Bioestadistica (página 2)

Conceptos
básicos

Cuando coloquialmente se habla de estadística, se
suele pensar en una relación de datos numéricos
presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es
la consecuencia del concepto popular que existe sobre el
término y que cada vez está más extendido
debido a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día
es casi imposible que cualquier medio de difusión,
periódico, radio, televisión, etc. no nos aborde
diariamente con cualquier tipo de información
estadística sobre accidentes de tráfico,
índices de crecimiento de población, turismo,
tendencias políticas, etc.

Sólo cuando nos adentramos en un mundo más
específico como es el campo de la investigación de
las Ciencias Sociales: Medicina, Biología,
Psicología … empezamos a percibir que la
Estadística no sólo es algo más, sino que se
convierte en la única herramienta que, hoy por hoy,
permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en
cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su
variabilidad intrínseca, no puedan ser abordadas desde la
perspectiva de las leyes determistas. Podríamos, desde un
punto de vista más amplio, definir la estadística
como la ciencia que estudia cómo debe emplearse la
información y cómo dar una guía de
acción en situaciones prácticas que entrañan
incertidumbre.

La Estadística se ocupa de los métodos y
procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar
regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la
variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de
los mismos; así como de realizar inferencias a partir de
ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su
caso formular predicciones.

Podríamos por tanto clasificar la
Estadística en descriptiva, cuando los resultados del
análisis no pretenden ir más allá del
conjunto de datos, e inferencial cuando el objetivo del estudio
es derivar las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos
más amplio. (8)

Estadística descriptiva: Describe,
analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos
numéricos y gráficos que resumen y presentan la
información contenida en ellos.

Estadística inferencial:
Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a
partir de datos muestrales, efectúa estimaciones,
decisiones, predicciones u otras generalizaciones sobre un
conjunto mayor de datos.

• 6. CANTÚ, P. El valor de la
  Estadística para la Salud Pública. Monterrey,
  México. Facultad de Salud Pública y
  Nutrición, Universidad Autónoma de Nuevo
  León. Centro de Ginecología y Obstetricia.
  Revista de Salud Pública y nutrición. Vol 4
  No.1 Enero-Marzo 2003

• 7. Ibid. CANTU. Pag 2

ELEMENTOS. POBLACIÓN.
CARACTERES

Establecemos a continuación algunas definiciones
de conceptos básicos y fundamentales básicas como
son: elemento, población, muestra, caracteres, variables,
etc.

Individuos o elementos: personas u objetos que
contienen cierta información que se desea estudiar.
(9)

Población: Es cualquier conjunto de
individuos o elementos que tienen una o más
características comunes. Las características
comunes no son sólo físicas, pueden ser espaciales
o temporales. Ejemplos: estudiantes matriculados en el primer
semestre del 2010 (característica temporal); estudiantes
de la escuela de medicina (característica
espacial).

La estadística matemática define una
población como el conjunto de todos los valores que puede
tomar una variable, en este caso se hablaría de
población de pesos, etcétera, lo que pasa es que
desde el punto de vista del investigador, se define como el
conjunto de individuos poseedores de la
característica.(10)

Muestra: Es cualquier subconjunto de elementos
seleccionado de una población, lo ideal es que sea un
subconjunto representativo de toda la población, o sea que
refleje las características esenciales de la misma, de
manera que se puedan realizar generalizaciones sobre la
población.Las razones para trabajar con muestras son:
ahorro de tiempo, ahorro de dinero, facilidades operativas y
conservación de la población.

Parámetro: función definida sobre
los valores numéricos de características medibles
de una población. Es una medida que caracteriza a una
población, por lo cual se necesitaría tener acceso
a todos los elementos de la población para su
cálculo. Se representa por medio de letras
griegas.

Estadístico: función definida
sobre los valores numéricos de una muestra. Es cualquier
medida de resumen calculada a partir de los datos de la muestra.
Sirve como estimador del respectivo parámetro poblacional.
Se representa por medio de letras latinas. (11, 12)

En relación al tamaño de la
población, esta puede ser:

Finita, como es el caso del número de
personas que llegan al servicio de urgencia de un hospital en un
día;

Infinita, si por ejemplo estudiamos el
mecanismo aleatorio que describe la secuencia de caras y cruces
obtenida en el lanzamiento repetido de una moneda al
aire.

Caracteres: propiedades, rasgos o cualidades de
los elementos de la población. Estos caracteres pueden
dividirse en cualitativos y cuantitativos.

Modalidades: diferentes situaciones posibles de
un carácter. Las modalidades deben ser a la vez
exhaustivas y mutuamente excluyentes —cada elemento posee
una y solo una de las modalidades posibles.

Clases: conjunto de una o más
modalidades en el que se verifica que cada modalidad pertenece a
una y solo una de las clases. (13)

• 8. Opcit. RIUS. Pag 14

• 9. Ibid. RIUS. Pag 15

• 10. RUEDA, J. Bioestadistica I. Medellin,
  Colombia. Universidad Nacional de Colombia. Departamento de
  Ciencias Agronómicas. 2006. Pag 3

• 11. Opcit RIUS. Pag 15

• 12. Opcit. RUEDA. Pag 3

ORGANIZACIÓN DE LOS
DATOS

Variables
estadísticas

Cuando hablemos de variable haremos referencia a un
símbolo (X,Y,A,B,. . . ) que puede tomar cualquier
modalidad (valor) de un conjunto determinado, que llamaremos
dominio de la variable o rango. En función del tipo de
dominio, las variables las clasificamos del siguiente
modo:

Variables cualitativas, si recogen
alguna cualidad no numérica del individuo. Se llaman
dicotómicas si presentan solamente dos
posibilidades y politómicas si presentan varias
posibilidades (ordenables o no). Los valores de este tipo de
variables suelen registrarse con códigos
numéricos, que no indican cantidad, sino un convenio, como
por ejemplo 1 = Varón, 2 = Mujer. (14)

Variables cuasicuantitativas u ordinales
son las que, aunque sus modalidades son de tipo nominal, es
posible establecer un orden entre ellas. Por ejemplo, si
estudiamos el grado de recuperación de un paciente al
aplicarle un tratamiento, podemos tener como
modalidades:

Grado de recuperación: Nada, Poco,
Moderado, Bueno, Muy Bueno.

A veces se representan este tipo de variables en escalas
numéricas, por ejemplo, puntuar el dolor en una escala de
1 a 5. Debemos evitar sin embargo realizar operaciones
algebraicas con estas cantidades. ¡Un dolor de intensidad 4
no duele el doble que otro de intensidad 2!

