Es, en este sentido, que consideramos conveniente poder
comprender el objeto de la actividad matemática y que el
sistema de acciones para actuar no puede desligarse del uso de la
terminología y simbología especializada
conjuntamente con el contenido de relaciones, propiedades,
inferencias lógicas, representaciones geométricas,
etc.
Al estudiar la actividad matemática, en su
carácter especial, ella se materializa cuando el individuo
es capaz de plantearse, interpretar y resolver un problema o
situación que requiere de los medios que ofrece la Ciencia
Matemática.
Este tipo de actividad va más allá de la
conformación de conocimientos, del establecimiento de un
orden en ellos, si no se disponen de las vías para su
utilización en situaciones diversas y solamente cuando los
conocimientos pueden utilizarse en función de un objetivo
se convierten en los instrumentos de la actividad
correspondiente.
La estructura de la actividad matemática puede,
entonces, considerarse a partir del problema matemático
que constituye la necesidad o motivo de la actuación del
alumno y la búsqueda de los conceptos o procedimientos
como objetivos parciales que son los instrumentos para actuar en
las condiciones específicas del problema dado.
LAS HABILIDADES
MATEMÁTICAS.
Las habilidades matemáticas, son reconocidas por
muchos autores, como aquellas que se forman durante la
ejecución de las acciones y operaciones que tienen un
carácter esencialmente matemático. A partir del
análisis realizado acerca del concepto de habilidad y sus
principales tendencias, del papel de la resolución de
problemas en el aprendizaje de la Matemática y lo que
caracteriza la actividad matemática del alumno concluimos
que:
La habilidad matemática es la
construcción, por el alumno, del modo de actuar inherente
a una determinada actividad matemática, que le permite
buscar o utilizar conceptos, propiedades, relaciones,
procedimientos matemáticos, utilizar estrategias de
trabajo, realizar razonamientos, juicios que son necesarios para
resolver problemas matemáticos.
Las habilidades matemáticas expresan, por tanto,
no sólo la preparación del alumno para aplicar
sistemas de acciones (ya elaborados) inherentes a una determinada
actividad matemática, ellas comprenden la posibilidad y
necesidad de buscar y explicar ese sistema de acciones y sus
resultados, de describir un esquema o programa de
actuación antes y durante la búsqueda y la
realización de vías de solución de problemas
en una diversidad de contextos; poder intuir, percibir el posible
resultado y formalizar ese conocimiento matemático en el
lenguaje apropiado.
Este concepto indica, que no es suficiente pensar en la
preparación del alumno para multiplicar fracciones,
demostrar un teorema o resolver una ecuación,
también atiende a sus posibilidades para explicar el modo
de actuar, proyectar el método o procedimiento a emplear,
estimar las características del resultado que le permita
comparar el objetivo con lo logrado y poder escribirlo en el
lenguaje apropiado, en las diferentes formas de
representación.
Un indicador que se destaca es que la habilidad se ha
formado cuando el sujeto es capaz de integrarla con otras en la
determinación de vías de solución, cuando
deja de ser un eslabón aislado para ubicarla en un
contexto, ya que en esas condiciones sólo alcanza
potencialidades muy limitadas que no permiten enfrentar una
diversidad de situaciones en un contexto dado.
CARACTERIZACIÓN DE LAS HABILIDADES EN
LA ASIGNATURA MATEMÁTICA.
La actividad matemática, como tipo especial de
actividad, se manifiesta cuando el individuo está en
condiciones de plantearse, interpretar y resolver un problema o
situación poniendo en movimiento los recursos de que
dispone en cuanto al contenido de los conceptos, propiedades y
procedimientos de carácter esencialmente
matemáticos.
Habilidades matemáticas atendiendo al objeto
de la actividad matemática.
En el proceso de enseñanza aprendizaje de la
Matemática la actividad del alumno comprende, como
premisas principales: la elaboración de conceptos,
teoremas y sus demostraciones, procedimientos y la
resolución de ejercicios; que constituyen, como se ha
señalado, el objeto del sistema de conocimientos y
habilidades del contenido de la asignatura en la
escuela.
