Cónicas (página 2)

Clasificación

• ELIPSE

Definición: Llamamos elipse al lugar
geométrico de los puntos de un plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor
es 2a,   y   , es constante. Veamos sus elementos en los
siguientes dibujos:

Los puntos fijos   y   se denominan focos, siendo el eje
focal la recta que pasa por ellos.

La excentricidad de una elipse es su grado de
achatamiento y su valor está determinado por la
expresión:

Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la
elipse. En una elipse   y por lo tanto la excentricidad es positiva y
menor que uno.

Ecuación

Supongamos que el origen de coordenadas está en
el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje
  ,
entonces los focos son:

• HIPERBOLA

Si el ángulo beta que forman el eje y el plano
que corta a la superficie cónica es menor que el
semiángulo cónico alfa, la curva
intersección es una curva abierta con dos ramas,
denominada hipérbola:

Si el plano secante pasa por el
vértice, la curva se degenera en dos líneas que
coinciden con dos generatrices.

Lugar Geométrico – Elementos de la
Hipérbola

Los puntos de la hipérbola tienen una propiedad
que permite definirla como ellugar geométrico de los
puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos
(focos) es constante. Esa constante es igual a 2a, la distancia
entre los dos vértices de la hipérbola.

En el dibujo, los elementos de la hipérbola
son: 

• AB = 2a = Eje real

• Mediatriz de AB = Eje imaginario

• F1-F2 = 2c = Distancia focal

• A,B = Vértices (AB=2a)

• F1 y F2 = Focos

• d1 y d2 = Radiovectores de P

• |d1 - d2| = 2a = cte.

• excentricidad = c / a (>1)

• a2 + b2 = c2

La hipérbola también puede definirse como
el lugar geométrico de los centros de las circunferencias
tangentes a otra dada que pasan por un punto fijo exterior a
ésta. Y también es el lugar geométrico de
los puntos que equidistan de una circunferencia y de un punto
exterior a ésta.

Ecuación matemática de la
Hipérbola

Considerando el centro de la hipérbola como el
punto de coordenadas (0,0), y siendo las coordenadas de un punto
P(X,Y)…

Más elementos de la Hipérbola

Las circunferencias focales de la
hipérbola tienen como centro los focos y como radio 2a (en
la figura, AB=|d1-d2|=2a).La circunferencia
principal de la hipérbola tiene como centro el de la
curva y como diámetro 2a.Las asíntotas de
la hipérbola son las tangentes a la curva en el infinito.
Los ejes son bisectrices de las asíntotas.

Las asíntotas pueden trazarse con ayuda de la
circunferencia principal y la de diámetro OF (O es el
centro de la cónica).

Se denomina diámetro real de la
hipérbola a cualquier recta que pase por el centro y corte
a la curva. Se denomina diámetro
imaginario a cualquier recta que pase por el centro y no
toque a la curva. El sector correspondiente a los
diámetros imaginarios está determinado por las
asíntotas.

El diámetro conjugado de
uno dado es el lugar geométrico de los puntos medios de
las cuerdas paralelas a él. Si un diámetro es real,
su conjugado es imaginario, y viceversa. Las tangentes a la
hipérbola en los extremos de un diámetro real son
paralelas al diámetro conjugado imaginario.

Las directrices de la hipérbola son las
rectas polares de los focos respecto de la curva, y pueden
obtenerse a partir de la circunferencia principal y de las
asíntotas.

 Dos hipérbolas
son conjugadas cuando comparten las asíntotas,
pero sus ejes están intercambiados de lugar entre ellos,
como se aprecia en el grafico. Una hipérbola
es equilátera si sus asíntotas forman
45º grados con los ejes.

Propiedades de la Hipérbola

La circunferencia focal de un foco es el lugar
geométrico de los puntos simétricos del otro foco
con respecto a cualquier tangente a la
hipérbola.