Variables cuantitativas o
numéricas son las que tienen por modalidades cantidades
numéricas con las que podemos hacer operaciones
aritméticas. Dentro de este tipo de variables podemos
distinguir dos grupos:

Discretas, cuando no admiten
siempre una modalidad intermedia entre dos cualquiera de sus
modalidades. Un ejemplo es el número de hijos en una
población de familias:

Numero de hijos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
. . .

Continuas, cuando admiten una
modalidad intermedia entre dos cualesquiera de sus modalidades,
v.g. el peso X de un niño al nacer. (15)

Ocurre a veces que una variable cuantitativa continua
por naturaleza, aparece como discreta. Este es el caso en que hay
limitaciones en lo que concierne a la precisión del
aparato de medida de esa variable, v.g. si medimos la altura en
metros de personas con una regla que ofrece dos decimales de
precisión, podemos obtener alturas medidas en cm: 1.50,
1.51, 1.52, 1.53,. . .

En realidad lo que ocurre es que con cada una de esas
mediciones expresamos que el verdadero valor de la misma se
encuentra en un intervalo de radio 0,005. Por tanto cada una de
las observaciones de X representa más bien un intervalo
que un valor concreto.

Tal como hemos citado anteriormente, las modalidades son
las diferentes situaciones posibles que puede presentar la
variable. A veces estas son muy numerosas (p. ej. cuando una
variable es continua) y conviene reducir su numero,
agrupándolas en una cantidad inferior de clases. Estas
clases deben ser construidas, tal como hemos citado
anteriormente, de modo que sean exhaustivas y excluyentes, es
decir, cada modalidad debe pertenecer a una y solo una de las
clases. (16)

• 1. Opcit. RIUS. Pag 16

• 2. PRIETO, L. & HERRANZ, I.
  Bioestadística. Sin dificultades matemáticas.
  Cataluña, España. Ed. Díaz de Santos S.
  A., Ediciones. 2010. Pag 24

Tablas
estadísticas

Consideremos una población estadística de
n individuos, descrita según un carácter o variable
C cuyas modalidades han sido agrupadas en un numero k de clases,
que denotamos mediante c1 , c2, . . . , ck. Para cada una de las
clases ci, i = 1, . . . , k, introducimos las siguientes
magnitudes:

Frecuencia absoluta de la clase ci es el
número ni, de observaciones que presentan una
modalidad perteneciente a esa clase.

Frecuencia relativa de la clase ci es el
cociente fi, entre las frecuencias absolutas de dicha
clase y el número total de observaciones, es
decir

Obsérvese que fi es el tanto por uno de
observaciones que están en la clase ci
Multiplicado por 100% representa el porcentaje de la
población que comprende esa clase. (17)

Por ejemplo:

Las frecuencias relativas, FR, relacionan el
tamaño de una parte con el tamaño total de un
colectivo. Si decimos que en Oviedo hay 4 000 obesos y en
Madrid hay 16 000, es claro que en la capital hay muchos
más casos que en la de Asturias

Pero la frecuencia relativa, FR, de ese
problema es mayor en Oviedo, ya que entre los 200 000 ovetenses
los obesos son 4 000 / 200 000 = 2 / 100 = 0.02, es decir, dos
por cien o veinte por mil. Entre los 4 millones de habitantes de
Madrid los obesos son 16 000 / 4 000 0000 = 16 / 4 000 = 0.004,
es decir, 4 cada mil. La tabla siguiente resume estos
datos:

Fuente: PRIETO, L. & HERRANZ, I.
Bioestadística. Sin dificultades
matemáticas. Cataluña, España.
Ed. Díaz de Santos S. A., Ediciones. 2010. Pag
24

La FR se puede dar como proporción (por
ejemplo, 0.02) o como porcentaje (2%). Pero si son FR
muy bajas es más útil darlas como tanto por
mil o por diez mil u otra cantidad pertinente. Por
ejemplo, si en Madrid hay 80 hemofílicos, la frecuencia
relativa es "80 entre 4 millones", es decir, 80 / 4 000 000 =
0.00002 ó 0.002%. Pero esa cifra se entiende mejor
expresándola como "2 por cien mil" ó "20 por
millón".

El porcentaje se calcula multiplicando la
proporción por 100, es decir, corriendo la coma dos
lugares a la derecha. Si de un total de 80 personas 32 son
enfermos, dividiendo 32 por 80 obtenemos la proporción de
enfermos, que multiplicada por 100 nos da el
porcentaje:

Proporción: 32 / 80 = 0.40 ,
Porcentaje: 0.40 x 100 = 40%

Tanto en Estadística Descriptiva
como en la Inferencial se usa constantemente las Frecuencias
Relativas. La mayoría de las veces se las refiere como
"FR". (18)

Frecuencia absoluta acumulada
Ni, se calcula sobre variables cuantitativas o
cuasicuantitativas, y es el número de elementos de la
población cuya modalidad es inferior o equivalente a la
modalidad ci:

Frecuencia relativa acumulada,
Fi, se calcula sobre variables cuantitativas o
cuasicuantitativas, siendo el tanto por uno de los elementos de
la población que están en alguna de las clases y
que presentan una modalidad inferior o igual a la ci, es
decir: (19)

Si la variable en estudio es cuantitativa con pocos
valores, su comportamiento se resume también dando su DF
de la misma forma que con las cualitativas.

Con variables cuantitativas podemos, además,
calcular las llamadas Frecuencias Acumuladas, que
indican la cantidad o FR de individuos con valor igual o
menor que uno dado. Por ejemplo:

• 1. Opcit. RIUS. Pag 17

• 2. Ibid. RIUS. Pag 18

• 3. Ibid. RIUS. Pag 19

• 4. Opcit. PRIETO & HERRANZ. Pag
  25

• 5. Opcit. RIUS. Pag 19

El 25% (20+5) tiene una caries o menos, el
50% (25+25) tiene 2 caries o menos,… (20)

Llamaremos distribución de frecuencias al
conjunto de clases junto a las frecuencias correspondientes a
cada una de ellas. (21) Una tabla estadística sirve para
presentar de forma ordenada las distribuciones de
frecuencias.

Su forma general es la
siguiente:

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag 20

El comportamiento de una variable cualitativa en un
grupo de individuos se resume dando su Distribución de
Frecuencias, DF, que consiste en anotar la cantidad de
individuos que tienen cada valor de la variable. Por ejemplo, si
de cada individuo se recoge el tipo de dieta que sigue (hay tres
posibilidades) la columna del medio de la siguiente tabla da la
frecuencia absoluta de cada dieta:

De los 200 individuos estudiados, 68 siguen dieta rica
en proteínas, 86 dieta rica en lípidos y 46 dieta
rica en hidratos. Estas cantidades forman la DF
Absolutas (número de individuos en cada una de
las categorías).

• 6. Opcit. PRIETA & HERRANZ. Pag
  26

• 7. Opcit. RIUS. Pag 19

La DF Relativas indica la FR de individuos
para cada valor de la variable.