El contenido de las acciones y operaciones que se
ejecutan en la actividad matemática comprenden aquellos
recursos de los que debe disponer el alumno así como las
estrategias y métodos que le permitan desplegar ese modo
de actuar. Teniendo en cuenta el objeto matemático sobre
el que se ejecuta ese modo de actuación, de
carácter complejo, se han reconocido los siguientes
componentes del contenido de la actividad
matemática:
conceptos matemáticos y sus
propiedades;procedimientos de carácter
algorítmico;procedimientos de carácter
heurístico;situaciones-problemas de tipo intra y
extramatemáticas.
El estudio de las acciones y operaciones que se ejecutan
en cualquier actividad matemática, especialmente su
contenido descrito en los componentes señalados, permiten
caracterizar y distinguir las habilidades matemáticas
siguientes:
1. Habilidades matemáticas referidas a
la elaboración y utilización de conceptos y
propiedades.2. Habilidades matemáticas referidas a
la elaboración y utilización de procedimientos
algorítmicos.3. Habilidades matemáticas referidas a
la utilización de procedimientos
heurísticos.4. Habilidades matemáticas referidas al
análisis y solución de situaciones
problémicas de carácter intra y
extramatemáticos.
Las habilidades matemáticas así
caracterizadas ofrecen un corte horizontal del modo de actuar
esperado del alumno en un tema o sistema de clases dado, es
decir, permite destacar los componentes principales del modo de
actuar en función del contenido matemático, lo que
debe saber hacer con los conceptos, propiedades, procedimientos y
situaciones – problemas.
Habilidades matemáticas atendiendo a los
niveles de sistematicidad de la actividad
matemática.
De la caracterización de la actividad
matemática y su estructura (actividad – acción –
operación; modo de actuar – método – procedimiento)
atendiendo a los tres niveles de sistematicidad (general,
particular y singular) se ha podido diseñar un sistema de
habilidades matemáticas en el que se definen las
habilidades que se corresponden con cada nivel, tomando como
referencia el papel de la resolución de problemas en la
orientación y ejecución de dicha
actividad.
Las habilidades matemáticas, en esos tres niveles
de sistematicidad de la actividad matemática (general,
particular y singular) las caracterizamos de la forma siguiente:
La habilidad para resolver problemas expresa el objetivo
central de la escuela cubana de preparar al hombre para la vida,
"educarlo para servir a la humanidad participando desde la misma
escuela en la construcción de la sociedad: es prepararlo
para resolver problemas como resultado de que en su estancia en
la institución docente aprenda a resolverlos (…)". Este
objetivo se propone lograr que el alumno enfrente la
resolución de problemas "como instrumento formativo
fundamental".(Alvarez, 1993)
La habilidad para resolver problemas
matemáticos es la construcción, por el alumno,
de los modos de actuar y métodos de solución de
problemas utilizando los conceptos, teoremas y procedimientos
matemáticos, en calidad de instrumentos, y las estrategias
de trabajo heurístico para la sistematización de
esos instrumentos en una o varias vías de
solución.
La habilidad para resolver problemas matemáticos,
en especial, no se puede formar a partir de la
ejemplificación o repetición de acciones ya
elaboradas previamente sin atender a cómo se han asimilado
y el nivel de significación que éstas tienen para
los alumnos atendiendo a sus experiencias, su disposición
hacia la actividad; de ahí la necesidad de enfocar como
parte de la formación de esta habilidad la etapa en que
transcurre la estructuración del sistema de conocimientos
(conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos) a
partir de situaciones – problemas.
El planteamiento de problemas se comprende como un medio
para estimular en el alumno la interpretación de una
determinada situación analizar las condiciones que se dan
para luego discernir las vías de solución,
partiendo de los conceptos, teoremas y procedimientos que son los
instrumentos de que dispone y los modos de sistematizarlos en
función de un objetivo (estrategias) según la
interpretación realizada.
Esta habilidad, en su carácter general,
sistematiza también las habilidades docentes,
lógicas o intelectuales; que guían el proceso de
búsqueda y planteamiento de solución. Así se
destacan habilidades como identificar, observar, describir,
modelar, calcular, fundamentar, valorar, etc., que están
presentes en la comprensión y búsqueda de
vías de solución, en su descripción y
finalmente en la valoración de los resultados.
