En esos casos es necesario acudir a un punto de vista
alternativo, que no dependa de las repeticiones, sino que
considere la probabilidad como un concepto subjetivo que
exprese el grado de creencia o confianza individual sobre la
posibilidad de que el suceso ocurra.
Se trata por tanto de un juicio personal o individual y
es posible por tanto que, diferentes observadores tengan
distintos grados de creencia sobre los posibles resultados,
igualmente válidos.
23. Opcit. RUIZ. Pag
8724. Opcit. RIUS. Pag
10425. Ibid. RIUS. Pag
105
Definición Axiomática de
la Probabilidad
La definición axiomática de la
probabilidad es quizás la más simple de todas las
definiciones y la menos controvertida ya que está basada
en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos
mínimos para dar una definición de
probabilidad.
La ventaja de esta definición es que permite un
desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue
introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por
estadísticos y matemáticos en general.
(70)
Definición
Dado el espacio muestral E y la
a-Algebra A=P(E) diremos que una función
p: A ? [0,1 ] es una probabilidad
si satisface los siguientes axiomas de
Kolmogorov:
La terna (E,
A, p) formada por el espacio
muestral E, la a-Algebra A=P(E) y
la probabilidad p se denomina espacio
probabilístico. (71)
Teoremas Elementales o Consecuencias de
los Axiomas
Los siguientes resultados se deducen
directamente de los axiomas de probabilidad.
Teorema I
Si para cualquier suceso A resulta
que p(A)=1 diremos que A es
el suceso casi seguro, pero esto no implica que
A= E
Teorema II
Para cualquier suceso A(
A=P(A) se verifica que:
La probabilidad de su suceso complementario
es p(A) = 1 – p(A)
70. Opcit. RUIZ. Pag 87
71. Ibid. RUIZ. Pag 88
Teorema III
La probabilidad P es
monótona no decreciente, es decir:
Teorema IV
Para cualquier suceso A (
A=P(A) se verifica que: p(A) = 1
(Ruiz 88)
Teorema V
Teorema VI
Teorema VII
Teorema VIII
Probabilidad condicionada e
independencia de sucesos
Hay situaciones en las que se incorpora
información suplementaria respecto de un suceso
relacionado con el experimento aleatorio, cambiando su
probabilidad de ocurrencia.
El hecho de introducir más información,
como puede ser la ocurrencia de otro suceso, conduce a que
determinados sucesos no pueden haber ocurrido, variando el
espacio de resultados y cambiando sus probabilidades.
Ejemplo de cálculo de
probabilidades condicionadas
Se lanza un dado al aire ¿Cuál es la
probabilidad de que salga el número 4? Si sabemos que el
resultado ha sido un número par, ¿se ha modificado
esta probabilidad?
Solución:
El espacio muestral que corresponde a este
experimento es
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
y se ha de calcular la probabilidad del suceso A = {4}.
Si el dado no está trucado, todos los números
tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la
definición de probabilidad de Laplace,
Obsérvese que para calcular la probabilidad de A
según la definición de Laplace hemos tenido que
suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral
tienen la misma probabilidad de salir, es decir:
P[1] = P[2] = P[3] = P[4] = P[5] =
P[6]
Por otro lado, si ha salido un número par, de
nuevo por la definición de probabilidad de Laplace
tendríamos (73)
y entonces
que por supuesto coincide con el mismo valor que
calculamos usando la definición de probabilidad de
Laplace.
23. Opcit. RUIZ. Pag 89
24. Opcit. RIUS. Pag 107
Independencia
Obsérvese que según la definición
de probabilidad condicionada, se puede escribir la probabilidad
de la intersección de dos sucesos de probabilidad no nula
como
O sea, la probabilidad de la intersección de dos
sucesos, es la probabilidad de uno cualquiera de ellos,
multiplicada por la probabilidad del segundo sabiendo que ha
ocurrido el primero.
Si entre dos sucesos no existe ninguna relación
cabe esperar que la expresión "sabiendo que" no aporte
ninguna información. De este modo introducimos el concepto
de independencia de dos sucesos A y B como:
Teoremas fundamentales del
cálculo de probabilidades
Hay algunos resultados importantes del cálculo de
probabilidades que son conocidos bajo los nombres de teorema de
la probabilidad compuesta, teorema de la probabilidad total y
teorema de Bayes. (74)
Teorema de la probabilidad
compuesta
Teorema de la probabilidad
total
Sean n sucesos disjuntos
A1, A2,…, An (
A=P(A) tales que p( Ai )>0
i=1,2,…,n y tales que forman un sistema completo de
sucesos. Para cualquier suceso B( A=P(A) cuyas
probabilidades condicionadas son conocidas p(
B/Ai ), se verifica que: (75)
25. Opcit. RIUS. Pag 109
26. Opcit. RUIZ. Pag 90
Ejemplo de cálculo usando el teorema
de la probabilidad total
Se tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un
número diferente de bolas blancas y rojas:
Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2
rojas;
Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2
rojas.
Se realiza el siguiente experimento
aleatorio:
Se tira una moneda al aire y si sale cara se elige una
bola de la primera urna, y si sale cruz de la segunda.