En nuestro ejemplo 68 / 200 = 0.34 o 34% sigue dieta
rica en proteínas, 43% en lípidos y 23% en
hidratos. (22)

Si la variable en estudio es cuantitativa discreta con
muchos valores o continua se pueden hacer intervalos y
contar el número de individuos en cada uno para hacer la
correspondiente DF. Los intervalos deben cubrir todo el rango de
posibles valores y no solaparse. No hay razones
matemáticas ni biológicas para determinar la
anchura de los intervalos. El investigador agrupa los datos como
sea más útil a su estudio. Una misma variable puede
ser agrupada con distintos criterios en distintos momentos. Por
ejemplo, con la edad pueden formarse dos grandes grupos,
niños y adultos. Y en otro momento pueden agruparse como
niños, jóvenes, maduros y viejos, estableciendo los
puntos de corte pertinentes. O pueden hacerse intervalos por
decenios: de 0 a 9, de 10 a 19… de 90 a 99.

También se pueden representar las frecuencias
absolutas y/o relativas de cada intervalo en diagramas de barras
o sectores, y las frecuencias acumuladas en diagramas barras y de
líneas.

La tabla que sigue da la DF de la edad de
200 individuos:

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag 27

La DF acumulada —columna a la
derecha— dice que el 15% de los individuos tiene 29 o menos
años, el 55% tiene 34 o menos y el 85% tiene menos de
40.

Muchos investigadores tienden a tabular las variables
continuas acordando una partición en intervalos y
registrando para cada individuo el intervalo al que pertenece.
Ello supone una notable pérdida de información que
debe evitarse. Si, por ejemplo, la edad se sustituye por la
década a la que pertenece, un paciente de 41 años
es indistinguible de uno de 49, lo que disminuiría la
posibilidad de detectar relaciones de interés. Por ello lo
razonable es tabular los valores originales y en la fase de
análisis agrupar por los intervalos que interesan en cada
momento. (23)

• 1. Opcit. PRIETO & HERRANZ. Pag
  26

• 2. Ibid. PRIETO & HERRANZ. Pag
  27

REPRESENTACIONES GRAFICAS

Hemos visto que la tabla estadística resume los
datos que disponemos de una población, de forma que
´esta se puede analizar de una manera más
sistemática y resumida. Para darnos cuenta de un
sólo vistazo de las características de la
población resulta aún más esclarecedor el
uso de gráficos y diagramas.

Gráficos para variables
cualitativas

Los gráficos más usuales para
representar variables de tipo nominal son los
siguientes:

Diagramas de barras: Representamos en el eje de
ordenadas las modalidades y en abscisas las frecuencias absolutas
o bien, las frecuencias relativas. Si, mediante el grafico, se
intenta comparar varias poblaciones entre sí, existen
otras modalidades. Cuando los tamaños de las dos
poblaciones son diferentes, es conveniente utilizar las
frecuencias relativas, ya que en otro caso podrían
resultar engañosas. (Metodos 22)

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 22

Diagramas de barras para comparar una variable
cualitativa en diferentes poblaciones. Se ha de tener en cuenta
que la altura de cada barra es proporcional al número de
observaciones (frecuencias relativas).

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 23

22. Opcit. RIUS. Pag 22

Diagramas de sectores (también llamados
pasteles). Se divide un círculo en tantas porciones como
clases existan, de modo que a cada clase le corresponde un arco
de círculo proporcional a su frecuencia absoluta o
relativa.

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 24

El arco de cada porción se calcula
usando la regla de tres:

Como en la situación anterior, puede
interesar comparar dos poblaciones.

En este caso también es aconsejable el uso de las
frecuencias relativas (porcentajes) de ambas sobre
gráficos como los anteriores.

Otra posibilidad es comparar las 2 poblaciones usando
para cada una de ellas un diagrama semicircular. Sean n1= n2 los
tamaños respectivos de las 2 poblaciones. La
población más pequeña se representa con un
semicírculo de radio r1 y la mayor con otro de radio r2.
(23)

La relación existente entre los radios, es la que
se obtiene de suponer que la relación entre las
áreas de las circunferencias es igual a la de los
tamaños de las poblaciones respectivas, es
decir:

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 25

• 23. Opcit. RIUS. Pag 24

Pictogramas Expresan con dibujos alusivo al
tema de estudio las frecuencias de las modalidades de la
variable. Estos gráficos se hacen representado a
diferentes escalas un mismo dibujo.

El escalamiento de los dibujos debe ser tal que el
área de cada uno de ellos sea proporcional a la frecuencia
de la modalidad que representa. (24)

Este tipo de gráficos suele usarse en los medios
de comunicación, para que sean comprendidos por el
público no especializado, sin que sea necesaria una
explicación compleja.

Cantidad de basura recogida en un fin
de semana

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 26

Es un error hacer la representación con una
escala tal que el perímetro del dibujo sea proporcional a
la frecuencia, ya que a frecuencia doble, correspondería
un dibujo de área cuádruple, lo que da un efecto
visual engañoso.

Gráficos para variables
cuantitativas

Para las variables cuantitativas, consideraremos dos
tipos de gráficos, en función de que para
realizarlos se usen las frecuencias (absolutas o relativas) o las
frecuencias acumuladas:

Diagramas diferenciales: Son aquellos en los
que se representan frecuencias absolutas o relativas. En ellos se
representa el número o porcentaje de elementos que
presenta una modalidad dada.

Diagramas integrales: Son aquellos en los que
se representan el número de elementos que presentan una
modalidad inferior o igual a una dada.

Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas, lo
que da lugar a gráficos crecientes, y es obvio que este
tipo de gráficos no tiene sentido para variables
cualitativas.

Según hemos visto existen dos tipos
de variables cuantitativas: discretas y continuas.

Vemos a continuación las diferentes
representaciones gráficas que pueden realizarse para cada
una de ellas así como los nombres específicos que
reciben. (Métodos 26)

• 24. Opcit. RIUS Pag 25

• 25. Ibid. RIUS. Pag 26

Gráficos para variables
discretas

Cuando representamos una variable discreta, usamos el
diagrama de barras cuando pretendemos hacer una grafica
diferencial. Las barras deben ser estrechas para representar el
que los valores que toma la variable son discretos.

El diagrama integral o acumulado tiene, por
la naturaleza de la variable, forma de escalera.

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 28

Diagrama diferencial (barras) e integral
para una variable discreta.

Obsérvese que el diagrama integral (creciente)
contabiliza el número de observaciones de la variable
inferiores o iguales a cada punto del eje de abscisas.
(26)

Gráficos para variables
continuas

Cuando las variables son continuas, utilizamos como
diagramas diferenciales los histogramas y los polígonos de
frecuencias.