Las habilidades matemáticas básicas
son las construcciones que hace el alumno de métodos de
solución o análisis, de un problema
matemático, constituyen objetivos parciales en la
preparación de los alumnos para resolver determinados
problemas. En ellas se pueden concretar métodos de
solución para uno o varios tipos de problemas.
.
El contenido de esta habilidad matemática refleja
la exigencia en cuanto a la sistematización de las
habilidades referidas a la elaboración o
utilización de conceptos, propiedades, procedimientos
algorítmicos o heurísticos que posibilitan el
desarrollo de la habilidad general porque brindan métodos
de solución para el o los problemas que al alumno se
plantean.
Los rasgos que caracterizan las habilidades
matemáticas básicas son:
responden a un eslabón o nivel de desarrollo
parcial de la habilidad general.indican el nivel de aplicación exigido a
conceptos, relaciones y procedimientos que se sistematizan en
un método de solución;delimitan la acción a ejecutar (demostrar,
calcular, construir, explicar, fundamentar, etc.);no tienen un carácter específico al
ser aplicable en una diversidad de situaciones;expresan el nivel de profundidad con que se deben
elaborar y utilizar los conceptos, teoremas y procedimientos
que se sistematizan en el método de
solución.
Ejemplos de habilidades matemáticas
básicas, en relación con la habilidad general
señalada son: demostrar igualdad de figuras, construir
triángulos y cuadriláteros, calcular áreas y
perímetros de triángulos y cuadriláteros,
etc.
Las habilidades matemáticas elementales
son las construcciones de procedimientos específicos
derivados directamente del modo de operar con los conceptos,
teoremas o procedimientos que al establecer las conexiones entre
ellos conforman métodos de solución, constituyen la
base de las habilidades matemáticas
básicas.
En ellas se encuentran las operaciones de
cálculo, por ejemplo, que llegan a alcanzar un alto grado
de sistematización en los alumnos de la escuela media.
Esta habilidad refleja las condiciones concretas, particulares,
que son necesarias en las habilidades referidas a la
elaboración o utilización de los conceptos,
propiedades, procedimientos algorítmicos o
heurísticos que debe desarrollar el alumno.
Se destacan también como habilidades de
carácter elemental el reconocimiento de propiedades de
figuras geométricas, realizar construcciones
geométricas fundamentales, etc., que se ejecutan en el
contexto de las habilidades matemáticas básicas que
se forman durante toda la formación geométrica del
alumno.
Los rasgos que caracterizan las habilidades
matemáticas elementales son:
tienen un carácter específico con
relación al modo de actuar dado en la habilidad
general;se determina de la acción a realizar
directamente con conceptos, teoremas y
procedimientos;indican condiciones (previas o no) necesarias para
desarrollar la habilidad matemática
básica.
Estas precisiones sobre las habilidades
matemáticas ofrecen un corte vertical y favorecen la
interpretación de los niveles de desarrollo del alumno,
con la determinación de hasta donde puede o no llegar con
relación a los problemas matemáticos que como
objetivo de su aprendizaje tiene que aprender a resolver en un
contexto determinado.
ESTRUCTURA
SISTÉMICA DE LAS HABILIDADES
MATEMÁTICAS.
Enfoque de sistema.
En la formación de habilidades
matemáticas, como proceso orientado a la
asimilación del modo de actuación inherente a una
actividad específica, se manifiesta la orientación
ideológica y filosófica según la
interpretación de las categorías y diferentes
formas en que transcurre el proceso, los principales cambios que
den indicios de nuevas cualidades, de un nuevo estado en el
desarrollo del alumno, sujeto de aprendizaje.
En este proceso, el cambio, el desarrollo o
transición a estados o niveles que expresan nuevas
cualidades no se produce de forma aislada a los restantes
procesos pedagógicos y psicológicos, así
como otros factores que intervienen en el alumno cuando ejecuta
la actividad.