¿Cuál es la probabilidad de
que salga una bola blanca?
Solución: La situación que
tenemos puede ser esquematizada como
Como U1 y U2 forman un sistema incompatible y excluyente
de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas dos
urnas y de una sólo de ellas), el teorema de la
probabilidad total nos permite afirmar entonces que
Como U1 y U2 forman un sistema incompatible
y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una
de esas dos urnas y de una sólo de ellas), el teorema de
la probabilidad total nos permite afirmar entonces que
75)
Teorema de Bayes
75. Opcit. RIUS. Pag 112
76. Opcit RUIZ. Pag 91
Ejemplo de cálculo con el
teorema de Bayes
Se tienen tres urnas. Cada una de ellas contiene un
número diferente de bolas blancas y rojas:
Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2
rojas;
Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2
rojas;
Tercera urna, U3: 3 bolas rojas.
Se realiza el siguiente experimento
aleatorio:
Alguien elije al azar y con la misma
probabilidad una de las tres urnas, y saca una bola.
Si el resultado del experimento es que ha salido una
bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que
provenga de la primera urna? Calcular lo mismo para las otras dos
urnas.
Solución:
Vamos a representar en un esquema los datos
de que disponemos:
En este caso U1, U2 y U3 forman un sistema incompatible
y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una
de esas tres urnas y de una sólo de ellas), por tanto es
posible aplicar el teorema de Bayes
Con respecto a las demás urnas
hacemos lo mismo:
Comentario sobre el teorema de
Bayes
Obsérvese que en el ejemplo anterior, antes de
realizar el experimento aleatorio de extraer una bola para ver su
resultado, teníamos que la probabilidad de elegir una urna
i cualquiera es P[Ui]. (77)Estas probabilidades se denominan
probabilidades a priori. Sin embargo, después de realizar
el experimento, y observar que el resultado del mismo ha sido la
extracción de una bola blanca, las probabilidades de cada
urna han cambiado a P[Ui|B].
Estas cantidades se denominan probabilidades a
posteriori. Vamos a representar en una tabla la diferencia entre
ambas.
Las probabilidades a priori cambian de tal modo de las a
posteriori que una vez observado el resultado del experimento
aleatorio, se puede afirmar con certeza que no fue elegida la
tercera urna.
Este fenómeno tiene aplicaciones
fundamentales en Ciencia: Cuando se tienen dos teorías
científicas diferentes, T1 y T2, que pretenden explicar
cierto fenómeno, y a las que asociamos unas probabilidades
a priori de ser ciertas,
P[T1] , P[T2]
podemos llevar a cabo la
experimentación que se considere más conveniente,
para una vez obtenido el cuerpo de evidencia, B, calcular como se
modifican las probabilidades de verosimilitud de cada
teoría mediante el teorema de Bayes:
P[T1|B] , P[T2|B]
Así la experimentación puede
hacer que una teoría sea descartada si P[Ti|B] (0 o
reforzada si P[Ti|B] ( 1. Una aplicación básica de
esta técnica la tenemos en Medicina para decidir si un
paciente padece cierta enfermedad o no, en función de los
resultados de un test diagnóstico. (78)
77. Opcit. RIUS. Pag
11478. Ibid. RIUS. Pag
115
Bibliografía
CANTÚ, P. El valor de la Estadística
para la Salud Pública. Monterrey, México.
Facultad de Salud Pública y Nutrición, Universidad
Autónoma de Nuevo León. Centro de
Ginecología y Obstetricia. Revista de Salud Pública
y nutrición. Vol 4 No.1 Enero-Marzo 2003
Colaboradores de Wikipedia,
"Bioestadística," Wikipedia, La enciclopedia
libre, 5 junio 2010, 01:39 UTC,
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bioestad%C3%ADstica&oldid=37759678
(descargado 1 de julio de 2010).
NORMAN, G. R., & STREINER, D. L. Biostatistics:
The bare essentials. Hamilton: B.C. Decker, 2008.
PRIETO, L. & HERRANZ, I. Bioestadística.
Sin dificultades matemáticas. Cataluña,
España. Ed. Díaz de Santos S. A.,
Ediciones. 2010
RÍUS. F. et al. Bioestadística:
Métodos y Aplicaciones. Málaga, España.
Facultad de Ciencias. Universidad de Málaga.
2004.
ROSNER, B. Fundamentals of biostatistics.
Belmont, CA: Thomson-Brooks/Cole, 2006
RUEDA, J. Bioestadística I.
Medellín, Colombia. Universidad Nacional de Colombia.
Departamento de Ciencias Agronómicas. 2006
RUIZ, D. Manual de Estadística.
Universidad Pablo de Olavide. Sevilla, España. Editado por
eumed.net. 2004
SALVARREY, L. Curso de Estadística
Básica. Salto, Uruguay. Universidad de la
República. Regional Norte, Sede Salto. 2000
Universidad Autónoma de Nuevo León.
Bioestadística. Faculta de Ciencias
Biológicas. Nuevo León, México.
2006
Autor:
Karina Violeta Jaramillo
Mena
ATLANTIC INTERNATIONAL
UNIVERSITY
HONOLULU, HAWAI
SUMMER 2010
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