Un histograma se construye a partir de la tabla
estadística, representando sobre cada intervalo, un
rectángulo que tiene a este segmento como base. El
criterio para calcular la altura de cada rectángulo es el
de mantener la proporcionalidad entre las frecuencias absolutas
(o relativas) de cada intervalo y el área de los
mismos.

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 30

• 26. Opcit. RIUS. Pag 28

El polígono de frecuencias se construye
fácilmente si tenemos representado previamente el
histograma, ya que consiste en unir mediante líneas rectas
los puntos del histograma que corresponden a las marcas de
clase.

Para representar el polígono de frecuencias en el
primer y ´ultimo intervalo, suponemos que adyacentes a
ellos existen otros intervalos de la misma amplitud y frecuencia
nula, y se unen por una línea recta los puntos del
histograma que corresponden a sus marcas de clase.

Obsérvese que de este modo, el polígono de
frecuencias tiene en común con el histograma el que las
áreas de las gráficas sobre un intervalo son
idénticas.

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 31

El diagrama integral para una variable continua
se denomina también polígono de frecuencias
acumulado, y se obtiene como la poligonal definida en abscisas a
partir de los extremos de los intervalos en los que hemos
organizado la tabla de la variable, y en ordenadas por alturas
que son proporcionales a las frecuencias acumuladas.

Dicho de otro modo, el polígono de frecuencias
absolutas es una primitiva del histograma. (Métodos
30)

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 31

Diagrama de dispersión: La
representación en un gráfico los pares de valores
de dos variables suministra información a cerca de
posibles relaciones entre las ellas, con una simple
inspección a la nube de puntos.

• 27. Opcit. Rius 30

Fuente: RUEDA, J. Bioestadística I.
Medellin, Colombia. Universidad Nacional de Colombia.
Departamento de Ciencias Agronómicas. 2006. Pag
16

Diagrama de cajas.

Se construyen usando la mediana y los cuartiles. La caja
tiene un par de líneas que se prolongan a 1,5 veces el
rango intercuartílico (1.5*{Q3 – Q1}). La caja la
constituyen tres líneas, la primera está a la
altura del cuartil uno (Q1), la segunda es la mediana y la
tercera el cuartil tres (Q3). (Agosto 17)

Fuente: RUEDA, J. Bioestadística I.
Medellin, Colombia. Universidad Nacional de Colombia.
Departamento de Ciencias Agronómicas. 2006. Pag
17

En resumen:

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 35

Medidas
descriptivas

Tras la elaboración de la tabla y su
representación gráfica, en la mayoría de las
ocasiones resulta más eficaz "condensar" dicha
información en algunos números que la expresen de
forma clara y concisa.

Los fenómenos biológicos no suelen ser
constantes, por lo que será necesario que junto a una
medida que indique el valor alrededor del cual se agrupan los
datos, se asocie una medida que haga referencia a la variabilidad
que refleje dicha fluctuación.

Por tanto el siguiente paso y objeto de este
capítulo consistirá en definir algunos tipos de
medidas (estadísticos o parámetros) que los
sintetizan aún más.

Es decir, dado un grupo de datos
organizados en una distribución de frecuencias (o bien una
serie de observaciones sin ordenar), pretendemos describirlos
mediante dos o tres cantidades sintéticas.

En este sentido pueden examinarse varias
características, siendo las más comunes:
(29)

• La tendencia central de los
  datos;

• La dispersión o
  variación con respecto a este centro;

• Los datos que ocupan ciertas
  posiciones.

• La simetría de los
  datos.

• La forma en la que los datos
  se agrupan

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 40

• 23. Opcit. RUEDA. Pag 17

ESTADÍSTICOS DE TENDENCIA
CENTRAL

Las tres medidas más usuales de
tendencia central son:

• la media,

• la mediana,

• la moda.

En ciertas ocasiones estos tres estadísticos
suelen coincidir, aunque generalmente no es así. Cada uno
de ellos presenta ventajas e inconvenientes que precisaremos
más adelante. En primer lugar vamos a definir los
conceptos anteriores. (30)

• 24. Opcit. RIUS. Pag 39

• 25. Ibid. RIUS. Pag 41

La Media

Es la suma de los valores dividido para el numero de
valores. Es la más famosa de las medidas de tendencia
central y se define como el promedio aritmético de todos
los datos. Podemos definir la media muestral (estadístico)
y la media poblacional (parámetro). Si la media pertenece
a una población se representa con la letra griega
&µ, si pertenece a una muestra con el símbolo de
la variable con una barra encima. (31, 32)

Por ejemplo consideremos los siguientes datos
encontrados en una investigación: 12 12 13 11 11 11 13 12
14 12 13 14 14 11 12 11 13 12 11 10. La media de estos valores
es:

(12+12+13+11+11+11+13+12+14+12+13+14+14+11+12+11+13+12+11+10)/20=12.1

Media de Datos
Agrupados

Nótese que siguiendo el ejemplo
anterior, algunos de los datos se repiten:

• 26. SALVARREY, L. Curso de Estadistica
  Básica. Salto, Uruguay. Universidad de la
  República. Regional Norte, Sede Salto. 2000. Pag
  16

• 27. Opcit. RUEDA. Pag 4

Algunos inconvenientes de la
media

La media presenta inconvenientes en algunas
situaciones:

• Uno de ellos es que es muy sensible a
  los valores extremos de la variable: ya que todas las
  observaciones intervienen en el cálculo de la media,
  la aparición de una observación extrema,
  hará que la media se desplace en esa dirección.
  En consecuencia,

• no es recomendable usar la media como
  medida central en las distribuciones muy
  asimétricas;

• Si consideramos una variable discreta, por ejemplo,
  el número de hijos en las familias el valor de la
  media puede no pertenecer al conjunto de valores de la
  variable; Por ejemplo x = 1, 2 hijos. (34)

La Mediana

Es el valor central de un conjunto de datos ordenados,
se dice también que es aquel valor que divide el conjunto
de datos exactamente por la mitad. La mediana es el valor de la
variable que divide la distribución de tal modo que la
mitad de los valores son iguales o menores que ella y la otra
mitad son iguales o mayores. Si los datos no se repiten y no
están agrupados, para calcular la mediana basta con
ordenarlos y contarlos, el que ocupe el lugar del medio es la
mediana. Si hay un número par, muchos definen la mediana
como el promedio de los dos valores intermedios. (35)

Para el siguiente conjunto de
datos:

{2, 4, 5, 6, 8} la mediana es 5

¿Y para el siguiente conjunto de
datos?