Las tareas que realiza el alumno para asimilar una o
varias habilidades matemáticas se basan en un sistema de
acciones que, como abstracción, puede describir en un
modelo lo esencial del proceder o modo de actuar, pero que no
desconoce las cualidades de la personalidad del alumno, sus
condiciones previas, los métodos de enseñanza del
maestro, las características de los materiales docentes,
la influencia del colectivo estudiantil, etc.
El desarrollo en el proceso de formación de
habilidades matemáticas como expresión de cambio
regular, orientado, irreversible, que tiene como resultado un
estado cualitativamente nuevo en su composición y
estructura (habilidad para resolver problemas
matemáticos), se refleja en cómo alcanzar un
determinado estado o nivel que tiene su base en la claridad y
conciencia de objetivo al que se llega a través de cambios
cualitativos graduales (con la formación y desarrollo de
las habilidades básicas que son sus componentes), pero que
tienen una integración o sistematización para que
se dé el cambio en el sentido progresivo (que el alumno
aprenda a resolver problemas matemáticos).
El desarrollo de las habilidades constituye un
movimiento en el que el alumno estructura y reestructura sistema
de acciones cada vez más complejos y en esa
reestructuración o transformación estructural
alcanzan estados superiores lo que significa que cada nueva
habilidad se incorpora al sistema ya formado, pero no como una
habilidad más, sino como un elemento que aporta nuevas
interpretaciones, racionaliza procesos u ofrece otras variantes
de solución que no borra los sistemas formados,
sólo los enriquece.
El enfoque de sistema del proceso de formación de
habilidades matemáticas orienta su estudio de forma
integral a revelar las diversas relaciones, propiedades,
componentes y cualidades que se manifiestan en el proceso de
desarrollo, los estados o niveles por los que transita este
proceso y que se materializan en la actuación del
alumno.
El enfoque sistémico se sustenta en el principio
de la sistematización, pero a diferencia de éste,
significa que el objeto de estudio se estructura como un conjunto
de invariantes, las cuales constituyen la expresión de lo
esencial del contenido y guían el proceso de
búsqueda de los restantes conocimientos que le dan
precisión, profundidad y solidez.
La invariante de habilidad.
La variante para la estructuración del contenido
a través del planteamiento, comprensión y
solución de problemas determina el enfoque
sistémico en las habilidades matemáticas, al quedar
delimitada la invariante de habilidad del sistema en el
problema esencial como expresión de lo que debe saber
hacer el alumno con el contenido que estudia y esto
constituye la base para el desarrollo de cada habilidad
matemática básica y elemental y las habilidades
generales (intelectuales y docentes) que conforman las acciones o
sistemas de acciones u operaciones derivadas de los conceptos,
teoremas y procedimientos concretos, que con su
sistematización dan al alumno la posibilidad de comprender
y resolver los problemas de forma independiente. (Rebollar,
1994)
La invariante (habilidad para resolver problemas
matemáticos) como hilo conductor se estructura a
través de las habilidades matemáticas
básicas (éstas a su vez de las elementales) y se
perfecciona en la medida en que éstas últimas
alcanzan un nivel superior de desarrollo. Cada habilidad logra su
óptimo desarrollo cuando el alumno es capaz de reconocer
sus componentes, sus dependencias y relaciones, que son los que
les permiten orientarse en el cumplimiento del objetivo
general.
El que las habilidades matemáticas se formen bajo
la orientación de la habilidad para resolver problemas
matemáticos, que el alumno la forma a partir de los
problemas concretos que se plantean para su actividad de
aprendizaje es lo que debe conllevar a que cada parte se vea como
componente del sistema y no como un proceder aislado.
La selección de la habilidad rectora, como
reflejo de lo que debe saber hacer el alumno en una unidad
temática determina un enfoque sistémico de las
habilidades matemáticas atendiendo a los siguientes
aspectos:
queda en ella definido el objetivo central del
sistema de conocimientos y habilidades;se determinan objetivos parciales a través de
los cuales se forma y desarrolla la habilidad
general;se establecen las relaciones de dependencia o no
entre los conocimientos y habilidades matemáticas
básicas y elementales que la conforman;se logra que el contenido de la unidad no sea visto
clase a clase, de habilidad en habilidad, sino como un todo
más complejo que le da salida al objetivo central
(habilidad general);el establecimiento de relaciones entre sistemas de
habilidades de mayor y menor grado de complejidad se alcanza
viendo cada unidad como un sistema que además se
relaciona con otros de los diferentes grados y niveles de
enseñanza;el establecimiento de las relaciones entre los
elementos del sistema da la posibilidad de que el alumno
observe modos alternativos de respuestas a los problemas
esenciales (habilidad general).