  La circunferencia principal es
el lugar geométrico de los puntos M que, estando en las
tangentes, son los intermedios entre un foco y su
simétrico con respecto a cualquier tangente a la
hipérbola, o sea, de los pies de las perpendiculares a las
tangentes desde los focos.

El punto P, punto de contacto de una tangente con una
hipérbola, está alineado con un foco y el
simétrico del otro con respecto a esa tangente (ver la
primera figura). La tangente es bisectriz del ángulo
formado por P, F1 y F1".

Teorema de Dandelin en la Hipérbola

El plano secante corta a las generatrices
representadas en los puntos que serán vértices del
eje real de la cónica. Dibujando las circunferencias
(esferas) tangentes a la recta que representa al plano de corte,
y a las generatrices, se obtienen las dos soluciones
dibujadas. Los puntos de tangencia de las circunferencias
con el plano de corte son los puntos F1 y F2 que
serán los focos de la elipse. Los puntos de tangencia con
la superficie cónica representan a las circunferencias de
la solución tridimensional. T1-T2 es una
circunferencia y T3-T4 es la otra. Los planos en que se
encuentran definen las directrices d1 y d2 de la
hipérbola.

En esta figura puede verse la cónica resultante
abatida sobre el papel.

• PARABOLA

Definición

Una parábola es una curva en la que los puntos
están a la misma distancia de:

un punto fijo (el foco), y

una línea fija
(la directriz)

Observaciones

Ecuaciones Analíticas de la
Parábola  

En esta sección sólo se
considerarán parábolas con el vértice V en
el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados
sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)  

fig. 6.1.2.

Sea P(x, y) un punto de la parábola
PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .   

Pero,

Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano,
cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e
PDD-F.  

De esta forma se ha demostrado la parte i
del siguiente teorema.    

TEOREMA 1 (Ecuaciones de la
Parábola)  

iii. Recíprocamente, si
un punto P del plano, satisface (4) entonces
P x PDD-F 

fig. 6.1.3.

fig. 6.1.4.

Observaciones: 

i. En la  fig. 
6.1.3. aparecen  las gráficas de dos parábolas
abiertas hacia arriba  (en el caso de p>0) y hacia abajo
(p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados
en el punto F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de
ecuación y = -p/2.  

Además, todos sus puntos son
simétricos con respecto al eje y: de aquí que las
ecuaciones que representan sus lugares geométricos,
presentan únicamente a la variable x elevada en una
potencia par.  

ii. Igualmente, las gráficas
de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de
parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda
(p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y
cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2.
Además todos sus puntos son simétricos con respecto
al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus
lugares geométricos, poseen únicamente a la
variable y elevada a su potencia
par.   

Traslación de Ejes 

En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se
determinó que la ecuación de la circunferencia con
centro en C(4,3) y radio 5 era:  

De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la
ecuación sin cambiar la forma de la gráfica (fig.
6.1.5.).   

fig. 6.1.5.

Si en el plano cartesiano x – y se eligen nuevos ejes
coordenados paralelos a los  ejes x e y, se dice entonces
que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar
los cambios  que  se presenten en las coordenadas de
los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde-
nadas x" e y" paralelo a los ejes x e y, se toma un  punto
fijo  o"(h, k) que  se llama: ORIGEN del nuevo
sistema.  

Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas
están referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las
coordenadas de P(x", y") referidas al sistema x"-y" vienen dadas
por las relaciones:   

  llamadas: ECUACIONES
DE     TRASLACIÓN DE EJES, y
que   pueden deducirse fácilmente de la
fig.  6.1.6.

fig. 6.1.6.

Observación: 

La traslación de ejes modifica la ecuación
de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la
forma de la curva.  

Una aplicación útil de la
traslación de ejes se consigue cuando se obtienen las
ecua- ciones generales de la parábola, con vértice
en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las cuales la
directriz es perpendicular a uno de los
ejes.  

Si  se toma  como referencia los ejes x" e y",
hallar las ecuaciones de la parábola con vértice en
V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la
parábola con vértice en (0, 0) referido al nuevo
sistema.  