2, 4, 5, 6, 20 la mediana es 5

Si se tiene un conjunto de datos par: {2, 4, 5, 6}
¿qué hacemos? La solución es calcular la
media de los dos valores centrales. Existen dos fórmulas
que facilitan el cálculo de la mediana cuando se tienen
muchos datos, pero para ver las fórmulas, primero debemos
definir que es un "Estadístico de Orden". (36)

Estadístico de Orden. Se
define el estadístico de orden i-ésimo como el
valor que toma la observación i-ésima,
después de ordenar todos los datos, así:

X(1) es el estadístico de orden 1 y
correspondería al menor valor de todos.

X(2) es el estadístico de orden 2 y
correspondería al segundo menor valor.

-X(n) es el estadístico de orden n y
correspondería al mayor valor.

Al calcular la mediana de un conjunto de datos siempre
se estará en una de dos situaciones: el conjunto de datos
es impar o el conjunto de datos es par.

Si el conjunto es impar, Me = X
(n+1/2); es decir, el estadístico de
orden

(n+1)/2

es decir, la media aritmética de los
dos estadísticos de orden que aparecen en el
numerador.

Nota: "n" es el número de datos
evaluados. (37)

• 23. Opcit. SALVARREY. Pag
  16

• 24. Opcit. RIUS. Pag 42

• 25. Opcit. SALVARREY. Pag
  18

• 26. Opcit. RUEDA. Pag 4

Propiedades de la
mediana

Entre las propiedades de la mediana, vamos
a destacar las siguientes:

• Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no
  estar afectada por las observaciones extremas, ya que no
  depende de los valores que toma la variable, sino del orden
  de las mismas. Por ello es adecuado su uso en distribuciones
  asimétricas.

• Es de cálculo rápido y de
  interpretación sencilla.

• A diferencia de la media, la mediana de una variable
  discreta es siempre un valor de la variable que estudiamos
  (ej. La mediana de una variable número de hijos toma
  siempre valores enteros). (38)

Moda.

El significado estadístico de la
palabra moda es similar al que le damos en nuestra sociedad,
¿qué es moda? Lo que más se usa, entonces la
moda es simplemente el valor que más se repite, ejemplo:
en el siguiente conjunto de datos la moda sería
5:

{2, 5, 5, 5, 6, 7, 8}

En el conjunto de datos: : {3, 5, 6, 3, 4,
3, 5, 8, 5}, ¿cuál es la moda?

Se puede apreciar que hay dos modas: 3 y 5.
(el conjunto es bimodal)

Un último conjunto de datos: {2, 4,
6, 8, 9, 3, 5}, ¿cuál es la moda?

Aquí vemos que no hay moda, a partir de estos
tres ejemplos se puede observar que la moda puede no existir, ser
única o pueden existir múltiples modas (datos
multimodales).

Cuando exista, siempre corresponderá con algunos
de los valores observados en el conjunto de datos.
(39)

Relación entre media, mediana y
moda

En el caso de distribuciones unimodales, la mediana
está con frecuencia comprendida entre la media y la moda
(incluso más cerca de la media).

En distribuciones que presentan cierta
inclinación, es más aconsejable el uso de la
mediana. Sin embargo en estudios relacionados con
propósitos estadísticos y de inferencia suele ser
más apta la media. (40)

• 27. Opcit. RUEDA. Pag 5

• 28. Opcit. RIUS. Pag 44

• 29. Opcit. RUEDA. Pag 5

• 30. Opcit. RIUS. Pag 47

Recorrido o Rango

Una medida razonable de la variabilidad podría
ser la amplitud, recorrido o rango, que se obtiene restando el
valor más bajo de un conjunto de observaciones del valor
más alto. (41). Es una medida poco utilizada porque provee
de muy poca información, se calcula como la diferencia
entre los dos valores extremos del conjunto de datos, por lo
tanto simplemente indica la distancia que hay entre el valor
menor y el valor mayor. (42)

R: (Valor mayor – Valor menor) =
(X(n) – X(1)).

Propiedades del
rango

• Es fácil de calcular y sus
  unidades son las mismas que las de la variable.

• No utiliza todas las observaciones
  (sólo dos de ellas);

• Se puede ver muy afectada por alguna
  observación extrema;

• El rango aumenta con el número de
  observaciones, o bien se queda igual. En cualquier caso nunca
  disminuye.

Varianza

La varianza mide la mayor o menor dispersión de
los valores de la variable respecto a la media aritmética.
Cuanto mayor sea la varianza mayor dispersión
existirá y por tanto menor representatividad tendrá
la media aritmética.

La varianza se expresa en las mismas unidades que la
variable analizada, pero elevadas al cuadrado. (43)

Es la más conocida de las medidas de
dispersión y su análisis es la base de todos los
métodos de estadística inferencial. Podemos definir
la varianza muestral (estadístico) y la varianza
poblacional (parámetro). (44, 45)

Esta medida es siempre una cantidad positiva. Como sus
unidades son las del cuadrado de la variable, es más
sencillo usar su raíz cuadrada.

Desviación típica o
estándar

La varianza no tiene la misma magnitud que las
observaciones (ej. si las observaciones se miden en metros, la
varianza lo hace en metros cuadrados. Si queremos que la medida
de dispersión sea de la misma dimensionalidad que las
observaciones bastará con tomar su raíz
cuadrada.

Por ello se define la desviación
típica, S, como: (46)

Podemos definir la desviación estándar
muestral (estadístico) y la desviación
estándar poblacional (parámetro).

S = Raíz cuadrada de: S2;
Así, es un estadístico.

s = Raíz cuadrada de: s2;
Así, es el parámetro.

La desviación estándar sería un
valor que está dado en las unidades de medida originales y
por lo tanto es fácil de entender. (47)

• 31. Opcit. RIUS. Pag 55

• 32. Opcit. RUEDA. Pag 8

• 33. Opcit. RUIZ. Pag 18

• 34. Opcit. RUEDA. Pag 7

• 35. NORMAN, G. R., & STREINER, D. L.
  Biostatistics: The bare essentials. Hamilton: B.C. Decker,
  2008. Pag 28

Propiedades de la varianza y
desviación estándar

• Ambas son sensibles a la variación de cada
  una de las puntuaciones, es decir, si una puntuación
  cambia, cambia con ella la varianza. La razón es que
  si miramos su definición, la varianza es
  función de cada una de las puntuaciones.

• La desviación típica
  tiene la propiedad de que en el intervalo

se encuentra, al menos, el 75% de las observaciones
Incluso si tenemos muchos datos y estos provienen de una
distribución normal, podremos llegar al 95 %.

• No es recomendable el uso de ellas, cuando tampoco
  lo sea el de la media como medida de tendencia
  central.

Coeficiente de Variación
(CV).