Las posibilidades de este enfoque están,
esencialmente, en la idea de que los conocimientos y las
habilidades básicas y elementales sean instrumentos y no
elementos aislados, sean elementos de un sistema y su
sistematización determine estrategias de trabajo, modos de
actuación generalizados, que es el objetivo a lograr con
la disciplina Matemática en la escuela media.
Estrategia para estructurar el sistema de habilidades
matemáticas.
Este modelo presupone que el alumno para formar la
habilidad, desde el primer momento, se apropie del sistema de
acciones que le sirve para resolver el problema esencial
(habilidad para resolver problemas), con las condiciones previas
que posee y cada eslabón del proceso de enseñanza
contribuya a perfeccionar ese sistema de acciones.
La dirección del proceso de formación de
la habilidad para resolver problemas, como habilidad rectora,
precisa del conocimiento de cada una de las acciones que orientan
la búsqueda de una o varias vías de
solución, tanto en la elaboración del nuevo
conocimiento donde el problema esencial estimula la necesidad de
buscar otros instrumentos para la solución y cuando el
problema se propone la utilización de lo ya
aprendido.
En la estrategia para estructurar el sistema de
habilidades matemáticas, desde el punto de vista
metodológico organizativo de la asignatura, partimos de
que la habilidad general de la unidad queda determinada por el
problema esencial o generador correspondiente y cada sistema de
clases se determina por la habilidad matemática
básica que responde a dicha habilidad general.
Las habilidades matemáticas básicas
constituyen los principales componentes del modo de actuar
más general y desde el punto de vista organizativo
necesitan de varias clases en las que se realizan los eslabones
didácticos del proceso docente para la asimilación
del método o procedimiento por el alumno.
La habilidad matemática básica precisa el
objetivo del sistema de clases y se deriva para cada clase
tomando en cuenta las condiciones previas de los alumnos, las
habilidades matemáticas elementales ya formadas y las que
se forman por primera vez, así como la imprescindible
sistematización y aplicación en la
resolución de ejercicios.
La habilidad matemática elemental se determina
como componente de la habilidad matemática básica y
no necesariamente corresponde al objetivo de una o varias clases
porque ella puede pertenecer a las condiciones previas del alumno
o ser parte del nuevo contenido, pero de cualquier forma por su
carácter específico no debe constituir el centro de
la orientación hacia el objetivo, sino como elementos,
pasos, procedimientos necesarios de un modo de actuar más
completo y complejo que permite resolver los
problemas.
Al estructurar el sistema de habilidades
matemáticas de una unidad temática se propone, en
resumen, la siguiente estrategia:
La habilidad general de la unidad se determina por
el problema esencial a resolver;Las habilidades matemáticas básicas,
como métodos de solución inherentes a la
habilidad general, determinan los sistemas de clases
(objetivos parciales) de la unidad;Las habilidades a desarrollar en cada clase se
determinan de la estrategia para la formación de la
habilidad matemática básica en el
eslabón didáctico del proceso docente educativo
que corresponde;Las habilidades matemáticas elementales al
describir los principales procedimientos que se sistematizan
en la habilidad matemática básica pueden
constituir o no objetivos de una o varias clases de un
sistema.La motivación y la orientación del
alumno hacia la habilidad general y las habilidades
matemáticas básicas es la condición
primaria para que se oriente y sea asimilada la estructura
del sistema de habilidades matemáticas.
ETAPAS DEL
PROCESO DE FORMACIÓN DEL SISTEMA DE HABILIDADES
MATEMÁTICAS.
