspondientes.

Criterios de congruencia de triángulos:

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son, sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas.

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

• Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro entonces los triángulos son congruentes.

• Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

• Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma.
En tal caso cumplen que:

1. Los ángulos correspondientes son iguales:

2. Los segmentos correspondientes son proporcionales:

Donde se la razón de semejanza.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos
se llama razón de semejanza

Ejercicios

1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

2. Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

Teorema de Tales

Si dos rectas cualquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejercicios

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

2. Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Tales.

El teorema de Tales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicaciones del teorema de Tales

El teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Teorema de Pitágoras

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:  

• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.-En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Ejemplo

Hemos construido un cuadrado sobre cada lado del triángulo rectángulo.

Pitágoras dice que el cuadrado 1 tiene su área igual a la suma de los cuadrados 2 y 3.

De acuerdo al cuadriculado, el cuadrado 1 tiene un área de 25 cuadros. Al sumar los 9 cuadros del cuadrado 2 y los 16 cuadros del 3 obtenemos 25. Entonces, se cumple:

C2= A2 + B2

Problemas

1-El cuadrado de un cateto de un triángulo rectángulo es 16, y el otro cateto mide 3, ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Operación:

1 H2 = C12 + C12 C12 = 16

C12 = 3 = 32 = 9

2 H2 = 16 + 9 = 25

3 H2 = 25 H = 5

Respuesta: La hipotenusa mide 5

2-La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 5, y uno de sus catetos es 3, ¿Cuánto mide el cateto restante?

Operación:

1 (5)2 = (3)2 + C22 4 C22 = 16

2 25 = 9 + C22 5 C22 = 16

3 25 – 9 = C22 6 C2 = 4

Respuesta: El cateto restante mide 4

3-Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 7,071, y los catetos tienen potencias exactas, ¿Cuanto miden los catetos?

Operación:

1 7,0712 = 50.000

2 C12 = 5 3 52 = 5×5 = 25 4 25+25=50

C22 = 5 52 = 5×5 = 25

Respuesta: Los catetos miden 5

Polígono

Es una figura geométrica formada por segmentos consecutivos no
alineados, llamados lados. Los polígonos cuyos lados no están
en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados. Existe la posibilidad
de configurar polígonos en más de dos dimensiones. La generalización
de un polígono en tres dimensiones se denomina. poliedro, en cuatro dimensiones
se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo

Cóncavo o convexo

Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulos internos no son mayores que 180°. Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte: cóncavo es como tener una "cueva")

ELEMENTOS DE UN POLIGONO

Lados

Son los segmentos que lo limitan.

Vértices

Son los puntos donde concurren dos lados.

Ángulos interiores de un polígono

Son los determinados por dos lados consecutivos.

Suma de ángulos interiores de un polígono

Si n es el número de lados de un polígono:

Suma de ángulos de un polígono = (n – 2) ·180°

Diagonal

Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos

Número de diagonales de un polígono

Si n es el número de lados de un polígono:

Número de diagonales = n · (n – 3) : 2

CLASIFICACION DE POLIGONOS

Se clasifican: Por el número de sus lados y por la forma de su contorno.

A.-Por el número de sus lados:

-Triángulos: Son los polígonos de tres lados.

-Cuadriláteros: Son los polígonos de cuatro lados

-Pentágonos: Son los polígonos de cinco lados

-Hexágono: Son los polígonos de seis lados

-Heptágonos: Son los polígonos de siete lados

-Octágonos: Son los polígonos de ocho lados

-Nonágonos: Son los polígonos de nueve lados

-Decágonos: Son los polígonos de diez lados

-Endecágonos: Son los polígonos de once lados

-Dodecágonos: Son los polígonos de doce lados

-Pentadecágonos: Son los polígonos de quince lados

-Icoságonos: Son los polígonos de veinte lados

B.- Por la forma de su contorno:

-Convexos: Son aquellos polígonos, en los que al atravesarlos una recta lo cortan en un máximo de dos puntos.

-Cóncavos: Son aquellos polígonos, en los que una recta al atravesarlos pueden cortar en más de dos puntos.

-Equiláteros: Son los polígonos que tienen todos sus lados iguales.

-Equiángulos: Son los polígonos que tienen sus ángulos iguales.

-Regulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y sus lados iguales entre sí.

-Irregulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y lados desiguales.

-Alabeados: Son los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano.

Ángulos de un polígono

ángulo exterior o ángulo externo es el ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación del lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible conformar dos ángulos exteriores, que poseen la misma amplitud. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior que comparte el mismo vértice.

Respecto del ángulo interior (a), la medida del ángulo exterior adyacente será: ß = 180º – a = ß

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360 grados o 2p radianes cuando se considera solamente un ángulo exterior por cada vértice del polígono, sin importar el número de lados de éste. Cuando se consideran los dos ángulos externos posibles de cada vértice, la suma de todos ellos es igual a 720º o 4p rad.

Demostración

Ejemplo:

Para un octágono, dividiendo 360º entre ocho se obtiene que cada ángulo exterior medirá 45º:

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, marcados en la figura como a, ß y ?ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.

Si todos los ángulos interiores de un polígono miden no más de 180 grados o p radianes, el polígono se clasifica como polígono convexo. Si todos los ángulos interiores de un polígono convexo son iguales, el polígono es un polígono regular. En caso contrario el polígono es un polígono irregular.

La suma de los ángulos interiores de un polígono regular tiene un valor que depende del número de lados del polígono y se mantiene constante para cualquier combinación de valores de los ángulos internos.