Esta es una medida de dispersión muy utilizada
porque es adimensional (no tiene unidades de medida) y por lo
tanto es muy útil para comparar la dispersión de
dos conjuntos de datos, ya sea que éstos tengan o no, la
misma unidad de medida; expresa la desviación
estándar como un porcentaje de la media. (48)

Al dividir la desviación típica por la
media se convierte en un valor excento de unidad de medida. Si
comparamos la dispersión en varios conjuntos de
observaciones tendrá menor dispersión aquella que
tenga menor coeficiente de variación.

El principal inconveniente, es que al ser un coeficiente
inversamente proporcional a la media aritmética, cuando
está tome valores cercanos a cero, el coeficiente
tenderá a infinito. (49)

• 36. Opcit. RIUS. Pag 56

• 37. Opcit. RUEDA. Pag 7

• 38. Ibid. RUEDA. Pag 8

• 39. Opcit. RUIZ. Pag 19

ESTADÍSTICOS DE
POSICIÓN

Los estadísticos de posición van a ser
valores de la variable caracterizados por superar a cierto
porcentaje de observaciones en la población (o muestra).
Tenemos fundamentalmente a los percentiles como medidas
de posición, y asociados a ellos veremos también
los cuantiles, deciles y
cuartiles.

Los cuantiles son aquellos valores de la
variable, que ordenados de menor a mayor, dividen a la
distribución en partes, de tal manera que cada una de
ellas contiene el mismo número de frecuencias.

Cuartiles ( Qi )

Son valores de la variable que dividen a la
distribución en 4 partes, cada una de las cuales engloba
el 25 % de las mismas. Se denotan de la siguiente forma: Q1 es el
primer cuartil que deja a su izquierda el 25 % de los datos; Q2
es el segundo cuartil que deja a su izquierda el 50% de los
datos, y Q3 es el tercer cuartil que deja a su izquierda el 75%
de los datos. (Q2 = Me)

Deciles ( Di )

Son los valores de la variable que dividen a la
distribución en las partes iguales, cada una de las cuales
engloba el 10 % de los datos. En total habrá 9 deciles.
(Q2 = D5 = Me)

Centiles o Percentiles ( Pi
)

Son los valores que dividen a la distribución en
100 partes iguales, cada una de las cuales engloba el 1 % de las
observaciones. En total habrá 99 percentiles. (Q2 = D5 =
Me = P50)

Cálculo de los cuantiles en
distribuciones no agrupadas en intervalos

Se calculan a través de la siguiente
expresión: rN/q , siendo:

r = el orden del cuantil
correspondiente

q = el número de intervalos con
iguales frecuencias u observaciones ( q = 4, 10, ó 100
).

N = número total de observaciones.
(50)

MEDIDAS DE FORMA

Estadísticos de
Asimetría

Para saber si una distribución de frecuencias es
simétrica, hay que precisar con respecto a que. Un buen
candidato es la mediana, ya que para variables continuas, divide
al histograma de frecuencias en dos partes de igual
área.

Podemos basarnos en ella para, de forma natural, decir
que una distribución de frecuencias es simétrica si
el lado derecho de la gráfica (a partir de la mediana) es
la imagen por un espejo del lado izquierdo.

Cuando la variable es discreta, decimos que
es simétrica, si lo es con respecto a la media.

Dentro de los tipos de asimetría posible, vamos a
destacar los dos fundamentales:

Asimetría positiva: Si las frecuencias
más altas se encuentran en el lado izquierdo de la media,
mientras que en derecho hay frecuencias más
pequeñas (cola).

Asimetría negativa: Cuando
la cola esta en el lado izquierdo.

Cuando realizamos un estudio descriptivo es altamente
improbable que la distribución de frecuencias sea
totalmente simétrica. En la práctica diremos que la
distribución de frecuencias es simétrica si lo es
de un modo aproximado. Por otro lado, aún observando
cuidadosamente la gráfica, podemos no ver claro de
qué lado están las frecuencias más altas. Se
definen entonces toda una familia de estadísticos que
ayuden a interpretar la asimetría, denominados
índices de asimetría. (51)

• 23. Opcit. RUIZ. Pag 14

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 61

El coeficiente de asimetría
más preciso es el de Fisher, que se define por:

Según sea el valor de g1, diremos que la
distribución es asimétrica a derechas o positiva, a
izquierdas o negativa, o simétrica, o sea:

• Si g1 > 0 la distribución será
  asimétrica positiva o a derechas (desplazada hacia la
  derecha).

• Si g1 < 0 la distribución será
  asimétrica negativa o a izquierdas (desplazada hacia
  la izquierda).

• Si g1 = 0 la distribución puede ser
  simétrica; si la distribución es
  simétrica, entonces si podremos afirmar que g1 =
  0.(52)

Modificado de: RUIZ, D. Manual de
Estadística. Universidad Pablo de Olavide. Sevilla,
España. Editado por eumed.net. 2004. Pag 22, y ROSNER, B.
Fundamentals of biostatistics. Belmont, CA:
Thomson-Brooks/Cole, 2006. Pag 19

• 23. Opcit. RIUS. Pag 60

Medidas de apuntamiento o curtosis:
coeficiente de curtosis de Fisher

Con estas medidas nos estamos refiriendo al grado de
apuntamiento que tiene una distribución; Evalúa
como es la concentración de los datos alrededor de la
media y de las colas; .para determinarlo, emplearemos el
coeficiente de curtosis de Fisher. (53)

Si g2 > 3 la distribución
será leptocúrtica o apuntada

Si g2 = 3 la distribución
será mesocúrtica o normal

Si g2 < 3 la distribución
será platicúrtica o menos apuntada que lo normal.
(54)

• 24. Opcit. RUIZ. Pag 21

• 25. Ibid. RUIZ. Pag 23

• 26. Opcit. RUEDA. Pag 10

Distribución
Mesocúrtica:

Distribución
Leptocúrtica:

Distribución
Platicúrtica:

55)

Medidas de
concentración

Las medidas de concentración tratan de poner de
relieve el mayor o menor grado de igualdad en el reparto del
total de los valores de la variable, son por tanto indicadores
del grado de distribución de la variable.

Para este fin, están concebidos los
estudios sobre concentración.

Denominamos concentración a la mayor o menor
equidad en el reparto de la suma total de los valores de la
variable considerada (renta, salarios, etc.).

Las infinitas posibilidades que pueden adoptar los
valores, se encuentran entre los dos extremos:

1.- Concentración máxima, cuando uno solo
percibe el total y los demás nada, en este caso, nos
encontraremos ante un reparto no equitativo:

x1 = x2 = x3 =
………… = xn-1 = 0 y xn.

2.- Concentración mínima, cuando el
conjunto total de valores de la variable esta repartido por
igual, en este caso diremos que estamos ante un reparto
equitativo

x1 = x2 = x3 =
………… = xn-1 = xn

De las diferentes medidas de
concentración que existen nos vamos a centrar en
dos:

Indice de Gini, Coeficiente, por
tanto será un valor numérico.