En el proceso de formación del sistema de
habilidades matemáticas se observan tres etapas que
responden a los eslabones didácticos del proceso docente
educativo y su dinámica y toman en cuenta las relaciones
entre el desarrollo, la educación y la enseñanza y
el concepto de "zona de desarrollo próximo" de L. S.
Vigotsky, las tendencias de la enseñanza a través
de problemas que tiene sus principales representantes en el
paradigma constructivista, que permiten describir la estructura
del proceso de enseñanza aprendizaje sobre la base del
papel de la resolución de problemas como eje de la
formación matemática atendiendo a sus dos
funciones.
1. Etapa de planteamiento, comprensión y
análisis de los problemas esenciales y sus
subproblemas (orientación del sistema de habilidades
matemáticas);2. Etapa de elaboración,
ejercitación y sistematización de las
habilidades matemáticas básicas y elementales (
ejecución del sistema de habilidades);3. Etapa de aplicación del sistema de
conocimientos y habilidades a la resolución de
problemas variados ( perfeccionamiento de la ejecución
del sistema de habilidades).
A la etapa 1 corresponde el momento durante el cual el
alumno se apropia del sistema de problemas que son la
expresión de las posibilidades de aplicación de la
teoría matemática que estudia y con ellos recibe
una orientación inicial de los conceptos, teoremas o
procedimientos específicos y generales y las habilidades
matemáticas correspondientes que le permiten comprender y
fundamentar una o varias vías de
solución.
La segunda etapa da continuidad a la anterior al
elaborar los conceptos, teoremas y procedimientos (se propone la
formación de las habilidades referidas a la
elaboración y utilización de conceptos, propiedades
y procedimientos) a partir de la interpretación como
instrumentos para la precisión de una u otra
solución de los problemas esenciales (habilidades
matemáticas básicas) y los procedimientos
específicos que le sirven de base (habilidades
matemáticas elementales). En esta etapa se proponen
ejercicios que propicien el ordenamiento, integración y
estructuración del sistema de conocimientos y
habilidades.
En la tercera etapa, muy relacionada con la anterior, se
parte de que el alumno se haya apropiado del sistema de
conocimientos y habilidades matemáticas, es decir, los
problemas, los instrumentos y estrategias para su solución
y dispone de una amplia variedad de muestras, dadas en los
ejemplos analizados y los ejercicios resueltos, que le permiten
orientarse de forma independiente en la resolución de los
problemas.
Este momento debe dedicarse a que el alumno busque
vías de solución suficientemente fundamentadas,
aplique analogías, generalizaciones, particularizaciones.
Las etapas 2 y 3 se entrelazan a lo largo de una unidad de
acuerdo con la dosificación del contenido para el
cumplimiento del objetivo de formar las habilidades en los tres
niveles de sistematicidad planteados.
En estas etapas se refleja la unidad de las dos
funciones atribuidas al problema en el proceso de aprendizaje:
medio y fundamento del aprendizaje y medio para la
fijación del saber y poder matemáticos, o sea,
objetivo del aprendizaje.
LA AYUDA
PEDAGÓGICA DEL PROFESOR.
Los tipos de ayuda pedagógica que se recomiendan
son:
Caracterizar las condiciones previas de los alumnos
para resolver problemas, la solidez de sus conocimientos y
nivel de independencia en su actuación, como criterio
para dirigir el proceso de enseñanza
aprendizaje.Motivar a los alumnos para participar activamente en
la interpretación, análisis y solución
de los problemas.Atender, de forma diferenciada, a los alumnos en su
aprendizaje.proponer tareas docentes que faciliten la
fijación de cada modo de actuar, atendiendo a la
sistematización que propicia la resolución de
problemas.Formular preguntas que constituyan medios
heurísticos para la búsqueda y el razonamiento
matemático.Utilizar la ejemplificación para brindar
puntos de referencia para la actuación del alumno, en
los casos que así lo requieran.Estimular reflexiones metacognitivas con el fin de
que los alumnos resuelvan los problemas y establezcan
comparaciones, analogías, generalizaciones sobre los
modos de actuación que emplean en los procesos de
búsqueda de vías de solución.
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Autor:
Lic. Tania Hernández Gallo
Lic. Belkis García Bello
Lic. Ela Mariela Pérez Delgado
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