Las ecuaciones 

permiten escribir las ecuaciones en forma
general de la parábola, como lo afirma el siguiente
teorema:    

Teorema2 (Ecuaciones de la parábola. Forma
general)

ii. La ecuación de la parábola con
vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco

Demostración: 

Observación: 

Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después
de simplificarlas, pueden expresarse en la
forma:   

En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse
que una de las variables aparece al cua- drado y la otra lineal.
La parábola siempre se abre en la dirección del eje
cuya varia- ble aparece lineal.   Así por
ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola
que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0)  o
hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la
ecuación (4) representa  una parábola 
abierta  hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda
(si p < 0).   

Valores máximos y mínimos de una
parábola 

Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el
signo de a (coeficiente de x2), determina si la
parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y
también determina si el vértice es un punto
máximo o mínimo de la
curva.   

Si como en la fig. 6.1.9.(a), la parábola se abre
hacia abajo, el vértice V (punto mas alto de la
curva)  es llamado  el punto máximo de la
parábola. El valor de la ordenada correspondiente es el
valor máximo de la función que ella
representa.  

Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba
(fig. 6.1.9.(b)), el vértice V es llama- do el punto
mínimo de la parábola; y el correspondiente valor
de y, es el valor mínimo de la
función.  

Toda función cuadrática, tiene un valor
máximo o un valor mínimo, pero no
ambos. 

Algunas propiedades
referentes a cilindro y cono

1RA PROPIEDAD: El desarrollo de la superficie
lateral de un cilindro recto es un rectángulo o cuadrado
de modo que uno de sus lados es la longitud de la circunferencia
de la base y el otro lado de la altura del cilindro.

2DA PROPIEDAD: El cono circular recto o cono de
revolución, se engendra por un triangulo rectángulo
ABC, que gira 3600 alrededor de uno de sus catetos AB. La
hipotenusa AC, es la que genera la superficie lateral del cono,
de allí el nombre de generatriz y el cateto BC al girar
genera la base circular del cono.

3RA PROPIEDAD: El menor camino para ir de A a B
viajando por la superficie lateral del cilindro esta dado por la
diagonal del rectángulo que se origina al desarrollar su
superficie lateral.

4TA PROPIEDAD: Si R es el radio de la
sección recta de un cilindro oblicuo.

5TA PROPIEDAD: El desarrollo de la superficie
lateral de un cono equilátero es un
semicírculo.

6TA PROPIEDAD: Todo plano que contiene a una
tangente (L) a la base y la generatriz (VA) que pasa por el punto
de contacto es, tangente corta a la base según una
tangente a dicha base.

7MA PROPIEDAD: Volumen de un cono
oblicuo:

Superficie
cónica

Llamaremos superficie cónica a la superficie que
es generada por una recta que se mueve de tal manera que siempre
pasa por una curva plana dad fija y por un punto fijo que no
está contenido en el plano de la curva fija
dada.

La recta móvil se llama generatriz y la curva
fija dada directriz y el punto fijo se llama vértice de la
superficie cónica.

El vértice divide a la superficie cónica
en dos porciones cada una de las cuales se llama hoja o rama de
la superficie cónica.

DETERMINACION DE LA ECUACION DE LA SUPERCIFIE
CONICA.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la superficie cónica
cuya directriz es la elipse 4×2 + z2 = 1 ? y = 4 y cuyo
vértice es el punto V (1, 1, 3)

Solución

Conclusión

En este trabajo hemos podido aprender en qué
consiste y qué conceptos son los que abarca la palabra
CÓNICAS.

Aprendimos también que hay cuatro tipo de
cónicas, que son la hipérbola, parábola y
elipse; todas son de mucha importancia en nuestra vida porque
tiene diferentes aplicaciones prácticas. Por ejemplo
gracias a ellas se han podido desarrollar diferentes aparatos,
para el estudio de órbitas (astronomía), entre
otras cosas que han beneficiado y facilitado nuestras
vidas.

Autor:

Rosmery