Curva de Lorenz, gráfico,
por tanto será una representación en ejes
coordenados.

• 27. Opcit. RUEDA. Pag 11

Sea una distribución de rentas (xi, ni) de la que
formaremos una tabla con las siguientes columnas:

1.- Los productos xi ni, que nos indicarán
la renta total percibida por los ni rentistas de renta individual
xi. (56)

2.- Las frecuencias absolutas
acumuladas Ni .

3.- Los totales acumulados ui que se
calculan de la siguiente forma:

u1= x1 n1

u2 = x1 n1 + x2 n2

u3 = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3

u4 = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + x4
n4

un = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + x4 n4 +
…………. + xn nn

Por tanto podemos decir que

4.- La columna total de frecuencias acumuladas
relativas, que expresaremos en tanto por ciento y que
representaremos como pi y que vendrá dada por la siguiente
notación

5.- La renta total de todos los
rentistas que será un y que dada en tanto por ciento, la
cual representaremos como qi y que responderá a la
siguiente notación:

Por tanto ya podemos confeccionar la tabla
que será la siguiente:

Fuente: RUIZ, D. Manual de
Estadística. Universidad Pablo de Olavide. Sevilla,
España. Editado por eumed.net. 2004. Pag 24

Como podemos ver la última columna es la
diferencia entre las dos penúltimas, esta diferencia seria
0 para la concentración mínima ya que pi = qi y por
tanto su diferencia seria cero.

Si esto lo representamos gráficamente obtendremos
la curva de concentración o curva de Lorenz .La
manera de representarlo será, en el eje de las X, los
valores pi en % y en el de las Y los valores de qi en %. Al ser
un %, el gráfico siempre será un cuadrado, y la
gráfica será una curva que se unirá al
cuadrado, por los valores (0,0), y (100,100), y quedará
siempre por debajo de la diagonal.

La manera de interpretarla será: cuanto
más cerca se sitúe esta curva de la diagonal, menor
concentración habrá, o más homogeneidad en
la distribución. Cuanto más se acerque a los ejes,
por la parte inferior del cuadrado, mayor concentración.
(57)

• 23. Opcit. RUIZ. Pag 23

Distribución de
concentración mínima

Fuente: RUIZ, D. Manual de
Estadística. Universidad Pablo de Olavide. Sevilla,
España. Editado por eumed.net. 2004. Pag 25

Analíticamente calcularemos el
índice de Gini el cual responde a la siguiente
ecuación

Este índice tomara los valores de IG = 0 cuando
pi = qi concentración mínima (poca
concentración por encontrarse cerca del 0) y de IG = 1
cuando qi = 0 (58)

Cálculo de
probabilidades

Si el único propósito del investigador es
describir los resultados de un experimento concreto, los
métodos analizados en los capítulos anteriores
pueden considerarse suficientes. No obstante, si lo que se
pretende es utilizar la información obtenida para extraer
conclusiones generales sobre todos aquellos objetos del tipo de
los que han sido estudiados, entonces estos métodos
constituyen sólo el principio del análisis, y debe
recurrirse a métodos de inferencia estadística, los
cuales implican el uso inteligente de la teoría de la
probabilidad. (59)

En las aplicaciones prácticas es importante poder
describir los rasgos principales de una distribución, es
decir, caracterizar los resultados del experimento aleatorio
mediante unos parámetros. Llegamos así al estudio
de las características asociadas a una variable aleatoria
introduciendo los conceptos de esperanza y varianza
matemática, relacionándolos con los conceptos de
media y varianza de una variable estadística.

El cálculo de probabilidades nos suministra las
reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar,
constituyendo la base para la estadística inductiva o
inferencial. (60)

Cuando un experimento aleatorio se repite un gran
número de veces, los posibles resultados tienden a
presentarse un número muy parecido de veces, lo cual
indica que la frecuencia de aparición de cada resultado
tiende a estabilizarse.

El concepto o idea que generalmente se tiene del
término probabilidad es adquirido de forma intuitiva,
siendo suficiente para manejarlo en la vida corriente.

Nos interesa ahora la medida
numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso
A cuando se realiza el experimento aleatorio. A
esta medida la llamaremos probabilidad del suceso
A y la representaremos por
p(A).

La probabilidad es una medida sobre la
escala 0 a 1 de tal forma que:

• Al suceso imposible le corresponde
el valor 0

• Al suceso seguro le corresponde el
valor 1

• El resto de sucesos tendrán
una probabilidad comprendida entre 0 y 1

El concepto de probabilidad no es
único, pues se puede considerar desde distintos puntos de
vista:

• El punto de vista
objetivo

• Definición clásica o a
priori

• Definición frecuentista o a
posteriori

• El punto de vista subjetivo
(61)

• 23. Opcit RUIZ. Pag
  24

• 24. Ibid. RUIZ. Pag
  25

• 25. Opcit. RIUS. Pag
  99

Concepto de probabilidad

Definición a "priori". La probabilidad de un
suceso es el número de casos favorables sobre el
número de casos totales.

Ejemplo: la probabilidad de caer cara en una moneda es
l/2 pues es uno de los dos posibles resultados.

Definición a "posteriori". La probabilidad de un
suceso es el límite (si existe) de la frecuencia relativa
cuando el tamaño de muestra tiende a infinito.

Ejemplo: la probabilidad de germinar de
semillas de una determinada población es 80%.

Esto se sabe porque en una serie de pruebas se obtuvo
ese porcentaje de germinación. La idea básica es
que el investigador llega a la conclusión de que haciendo
pruebas con cantidades cada vez más grandes el porcentaje
de germinación que se obtendrá será de
80%.

Enfoque axiomático. Algunos autores objetan que
ambas definiciones son criticables. La definición
clásica define probabilidad en término de casos
equiprobables, es decir de igual probabilidad. O sea que para
decir lo que es probabilidad necesitamos ya saber de antemano lo
que significa probabilidad. ( La segunda es en realidad una forma
de decir que la probabilidad es un parámetro y su
estimador (la frecuencia relativa) tiende a é1.

Una alternativa más rigurosa es encarar el
concepto de probabilidad con un enfoque axiomático: es un
número entre 0 y I que cumple con determinadas propiedades
llamadas leyes de la probabilidad'

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de
nacimiento de un varón al nacer un niño? Si
razonamos que hay dos sexos posibles se puede decir que la
probabilidad es l/2. No obstante hay ciertos estudios que indican
que es más probable que nazca un varón que una
niña; algunos autores dicen que la probabilidad de nacer
varón es de 0,5 l, otros incluso más alta. Esos
estudios se basan en análisis de frecuencias y encontraron
que era más frecuente el nacimiento de varones.