El valor de esta suma en grados puede conocerse aplicando la fórmula:

Polígonos regulares

Es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud
y todos los ángulos interiores son de la misma medida.

Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Hexágono para representar un polígono regular genérico.

Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de una circunferencia.

En un polígono regular podemos distinguir:

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.

• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.

• Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices.

• Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.

• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.

• Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.

• Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.

Tipos de polígonos regulares

Triángulo equilátero

Tiene los 3 lados y ángulos iguales.

 Cuadrado

Tiene 4 lados y ángulos iguales.

Pentágono regular

Tiene 5 lados y ángulos iguales.

Hexágono regular

Tiene 6 lados y ángulos iguales.

Heptágono regular

Tienen 7 lados y ángulos iguales.

Octágono regular

Tiene 8 lados y ángulos iguales.

Eneágono regular

Tiene los 9 lados y ángulos iguales.

 Decágono regular

Tiene 10 lados y ángulos iguales.

 Cuadriláteros

Un Cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados.
Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen
cuatro vértices y dos diagonales. Otros nombres usados para referirse
a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.

Los elementos de un cuadrilátero son:

• 4 vértices: los puntos de intersección de las rectas que conforman el cuadrilátero;

• 4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos;

• 2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos;

• 4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común;

• 4 ángulos exteriores: conformados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente.

En todos los cuadriláteros la suma de los cuatro ángulos interiores es igual a 360º (grados) o 2p radianes; la suma de los cuatro ángulos exteriores también es igual a 360°

Los cuadriláteros se clasifican en:

Paralelogramos

Rectángulos

• Cuadrado

Rectángulo

Oblicuángulos

Rombo

Romboide

Trapecios

• Rectángulo

• Isósceles

• Escaleno

Trapezoide

• Simétrico o deltoide

• Asimétrico

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 – cos ?) y la exsecante (sec ? – 1).

RESPECTO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: a,
del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo
que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo
rectángulo que se usará en los sucesivo será:

• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto,
  o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

• El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo
  que queremos determinar.

• El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo
  del que queremos determinar.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano,
por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a p radianes (o 180°).
En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos
no rectos se encuentran entre 0 y p/2 radianes. Las definiciones que se dan
a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas
para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo a , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto.

Cofunciones trigonométricas

La confunción del seno es el coseno, la del coseno es el seno, la de la tangente es la cotangente, la de la cotangente es la tangente, la de la secante es la cosecante y viceversa. Las funciones de un ángulo agudo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario. Ejempló:

El complemento de 70 es 90 – 70 = 20Así:

Signo de las funciones trigonométricas.

        Considerando que la distancia de un punto cualquiera al origen siempre es positiva, vemos que los signos en los distintos cuadrantes son:

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS NOTABLES

Definiciones

La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. En concreto se definen dos funciones C(x) y S(x) que satisfacen el siguiente sistema de primer orden:

Esta definición analítica de las funciones trigonométricas
permite una definición no-geométrica del número p, a saber,
dicho número es el mínimo número real positivo que es un
cero de la función seno.

Series de potencias

A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

Signos de las confunciones de los cuadrantes

En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r".

Ángulos de referencia

Para dibujar un triángulo de referencia para un ángulo q, se dibuja una línea perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de q al eje horizontal.  El ángulo de referencia a es el ángulo agudo (siempre positivo) entre el lado terminal de q y el eje horizontal. 

Veamos la construcción de los triángulos de referencia y ángulos de referencia correspondiente a los siguientes ángulos:

Funciones trigonométrica de ángulos de 450, 300  y  600 

Para hallar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 450, construimos el triángulo rectángulo con el ángulo agudo de 450 en posición normal y los dos lados iguales.  Recuerda que un triángulo rectángulo contiene un ángulo de 900.  Seleccionamos el punto (1, 1) en el lado terminal.  Observa la ilustración a continuación.

Como a = 1  y  b = 1 entonces:

Luego al utilizar la definición de funciones trigonométricas definidas con ángulos para

q = 450  tenemos:

Ley de seno y coseno

Ley del Coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo a, ß, ?, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

La ley de los Senos es una relación de tres  igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.La ley de los Senos dice así:donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo:Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.

Resolución de triángulos por la ley de los Senos Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver.En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno.Supongamos que te ponen el siguiente problema:Resolver el triángulo siguiente:Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5.Lo que tenemos entonces es lo siguiente:A=5B=?C=?a=43°b=27°c = ?

Ley del coseno

La ley de los Coseno es una expresión que te permite
conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos
y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer.  Esta relación
es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley del Coseno dice así:y si lo que te dan son los lados, y te piden
el ángulo que hacen los lados B y C, entonces dice así:donde
A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c
(minúsculas) son los ángulos del triángulo:Observa que
las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a
su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto
de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está
en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas
un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te
saldrá mal.

Observa que la ley del coseno es útil sólo si
te dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al lado que buscas,
o sea estos:Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo
que hacen los lados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces
tienes que usar la ley de los senos.Resolución de triángulos
por la ley del CosenoResolver un triángulo significa encontrar todos
los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente
son tres datos).*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos
se pueden resolver con la ley del coseno.

A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los
senos lo puede resolver.En general, si en un problema de triángulos
te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.Si por el
contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley
de los cosenos.Supongamos que te ponen el siguiente problema:Resolver el triángulo
siguiente:llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto
al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo
c. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b.Lo que tenemos entonces
es lo siguiente:A=?B=9C=12a=25°b=?c = ?

Autor:

Dayana Elidette Flores Beltrán

Maria Del Ponce Martínez

Enviado por:

Rol Turgeon

1° "D"