En este caso el razonamiento inicial falló debido
a que los dos sexos no son "equiprobables". (62)

• 23. Opcit. RIUS. Pag 100

• 24. Opcit. RUIZ. Pag 85

Definición clásica de
probabilidad

Para que se pueda aplicar la regla de Laplace es
necesario que todos los sucesos elementales sean equiprobables,
es decir:

La probabilidad verifica las siguientes
condiciones:

• La probabilidad de cualquier suceso
es siempre un número no negativo entre 0 y 1

• La probabilidad del suceso seguro
E vale 1

• La probabilidad del suceso imposible
es 0

• La probabilidad de la unión
de varios sucesos incompatibles o excluyentes A1,
A1,…, Ar es igual a la suma de
probabilidades de cada uno de ellos

Esta definición clásica de probabilidad
fue una de las primeras que se dieron (1900) y se atribuye a
Laplace; también se conoce con el nombre de
probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario
conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio
muestral y el número de resultados o sucesos elementales
que entran a formar parte del suceso.

La aplicación de la definición
clásica de probabilidad puede presentar dificultades de
aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando
los posibles resultados de un experimento no son equiprobables.
Ej: En un proceso de fabricación de piezas puede haber
algunas defectuosas y si queremos determinar la probabilidad de
que una pieza sea defectuosa no podemos utilizar la
definición clásica pues necesitaríamos
conocer previamente el resultado del proceso de
fabricación.

Para resolver estos casos, se hace una extensión
de la definición de probabilidad, de manera que se pueda
aplicar con menos restricciones, llegando así a la
definición frecuentista de probabilidad. (64)

• 23. Opcit. SALVARREY. Pag
  30

• 24. Opcit. RUIZ. Pag 85

Experimentos y sucesos
aleatorios

Diremos que un experimento es aleatorio si
se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente,
siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede
predecir el resultado que se va a obtener; (65)

3. El resultado que se obtenga, e, pertenece a un
conjunto conocido previamente de resultados posibles. A este
conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos espacio
muestral y lo denotaremos normalmente mediante la letra E. Los
elementos del espacio muestral se denominan sucesos
elementales.

Cualquier subconjunto de E será denominado suceso
aleatorio, y se denotar

´a normalmente con las letras A, B,. .
.

66)

• 23. Opcit. RUIZ. Pag 86

• 24. Opcit. RIUS. Pag 100

Operaciones básicas con sucesos
aleatorios

Al ser los sucesos aleatorios nada más que
subconjuntos de un conjunto E —espacio muestral—,
podemos aplicarles las conocidas operaciones con conjuntos, como
son la unión, intersección y diferencia:

Unión:

Dados dos sucesos aleatorios A,B _ E, se denomina suceso
unión de A y B al conjunto formado por todos los sucesos
elementales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B
(incluyendo los que están en ambos
simultáneamente), es decir

Intersección:

Dados dos sucesos aleatorios A,B _ E, se denomina suceso
intersección de A y B al conjunto formado por todos los
sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez, es
decir,

Diferencia:

Dados dos sucesos aleatorios A,B _ E, se llama suceso
diferencia de A y B, y se representa mediante AB, o bien A – B,
al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que
pertenecen a A, pero no a B:

Diferencia simétrica:

Si A,B _ E, se denomina suceso diferencia
simétrica de A y B, y se representa mediante A4B, al
suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que
pertenecen a A y no a B, y los que están en B y no en
A:

• 25. Opcit. RIUS. Pag 100

• 26. Ibid. RIUS. Pag 101

(a) AB; (b) AB; (c) A – B; (d)
A4B.

Fuente: RÍUS. F. et al.
Bioestadística: Métodos y Aplicaciones.
Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad
de Málaga. 2004. Pag. 103

Experimentos aleatorios y
probabilidad

Se denominan experimentos deterministas
aquellos que realizados de una misma forma y con las mismas
condiciones iniciales, ofrecen siempre el mismo resultado. Como
ejemplo, tenemos que un objeto de cualquier masa partiendo de un
estado inicial de reposo, y dejado caer al vacío desde una
torre, llega siempre al suelo con la misma velocidad:

Cuando en un experimento no se puede predecir el
resultado final, hablamos de experimento aleatorio. Este
es el caso cuando lanzamos un dado y observamos su resultado.
(68)

Noción frecuentista de
probabilidad

En los experimentos aleatorios se observa que cuando el
numero de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las
que ocurre cierto suceso e, fn(e),

tiende a converger hacia cierta cantidad que denominamos
probabilidad de e. Esta es la noción frecuentista de
probabilidad.

La definición frecuentista consiste en definir la
probabilidad como el límite cuando n tiende a
infinito de la proporción o frecuencia relativa del
suceso.

Sea un experimento aleatorio cuyo espacio
muestral es E

Sea A cualquier suceso
perteneciente a E

Si repetimos n veces el experimento en
las mismas condiciones, la frecuencia relativa del suceso
A será:

Cuando el número n de
repeticiones se hace muy grande la frecuencia relativa converge
hacia un valor que llamaremos probabilidad del suceso
A.

Es imposible llegar a este límite, ya que no
podemos repetir el experimento un número infinito de
veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar como las
frecuencias relativas tienden a estabilizarse.

Esta definición frecuentista de la probabilidad
se llama también probabilidad a posteriori ya que
sólo podemos dar la probabilidad de un suceso
después de repetir y observar un gran número de
veces el experimento aleatorio correspondiente. Algunos autores
las llaman probabilidades teóricas. (ruiz
87)

• 23. Opcit. RIUS. Pag
  102

Problemas de la noción o definición
frecuentista de probabilidad

La noción frecuentista de probabilidad no puede
usarse en la práctica como definición de la
probabilidad por que: (métodos 104)

• se requiere realizar un número infinito de
  veces un experimento para calcular una probabilidad. Por
  ejemplo, lanzar infinitas veces un dado para ver que las
  frecuencias relativas de la aparición de cada cara
  convergen a 1/6. Esto puede suplirse en la práctica
  realizando el experimento un número suficientemente
  elevado de veces, hasta que tengamos la precisión que
  requieran nuestros cálculos. Sin embargo,

• los experimentos aleatorios a veces no pueden ser
  realizados, como es el caso de calcular la probabilidad de
  morir jugando a la ruleta rusa con un revolver: no es posible
  (o no se debe) calcular esta probabilidad repitiendo el
  experimento un número indefinidamente alto de veces
  para aproximarla mediante la frecuencia relativa).
  (Métodos 105)

Definición Subjetiva de la
Probabilidad

Tanto la definición clásica como la
frecuentista se basan en las repeticiones del experimento
aleatorio; pero existen muchos experimentos que no se pueden
repetir bajo las mismas condiciones y por tanto no puede
aplicarse la interpretación objetiva de la
probabilidad.